Les intégrales. C f. A = aire sous la courbe sur [0 ; 1] A = 1 3. II. Deux points de vue. 1 ) 1 er aspect : avec les suites

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1 TS I Introduction ) Prolème Les intégrles II eu points de vue ) er spect : vec les suites Méthode des rectngles (Pscl iemnn) f est une fonction définie, continue et positive sur un intervlle [, ] ( ) n se propose de clculer dns le pln muni d un repère orthogonl l ire du domine limité pr f, l e des scisses et les droites d équtions et f : y =² ) Historique Méthode des rectngles : Pscl iemnn suites i Méthode des fonctions : Leiniz Newton dérivées et primitives A = ire sous l coure sur [ ; ] n sudivise [ ; ] en n intervlles i uchy iemnn (XIX e siècle) : clcul intégrl Avec le théorème des gendrmes, on démontre que : A = u unité d'ire ette méthode est générlisle

2 ) e spect : vec les fonctions dérivées et les primitives (Newton Leiniz) III éfinitions onséquences ) emrque : y A S( ) f est une fonction définie et continue sur un intervlle I Nous svons que f dmet des primitives sur I (théorème de rou) onsidérons deu primitives F et G sur I Il eiste donc un réel k tel que I F G k Etnt donnés deu réels et quelconques dns I, on : F F G k G k G G ) éfinition i f est une fonction définie et continue sur un intervlle I F est une primitive de f sur I S () : ire sous l coure sur l intervlle [ ; ] ( ) n démontre que S est dérivle sur [ ; + [ et que ;, S ' omme S, on en déduit que ; ette méthode est générlisle f est continue et positive sur [, ] S () = ln F() F() où F est une primitive de f et sont deu réels quelconques dns I Le nomre F F ne dépend ps de l primitive F choisie n l ppelle «intégrle de à de f» n le note f d Ainsi, f d F F ) Nottions : symole d intégrtion (S llongé et déformé) L écriture f d est purement symolique i et sont les «ornes d intégrtion» Il y touours ornes d intégrtion es ornes s interprètent comme des scisses dns le 5 ) L ordre des ornes une importnce n n ps forcément l plus petite orne en s et l plus grnde en hut Voir règle du IV ) est l «vrile d intégrtion» : vrile muette, c est-à-dire que l on peut le remplcer pr n importe quelle utre lettre (t, u ) utre que f,, (et d) Le «d» n ps grnde significtion Il sert à délimiter l intégrle Il n ps d influence sur le clcul 4 ) Autre nottion F() F() se note ussi F 4

3 n écrit f d F 5 ) Interpréttion géométrique f est une fonction positive et continue sur un intervlle [, ] ( ) IV Propriétés de l intégrle pour les ornes ) Propriété : ordre des ornes f est une fonction continue sur un intervlle I et sont deu réels quelconques dns I f d f d Attention à l ordre des ornes A d f i A émonstrtion : n note F une primitive de f sur I f d F F F F f d ) Propriété Nous y reviendrons dns le prgrphe VIII 6 ) Eemple lculer l intégrle I 5 d Eistence de l intégrle : L fonction f : 5 est continue sur comme fonction polynôme donc sur l intervlle [ ; ] onc f est intégrle sur [ ; ] lcul pr l «méthode des crochets» : une primitive I 5 I 5 5 (on psse en numérique) I = n peut vérifier les résultts sur clcultrice (voir prgrphe XII) f est une fonction continue sur un intervlle I est un réel quelconque dns I d f émonstrtion : n note F une primitive de f sur I f d = F() F() = ) eltion de hsles f est une fonction continue sur un intervlle I contennt,, c c c f d f d f d émonstrtion : c f d f d F c F F F c c F F f d 5 6

