1S Evaluation n 3 de mathématiques Le 21 Mai 2013 Corrigé 1 ère PARTIE Sans calculatrice Durée : 1h30 min

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1 1S Evaluation n 3 de mathématiques Le 1 Mai 013 Corrigé 1 ère PARTIE Sans calculatrice Durée : 1h30 min QCM : (13 points) : 1 point par bonne réponse, 0,5 point par mauvaise réponse, 0 si pas de réponse Pour chaque question du tableau suivant, 4 réponses sont proposées, mais une seule est eacte. Recopier la lettre correspondant à la réponse choisie dans la dernière colonne du tableau. 1. Soit (v n ) la suite dont les premiers termes sont obtenus dans la colonne B du tableur ci-contre en recopiant vers le bas la formule contenue dans la cellule B. a) v n + 1 = 3 v n 5 pour tout n 1 b) v 10 = 19 c) v = 11 d) (v n ) est une suite arithmétique de raison 3 d. Soit (t n ) la suite définie par t 1 = 7 et pour tout n 1, t n + 1 = t n 3 a) t = 11 b) t = 1 c) la suite (t n ) est géométrique de raison d) t n = n pour tout n 1 a 3. Une équation possible de la courbe ci-contre est : a) y = + 8 b) y = c) y = d) y = + 8 c 4. L équation = 0 a) admet solutions négatives b) admet 1 solution positive c) n admet aucune solution réelle d) admet 1 solution positive et 1 solution négative a 5. La forme factorisée de est : a) ( + 3) 8 b) + 3 1,5 c) ( + 4) ( 1) d) ( 4) ( + 1) c 6. Soit f () = sur IR a) f () > 0 pour tout réel b) f () < 0 pour tout réel c) f () < 0 sur ] ; 0] 7. La fonction f est strictement croissante sur [0 ; + [ d) f () n est pas de signe constant d a) f () = b) f () = 3 4 c) f () = 5 d) f () = 6 d 8. Soit f () = 3. Alors f est strictement décroissante sur a) [0 ; + [ b) [3 ; + [ c) ] ; 3] d) ] ; 3] c 9. Soit la fonction f dérivable sur [ 10 ; 1[ ] 1 ; 5] dont le tableau de variations est le suivant : Si a et b appartiennent à [0 ; 5] et si a < b a) f (a) > f (b) b) f (a) < f (b) c) f (a) f (b) > 0 d) f (a) f (b) < 0 a 10. Soit f une fonction définie et dérivable sur [ 4 ; 4]. La courbe ci-contre représente la fonction f ', dérivée de f. a) f '(1) = 0 b) f admet un etremum en 1 c) f est décroissante sur [1 ; + [ d) La tangente à la courbe de f au point d abscisse 1 a pour coefficient directeur. b ou d

2 11. Si ( AB, AC ) = ( AB, AD ) ( ), alors : a) AD = k AC où k > 0 b) C = D c) ( AC, AD ) = ( ) d) On ne peut pas savoir a 1. Soit u 3 4 et v 5 dans un repère orthonormé. Alors u v est égal à a) 7 b) 14 c) 6 d) 3 c 13. ABCD est un rectangle avec AB = 6 et AD = 4. E est le milieu de [AB]. a) AB DE = 16 b) AC DE = 0 c) ED DC = 18 d) BD ED < 0 c Eercice n 1 On note u et v deu suites définies pour tout n IN par : u n = n + 3 n et v n = n n 1. La suite u est-elle géométrique? (justifier) u n = n + 3 n = = 4 u est donc du type a b n donc u est géométrique. La suite v est-elle arithmétique? géométrique? (justifier) v n = n n donc v 0 = 0 1 = 1, v 1 = 1 = 1 et v = ² =. Ainsi v 1 v 0 v v 1 donc v n est pas arithmétique. v 1 v donc v n est pas géométrique v 0 v 1 Eercice n (5 points) La courbe C ci-contre représente une fonction f définie sur IR Les droites tracées sont des tangentes à la courbe C. 1. Rappeler l interprétation graphique de f '(0). f '(0) est le coefficient directeur de la tangente au point de C d abscisse 0.. A l aide du graphique : a) Lire f '(0) = f '(5)= 0 f '( 5)= 4 y b) Donner une équation de la tangente à C au point d abscisse 0 y = f '(0) ( 0) + f(0) y = + C c) Donner l ensemble solution de l équation f () = 1 S= {,5 ; 5 ; 7,5} d) Donner l ensemble solution de l équation f '() = 0 S= { 4 ; 1,5 ; 3 ; 5} e) Donner l ensemble solution de l inéquation f '() 0 S= [ 4 ; 1,5] [3 ; 5]

3 Eercice n 3 Soit A et B deu points, tels que AB =, et I le milieu du segment [AB]. Soit M un point quelconque du plan. 1. Démontrer que : MA MB = MI ² AB² 4 MA MB = ( MI + IA ) ( MI + IB ) = MI + MI IB + MI IA + IA IB = MI ² + MI ( IB + IA ) IA IB = MI ² + MI 0 AB = MI ² AB² 4. Trouver l ensemble des points M du plan, tels que : MA MB = 5 MA MB = 5 MI ² AB² 4 = 5 MI ² ² 4 = 5 MI ² = MI ² = 6 MI = 6 (car MI 0) Donc l ensemble des points M du plan, tels que : MA MB = 5 est le cercle de centre I, milieu de [AB] et de rayon 6. Eercice n 4 ( points) Résoudre dans ] ; ], l inéquation : sin 3 S = ] ; 3 ] [ 3 ; ]

