Intégrale de fonction positive

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1 Chpitre Intégrles et primitives I Eercices Intégrle de fonction positive. Évluer pproimtivement l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f ci-dessous, l e des bscisses, et l droite d éqution

2 I. EXERCICES CHAPITRE. INTÉGRALES ET PRIMITIVES COURS : lire l définition d une intégrle u prgrphe.... Clcul pproché d une intégrle pr l méthode des rectngles L fonction représentée dns l eercice sur fiche n o. étit l fonction f définie pr fpq. Elle est à nouveu représentée ci-dessous. Voici un lgorithme. Entrée : n Stocker dns s Pour des vleurs de k llnt de à n, de en Stocker k ˆ n dns Stocker dns y Stocker y ˆ n dns r s prend l vleur s ` r Fin de l boucle pour Sortie (résultt) : s. Eéculer cet lgorithme lorsque n, en complétnt ci-dessous. Entrée : n TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre -

3 I. EXERCICES CHAPITRE. INTÉGRALES ET PRIMITIVES k y r s Sortie : s Que représentent les vleurs successives de r?. Que représente le résultt de cet lgorithme (c est à dire l vleur finle de s)?. ) Progrmmer cet lgorithme à l clcultrice ou en Python. b) Vérifier en eécutnt ce progrmme vec n. c) Eécuter ce progrmme à l clcultrice, vec n, puis n, puis n (le temps de clcul est de quelques secondes de clcul pour n et d environ secondes pour n ) ; en Python vec n, puis n, n, n, n. d) Compléter n Vleur finle de s R R R R TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre -

4 I. EXERCICES CHAPITRE. INTÉGRALES ET PRIMITIVES. Intégrle d une fonction ffine () Les fonctions définies pr fpq et gpq ` sur l intervlle [ ; ] sont représentées grphiquement ci-dessous.. Clculer l intégrle ż f pq d, c est à dire l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l e des bscisses, et les droites d équtions respectives et.. Clculer l intégrle ż gpq d, c est à dire l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C g, l e des bscisses, et les droites d équtions respectives et. y fpq y gpq unité d ire COURS : lire le prgrphe..b. Intégrle d une fonction ffine () Les fonctions f et g de l eercice précédent sont à nouveu représentées grphiquement ci-dessous et pge suivnte, chcune dns un repère orthogonl, d unité cm en bscisse et cm en ordonnée. Dns ce cs l unité d ire est l ire du «rectngle unité», c est à dire cm.. ) Clculer l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l e des bscisses, et les droites d équtions respectives et en unité d ire puis en cm. b) Quel résultt est égl à l intégrle ż fpq d?. ) Clculer l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C g, l e des bscisses, et les droites d équtions respectives et en unité d ire puis en cm. b) Quel résultt est égl à l intégrle ż gpq d? unité d ire y fpq TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre -

5 I. EXERCICES CHAPITRE. INTÉGRALES ET PRIMITIVES y gpq. Intégrle d une fonction ffine () Clculer les intégrles ci-dessous. Comme ce sont des intégrles de fonctions ffines, les ires à clculer sont des ires de trpèzes. Rppelons donc l formule de clcul de l ire d un trpèze : pb ` Bq ˆ h ire d un trpèze h b B () ż p, ` q d () ż, p ` q d () p ` 7q d () ż 6 p, ` q d.6 " si ď ď L fonction f est définie pr fpq, ` si ă ď 6 Elle est représentée grphiquement ci-contre. On ppelle cel une fonction ffine pr morceu.. En hchurnt ou en colorint, mettre en évidence l intégrle ż 6. Clculer fpq d sur l figure ci-contre. ż 6 fpq d TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre -

6 I. EXERCICES CHAPITRE. INTÉGRALES ET PRIMITIVES.7 L fonction eponentielle est représentée ci-contre sur l intervlle r ; s.. Mettre en évidence sur le grphique ci-contre l intégrle ż e d. Déterminer grphiquement un encdrement de cette intégrle..8. Sur l figure ci-dessous, construire une courbe pouvnt représenter une fonction f définie et continue sur [- ; ] et vérifint ď ż fpqd ď 9. Sur l figure ci-dessous, construire une courbe pouvnt représenter une fonction g définie et continue sur [- ; ] et vérifint ď ż gpqd ď 6 Fig. Fig. Théorème fondmentl pour une fonction continue, positive TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre -6