4 V Propriétés pour les opértions lgériques (linérité de l intégrle) ) Propriété (intégrle d une somme) VI Intégrles et inéglités ) Propriété (signe d une intégrle) f et g sont deu fonctions continues sur un intervlle I contennt et n : f g d f d g d émonstrtion : n note F une primitive de f sur I n note G une primitive de g sur I n sit que F + G est une primitive de f + g d f g F G F G F F G G f d g d ) Propriété (intégrle du produit d une fonction pr une constnte) f et g sont deu fonctions continues sur un intervlle I contennt et est un réel quelconque n : f d f d f est une fonction continue sur un intervlle [, ] ( ) Si f sur [, ], lors f d Si f sur [, ], lors f d émonstrtion : n note F une primitive de f sur [, ] d f F F er cs : f sur [, ] F = f donc F est croissnte sur [, ] F F où onc f d e cs : f sur [, ] Idem emrque : (positivité de l intégrle) émonstrtion : n note F une primitive de f sur I n sit que F est une primitive de f d f F F F F F F f d (on effectue une fctoristion) Il fut ien remrquer que ) Propriété («croissnce» de l intégrle) f et g sont deu fonctions continues sur un intervlle [, ] ( ) f d g d Si f g sur [, ], lors émonstrtion : f g sur [, ] onc f g sur [, ] et f g est continue sur [, ] près ), on donc : f g d r pr linérité de l intégrle 7 8

5 f g d f d g d f d g d où f d g d Pr suite, VII Formule d intégrtion pr prties (IPP) ) Formule d IPP u et v sont deu fonctions définies et dérivles sur un intervlle I telles que u et v soient continues sur I et ont deu réels quelconques dns I n : u ' v d u v u v ' d ) émonstrtion ➀ u et v sont dérivles sur I et uv' u ' v uv' ➁ u v et uv sont continues sur I (donc u ' v uv ' ) u ' v u v ' d uv' u ' v d u v ' d pr linérité de l intégrle u v où u ' v d u v ' d u v u ' v d u v u v ' d ) Intérêt de l formule d IPP pour le clcul d intégrles Permet de trnsformer une intégrle «prolémtique» (qu on ne sit ps clculer) en une intégrle plus simple qu on sit clculer 4 ) Eercice lculer l intégrle I sin d Eistence de l intégrle L fonction f : sin est continue sur donc pr restriction sur l intervlle [ ; ] Pr suite, elle est intégrle sur [ ; ] lcul n ne reconnît ps une forme n utilise l formule d IPP u ' v d u v u v ' d er choi : u ' v sin u v' cos n choisit u : et v : sin u et v sont définies et dérivles sur [ ; ] u et v sont continues sur [ ; ] I sin d u ' v d onc d près l formule d IPP : I u v u v ' d I sin cos d I sin sin cos d I cos d n ne sit ps clculer : muvis choi 9

6 e choi : u ' sin v cos u v ' cos n choisit u : et v : u et v sont définies et dérivles sur [ ; ] u et v sont continues sur [ ; ] I sin d u ' v d onc d près l formule d IPP : I u v u v ' d cos cos I d cos cos cos I d I cos d sin I I sin sin 4 4 I 5 ) Quelques méthodes pour ggner du temps dns les choi ln d P hoi : u ' e d où u v 6 ) emrque e d où v' («on tue le») Prfois on est oligé de fire IPP ( u mimum en TS) Eemple : sin d Attention dns les clculs u en prticulier ns ce cs, noter u, v, u et v les fonctions VIII Vleur moyenne d une fonction ) éfinition f est une fonction continue sur un intervlle [, ] ( < ) n ppelle vleur moyenne de f sur, le réel f d ) Interpréttion grphique dns le cs d une fonction continue positive f est une fonction continue et positive sur un intervlle [, ] ( < ) = polynôme hoi : u ' P et v ln («on tue le ln») (n ne connît ps de primitive de ln en Tle) i i e d est l deuième dimension d un rectngle dont l première dimension est et qui l même ire que (domine sous l coure)

7 ) Propriété (inéglité de l moyenne) f est une fonction continue sur un intervlle [, ] ( < ) ; m f M m et M sont deu réels tels que n : m M IX Epression d une primitive à l ide d une intégrle ) Prolème Écrire une primitive d une fonction dont on ne connît ps de primitive ) Théorème émonstrtion () n sit que : ; m f M u v onc pr croissnce de l intégrle ( < ) : u d f d v d emrque sur l intégrle d une fonction constnte : k d k k k k (constnte fois différence des ornes) constnte onc : m f d M f est une fonction définie et continue sur un intervlle I I fié Pour tout réel I, on pose () = intégrle de f de à d f t t (repsser le en rouge) est dérivle sur I et I ' f emrque sur l écriture d Il y deu vriles : et t f t t : t est l vrile d intégrtion (c est une vrile muette) est l vrile de définition de l fonction ) émonstrtion n note F une primitive de f sur I I f t dt m d f M m M ( : ( ) > ) F F cte Pr définition, F est dérivle sur I et I F ' f onc est dérivle sur I et I ' F ' omme f t dt 4 ) Eemple ' f, est l primitive de f sur I qui s nnule en : t e t dt 4

