Mathématiques. Devoir de Synthèse N 3. Exercice N 1 : 4,5. Enseignant : Ghadhab Lassad. Le sujet comporte 3 pages

Transcription

1 Devoir de Sthèse ème Maths : M Date : le 0 / 0 / 00 Durée : heures oefficiet : Eseigat : hadhab Lassad Le sujet comorte ages Eercice : oits L esace est mui d u reère orthoormé de ses direct ( A i j k) ; O cosidère le aralléléiède ABDEFH tel que AB i AD j et AE k E J H ) Vérifier que A i j k ) Soit les oits I et J milieu resectives des arrêtes [ B ] et [ EH ] Soit K le oit défiie ar : EK AB a Détermier les coordoées de I et J et 0 vérifier que K a our coordoées ( ) F B K k A i I j D 0 b Détermier les comosates des vecteurs KI et KJ et vérifier que KI KJ i j k ) a alculer l aire du triagle IJK b alculer le volume du tétraèdre IJK c E déduire la distace de au la ( IJK ) ) Ecrire ue équatio cartésiee du la ( IJK ) le oit tel que ( IJK ) est le la médiateur de segmet [ ] orthogoal de sur le la ( IJK ) ) Soit a Motrer que a our coordoées b E déduire les coordoées du oit et le rojeté 0 Devoir sthèse /

2 Eercice : oits L esace est raorté à u reère orthoormé directe ( O i j k) d équatio cartésiee : 0 et u oit ( ) ; O cosidère le la P A ) Détermier ue rerésetatio aramétrique d ue droite qui asse ar A et erediculaire à P 0 ) La droite coue P e u oit H a Détermier les coordoées du oit H b Ecrire ue équatio cartésiee de la shère S de cetre A et tel que où ζ est u cercle de cetre H et de rao r S P ζ H 0 Eercice : I Soit g ue foctio défiie sur [ ; [ 0 ar g ( ) ( ) ) a Motrer que our tout [ 0; [ ( ) g b Dresser le tableau de variatio de g 0 0 ; 08 g > our [ 0 ;[ < ; 0 ar : f ( ) ) a Motrer que l équatio g ( ) 0 admet ue solutio uique das [ ; [ b Vérifier que ] [ c E déduire que : ( ) 0 et g ( ) 0 our ] [ II O cosidère la foctio f défiie sur [ ; [ Soit ζ f sa courbe rerésetative das u reère orthoormé R ( O i j ) ) a Détermier lim f ( ) oits b Motrer que our tout [ 0; [ : ( ) c E déduire le tableau de variatio de f sur [ ; [ g( ) f ( ) 0 ) Soit D la droite d équatio a Motrer que D est asmtote à ζ au voisiage de b Motrer que our tout [ 0; [ f o a : < 0 c E déduire la ositio relative de ζ f ar raort à D ) a Motrer que : ( où est le réel trouvé das I ) b E déduire que f ( ) ) Tracer D et ζ f (o red 0 ) ( uité cm) Devoir sthèse / I II 0 0

3 Eercice : oits Ue ure U cotiet boules idiscerables au toucher réarties comme suit : blaches umérotées : 0 0 et rouges umérotées : ) O tire simultaémet et au hasard boules de l ure U a Quelles est la robabilité de chacu des évéemets suivats : A : «obteir ue seule boule blache» B : «obteir eactemet deu boules ortat u uméro suérieur ou égale à 0» b alculer : ( A B) P ) O tire successivemet et sas remise boules de l ure U Quelles est la robabilité de chacu des évéemets suivats : S : obteir quatre boules ortat des uméros dot la somme est ulle : obteir ue boule blache au ème tirage et ue boule rouge au ème tirage 0 ) Ue ure U cotiet boules umérotées : O tire au hasard ue boule de l ure U uis ue boule de U O désige ar a le uméro iscrit sur la boule tirée de U et ar b celui de la boule tirée de U O cosidère P le la comlee raorté à u reère orthoormé R ( O u v) Soit M u oit du la d affie Z a ib alculer la robabilité de chacu des évèemets suivats : : M est u oit de la droite ( O u) et distict de O H : M est u oit du cercle ζ de cetre O et de rao 0 Eercice : oits (les arties I II et III sot idéedates) I ) Motrer que our tout * * ( ) est divisible ar a) E utilisat le théorème de récurrece sur l etier b) E utilisat la formule du biôme de ewto 00 ) E déduire le reste de la divisio euclidiee de ar 9 II Détermier les ombres remiers tels que divise 8 0 (Utiliser le etit théorème de Fermat) III Soit *\{ } O ose A et B ) Déveloer : ( )( ) ) Motrer que A B A ) Quelles sot les valeurs ossibles de A B ) Pour quelles valeurs de le ombre F est-il u etier aturel? Devoir sthèse / 0 0

