MÉCANIQUE TRAITEMENT DU SIGNAL. polycopié de cours. MASTER sciences et technologies MEI 801. C. Aristégui

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1 MÉCANIQUE ET INGÉNIERIES MASTER sciences et technologies TRAITEMENT DU SIGNAL polycopié de cours MEI 8 C. Aristégui

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3 Master S&T Mécanique et Ingénieries Département de Mécanique UFR de Physique Université Bordeaux «Traitement du signal» (UE MEI 8) C. Aristégui () () Laboratoire de Mécanique Physique UMR CNRS 5469 Université Bordeaux, France

4 Pourquoi un cours de traitement du signal? parce que les concepts «universels» du TS, tels que l analyse de Fourier, la convolution de signaux, la corrélation, le filtrage devraient faire partie de ma culture générale de mécanicien parce qu en tant que «mécanicien» je seraiun jour amené à traiter informatiquement des données expérimentales (traitement de signaux numériques ) ou faire du traitement d images (état de surface, analyse temps-fréquence ) Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26)

5 Plan Introduction Signaux et systèmes linéaires Analyse spectrale Filtrage Échantillonnage Bibliographie B. Audoin, Cours Traitement du signal, DEA de Mécanique, Université Bordeaux J.-L. Crowley, Cours Traitement du signal, ENSIMAG, INP Grenoble T. Heiser, Cours Traitement du signal, Licence de Physique, Université Louis Pasteur Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 2

6 Introduction Définitions Signaux Évolution d une «grandeur physique» traduisant le comportement d'un système Signal Support d'information Ex. de grandeurs Tension et courant électrique, pression acoustique, intensité lumineuse Origine des signaux Capteurs (thermomètre, dynamomètre ) Bruit Phénomène perturbateur du point de vue de l'observateur Exemples onde acoustique courant électrique délivré par un microphone musique, parole suite de nombres SUPPORT mesures physiques INFORMATION Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 3

7 Introduction Théorie du signal Chaîne de transmission d'information Système physique en évolution signal Codage Canal Récepteur Détection Exploitation Sources de «bruit» Traitement du signal : SIGNAL + BRUIT Traitement du signal Transformation destinée à élaborer ou interpréter les signaux Classes de problèmes Génération ou interprétation de signaux Détection, estimation, déconvolution Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 4

8 Introduction Signal sinusoïdal T : période (s) ν = ( Hz ) T ( rad s) ω = 2 πν / λ : période (m) 2π k = rad m λ ( / ) phase à l origine? Signal périodique non sinusoïdal Signal non périodique Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 5

9 Introduction Superposition de signaux sinusoïdaux de fréquence n. ν, n entier et ν =/T Filtrage? Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 6

10 Introduction Signal périodique 2 4 y( x) = cosx + cos2x + cos 3x /T Signal non périodique T Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 7

11 Quelques applications Perçage Fz Mz Sylvain Laporte, Jean-Yves K'Nevez, LMP Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 8

12 Quelques applications Fraisage z F x (t) F y (t) F z (t) Raynald Laheurte, Olivier Cahuc, LMP Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 9

13 Quelques applications État de surface Skin modèle de la surface réelle profil extrait de la surface réelle par le rugosimètre Profil de surface Plan spécifié Profil de Rugosité Profil d'ondulation Période spatiale λs λc λf Denis Tessandier, LMP Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26)

14 Quelques applications Propagation y(t) r(t)? Vitesse de Propagation Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26)

15 2 Signaux et systèmes linéaires Classification des signaux Phénoménologique ; Énergétique ; Spectrale ; Morphologique. Quelques signaux et opérations élémentaires Impulsion de Dirac ou Fonction δ ; Fonction signe ; Saut unité ou échelon d Heaviside ; Signal rampe unité ; Signal rectangulaire ou Porte ou Créneau ; Signal triangulaire ; Suite périodique d impulsions. Systèmes linéaires et invariants Systèmes ; Réponse impulsionnelle ; Convolution. Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 2

