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1 age 1 sur 6 TS hysique Exercice résou - Enoncé Dans son ouvrage «Diaogue sur es deux grands systèmes du monde», Gaiée fait converser deux personnages : - Saviati, nom d'un ami de Gaiée, copernicien, chargé de présenter ses propres vues. - Sagredo, personnage imaginaire, «'honnête homme», ignorant mais inteigent, dont 'enseignement officie n'a pas atéré e bons sens. Voici un court extrait de un des diaogues : Saviati : Dites-moi, quand deux pendues ont des ongueurs inégaes, n est-ce pas ceui qui est attaché à a corde a pus ongue qui a des vibrations moins fréquentes? Sagredo : Oui, à condition qu is s écartent égaement de a verticae. Saviati : eu importe qu is s en écartent pus ou moins. C est toujours en des temps égaux que e même pendue fait ses aers et retours, qu is soient très ongs ou très courts. A. remière partie : Etude de a période des osciations I s agit, dans cette première partie, d intervenir dans a conversation entre Saviati et Sagredo et de a proonger en étudiant es différents paramètres qui interviennent dans es osciations d un pendue simpe. Un pendue simpe est constitué par un fi inextensibe, de ongueur, dont une des extrémités est fixe. Une petite bie métaique, de masse m, est accrochée à autre extrémité. On négigera a masse du fi devant cee de a bie. La position du fi, à une date t queconque, sera repérée par ange par rapport à a verticae. Les osciations seront supposées non amorties. 1. Infuence de ampitude des osciations Le document 1 en annexe correspond à enregistrement de en fonction du temps pour trois ampitudes différentes : 1 = 10, 2 = 15 et 3 = 20. our cet enregistrement, on utiise une bie de masse m = 1,0 x 10-1 kg et un fi de ongueur = 2,0 x 10-1 m. A partir de ce document, déterminez a vaeur de a période propre T 0 des osciations de ce pendue pour chacune des ampitudes. Concusion? 2. Infuence de a ongueur du pendue Le document 2 en annexe correspond à enregistrement de en fonction du temps pour trois fis de ongueurs différentes : 1 = 1,0 x 10-1 m, 2 = 1,5 x 10-1 m et 3 = 2,0 x 10-1 m. our cet enregistrement, a masse m de a bie reste égae à 1,0 x 10-1 kg. Comment varie a période quand a ongueur du pendue augmente? 3. Reation entre a période et es différents paramètres La période d un pendue simpe dépend aussi de a vaeur g du champ de pesanteur du ieu considéré. a) A aide d une anayse dimensionnee, montrez que a période est proportionnee à b) De Saviati et de Sagredo, qui commet une erreur? g.

2 age 2 sur 6 B. Deuxième partie : Variations autour d une constante On définit un axe Oz vertica et dirigé vers e haut. Le point O coïncide avec a position d équiibre du centre d inertie de a petite bie métaique (voir document 3 en annexe). 1. Exprimez, à une constante K près, énergie potentiee de pesanteur du système quand e fi fait un ange avec a verticae, en fonction de m, g et. 2. Que vaut K si on décide que énergie potentiee est nue quand e système est dans sa position d équiibre? Exprimez ittéraement énergie potentiee que on notera E On décide à présent que énergie potentiee est nue orsque ange est éga à 90. Que vaut aors a constante K? Exprimez ittéraement énergie potentiee que on notera E p2. 4. Le dispositif passe de a position où ange vaut = 30 à cee où i vaut = -45. a) Donnez es expressions ittéraes de E p1 ( ) E p1 ( ) puis de E p2 ( ) E p2 ( ). b) Concusion? C. Troisième partie : Etude énergétique du pendue simpe Le pendue, constitué d une bie de masse m = 1,0 x 10-1 kg suspendue à un fi de ongueur = 2,0 x 10-1 m, est écarté de sa position d équiibre d un ange m = 1,7 x 10-1 rad et abandonné sans vitesse initiae. Sur e document 4 en annexe sont reproduits es enregistrements des deux formes d énergies mises en jeu au cours des osciations. 1. Les enregistrements du document 4 ont débuté un quart de période après e âché du pendue. Identifiez es courbes correspondant à chacune de ces formes d énergie. 2. Quee est a vaeur de ange pour aquee i a été décidé d une énergie potentiee nue? 3. Rappeez expression de énergie mécanique E du pendue et tracez, sur e document 4, a courbe représentative de a fonction t E(t). Concusion? 4. révision du comportement et comparaison aux reevés expérimentaux. a) Représentez, sur e schéma du document 3, es forces extérieures qui s exercent sur a bie. b) Exprimez, en fonction de,, m et g, e travai de ces forces entre e âché du pendue (au point A) et son passage par a verticae (au point O). Cacuez es vaeurs numériques de ces travaux (on donne g = 9,8 m.s -2 et cos m = 0,985). c) Cacuez énergie cinétique E co du pendue à son passage par a verticae. d) Comparez ce résutat aux vaeurs reevées expérimentaement sur es enregistrements du document 4. Concusion? 5. roongement. La durée des enregistrements du document 4 est d environ une seconde. Imaginons a suite de a conversation entre Saviati et Sagredo si on proongeait a durée de ces enregistrements : Sagredo : Ce que nous constatons sur es premiers aers et retours n a pas de raison de changer par a suite. Notre pendue continuera d aer et venir, toujours de a même façon, aussi ongtemps que a main de homme ne viendra arrêter. Saviati : Je ne partage pas votre avis. En vous mettant à a pace de Saviati, et en utiisant un vocabuaire scientifique, expiquez pourquoi Sagredo se trompe.

