Chapitre 3 Produit scalaire. T ale STI2D. Un peu d'histoire

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1 Un peu d'histoire Le produit scalaire est une notion de géométrie euclidienne découverte tardivement par Camille Jordan ( ). Né à Lyon, cet élève de l'école polytechnique entre major avec la note de 19,8 sur 20. Ses travaux majeurs portent sur la théorie des groupes, l'algèbre linéaire, la théorie de l'intégration et l'étude des courbes. Aujourd'hui, il trouve des applications en physique pour modéliser le travail d'une force ou en géométrie pour démontrer des orthogonalités. Rappel sur les vecteurs Définition : Un vecteur u, non nul, est défini par une direction, un sens et une longueur ou norme notée u. Propriétés : AB= CD ABDC est un parallélogramme. Relation de Chasles : Soit trois points A, B et C non alignés, alors AB BC= AC. Définition : Multiplication d un vecteur par un réel On définit le vecteur k u où k R par : la même direction que celle du vecteur u. si k > 0, les vecteurs u et k u ont le même sens si k < 0, les vecteurs u et k u sont de sens différent. la norme de k u est k fois celle de u : k u = k u. Définition : On dit que deux vecteurs et sont colinéaires lorsqu il existe un nombre réel k tel que v=k u. Cela signifie que les deux vecteurs u et v ont la même direction

2 Propriété : Soit un repère du plan O ; i, j, A x A, y A et B x B, y B deux points. Les coordonnées du vecteur AB sont x B x A y B y A. Rappel sur les angles orientés et sur le radian Définition : On considère deux vecteurs u= AB et v= AC. On peut alors définir l'angle entre ces deux vecteurs comme étant l'angle orienté u, v = BAC. L'unité d'angle utilisée est le radian. La mesure peut être positive ou négative suivant le sens dans lequel on tourne. Propriété : Les angles orientés sont définis à un nombre entier de tours près, c'est à dire à 2 kπ rad près, k comptant le nombre de tours fait dans un sens ou dans l'autre. I Le produit scalaire Théorème : 1 ère formule Soient u et v deux vecteurs non nuls, le produit scalaire de u par v est le nombre réel : u. v= u v cos, où θ est une mesure de l'angle u, v. Théorème : 2 ème formule Soit un repère orthonormé O ; i, j et deux vecteurs u x v s'écrit alors : u. v=x x' y y' y et v x ' y ', le produit scalaire de u par Remarques : Vous avez déjà appris à multiplier un nombre avec un vecteur. Attention, le produit scalaire n'est pas la même opération! La multiplication entre un nombre et un vecteur est un vecteur. Le produit scalaire entre deux vecteurs donne pour résultat un nombre réel

3 Exercice 1 : Exercice 2: - 3 -

4 Propriété : Soient u, v et w trois vecteurs et k un nombre réel. On a alors : u. v= v. u (commutativité) u v w = u. v u. w (distributivité) u. k v =k u. v Exercice : Théorème : Soit u et v deux vecteurs non nuls. u et v sont orthogonaux si et seulement si u. v=0. On note alors u v. Exercice : - 4 -

5 II Application du produit scalaire 1. Le théorème d'al Kashi BC. BC=BC 2 =a 2. D'autre part, d'après la relation de Chasles, on a aussi : a 2 = BA AC. BA AC = BA. BA BA. AC AC. BA AC. AC =c 2 AB. AC AC. AB b 2 en utilisant la propriété sur les vecteurs opposés =b 2 c 2 2 AB. AC =b 2 c 2 2 AB AC cos BAC d'après la définition du produit scalaire. =b 2 c 2 2 b c cos BAC Théorème : Quel que soit le triangle ABC, on a : a 2 =b 2 c 2 2 b c cos BAC Ce théorème d'al Kashi ( ) généralise celui de Pythagore. En effet, dans un triangle rectangle en A, cos A =cos 2 =0. L'égalité devient donc a2 =b 2 c 2. Ce théorème est utilisé en triangulation par relevé de distance utilisant l intensité ou la vitesse d un signal comme par exemple en topographie. Une autre formule du même type est démontrable à l'aide du produit scalaire. Formule des sinus : En reprenant les notations de la figure précédente, a sin A = b sin B = c sin C 2. Formules de trigonométrie Le plan est muni d'un repère orthonormé O ; u, v. On rappelle que le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct. On considère deux points A et B du cercle trigonométrique. On note a une mesure de l'angle orienté u, OA et b une mesure de l'angle u, OB

6 Formules d'addition A partir de la première formule, et à l'aide des propriétés des fonctions sinus et cosinus, on démontre les formules suivantes. Pour tous réels a et b, on a : cos a b =cosa cos b sin a sin b ; sin a b =sin a cos b sin b cos a ; cos a b =cosa cos b sin a sin b ; sin a b =sin a cosb sin b cos a. Écrire la première formule pour a = b. Utiliser la relation cos 2 a sin 2 a=1, pour écrire cos(2a) uniquement en fonction de cos a, puis uniquement en fonction de sin a. Déterminer une formule de duplication pour le sinus. Formules de duplication Pour tout réel a, on a : cos(2a) = cos 2 a sin 2 a=1 2sin 2 a=2cos 2 a 1 sin 2a =2sin a cos a Formules de linéarisation cos 2 a= 1 cos 2a 2 sin 2 1 cos 2 a a= 2-6 -

7 III - Application au calcul avec les nombres complexes 1. Produit et quotient sous forme trigonométrique z 1 Argument z 2 Argument z 1 z 2 Argument 1 i i i 1 i 3 i 1 3 i 2 2 Quel conjecture peut-on faire sur l'argument du produit z 1 z 2? Dans le plan complexe, soit M l'image d'un nombre complexe non nul z = a + ib. Le repère orthonormé O ; u, v est orienté dans le sens direct. Théorème : Soient z = [r; θ] et z' = [r'; θ'] deux nombres complexes sous forme trigonométrique. On a : z z' = [r; θ] [r'; θ'] = [rr'; θ + θ'] Démonstration : Exemple : Si z=[ 4; 3 ] et si z '=[ 8; 6 ], que vaut zz'? - 7 -

8 1 ère conséquence : Soient z = [r; θ] et z' = [r'; θ'] deux nombres complexes sous forme trigonométrique. On a : 1 z =[ 1 r ; ] z z' =[ r ; ' ] r ' Exemple : Si z=[ 4; 3 ] et si z ' =[ 8; 6 ], que vaut z z'? 2 ème conséquence : Pour tout nombre complexe z = [r; θ] et pour tout nombre entier n, on a z n =[ r n ; n ]. Exemple : Si z=[ 4; 3 ], que vaut z 3? 2. Forme exponentielle Notation : Pour tout nombre réel θ, on pose cos i sin =e i Définition : Pour tout nombre complexe z non nul de module r et d'argument θ, on écrit z=r e i. Cette écriture est appelée forme exponentielle du nombre complexe z. Exemple : Le nombre [ 7; 4 3 ] s'écrit sous forme exponentielle 7e i 4 3 que l'on écrira aussi 7e i 4 3. Exercice : On considère les deux nombres complexes z 1 =2e i 3 1. Calculer le produit z 1 z 2. z 1 2. Calculer le quotient. z 2 3. Calculer le conjugué de z 1. et z 2 =4e i 6. Théorème : D'après les calculs précédent avec la forme trigonométrique, on a : e i e i ' i ' e =e i e i ' =ei ' - 8 -

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