7 I. EXERCICES CHAPITRE. INTÉGRALES ET PRIMITIVES.9 L fonction f est définie pr fptq t ` et elle est représentée ci-contre. L fonction F est définie pr F pq ż fptq dt. À l ide d un clcul d ire, clculer l epression de F pq en fonction de.. Clculer F pq. Que constte-t-on? COURS : lire le prgrphe. qui générlise cette propriété. Primitive d une fonction. Soit deu fonctions f et F définies sur un intervlle I. Dire que F est une primitive de f sur I signifie que f est l dérivée de F sur I, c est à dire F f L fonction f est définie sur IR pr fpq `. Déterminer une primitive F de f.. Déterminer deu utres primitives F et F de f.. L fonction f en fit une infinité de primitives sur IR. Quelle est l formule générle pour les primitives de f?. Pour chcune des fonctions définies ci-dessous, déterminer primitives. () fpq () fpq () fpq e COURS : lire le prgrphe.. TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre -7

8 I. EXERCICES CHAPITRE. INTÉGRALES ET PRIMITIVES. Le tbleu ci-contre rppelle les dérivées des fonctions usuelles. Pour chcune des fonctions f suivntes, utiliser ce tbleu pour déterminer une primitive F de f.. fpq Fpq fpq Fpq fpq Fpq fpq Fpq fpq Fpq fpq? Fpq fpq e Fpq Tbleu de DÉRIVÉES fpq f pq k constnte n n n?? ln e e. On rppelle que pour une fonction u dérivble sur un intervlle I, on sit que : pln uq u et que pe u q u e u u Pour chcune des fonctions f suivntes, déterminer une primitive F de f. ) fpq ) fpq ) fpq ` ` b ( ) ) fpq e 6 ) fpq e, 6) fpq e `b ( ) COURS : lire le prgrphe..c. Pour chcune des fonctions f définies ci-dessous, déterminer une primitive F de f. ) fpq ` ) fpq ` ) fpq? ) fpq ` 7 ) fpq `. 6) fpq ` 7) fpq ` 9e, 8) fpq 8e, Vérifier chque fois que F est une primitive de f. ) fpq e Fpq p qe ) fpq ln Fpq ` ln TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre -8

9 I. EXERCICES CHAPITRE. INTÉGRALES ET PRIMITIVES.6 Pour chcune des fonctions f suivntes, déterminer une primitive F de f. ) fpq p ` q ) fpq ` ) fpq ) fpq 9e 9 6) fpq p ` q 7) fpq ` 9 9) fpq ln.7 Indiction : fpq ˆ ˆ ln. Déterminer une primitive F de l fonction définie pr fpq e. COURS : lire les prgrphes.. et..b Clculs d intégrles p 6q ) fpq? ` 7 8) fpq p q ` ln )fpq.8 Clculer les intégrles ci-dessous. () t dt () t dt () e t dt.9 L fonction définie pr fpq, ` est représentée pge suivnte. L ire A est l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l e des bscisses, et les droites d équtions et.. En s idnt du qudrillge, donner un encdrement de l ire A pr deu nombres entiers.. Clculer l ire A en clculnt une intégrle.. Vérifier que le résultt précédent est bien compris entre les deu entiers de l première question. Ci-dessous, fig. pour l eercice.9 et fig.,, pour l eercice. TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre -9

10 I. EXERCICES CHAPITRE. INTÉGRALES ET PRIMITIVES Fig. Fig. 6 y, ` Fig. Fig Même eercice que l eercice.9 vec chcune des fonctions et des ires indiquées.. L fonction définie pr fpq ``e, est représentée sur l figure. L ire A est l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l e des bscisses, et les droites d équtions respectives et.. L fonction définie pr fpq ` e, est représentée sur l figure. L ire A est l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l e des bscisses, et les droites d équtions respectives et 7.. L fonction définie pr fpq ` est représentée sur l figure. L ire A est l ire de ` l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l e des bscisses, et les droites d équtions respectives et.. L fonction définie pr fpq, est représentée ci-dessous (fig., plus bs) dns un repère orthogonl d unité cm pour l e des bscisses et d unité cm pour l e des ordonnées. L ire A est l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l e des bscisses, et les droites d équtions respectives et.. En s idnt du qudrillge, donner un encdrement de l ire A pr deu nombres entiers, d bord en unités d ire, puis en cm. TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre -

11 I. EXERCICES CHAPITRE. INTÉGRALES ET PRIMITIVES. Clculer l ire A en clculnt une intégrle.. Clculer l ire A en cm.. Vérifier vec les encdrements trouvés à l première question.. Même eercice que l eercice. vec l fonction f et l ire indiquée ci-dessous. L fonction définie pr fpq, `e est représentée ci-dessous (fig. ) dns un repère orthogonl d unité cm pour l e des bscisses et d unité cm pour l e des ordonnées. L ire A est l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l e des bscisses, et les droites d équtions respectives et. Fig. Fig... L fonction f définie pr f pq ln est représentée grphiquement ci-dessous sur l intervlle [, ; ] (figure ). ) Justifier que l fonction définie pr Fpq ln est une primitive de f sur l intervlle [, ; ]. b) Mettre en évidence sur le grphique ci-dessous, l intégrle c) Justifier pr un clcul que cette intégrle est égle à 6 ln. ż ln d. d) Arrondir le résultt précédent u diième près et préciser ce que signifie le résultt.. L fonction g définie pr gpq ` est représentée grphiquement ci-dessous sur l intervlle [ ;,] (figure ). ) Mettre en évidence sur le grphique ci-dessous, l intégrle suivnte b) Justifier pr un clcul que cette intégrle est égle à 9 8 ln. ż, gpq d. c) Arrondir le résultt précédent u diième près et préciser ce que signifie le résultt. TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre -

12 I. EXERCICES CHAPITRE. INTÉGRALES ET PRIMITIVES Fig. Fig. Vleur moyenne d une fonction. L fonction définie pr fpq, est représentée grphiquement ci-contre.. Mettre en évidence sur cette figure l intégrle ż 6, d et l clculer.. Plcer les points A ( ; ) et B (6 ; ).. On veut trcer le rectngle ABCD dont l ire soit égle à l intégrle précédente. ) Quelle est s longueur (sns justifier)? b) Clculer s lrgeur. Arrondir u diième près. On ppelle ce nombre l vleur moyenne de f sur l intervlle [ ; 6] c) Trcer le rectngle ABCD. 6 Propriétés de l intégrle. Linérité.6. Clculer. Clculer ˆ p ` q d ż 7 ` d et et ż 7 d ` ˆ ` d d et comprer les résultts. et comprer les résultts.. Schnt que ż e d e 6 et que ż e d e ` clculer ż p e `e q d TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre -

13 I. EXERCICES CHAPITRE. INTÉGRALES ET PRIMITIVES. Schnt que ż lnp, q d clculer ż d.7 Signe d une intégrle L fonction f est définie sur l intervlle r ; s pr : fpq L objectif de cet eercice est de fire le lien entre le signe d une fonction et le signe d une intégrle.8 Trcer l représenttion grphique de l fonction f ci-dessous. Dresser le tbleu de signes de l fonction f sur l intervlle r ; s. Clculer les intégrles suivntes : ż fpq d, Si ă b, quel est ppremment le signe de Une fonction f est définie sur l intervlle r ; s ; positive sur l intervlle r ; 9s ; négtive sur l intervlle r9 ; s ;.9. À propos du signe de l intégrle ż 9 ż 8 6 fpq d. fpq d selon le signe f sur r ; bs. fpq d on peut dire que (une seule bonne réponse) : () son signe est positif ; (b) son signe est négtif ; (c) on ne peut ps conclure.. Mêmes questions pour l intégrle. Mêmes questions pour l intégrle ż 7 ż 7 fpq d fpq d Sns clcul, déterminer le signe de chcune des intégrles suivntes. () ż lnpq d () ż 7 lnpq d (), 8 ż e d () ż 6 e d () lnpq d. Reltion de Chsles L fonction f est représentée ci-contre, insi que les intégrles fpq d et ż 7 On donne les vleurs suivntes : fpq d, 76 et Clculer ż 7 fpq d ż 7 fpq d. fpq d, 8. C f 7 TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre -

14 I. EXERCICES CHAPITRE. INTÉGRALES ET PRIMITIVES. Clculer les intégrles : () ż e d ` ż 7 e d () ż p6 ` 8q d ` ż 9 p6 ` 8q d () ż 8 d ` d. Domine délimité pr les courbes de deu fonctions positives. Le progrmme de mthémtiques de terminle ES indique qu un élève doit svoir clculer l ire du domine délimité pr les courbes représenttives de deu fonctions positives. Deu fonctions f et g sont représentées grphiquement ci-dessous.. Les intégrles fpq d et gpq d sontelles positives? Justifier grphiquement.. Les fonctions f et g sont définies pr : fpq et gpq, ` Clculer l ire de l prtie du pln comprise entre les courbes C f et C g, l e des bscisses, et les droites d équtions respectives et. C f C g 6 7 TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre -

15 I. EXERCICES CHAPITRE. INTÉGRALES ET PRIMITIVES Chpitre 8 Clcul intégrl Les eercices résolus Pour réviser e p : intégrle d une fonction ffine e 9 p : sens de vrition d une fonction définie à prtir d une intégrle e p : vérifier une primitive e et 6 p : clculs de primitives e p 7 : clculer une intégrle e p 7 : clculer une ire vec une intégrle e 6 p 9 : utiliser l propriété de linérité e 7 p 9 : encdrer une intégrle Rubrique Pour s eercer, corrigés pges e p : intégrles de fonctions ffines e p : fonction définie pr F pq ż fpq d e p : choisir une primitive prmi plusieurs fonctions possibles e 7 p : déterminer des primitives e p 7 : clculs d intégrles e p 7 : clculer une ire vec une intégrle e 8 p 9 : clcul d une intégrle à l ide d une propriété e p 9 : encdrer une intégrle Rubrique Objectif bc, corrigés pge 7-76 e p : QCM e p : Vri/Fu e p : Vri/Fu e p 6 : eercice de type bc, étude d une fonction, encdrement d une intégrle e p 7 : eercice de type bc, prtie A, question de cours, prtie B, étude d une suite e p 7 : intégrle et suite TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre -

16 II. COURS CHAPITRE. INTÉGRALES ET PRIMITIVES II Cours. Intégrle d une fonction continue et positive.. Définition Aire sous une courbe Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle r ; bs représentée grphiquement pr une courbe C. b L intégrle de l fonction f sur intervlle r ; bs qui s écrit fpq d, est l ire, eprimée en unités d ire, de l prtie du pln comprise entre l courbe C ; l e des bscisses ; les droites d équtions respectives et b. C b..b Eemple : intégrle d une fonction ffine L fonction f est définie pr fpq ` sur l intervlle r ; s. Elle est représentée grphiquement ci-dessous et l intégrle ż p ` q est égle à l ire grisée en unités d ire soit 8 unités d ire. y fpq unité d ire. Théorème fondmentl pour une fonction continue, positive Si f est continue et positive sur r, bs, l fonction F définie sur r, bs pr F pq est dérivble sur r, bs et s dérivée est f : F f. ż fptqdt Eemple : eercice sur fiche n o.9 fptq t ` ż p qpfpq ` fpqq F pq fptq dt F pq ` fpq p qp ` q ` TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre -6

17 II. COURS CHAPITRE. INTÉGRALES ET PRIMITIVES Démonstrtion lorsque F est une fonction continue, positive et croissnte Nous svons que si une fonction F est dérivble en, l définition de F pq est : ˆF p ` hq F pq F pq lim hñ h F p ` hq F pq h h ˆ ˆż `h fptq dt ż fptq dt h Étudions d bord le cs où h ą. Dns ce cs ă ` h. On sit que l fonction f est croissnte, donc sur l intervlle r ; ` hs, on : fpq ď fptq ď fp ` hq. L intégrle ż `h fptq dt c est à dire l ire grisée est comprise entre les ires de rectngles MP QN et MRSN sur l figure, or : ire pmnp Qq h ˆ fpq, et : ire pmrsnq h ˆ fp ` hq. On donc l encdrement : h ˆ fpq ď ż `h Donc : h ˆ h ˆ fpq ď h fptq dt ď h ˆ fp ` hq ż `h ż `h fptq dt ď ˆ h ˆ fp ` hq h ż `h fptq dt fp ` hq fpq R P Q M h S N ` h Soit finlement : fpq ď fptq dt ď fp ` hq h F p ` hq F pq Autrement dit : fpq ď ď fp ` hq h Lorsque h tend vers, fp ` hq tend vers fpq prce que f est continue, donc d près l encdrement F p ` hq F pq ci-dessus, et d près le théorème des gendrmes, tend vers fpq. h ˆF p ` hq F pq On donc lim fpq c est à dire F pq fpq hñ h Epliquons brièvement le cs où h ă. Dns ce cs ` h ă. F p ` hq F pq On démontre que : fp ` hq ď ď fpq h puis on fit tendre h vers zéro et en utilisnt le théorème des gendrmes, on démontre de même que F pq fpq.. Primitives.. Définition et propriété de primitive d une fonction Définition Soit deu fonctions f et F définies sur un intervlle I. Dire que F est une primitive de f sur I signifie que f est l dérivée de F sur I, c est à dire F f Eemple Soit l fonction F définie et dérivble sur IR pr Fpq ` TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre -7

