Examen de trigonométrie et calcul numérique Admission UCL juillet 2017

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1 Examen de trigonométrie et calcul numérique Admission UCL juillet 2017 L'examen de trigonométrie et calcul numérique se passe en deux parties : 1. Première partie : Durée : de 9h30 à maximum 11h00. Cette partie comporte 2 questions, auxquelles vous devez répondre exclusivement sur les feuilles du questionnaire (y compris le verso). En cas de nécessité, demandez une feuille supplémentaire aux surveillants, qui vous en fourniront. L'emploi de feuilles de brouillon autres que celles fournies est interdit. L'emploi de calculettes est également interdit pour cette partie. Lorsque vous avez terminé cette partie, vous pouvez appeler un surveillant pour remettre vos feuilles et déjà commencer la 2 e partie. A 11h00, les surveillants passeront dans les rangées pour ramasser les feuilles restantes. Ne vous déplacez pas. 2. Deuxième partie: Durée: jusqu à 12h00. Cette partie comporte une seule question (question 3). Pour cette question, vous pouvez utiliser une calculette (une calculette scientifique non programmable suffit), ainsi que des feuilles de brouillon (feuilles blanches, éventuellement quadrillées) de votre choix. Recommandations générales : N'oubliez pas d'inscrire vos nom, prénom et numéro d'inscription sur chaque feuille utilisée. Les précisions sur les questions sont à poser aux responsables de cet examen: MM. J.-F. Remacle et E. De Jaeger, qui circuleront dans les différents auditoires. En cas de nécessité, faites-les appeler par les surveillants. La résolution des questions ne requiert que l'utilisation des formules de base, dont la liste est rappelée ci-dessous. Toute autre formule utilisée sera explicitée, et les éléments de sa démonstration seront indiqués. Formules de base de la trigonométrie : La formule fondamentale : sin 2 a + cos 2 a Formules donnant : sin (-a), cos (-a), tan (-a); sin (π±a), cos (π±a), tan (π±a), sin (π/2±a), cos (π/2±a), tan (π/2±a), sin (a±b), cos (a±b), tan (a±b), sin 2a, cos 2a, tan 2a; 1 ± cos 2a, sin a, cos a, tan a en fonction de tan a/2. produits et sommes de cos, sin et tan. Les transformations de a cos x + b sin x en E cos (x+p). Les relations entre les angles et côtés d'un triangle rectangle et d'un triangle quelconque (règles des sinus et règles en cosinus).

2 Trigonométrie et calcul numérique Admission UCL juillet 2017 Question 1 : 1. Résolvez l équation suivante : 2 sin xx + cos xx = 2 sin² xx tan xx 2 2. Représentez sur le cercle trigonométrique les solutions comprises entre -π et π

3 Trigonométrie et calcul numérique Admission UCL juillet 2017 Question 2 : Cochez chaque fois l unique affirmation vraie parmi les possibilités. Réponse juste = 1 point ; autre réponse = 0. Lorsque l élévation du soleil au-dessus de l horizon est de 60, l ombre d une tour sur sol plat est longue de 80 m. Au départ de cette situation, de combien de degrés l élévation du soleil doit-elle varier pour que la longueur de l ombre devienne égale à 240 m? On considère un trapèze ABCD, rectangle en A, et dont le côté oblique CD est perpendiculaire à la petite diagonale AC. Ce même côté oblique fait avec la grande base AD un angle de 30. L aire de ce trapèze, exprimée en fonction de la longueur d de la petite diagonale, est égale à : 3dd dd dd 2 dd dd 2 L expression arctan arctan 7 1 est égale à : 3 ππ 3 3ππ ππ ππ aucune de ces valeurs Dans le triangle ABC représenté ci-dessous, la hauteur AD est coupée en son milieu H par la hauteur CE. Que peut-on affirmer? tan BB tan CC = 2 tan BB tan(aa + BB) = 2 tan BB tan CC = 0.5 tan BB = tan CC L expression sin 7uu sin 5uu 2 cos 5uu sin 2uu est identiquement égale à : 2 cos uu sin 4uu cos 4uu 2 cos6 uu sin 2uu 2 cos 4uu cos ππ uu 1 2

4 Trigonométrie et calcul numérique Admission UCL juillet 2017 Question 3 : Deux églises A et C sont situées de part et d autre d une place horizontale. Les clochers de ces deux églises sont représentés respectivement par les segments AB et CD. Les bases de ces clochers sont séparées d une distance k. Un observateur placé au point C voit le sommet B du clocher opposé sous un angle BCA. De même, un observateur situé au point A voit le sommet D du clocher opposé sous un angle DAC valant la moitié de l angle BCA. La somme des angles BEA et DEC sous lesquels un observateur placé au point E voit respectivement les sommets B et D est égale à 90. Si la distance k vaut 60m, déterminez la hauteur des deux clochers AB et CD.