4 1S Evaluation n 3 de mathématiques Le 1 Mai 013 Corrigé ème PARTIE Calculatrice autorisée Durée : h30min Eercice n 5 ABCD est un carré de côté 6 cm et E un point de la diagonale [BD]. G est un point de [AB] tel que AG = cm. M et N sont les projetés orthogonau de E sur [BC] et [CD]. On pose EM =. Pour quelles valeurs de l aire de DNEMG est-elle supérieure à la moitié de celle du carré? Justifier soigneusement votre raisonnement. (On sera amené à résoudre l inéquation > 0) A DNEMG = A ABCD A EMCN A AGD A GBM Eercice n 6 G est un point de [AB] tel que AG = cm, donc GB = AB AG = 6 = 4 M et N sont les projetés orthogonau de E sur [BC] et [CD], donc EMCN est un rectangle et NC = EM = [BD] est la diagonale du carré ABCD de côté 6 cm, donc BD = 6 et MBE = 45 Le triangle rectangle EMB est donc isocèle en M, d où MB = EM =, et CM = CB MB = 6 A DNEMG = AB AG AD EM MC A DNEMG = 6 (6 ) 6 4 A DNEMG = A DNEMG = A DNEMG > A ABCD Δ = 16 1 = > > 0 donc le polynôme a deu racines = et = = 6 GB MB De plus a > 0 donc le polynôme est strictement positif sur ] ; [ ]6 ; + [. Etant donné que [0 ; 6], on en déduit que l ensemble des valeurs de, telles que l aire de DNEMG est supérieure à la moitié de celle du carré est : (3 points) Que fait l algorithme suivant? S = [0 ; [ VARIABLES : n, u, nombres INITIALISATION : n prend la valeur 0 u prend la valeur 1 TRAITEMENT : Tant que u < 500 Faire n prend la valeur n + 1 u prend la valeur n SORTIE : Fin Tant que Afficher n L algorithme calcule les puissances de successives. Il fonctionne tant que n < 500, donc lorsqu il s arrête n 500. Il détermine donc la plus petite puissance de supérieure à 500 et affiche l eposant correspondant (soit n = 9, car 9 = 51).

5 Eercice n 7 (1 points) Des relevés statistiques effectués sur une rivière montrent que sa population de truites diminue de 0 % chaque année. Le nombre de truites en 010 est estimé à 00 truites par hectare. On note T n le nombre de truites par hectare l année n. 1. a. Eprimer T n + 1 en fonction de T n pour n 0. La population de truites diminue de 0 % chaque année, donc T n + 1 = T n ( ) = 0,8 T n b. En déduire T n en fonction de n. La suite (T n ) est une suite géométrie de raison q = 0,8, donc T n = T 0 0,8 n = 00 0,8 n c. On considère que l espèce aura disparu de la rivière, lorsque l effectif sera inférieur à 1. Au bout de combien d années cela se produira-t-il? On cherche n, tel que : T n < ,8 n < 1 A l aide de la calculatrice, on obtient : T 3 1,18 et T 4 0,94, donc on peut considérer que l espèce aura disparu de la rivière au bout de 4 ans.. On décide d introduire par alevinage 00 truites chaque année et on suppose qu il n y a pas de perte sur les 00 truites de l année. a. Calculer T 1, T. Que constate-t-on? T 1 = 0,8 T = 0, = 360 T = 0,8 T = 0, = 488 On constate que la population de truites est à nouveau en progression. b. Justifier que pour tout n 0, T n + 1 = 0,8 T n Comme on introduit par alevinage 00 truites chaque année, sans qu il y ait de pertes sur ces truites, le nombre de truites est toujours diminué de 0 %, mais on doit y ajouter 00, donc pour tout n 0, T n + 1 = 0,8 T n + 00 c. Soit u n = T n 1000 pour tout n 0. Déterminer la nature de la suite (u n ). u n = T n 1000 pour tout n 0 donc u n + 1 = T n = 0,8 T n = 0,8 T n 800 = 0,8 (T n 1000) u n + 1 = 0,8 u n La suite (u n ) est donc géométrique de raison q = 0,8. d. Eprimer u n en fonction de n. u n = u 0 0,8 n avec u 0 = T = = 800 u n = 800 0,8 n e. En déduire T n en fonction de n, puis justifier que la disparition des truites est enrayée. Eercice n 8 u n = T n 1000 donc T n = u n = 800 0,8 n pour tout n 1, T n + 1 T n = 800 0,8 n ( 800 0,8 n ) T n + 1 T n = 800 (0,8 n + 1 0,8 n ) = 800 0,8 n (0,8 1) = 800 0, 0,8 n T n + 1 T n = 160 0,8 n et 0,8 n > 0 pour tout n IR donc pour tout n 1, T n + 1 T n > 0 d où T n + 1 T n par conséquent la disparition des truites est enrayée. Calculer, en justifiant vos calculs, la somme : S = S est la somme des termes consécutifs d une suite géométrique de premier terme u 0 = 16 et de raison 4. Le terme général de cette suite est u n = 16 ( 4) n Soit n tel que u n = , on a donc 16 ( 4) n = ainsi ( 4) n = d où n = 9. On a donc S = u 0 = 16 =