18 II. COURS CHAPITRE. INTÉGRALES ET PRIMITIVES et l fonction f définie sur IR pr fpq `. Pour tout nombre de IR, F pq fpq f est l dérivée de F sur IR donc F est une primitive de f sur IR. Propriété Soit une fonction f définie sur un intervlle I et F une primitive de f sur I. Alors l fonction f dmet une infinité de primitives toute primitive de f est de l forme ÞÝÑ Fpq ` c, où c est un nombre réel. Eemple On reprend les fonctions f et F de l eemple précédent. Les fonctions F et F définies pr F pq ` ` et F pq ` sont des primitives de f, en effet, pour tout nombre de IR, F pq ` fpq et F pq ` fpq et pour nombre de IR, on F pq Fpq ` et F pq Fpq..b Fonction continue et primitive Propriété Toute fonction continue définie sur un intervllle r ; bs dmet des primitives sur cet intervlle. Démonstrtion Nous vons démontré u prgrphe. que pour une fonction f continue, positive et croissnte, l fonction F définie pr F pq ż pour une fonction continue et positive. fptqdt est une primitive de f (F f), et nous l vons dmis Si f est une fonction continue sur r ; bs, elle dmet un minimum m sur r ; b, utrement dit, pour tout réel de r ; bs, fpq ě m, et pr conséquent fpq m ě. Posons lors : gpq fpq m et insi gpq ě. L fonction g est pr conséquent positive et continue sur r ; bs, puisque f est continue sur r ; bs. On définit lors : Gpq prgrphe.. ż Posons mintennt : F pq Gpq ` m gptqdt et on sit que G est une primitive de g d près l propriété du Ainsi : F pq G pq ` m pfpq mq ` m fpq On donc déterminé une primitive de f, et on sit que toutes les fonctions de l forme F ` k, où k est une constnte, sont des primitives de f...c Détermintion de primitives L propriété et les deu tbleu ci-dessous sont utiles pour déterminer des primitives. On les obtient en lisnt des tbleu de dérivtion «à l envers». Propriété Soient U et V des primitives respectives des fonctions u et v sur un intervlle I, et k un nombre réel. Alors U + V est une primitive de u ` v sur I et ku est une primitive de ku sur I TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre -8

19 II. COURS CHAPITRE. INTÉGRALES ET PRIMITIVES Tbleu Dns le tbleu ci-dessous : f désigne une fonction définie sur un intervlle I, F est une primitive de f, et c est une constnte. fpq Fpq I k constnte k ` c IR ` c IR n n` n ` ` c IR ln ` c s 8 ; r ou s ; `8r ` c s 8 ; r ou s ; `8r?? ` c s ; `8r Tbleu Dns ce tbleu, u est une fonction dérivble sur un intervlle I, et n est un nombre entier. Fonctions u u n u Primitives u n` n ` ln u u u u u u?? u u u e u e u e e ` c IR ` b p q lnp ` bq ` c s 8 ; b r ou s b ; `8r e `b p q e`b ` c IR Remrque : il rrive que pour une fonction donnée, on ne puisse ps déterminer une primitive à l ide des fonctions de références, pr eemple l fonction définie pr fpq e Déterminer une primitive vec l clcultrice TI 89 Pr eemple une primitive de l fonction définie pr fpq est l fonction définie pr Fpq Appuyer sur les touches HOME F Dns le menu déroulnt, choisir : : ş integrte puis compléter insi : ş (^,) Déterminer une primitive vec GeoGebr Reprenons l eemple précédent : une primitive de l fonction définie pr fpq est l fonction définie pr Fpq Ouvrir GeoGebr. Cliquer sur le menu Affichge, puis sur Clcul formel, et fermer les utres fenêtres. Cliquer dns l ligne numérotée, et sisir «Intégrle». On voit une liste, choisir Intégrle[ <Fonction>, <Vrible> ] Compléter insi : Intégrle[, ] Appuyer sur Entrer Le résultt s ffiche en dessous : ` c. On retrouver cette fonction dns le chpitre de probbilité «Loi à densité». TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre -9