5 Examen de trigonométrie et calcul numérique Admission UCL septembre 2017 L'examen de trigonométrie et calcul numérique se passe en deux parties : 1. Première partie : Durée : de 9h30 à maximum 11h00. Cette partie comporte 2 questions, auxquelles vous devez répondre exclusivement sur les feuilles du questionnaire (y compris le verso). En cas de nécessité, demandez une feuille supplémentaire aux surveillants, qui vous en fourniront. L'emploi de feuilles de brouillon autres que celles fournies est interdit. L'emploi de calculettes est également interdit pour cette partie. Lorsque vous avez terminé cette partie, vous pouvez appeler un surveillant pour remettre vos feuilles et déjà commencer la 2 e partie. A 11h00, les surveillants passeront dans les rangées pour ramasser les feuilles restantes. Ne vous déplacez pas. 2. Deuxième partie: Durée: jusqu à 12h00. Cette partie comporte une seule question (question 3). Pour cette question, vous pouvez utiliser une calculette (une calculette scientifique non programmable suffit), ainsi que des feuilles de brouillon (feuilles blanches, éventuellement quadrillées) de votre choix. Recommandations générales : N'oubliez pas d'inscrire vos nom, prénom et numéro d'inscription sur chaque feuille utilisée. Les précisions sur les questions sont à poser aux responsables de cet examen: MM. J.-F. Remacle et E. De Jaeger, qui circuleront dans les différents auditoires. En cas de nécessité, faites-les appeler par les surveillants. La résolution des questions ne requiert que l'utilisation des formules de base, dont la liste est rappelée ci-dessous. Toute autre formule utilisée sera explicitée, et les éléments de sa démonstration seront indiqués. Formules de base de la trigonométrie : La formule fondamentale : sin 2 a + cos 2 a Formules donnant : sin (-a), cos (-a), tan (-a); sin (π±a), cos (π±a), tan (π±a), sin (π/2±a), cos (π/2±a), tan (π/2±a), sin (a±b), cos (a±b), tan (a±b), sin 2a, cos 2a, tan 2a; 1 ± cos 2a, sin a, cos a, tan a en fonction de tan a/2. produits et sommes de cos, sin et tan. Les transformations de a cos x + b sin x en E cos (x+p). Les relations entre les angles et côtés d'un triangle rectangle et d'un triangle quelconque (règles des sinus et règles en cosinus).

6 Trigonométrie et calcul numérique Admission UCL septembre 2017 Question 1 : 1. Résolvez l équation suivante en spécifiant les conditions d existence : 2 sin²(xx) cot xx + sin(3xx) + sin xx = 0 2. Représentez sur le cercle trigonométrique les solutions comprises entre -π et π

7 Trigonométrie et calcul numérique Admission UCL septembre 2017 Question 2 : Cochez chaque fois l unique affirmation vraie parmi les possibilités. Réponse juste = 1 point ; autre réponse = 0. Dans le triangle ABC, rectangle en A, on a la relation suivante : a + c = b tan B 2 a c = b tan B 2 a = c tan A 2 a c = b tan A C 2 Dans un losange, si la mesure d un des angles est de 60 et si la somme des longueurs des diagonales est égale à 16 m, alors la longueur des côtés est 2 3 [m] [m] [m] [m] Si tan x = b, alors a cos 2x + b sin 2x est égal à: a a + b 2a a aucune de ces valeurs Si dans un triangle C = 2π 3 et a = 3 1, alors b 2 B = π/2 B = π/3 B = π/4 B = π/6 L expression sin 78 sin 18 + cos 132 est égale à : 1/2-1 3/2 0

8 Trigonométrie et calcul numérique Admission UCL septembre 2017 Question 3 : Trois cercles de centres A, B et C ont pour rayons respectifs ra=50cm, rb=30cm et rc=20cm. Ces trois cercles sont tangents deux à deux (voir Figure). Calculez l aire s de la surface grise comprise entre les trois cercles. La différence entre votre réponse et la vraie valeur de s devra être plus petite en valeur absolue qu un mm 2.