4 ème maths ORRETIO DU DEVOIR DE SYTHÈSE EXERIE : AB AD AE i j k ( ) ) A A ) a-o a I ( 0) J ( 0 ) et k ( 0) b- O a : KI et KJ 0 0 KI KJ dét KI KJ K KI KJ K ) a- aire ( IJK ) KI KJ b- V ( IJK) ( ) ( ) 0 0 V c- V aire( IJK ) d( ( IJK )) d ( ( IJK )) aire ) Soit KI KJ u vecteur ormal de( IJK ) ( ) ( IJK ) ( 0) ( IJK ) M I alors d 0 alors 8 d 0 0 d 0 D où 0 0 d 0 ) a- O a et O a alors et sot coliéaires 8 ( IJK ): 0 et O a 0 ( IJK ) ( IJK ) ( IJK ): 0 orrectio devoir de sthèse

5 ème maths orrectio devoir de sthèse oclusio : est le rojeté orthogoal de sur ( ) IJK b-( ) IJK est le la médiateur de [ ] et le rojeté orthogoal de sur( ) IJK alors * 8 8 ) Soit u vecteur ormal de P P est u vecteur directeur de P doc ( ) A D Soit ( ) M si et seulemet si il eiste IR tel que AM si et seulemet si IR ; ) a- ( ) P M 0 équivaut 0 équivaut équivaut équivaut H EXERIE EXERIE EXERIE EXERIE :

6 ème maths b- S P ζ alors Avec d( A P) H r R d éq r R d d R Alors ue équatio du shère S est :( ) ( ) ( ) éq R r d R r d EXERIE : I-) a- a est dérivable et strictemet ositive sur[ 0 [ Alors a est dérivable sur [ [ alors g ( ) ( ) O a [ 0 [ b- [ 0 [ ( ) 0 0 Doc g est dérivable sur[ 0 [ ( ) ( ) ( ) ( ) g 0 Tableau de variatio : 0 g ( ) g( ) lim lim g ( 0 ) lim g )a- g est cotiue et strictemet décroissate sur[ [ 0 doc ( ) 0 Or ] ] b- o a : g ( 0) 0 8 et g ( 08) 0 orrectio devoir de sthèse 0 et g ([ 0 [ ) ] ] g admet ue uique solutio [ 0 [ g ( 0) g( 08) < 0 alors ] 0;08[

7 ème maths c- g est cotiue et strictemet décroissate sur [ 0 [ et g ( ) 0 0 g( ) II- a- lim f ( ) lim lim ar lim b- f ( ) ( ) ( ) ( ) c- Le sige de f ( ) ( ) ( ) ( ) g ( ) ( ) déed de celui de g ( ) our [ 0 [ Tableau de variatio f ( ) f 0 ( ) f ( ) ) a- f ( ) lim ( f ( ) ) lim 0 : est ue asmtote àζ f au ( ) ; < éq < éq < éq < 0 b- O a [ 0 [ orrectio devoir de sthèse

8 ème maths f c- ( ) ( ) < 0 [ 0 [ Alors ζ f est au dessous de ) a- O a g ( ) 0 ( ) 0 ( ) f b- O a ( ) ) : ( ) ourbe 0 f EXERIE : ) a- P ( A) P ( B) 0 b- P ( A B) P ( A B) P( A) P( B) P( A B) 0 orrectio devoir de sthèse

9 ème maths ) ( 0 ) P 0 ou( 0)!! ou ( )!!!!! ( s) ( B R ) P ( ) ) M ( O u) { O} P ssi Z IR * ssi 0 et b 0 ( ) M ζ ( O ) a ( a 0 b 0) ssi OM Z a b a b ( a b ) ou ( ) P ( H ) EXERIE : I ) a) Soit la roriété P ( ) : our tout * ( ) Pour Soit : ( ) 0 et / 0 P( 0) 8 est vraie est divisible ar * suosos que /( ) motros que /( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d arés de récurrece divisible l hothèse ar divisible ar Doc /( ) ( ) ( ) P est vraie oclusio : our tout * ( ) est divisible ar orrectio devoir de sthèse

10 ème maths b) Pour 0 0 est divisible ar ( ) Pour o utilise la formule de biôme de ewto : ( ) 0 0 ( ) Doc our tout * ( ) est divisible ar ) O a : 9 alors : 00 et ( ) est divisible ar D arès ) o a : ( ) ( 0) 0 00 ( 0) 0 9 divisible ar 9 divisible ar 9 Le reste est égal à : II est remier alors d arès le etit théorème de Fermat : / 8 8 O a : O a : / 8 / / 8 /( 8 0) ( 8 8) D { 8 } doc { } 8 III ) ( )( ) ) A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) A orrectio devoir de sthèse

11 ème maths d alors d D { } ) Soit A B A ) F est u etier aturel si et seulemet si ( ) /( ) Alors ( ) ( ) ( ) ( ) doc ( ) / eut doc redre les valeurs : ; ;;; ; Les valeurs de qui covieet sot ;; ;; ; orrectio devoir de sthèse