LOI DE PROBABILITE CONTINUE

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1 LOI DE PROBABILITE CONTINUE I) VERIFIER LES ACQUIS ( voir le chpitre des probbilités) 1) Clculer l moyenne, l vrince et l'écrt-type de ces deux séries sttistiques x i effectifs x = y i fréquences 0,1 0,4 0,2 0,3 y = V = V = = = 2) On lnce 3 fois de suite un dé tétrédrique équilibré dont les fces sont numérotées 1, 2, 3,4. On ppelle X l vrible létoire représentnt le nombre de fois où le 1 est sorti. ) Préciser l nture de X et ses prmètres. b) Pour x i {0;1;2;3}, donner l formule qui clcule P X=x i = Compléter à l'ide de l clcultrice le tbleu suivnt : x i P X=x i c) Clculer l moyenne x, l vrince V(X) et l'écrt-type (X) de X.

2 d) Soit Z l vrible létoire Z= X x X = X np np 1 p = ; compléter le tbleu suivnt : x i z i P Z=z i Clculer l moyenne, l vrince et l'écrt-type de Z. 3) Représenter l'histogrmme de l loi binomile B( 10;0,4) ( le rectngle ABCD représentnt 0,01) xi p(x=xi) 0, , , , , , , , , , ,00010 D A C B x

3 II) INTRODUCTION ET DEFINITIONS 1) Introduction Qund l univers est un intervlle Jusqu à présent, chque vrible létoire X conduisit à un univers imge fini et chque vrible létoire prenit un nombre fini de vleurs. Il s gissit donc toujours de définir une loi de probbilité P sur un ensemble fini X( ) = { x 1 ; x 2 ;... ;x n } et il suffisit de déterminer les n réels P(X= x 1 ) ; P(X= x 2 )... P(X= x n ). Mis il rrive ussi que les résultts d une vrible létoire puissent être n'importe quel nombre d un intervlle I de R. Pr exemple : l durée des communictions téléphoniques sur un mois. Dns ce cs, il n est plus question de définir une loi de probbilité en se donnnt l probbilité de chque élément de I (elle serit d illeurs nulle! ) et de plus, les événement intéressnts ne sont plus obtenir tel ou tel réel mis plutôt obtenir un nombre entre et b. L définition d une loi de probbilité P sur I repose donc sur l notion de probbilité d un intervlle quelconque de I. exemple : On fit un sondge sur l durée des communictions téléphoniques pendnt un mois, puis on trce l histogrmme et le polygone des fréquences. L fréquence de [3;4] est l ire du rectngle hchuré heure Comme l somme des fréquences est 1 lors l somme des ires des rectngles est 1 UA. Si on ffine les résultts en les regroupnt dns des clsses de plus en plus petites, le polygone devient de plus en plus précis. Donc qund l lrgeur de l clsse tend vers 0, le polygone tend vers une courbe que l on ppelle courbe représenttive de l densité de probbilité y A y = f(x) 0 b 10 x en heure L fonction f s ppelle densité de probbilité et l ire hchurée est 1 UA. L probbilité pour que l consommtion soit entre et b est donc l ire A donc P( X b) = b f x d x

4 Définition 1 : 2) Définitions Une vrible létoire est dite continue si elle peut prendre toutes les vleurs d'un intervlle [ ; b] de R. Définition 2 : Ex : Soit I = [ ; b ] un intervlle de R. On ppelle fonction densité sur I toute fonction f définie sur I vérifint les trois conditions : l f continue sur I l f positive sur I b l f x d x =1 Définition 3 : Propriété : Propriété : Soit X une vrible létoire à vleur dns I = [ ; b ], munie d'une fonction densité. On définit l loi de probbilité P de densité f sur I en ssocint à tout intervlle [c;d] I le réel : P( X [c;d]) = P ( c X d ) = f x d x c On dit que P est une loi de probbilité continue à densité f sur I. P( X = c ) = 0 P(X > c ) = 1 P ( X c ) = 1 c f x d x Pour une vrible létoire de densité f sur [;b], l'espérnce est : b E(X) = xf x d x d Exemples : III) LA LOI UNIFORME Définition : On dit qu'une vrible létoire suit l loi est uniforme sur [;b] si s densité est une fonction constnte k..il fut donc k(b-) = 1 d'où k= 1 b Conséquence: On ppelle loi uniforme sur I = [;b] l loi de probbilité continue sur I dont l densité f est l fonction constnte égle à f x = 1 b.

5 Propriété : Démons : Pour cette loi, l probbilité de l'intervlle [, ] I est P(X [, ]) = b est E X = b 2 et son espérnce Exercices : IV) LOI NORMALE CENTREE REDUITE : N (0;1) Utiliser le fichier géogébr : '' loi binomile '' pour expliquer ce qui suit : Soit X une vrible létoire qui suit une loi binomile B(n;p). Si l'on fixe p et que l'on fit ugmenter n, l'histogrmme représentnt les vleurs prises pr X semble se rpprocher d'une «courbe en cloche»; Si l'on chnge p, l «courbe en cloche» chnge de crctéristiques ( huteur et étlement) En revnche, si on considère l vrible létoire Z = Z= X x X = X np, on s'perçoit que, quel que np 1 p soit p, l courbe en cloche est toujours symétrie pr rpport à l'xe des ordonnées. De plus le mthémticien Abrhm de Moivre ( XVII e ) montré que l courbe qui représente cette «courbe en cloche» est l représenttion de l fonction définie sur Rpr f x = e x / 2 Définition : Une vrible létoire X suit une loi normle centré réduite si s fonction densité est l fonction définie sur Rpr f x = e x / 2 elle se note N (0;1) Dns ce cs l'espérnce est E(X)= = 0 et son écrt-type est = 1

6 Propriétés : b P( X b ) = f x d x L'ire sous l courbe est 1 : elle représente P(X ] ; [ ) L courbe est symétrique pr rpport à l'xe des ordonnées donc P(X [ 0; [ ) = 1 2 P( X u) = P( X -u) donc P( X - u) = 1 P ( X u ) Utilistion de l clcultrice pour clculer Soit X une vrible létoire qui suit l loi normle centrée réduite, clculer : P(-1,96 X 1,96) 0,95 P( X 1) 0,8413 P ( X 0,5 ) 0,3085 Remrques : pour P( X 1) progrmmer P( X 1) et pour P ( X 0,5 ) progrmmer P( 0,5 X ) Intervlles prticuliers à connître P( X [-1;1] ) 0,68 P( X [-1,96;1,96] ) 0,95 P( X [-2;2] ) 0,954 P( X [-3;3] ) 0,997 Exercices : V) LOI NORMALE N ( ; 2 ) Définition : Dire qu'une vrible létoire X suit une loi normle N ( ; 2 ) signifie que l vrible létoire T= X suit une loi normle N (0;1)

7 Propriétés (dmise): Si une vrible létoire suit une loi normle N ( ; 2 ), lors son espérnce est, s vrince est 2 et son écrt-type est. Remrque : l fonction de réprtition n'est ps u progrmme. Influence des prmètres : Les intervlles à connître: Si une vrible létoire suit une loi normle N ( ; 2 ) lors l vrible létoire T= X normle N (0;1) donc P( - X + ) =... = P ( -1 T 1) 0,68 suit une loi P( - X + ) 0,68 P( - 2 X + 2 ) 0,954 P( - 3 X + 3 ) 0,997 Exercices :

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