16 2. Classification des signaux Périodique, pair, impair x( t) = x( t + kt) k avec x( t) = x( t) x( t) = x( t) Dimensionnelle Nombre de variables libres Exemples : Tension électrique V(t) = signal unidimensionnel. Image statique noir et blanc brillance B(x,y) = signal bi-dimensionnel. Phénoménologique Évolution déterministe ou aléatoire Signal déterministe (certain) : évolution «temporelle» peut être parfaitement prédite par un modèle mathématique approprié ; Signal aléatoire : comportement imprévisible description statistique. s s2 ( t) ( t) Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 3

17 2. Classification des signaux Énergétique Énergie finie ou puissance moyenne finie Signaux d énergie finie Tout signal physique Idéalisation exemple : signal sinusoïdal + st () 2 dt E < Signaux de puissance moyenne finie 2 lim st () dt T T T pt ( ) P T P moyenne < puissance instantanée puissance moyenne sur T Spectrale Fréquences (basses ) et bande (large ) Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 4

18 2. Classification des signaux : morphologique Signal numérisé pas de quantification pas d'échantillonnage Signal analogique original Signaux analogiques (infinité d'états), dépend d'une variable continue ; Signaux numériques (nbre limité d'états), les valeurs de la grandeur sont quantifiées. Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 5

19 2.2 Quelques signaux élémentaires sgn( t) H( t) - t sgn() t = pour t H() t = t + sgn( t) 2 r( t) Π( t) -,5,5 r( t) = t H( t) Π () t = H t + H t 2 2 A x( t) Λ( t) τ T/2 τ τ+t /2 t τ x() t = AΠ T - t, t Λ () t =, t > Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 6

20 2.2 Quelques signaux élémentaires A x( t) τ T/2 τ τ+t /2 t τ x() t = A Λ T Impulsion de Dirac ou Fonction delta sinct () = sin( πt ) πt Définition ( ) = ( + ) δ() = () δ( ) x t x t t t dt x t t t dt «Construction» t g () t = TΠ T / T T T δ ( t) /T Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 7

21 2.2 Quelques opérations élémentaires Translation τ g (t ) = f (t τ) f (t ) Opérateur de répétition Peigne de Dirac T T rept (x (t )) = + x (t kt ) δt (t ) = k = Échantillonnage xe (t ) = x (kt ) δ (t kt ) = x (t ) δ (t kt ) e k = + e k = x (t ) Te e k = Christophe Aristégui δ (t kt ) x (kte ) xe (t ) + + Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) kte 8

22 2.3 Systèmes linéaires et invariants Systèmes Toute entité ou appareil qui effectue une transformation sur un signal. et ( ) st ( ) Système Différentes situations expérimentales peuvent être décrites par ce schéma : S = système conçu pour réaliser une opération spécifique sur le signal filtrage, échantillonnage, amplification, modulation S = système physique étudié en mesurant sa réponse, s(t), à une «excitation» e(t) stabilité, temps de réponse, absorption, émission Exemples : amplificateur idéal, ligne à retard Propriétés : linéarité, invariance (ou stationnarité), causalité et ( ) = a e ( t) st ( ) = ( ) i i a s t i i i et ( ) = e( t T) st ( ) = s( t T) i Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 9

23 2.3 SLI : réponse impulsionnelle, convolution Réponse impulsionnelle h(t) réponse du système lorsqu il est soumis à une impulsion de Dirac δ(t) Réponse d un SLI à un signal quelconque Signal quelconque e(t) succession «d impulsions» e ( t) d amplitude variable d autant plus vraie que la durée des impulsions est courte. et ( ) e ( t) Réponse à une impulsion : h ( t) SLI! e ( t) ( ). ( ) e t h t τ e n ( t) e t h t τ n ( ). ( ) n t t τ τ n Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 2