6 Eercice n 9 (9 points) Une entreprise fabrique des casseroles de contenance 5 L en utilisant le moins de métal possible. désigne le rayon du disque intérieur et h la hauteur de la casserole en cm. a) Eprimer h en fonction de. On sait que le volume V est égal à 5L, soit cm 3 Or V = h d où h = h = b) On note S() la somme de l aire latérale et de l aire du disque intérieur en cm. Démontrer que : S() = + S() = h + = = = c) Etudier les variations de la fonction S sur ]0 ; + [. On calcule la dérivée de la fonction S : S'() = = On étudie le signe de S'() : pour tout ]0 ; + [, > 0 et S'() est du signe de son numérateur. Or la fonction 3 est croissante sur IR et > 0, donc la fonction est croissante sur IR. D où > > > On en déduit le tableau de variations de la fonction S : avec = et S ( ) 184,75 11,675 d) Déterminer une valeur approchée de au mm près pour laquelle la quantité de métal utilisée est minimale. La quantité de métal utilisée est minimale lorsque l aire S () est minimale, c est-à-dire pour égal à environ 11,7 cm. Eercice n Signe de S'() 0 + Variations de S S ( ) (6 points) Un jeu consiste à lancer deu dés cubiques équilibrés. Un joueur mise 1 euro et récupère 4 euros s il fait un double 5, il récupère 3 euros s il ne fait qu un seul 5, et perd sa mise dans les autres cas. On appelle G le gain algébrique du joueur. 1) Déterminer la loi de G. A l aide d un arbre on trouve : ) Quelle est l espérance de G? Que peut-on en déduire? E(G) = ( 1) = G i 3 1 Le jeu n est donc pas équitable, et puisque E(G) <0, il est défavorable au joueur. 3) Déterminer une valeur approchée au centième de la variance de G. V(G) = (3 ) + ( ) + (( 1) ) = ,05 4) Que faudrait-il que le joueur récupère en cas de double 5, en ne changeant pas les autres gains, pour que le jeu devienne équitable? Soit le gain du double 5, on a donc : E(G) = ( 1) + + ( 1) = = Le jeu sera équitable si E(G) = 0 c est à dire si = 6. p i h

7 Eercice n 11 (7 points) ABCD est un carré de coté 6. I et J sont des points tels que = 1 et = ) On se propose de démontrer que les droites (AI) et (BJ) sont perpendiculaires. En se plaçant dans un repère d origine D bien choisi, donner, sans justifier, les coordonnées des points A, I, B et J puis conclure. Dans le repère ( D ; ; ) qui est orthonormé, on a : A(0 ; 6), I( 6 ; 4), J( 4 ; 0) et B(6 ; 6). Ainsi donc Ainsi De même, on trouve : Le repère étant orthonormé, on a = 6 ( ) + ( ) ( 6) = = 0 Les vecteurs et sont donc orthogonau et les droites (AI) et (BJ) sont bien perpendiculaires. ) a) Par la méthode de votre choi, déterminer où placer le point M sur (BC) afin que (AM) soit une hauteur du triangle AIJ. Soit M un point de (BC), ses coordonnées sont donc (6 ; y) où y est un réel. (AM) soit une hauteur du triangle AIJ si (AM) est perpendiculaire à (IJ), c'est-à-dire si = 0 Eercice n 1 Or et d où =0 6 ( ) + (y 6) ( 4) = 0 b) Déterminer une équation cartésienne de cette hauteur. 1 4y + 4 = 0 4y = 1 y = 3 Donc M est le milieu de [BC]. est un vecteur directeur de cette hauteur donc elle a une équation du type : 3 6 y + c = 0 Or A appartient à cette droite donc 3 A 6 y A + c = 0. Soit c = 0, donc c = 36 Ainsi, 3 6 y + 36 = 0 est une équation de cette hauteur. ( 7 points) ABCD est un rectangle tel que : AB= 6 et AD=. On appelle I et J les projetés orthogonau de D et B sur (AC). 1) A l aide de la relation de Chasles, calculer. = ( + ).( + ) = = 0 AB CD + BC BC + 0 = = 3 ) En déduire la longueur IJ puis une valeur approchée au degré près d une mesure de l angle (, ) Par projection orthogonale, on a. =. = AC IJ. Or d après le théorème de Pythagore dans ABC rectangle en B, on montre que : AC² = = 40 d où AC = Ainsi. = 3 = AC IJ, donc 3 = IJ, c'est-à-dire IJ = = = Par la formule trigonométrique du produit scalaire, on trouve aussi :. = AC BD cos (, ) cos (, ) cos (, ) = d où (, ) 143

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