3 age 3 sur 6 ANNEXE Document 1 Document 2 Document 3 z A A Document 4 - Corrigé -

4 age 4 sur 6 - Corrigé - A. remière partie : Etude de a période des osciations 1. Infuence de ampitude des osciations Le document 1 en annexe correspond à enregistrement de en fonction du temps pour trois ampitudes différentes : 1 = 10, 2 = 15 et 3 = 20. our cet enregistrement, on utiise une bie de masse m = 1,0 x 10-1 kg et un fi de ongueur = 2,0 x 10-1 m. A partir de ce document, déterminez a vaeur de a période propre T 0 des osciations de ce pendue pour chacune des ampitudes. Concusion? La période est a même pour es trois expériences (T 0 = 9,0 x 10-1 s) : ee ne dépend donc pas de ampitude des osciations. 2. Infuence de a ongueur du pendue Le document 2 en annexe correspond à enregistrement de en fonction du temps pour trois fis de ongueurs différentes : 1 = 1,0 x 10-1 m, 2 = 1,5 x 10-1 m et 3 = 2,0 x 10-1 m. our cet enregistrement, a masse m de a bie reste égae à 1,0 x 10-1 kg. Comment varie a période quand a ongueur du pendue augmente? us e pendue est ong, et pus a période est grande : quand a ongueur du pendue augmente, a période augmente. 3. Reation entre a période et es différents paramètres La période d un pendue simpe dépend aussi de a vaeur g du champ de pesanteur du ieu considéré. a) A aide d une anayse dimensionnee, montrez que a période est proportionnee à est exprimée en m et g en m.s -2. Le rapport g est exprimée en s2 et sa racine carrée en s.. g T et sont exprimés dans a même unité et on peut écrire T = a. g g b) De Saviati et de Sagredo, qui a raison? Saviati a raison car pus a ongueur du pendue est grande, pus a période est grande et pus es vibrations (osciations de part et d autre de a position d équiibre) seront moins fréquentes. Et ce, queque soit ampitude (pourvu que cee-ci ne soit pas trop grande ce qui n apparaît pas dans e texte). B. Deuxième partie : Variations autour d une constante 1. Exprimez, à une constante K près, énergie potentiee de pesanteur du système quand e fi fait un ange avec a verticae, en fonction de m, g et. Ep = m.g.z + K soit E p = m.g.(.cos ) + K 2. Que vaut K si on décide que énergie potentiee est nue quand e système est dans sa position d équiibre? Exprimez ittéraement énergie potentiee que on notera E 1. Quand z = 0, E p = 0 => K = 0 et E p1 = m.g..(1 cos ) 3. On décide à présent que énergie potentiee est nue orsque ange est éga à 90. Que vaut aors a constante K? Exprimez ittéraement énergie potentiee que on notera E p2. Quand = 90 aors z = => E p = m.g. + K soit K = - m.g. E p2 = m.g..(1 cos - m.g. => E p2 = - m.g..cos