20 II. COURS CHAPITRE. INTÉGRALES ET PRIMITIVES. Intégrle d une fonction.. Formule fondmentle pour une fonction continue et positive Pour une fonction f continue et positive sur un intervlle r ; bs, on défini u prgrphe.. l intégrle fptqdt comme une ire sous l courbe de f. On vu ussi que f dmet des primitives sur r ; bs. Soit F une de ces primitives. On sit ussi que l fonction définie pr Gpq ż fptqdt est une primitive de f. Comme F et G sont des primitives de f sur r ; bs, on sit qu il eiste une constnte k telle que F pq Gpq ` k. Remplçons lors pr, on lors : F pq Gpq ` k ż fptqdt` ` k k, donc k F pq. Donc, pour tout réel de r ; bs, on F pq Gpq ` F pq, utrement dit Gpq F pq F pq. En remplçnt mintennt pr b, on obtient Gpbq F pbq F pq, c est à dire fptqdt F pbq F pq...b Intégrle d une fonction de signe quelconque On étend l formule fondmentle du prgrphe précédent u fonctions continues de signe quelconque, d où l définition et l formule ci-dessous. Définition Si F est une primitive d une fonction f sur un intervlle I, et si et b sont deu nombres de cet intervlle, on ppelle intégrle de à b de f l epression F pbq F pq. On écrit : Eemple fpq d F pbq F pq fpq ` Fpq ` ż ˆ p ` q d Fpq Fpq `..c Utilistion des clcultrices Clculons l intégrle TI 8 ż Appuyer sur les touches mth ˆ ` 6 ` 8 p ` q d à l ide de l clcultrice. Compléter insi : fonctintégr(x+,x,,) TI On obtient l ffichge : fonctintégr( Touches HOME (Clc) choisir : ş ( integrte Compléter insi : ş (+,,,) CASIO Touche MENU, choisir RUN touches OPTN F (CALC) F ( ş dx) Compléter insi : ş (X+,,) TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre -

21 II. COURS CHAPITRE. INTÉGRALES ET PRIMITIVES..d Utilistion de GeoGebr Clculons l intégrle ż p ` q d à l ide de GeoGebr. Cliquer sur le menu Affichge, puis sur Clcul formel. Fermer les utres fenêtres. Cliquer dns l ligne numérotée, et sisir «Intégrle». On voit une liste, choisir Intégrle[ <Fonction>, < min>, < m> ] Compléter insi : Intégrle[+,, ] Appuyer sur Entrer Le résultt ect s ffiche en dessous.. Vleur moyenne d une fonction Définition Soient et b deu nombres tels que ă b et une fonction f dmettnt ż une primitive sur l intervlle r ; bs. L vleur moyenne de f sur r ; bs est le nombre fpq d. b b Remrque Si on ppelle m cette vleur moyenne, on l églité m fpq d b donc m ˆ pb q fpq d Donc pour une fonction f positive, cel signifie grphiquement que l ire du rectngle de lrgeur b et de huteur m est égle à fpq d. m b.6 Propriétés de l intégrle.6. Linérité Propriétés Soient f et g deu fonctions dmettnt chcune une primitive sur un intervlle I, et et b deu nombres de cet intervlle. lors : pfpq ` gpqq d fpq d ` gpq d. Soient f une fonction dmettnt une primitive sur un intervlle I, et et b deu nombres de cet intervlle. lors : pk ˆ fpqq d k ˆ fpq d. Eemples : voir l eercice sur fiche n o TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre -

22 II. COURS CHAPITRE. INTÉGRALES ET PRIMITIVES.6.b Signe d une intégrle Propriété Signe d une intégrle Soient f une fonction dmettnt une primitive sur un intervlle I, et et b deu nombres de cet intervlle. Si f ě sur l intervlle I, et si ď b lors : Si f ď sur l intervlle I, et si ď b lors : ż b fpq d ě. fpq d ď..6.c Reltion de Chsles Soient f une fonction dmettnt une primitive sur un intervlle I, et, b, c trois nombres de cet intervlle, lors : fpq d ` ż c fpq d ż c b fpq d. Remrque Interpréttion pour les ires Pour une fonction f positive, si ď b ď c, l reltion de Chsles trduit le fit que les ires s joutent comme on le voit sur l figure ci-contre. C f b c TS Mth J.L. Poncin Lycée Bellepierre -