24 2.3 SLI : réponse impulsionnelle, convolution Réponse d un SLI à un signal quelconque e ( t) h ( t τ) e ( τ) t τ t le signal de sortie est produit par la superposition des réponses à toutes les impulsions + s() t = e( τ) h( t τ) dτ = e() t h() t Propriétés : e( t) h( t) = h( t) e( t) Interprétation : + s() t = ( ) h τ e( t τ ) dτ «poids» de e(t-τ) dans s(t) signal d entrée τ secondes avant t Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 2

25 2.3 SLI : réponse impulsionnelle, convolution Construction du signal de sortie à un instant t donné e ( t) h ( t) e ( t) h ( t) ti t t ti t t e ( t) h ( t) e ( t) h ( t) t i + t t t t t à l instant t, la p e impulsion contribue d autant plus au signal de sortie que sa réponse «impulsionnelle» est élevée au bout des t p qui la sépare de t Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 22

26 2.3 SLI : exemples de convolution Exemples convolution d'un signal porte par lui-même Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 23

27 2.3 SLI : exemples de convolution + x( τ) x( τ) = x() t x( τ t) dt x( t) τ x( t) x( τ t) x τ x τ ( ) ( ) t t τ x () t δ ( t t ) x () t δ ( t t ) x t t t ( ) δ ( ) T t T + t Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 24

28 3 Analyse spectrale Signaux périodiques Séries de Fourier : spectres d'amplitude et de phase, relation énergétique. Signaux non-périodiques Transformée de Fourier : Définition et propriétés ; Application aux : Signaux usuels, Signaux à moyenne non nulle. Énergies associé aux signaux Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 25

29 3. Analyse spectrale : signaux périodiques Théorème de Fourier «tout signal périodique est constitué d une infinité de composantes sinusoïdales (ou harmoniques)» T + () = ncos( ω + ϕ n) = an cos( nω t ) + bn sin( nω t ) x t c n t n + + («Série de Fourier») n n signal périodique de période T où ω = 2πν o c n, ϕ n = des constantes qui définissent x T (t) a n et b n = «coefficients de Fourier» a b a 3 b 3 a 5 b 5 Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 26

30 3. Analyse spectrale : signaux périodiques Série de Fourier x t c n t T () = cos( ω + ϕ ) n + + n ( ω ) sin( ω ) = a cos n t + b n t a n n n n n n xt ( t) avec a = c = x ( t) T 2 T an = cn cos ϕ n = x () t cos( nωot) dt T T 2 T bn = cn sin ϕ n = x () t sin( nωot) dt T T ou {c n, ϕ n } {a n, b n } ou b n ν 2ν 3ν 7ν ν Conséquences x T (t) ou {c n, ϕ n } ou {a n, b n } : même «information» ; 2 visions du même signal. En connaissant l un on connaît l autre (deux descriptions équivalentes). Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 27

31 3. Analyse spectrale : signaux périodiques Puissance moyenne du signal Soit la «puissance moyenne du signal x T (t)» = P = x 2 () t moy T cas particulier : () t = A cos( ωt + ϕ) xt Pmoy = 2 A 2 signal périodique : P moy c a + b = = n n n n= n= ( n ω t ) ( n ω t ) cos o + ϕ cos 2 o + ϕ = 2 pour n n 2 {c n2 } = «distribution en fréquence» de la puissance du signal. Conséquences P moy ne dépend pas du spectre de phase ; Certains systèmes ne sont sensibles qu à la distribution en fréquence de l intensité du signal et ne dépendent pas du spectre de phase (ex : oreille, yeux.) ; Inutile dans ce cas, de connaître la forme tempor. du signal, le spectre d amplitude suffit! Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 28

32 3. Analyse spectrale : signaux périodiques Exemples Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 29

33 3. Analyse spectrale : signaux périodiques Remarque,5 -, Series f(x) f(x),5 -, Series x t a n t () = cos( ω ), n n n, n ( ω ) b sin n t,5 -,5,5 -,5 + x t = a n t () cos( ω ) 2 2, n n Series,5 -,5 f(x) -,5 -, Series + x t = b n t () sin( ω ) 3 3, n n Series Series Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 3