5 age 5 sur 6 4. Le dispositif passe de a position où ange vaut = 30 à cee où i vaut = -45. a) Donnez es expressions ittéraes de E p1 ( ) E p1 ( ) puis de E p2 ( ) E p2 ( ). E p1 = m.g..(1 cos 2 ) m.g..(1 cos 1 ) => E p1 = m.g..(cos 1 cos 2 ) E p2 = - m.g..cos 2 + m.g..cos 1 => E p2 = m.g..(cos 1 cos ) b) Concusion? On obtient e même résutat, ce qui montre que e choix de a vaeur de a constante importe peu puisqu on n aura toujours qu à cacuer des variations d énergie potentiee. C. Troisième partie : Etude énergétique du pendue simpe 1. Les enregistrements du document 4 ont débuté un quart de période après e âché du pendue. Identifiez es courbes correspondant à chacune de ces formes d énergie. Un quart de période après son âché, e pendue repasse par sa position d équiibre (a pus basse) et sa vitesse est extrémae. Du point de vue énergétique, son énergie potentiee de pesanteur est donc minimae et son énergie cinétique est maximae. On en déduit que a courbe représentant évoution temporee de énergie cinétique est cee qui est maximae à t = 0 sur e document Quee est a vaeur de ange pour aquee i a été décidé d une énergie potentiee nue? On remarque que énergie potentiee minimae est égae à zéro. On en déduit qu un ange = 0 a été choisi pour énergie potentiee nue. 3. Rappeez expression de énergie mécanique E du pendue et tracez, sur e document 4, a courbe représentative de a fonction t E(t). Concusion? L énergie mécanique du pendue est a somme de ces énergies potentiee et cinétique : E = E C + E. On trace une droite d équation E = 2,8 mj qui prouve que énergie mécanique est constante. E 4. révision du comportement et comparaison aux reevés expérimentaux. a) Représentez, sur e schéma du document 3, es forces extérieures qui s exercent sur a bie. T z A A

6 age 6 sur 6 b) Exprimez, en fonction de,, m et g, e travai de ces forces entre e âché du pendue (au point A) et son passage par a verticae (au point O). Cacuez es vaeurs numériques de ces travaux.(on donne g = 9,8 m.s -2 et cos m = 0,985). La tension du fi ne travaie pas car son support est toujours perpendicuaire à a tangente à a trajectoire. W =>.AB = m.g.(z A z O ) avec z O = 0 et z A =.cos m W = m.g..(1 - cos m ) soit W = 1,0 x 10-1 x 9,8 x 2,0 x 10-1 x [1 cos (1,7 x 10-1 )] = 2,8 x 10-3 J c) Cacuez énergie cinétique E co du pendue à son passage par a verticae. On appique e théorème de énergie cinétique entre instant du âché du pendue et son passage par a verticae : E C = E CO E ca = E co = W(F ext ) => E co = W soit E co = 2,8 x 10-3 J d) Comparez ce résutat aux vaeurs reevées expérimentaement sur es enregistrements du document 4. Concusion? Une ecture graphique sur e document 4 donne E cmax = E co = 2,8 mj : es deux résutats sont cohérents. 5. roongement. La durée des enregistrements du document 4 est d environ une seconde. Imaginons a suite de a conversation entre Saviati et Sagredo si on proongeait a durée de ces enregistrement : Sagredo : Ce que nous constatons sur es premiers aers et retours n a pas de raison de changer par a suite. Notre pendue continuera d aer et venir, toujours de a même façon, aussi ongtemps que a main de homme ne viendra arrêter. Saviati : Je ne partage pas votre avis. En vous mettant à a pace de Saviati, et en utiisant un vocabuaire scientifique, expiquez pourquoi Sagredo se trompe. Si on considère un intervae de temps pus important, i ne sera pus possibe de négiger es frottements et es osciations seront amorties : énergie mécanique et ampitude des osciations diminueront au cours du temps.