8 L fonction f : est continue t e t g d g t f t t f t dt onc est dérivle sur et ' f e ' i f X Appliction des intégrles u clculs d ires g t f t t en u Aire de = d ) Aire ssociée à l coure d une fonction de signe constnt f : [, ] ( < ) continue de signe constnt f y g ) Unité d ire dns un repère orthogonl f sur [, ] f sur [, ], i, repère orthogonl du pln i d f t t i d f t t I J K u = ire du rectngle IKJ J u K Aire de = f t dt en u d Aire de = f t t en u i I y f f y Eemple : ) Aire du domine compris entre deu coures < f : ; : ; ; f g continue g continue i cm cm u ire du rectngle IJK I J cm cm 6 cm 5 6

9 4 ) Eemples Qudrture de l prole Qudrture de l hyperole n note S(z) l ire de l section à l cote z pour z (Le solide est limité pr les plns d équtions z = et z = ) f : f : Volume du solide S z z (en uv) d Idée : n découpe le solide en minces trnches presque cylindriques i f est continue et positive sur [ ; ] Aire de = t dt t u u i > f est continue et positive sur [ ; ] Aire de = d t t ln t ln ln ln u ln u Méthode pour clculer le volume d un solide vec l formule pr découpge en trnches pr des plns perpendiculires à l e des cotes - n trouve les ornes de l intégrle - n trouve S(z) (on verr en eercices comment le clculer) - n clcule l intégrle ette formule reste vlle pour un découpge en trnches pr des plns perpendiculires à l e des scisses n note S() l ire de l section à l scisse pour (Le solide est limité pr les plns d équtions = et = ) d Volume du solide S (en uv) ette formule reste vlle pour un découpge en trnches pr des plns perpendiculires à l e des ordonnées XI Applictions u clculs de volumes ) Théorème (dmis sns démonstrtion) Formule de clcul pr découpge en trnches pr des plns perpendiculires à l e des cotes L espce E est muni d un repère orthonormé, i,, k n considère un solide délimité pr les plns de cotes et ( < ) ) Volume d une oule 7 8

10 Boule de centre de ryon ( > ) n pplique l formule vec lculons S(z) (l section est un disque) Aire d un disque de ryon r > : r H M V z dz z V z V V 4 V Utilistion de l linérité de l intégrle k 4 V dv (NB : ire de l sphère A 4 ) d HM z onc ) Volume d un solide de révolution (méthode des disques) f est une fonction continue et positive sur [, ] : représenttion grphique de f dns un repère orthonormé, i, z H z M S(z) = ire du disque de centre H et de ryon HM S z HM z S z V S z dz V z dz n considère le solide engendré pr l rottion de utour de l e des scisses S ire du disque de centre H et de ryon HM = f () f V S d f d V f d Le volume du solide est donné pr 9

11 (ette formule est prfois ppelée formule des disques) XII lcul pproché d une intégrle ) Méthode des rectngles (voir eercices) ) Autres méthodes (voir eercices) ) Utilistion de l clcultrice et de logiciels lcul d intégrles vec l clcultrice : Eemple : lculer l intégrle d Avec l TI 8 Y = X GAPH nd lc 7 (déplcer le curseur sur puis Enter puis sur Enter ) Avec l TI 84 plus fnint( X, X,,) Avec l ASI GAPH 5 + ns le mode UN, utiliser l fonction (que l on trouve en fisnt PTN, F4 (AL), F4 ( d) Elle s'utilise comme ceci : (<fonction>,<orne inférieure>,<orne supérieure>) Tper l epression de l fonction tper l orne inférieure c est-à-dire (ici ) orne supérieure c est-à-dire Avec l TI lsspd Intégrle : ns d Avec l TI 89 clcul les intégrles Avec Geoger

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