34 3. Analyse spectrale : signaux périodiques Notation complexe Les exponentielles complexes sont plus simples à manier que les fcts trigonométriques... T + +! () = cos( ω + ϕ ) = γ exp( i ω ) x t c n t n t n o n n o n= n= T T 2 avec : γ = () exp( i ω ) n T 2 x t nt dt T o (I) n prend aussi des valeurs négatives termes en nω fréquence «négative» Généralisation aux signaux non-périodiques Lorsqu on la période du signal, les fréquences des harmoniques se rapprochent! o νn = n ω = n 2π T ν 2ν 3ν 5ν cas limite : T «infiniment grand» signal non-périodique! Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 3 T ν

35 3.2 Analyse spectrale : signaux non-périodiques Transformée de Fourier pour un signal non-périodique, x(t) : x( t) TF + déf. X ( ν) = x() t exp( i 2πνt) dt + TF ( ) - X ν x() t = X ( ν) exp( i 2πνt) dν (II) notation x(t) X(ν) (I) (II), lorsque T + (/ω devient infinitésimal) ; L utilisation de ν comme variable (au lieu de ω) évite l apparition des termes /2π ; X(ν) et x(t) sont deux représentations équivalentes du même signal ; X(ν) = spectre d amplitude ; Arg[X(ν)] = spectre de phase. Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 32

36 3.2 Signaux non-périodiques : exemple Exemple (from John Hopkins University) t x( t) = e H ( t) x( t) pour t avec : H() t = pour t < [ ω = 2πν] t x() t = α e H () t X ( ν) = α + i2πν Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 33

37 3.2 Transformée de Fourier : propriétés Décalage temporel i2πνt ( ) ( ) ν x t t X e exemple : t = 2s x( t ) y( t) = x( t t ) même spectre d amplitude Arg[ X ( ν) ] Arg Y [ ( ν) ] [ ( ν) ] 2 t = Arg X π ν Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 34

38 3.2 Transformée de Fourier : propriétés Changement d amplitude yt ( ) = a xt ( ) Y( ν) = a X( ν) exemple : a = 3 x( t ) y( t) = 3x( t) même spectre de phase Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 35

39 3.2 Transformée de Fourier : propriétés ν Changement d échelle yt () = xbt ( ) Y( ν) = X b b exemple : b = 4 x( t) y( t) = x( 4t) La TF est d autant plus étalée que la durée du signal est courte et vice versa Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 36

40 3.2 Transformée de Fourier : propriétés Multiplication de deux signaux exemple : porte [, ] Mesure signal à durée finie = signal original x «fenêtre temporelle» x( t ) y( t) = x( t) Π ( t /2) déformation considérable du spectre si la fenêtre temporelle est mal choisie Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 37

41 3.2 Transformée de Fourier : propriétés Convolution de deux signaux exemple : + x y() t = x( t' ) y( t t' ) dt' X ( ν) Y ( ν) Y ω ( ) ω = 4 4 filtrage passe-bas déformation considérable du signal temporel : les variations rapides sont atténuées! Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 38

42 3.2 Transformée de Fourier : propriétés Symétrie temps - fréquence x( t) X ( ν) et X ( t) x( ν) + déf. X ( ν) = x() t exp( i 2πνt) dt + x() t = X ( ν) exp( i 2πνt) dν exemple : T T t pour - t x() t = Π T = 2 2 T ailleurs Π T t T sin( πνt ) πνt ( ) X ( ν) = T T sinc νt ν = T -T/2 T/2 et x () t = F sin c ( tf ) ( X ν ) ν = Π F F Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 39

43 3.2 Transformée de Fourier : exemples Fonctions localisées/délocalisées / x t = ν +ν complètement délocalisé 2 Dirac en + et ν () cos( 2πν t) T. F. Re{ X ( ν) } ( ) X ν = δ( ν + ν) 2 ( ( ν )) + δ ν 2/ x() t = δ () t T. F. X ( ν ) = parfaitement localisé complètement délocalisé 3/ t Π ν = T T -T/2 -T/2 T. F. encombrement temporel : T encombrement spectral : 2/T X( ν) = T sinc( Tν) Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 4

44 3.3 Énergie de signaux Énergie totale et puissance moyenne le signal étant non-périodique, la puissance moyenne (sur une durée infinie) est nulle on peut définir une puissance «moyenne» sur une fenêtre temporelle finie (durée d observation du signal) on caractérise le signal par son «énergie totale» définie par : + E = x() t 2 dt tot (définition indépendante de la durée d observation, t obs, du signal) puissance moyenne : P moy = E t tot obs Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 4

45 3.3 Énergie de signaux Distribution en fréquence On peut montrer (identité de Parseval) que : tot () ( ) E = x t dt = X ν dν Densité spectrale d énergie : φ ν ν ( ) ( ) 2 x = X Énergie comprise dans une bande de fréquence [ν, ν 2 ] : 2 (, ) = ( ) ( ) x + x E ν ν φ ν dν φ ν dν 2 ν ν ν ν 2 les fréquences négatives proviennent de la notation complexe de la transformée. Énergie d interaction E = x() t y * () t dt = X( ν) Y * ( ν) dν xy + + Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 42

46 3.3 Énergie de signaux Exemple αt x( t) = e Π( t) φx ν ( ) 2 = α + i2πν = α + 4πν 2 2 ( α = ) φx ν ( ) La quasi-totalité de l énergie du signal est comprise dans la bande de fréquence : α,~ 3 ( ) 2 π Hz ou encore,~ 3 α ( ) rad/s Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 43

47 4 Filtres linéaires invariants Filtrage temporel : fenêtrage temporel et ( ) st ( ) s( t) = e( t) f ( t) Filtre f(t) S ν = E ν F ν ( ) ( ) ( ) Tout filtrage temporel modifie le spectre Filtrage fréquentiel E ( ν ) S ( ν) Filtre F(ν) S( ν) = E( ν) F( ν) F(ν) : fonction s( t) = e( t) f ( t) de transfert Filtrage fréquentiel = convolution temporelle Filtres réalisables Tout filtre réel déphase en effet : F(ν) réel f(t) paire f(-t) =f(t), impossible (causalité!... t <, h(t) = ) Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 44

48 4 Filtre due à la mesure Encombrement spectral : /T Signal s(t) observé durant T s (t) T s T () t = st () t T 2 T S ( ν) = S( ν) * TF t T 2 S ( ν) = S( ν) * T sinc( νt) Exemple : x t () = cos( 2πν t) X ( ν) = δ( ν + ν ) + δ ν ν 2 ( ( )) autour de ν : ν - T ν S (ν) ν + T 2 ν = T ν = ν 2 νt ν La résolution est en ν ν : - problème aux basses fréquences ν - elle est d'autant meilleure ( petit) que T est grand. ν Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 45

49 4 Filtres : fonctions de pondération Fonctions de pondération sin πx! «fenêtre rectangulaire» déformation considérable en raison de la forme de πx sin( πt ν) s ( t) = s( t) Π ( t) S ( ν) S( ν) TF () t S ( ν) = S( ν) T = Π T. T πt ν Le spectre est donc un ensemble de fonctions sinc(τν) centrée sur les fréquences qui composent le signal théorique initial Lorsque T, sinc(ν) δ(ν) Solution Multiplier numériquement le signal par une fonction de pondération g(t) appropriée ( ) s ( t) = s ( t) g( t) S ( ν) = S( ν) G( ν) p moins étalée dans le domaine «fréquentiel» Principales fonctions de pondération utilisées : Bartlett, Hamming, Hanning... résolution améliorée Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 46

50 4 Fonctions de pondération : exemples référence pics secondaires faibles et éloignés pic central étroit lobes secondaires faibles lobes secondaires très faibles Ces différentes fenêtres réalisent un compromis entre la largeur du pic central et les caractéristiques des lobes secondaires (hauteur et position) Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 47

51 5 Échantillonnage Principes Théorème de l échantillonnage ; Effet du repliement de spectre ; Effet de l'échantillonnage sur la reconstruction d'un signal. Transformée de Fourier Discrète Signal discret ; Discrétisation fréquentielle ; Propriétés. Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 48

52 5. Échantillonnage : principe Définition x e () t T e x ( T ) k e x () t X ( ν) X ν? ( ) e ν ν e = T e fréquence d échantillonnage kt e Soit le signal échantillonné x e (t) Son spectre X e (ν) x e + t = x kt δ t kt = x t δ t () ( ) ( ) () () k= e e T e X e ( ) ( ) () T + + ( t ) ν ( ) e ( kνe) νe ( kνe) ν = X ν TF δ = X ν δ ν = X ν e k= k= le spectre du signal échantillonné x e (t) s obtient en périodisant le spectre du signal initial x(t) (d une période ν e ) X e ν e ( ν) ν Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 49

53 5. Échantillonnage : effet du repliement de spectre Illustrations fréquence max. ν max ν 2 < e ν e 2 fréquence d échantillonnage ν max ν 2 > e Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 5

54 5. Échantillonnage Théorème de l échantillonnage Critère d échantillonnage de Shannon : La fréquence d échantillonnage doit être prise supérieure à 2 la fréquence maximale «contenue» dans le signal. Théorème de Shannon : on peut reconstituer un signal sinusoïdal à partir d un nombre fini d échantillons du signal : à condition que la fréquence d échantillonnage est > à DEUX fois la fréquence du signal Filtre anti-repliement Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 5

55 5. Échantillonnage : effet du repliement de spectre Sinus X ( ν) x() t ν e > 2ν ν e = 2ν ν e < 2ν νe ν = ν = νe ν 2 ν = ν e 2 ν e = ν x ( t)? e Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 52

56 5. Échantillonnage : fréquence d échantillonnage Effet de la fréquence d'échantillonnage dans la reconstruction d'un signal X ( ν) X ( ν) Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 53

57 5.2 Transformée de Fourier discrète Échantillonnage temporel puis fréquentiel t k t : spectre continue X e (ν) Calcul numérique de la transformée de Fourier pour un nombre fini de valeurs de fréquence X e (p. ν ) avec p=,, N En pratique : x( t) x( k ) = xk + N n= k n k N ( ) ( ) 2 e i2 πn k f = x X n f k= k transformée de Fourier discrète (TFD) de s n Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 54

58 5.2 Transformée de Fourier discrète T. de Fourier d un signal échantillonné et reconstitution du signal d origine + ( ) () ( X x e i2 πνt ν = t ) dt t ( k ) + ( ) ( i2πνk x k e ) = X ( ) e ν k= t X e (ν) est périodique de période / ( = fréquence d échantillonnage). X e (ν) est constituée de la répétition périodique de X(ν) : Xe ν ( ) + k = X ν k= x e (t) : signal non-périodique, discret TF xe ( t) X e + ( ν) x( kt ) 2 = k = e e 2iπνkT e 2 ( ) ( ) e 2i πkte ν x kte = X e e d ν ν ν ν X ( ) e ν e ν TF - e (III) X e (ν) = spectre périodique, continue Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 55

59 5.2 Représentation t et f du signal échantillonné continu périodique série de Fourier discret non-périodique continu non-périodique transformée de Fourier continu non-périodique discret non-périodique transformée de Fourier continu périodique discret périodique TF discrète discret périodique Christophe Aristégui Master S&T - MI : Traitement du signal (25-26) 56

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