M : Zribi 4 ème Sc Fiche. Calcul intégral. Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O;i,j).

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Raymonde Desjardins
il y a 6 ans
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1 L.S.Mrs Elridh Clcul intégrl M : Zrii Le pln est rpporté à un repère orthogonl (O;i,j). A) Intégrle d une fonction continue et positive. 1 - Aire et intégrle. Définition Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle ;, et (C ) s coure représenttive. f Le réel noté f(x)dx, ppelé «intégrle de à de f», est l ire, en unités d ire, du domine D limité pr l xe des scisses, l coure (C f ) et les droites d équtions x = et x =. D = M(x;y) : x et 0 y f(x) Remrques et sont les ornes de l intégrle. x est une vrile «muette» : elle peut être remplcée pr n importe quelle lettre à l exception de et. 2 - Vleur moyenne d une fonction continue et positive. Définition Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle ;. On ppelle vleur moyenne de f sur ; le réel : 1 μ f(x)dx -. 1

2 L.S.Mrs Elridh Clcul intégrl M : Zrii Interpréttion grphique μ( - ) = f(x)dx μ est l huteur du rectngle de lrgeur - et dont l ire est égle à l ire sous l coure de f. B) Extension ux fonctions de signe quelconque Définition Soit f une fonction continue sur un intervlle ; et représenttive. On définit l intégrle de à de f de l mnière suivnte : (C f ) s coure si f est négtive sur f(x)dx ire (D) ; lors si f un signe vrile sur ; lors f(x)dx ire (D ) ire (D ) ire (D ) Remrque L définition de l vleur moyenne d une fonction f continue sur un intervlle ;, vec <, reste inchngée quel que soit le signe de f sur ;. C) Intégrle et primitive. Théorème 1 - Primitive s nnulnt en. Soit f une fonction continue sur un intervlle I et un point de I. L fonction F définie sur I pr F(x) = f(t)dt est l unique primitive de f sur I s nnulnt en. x 2

3 L.S.Mrs Elridh Clcul intégrl M : Zrii x 1 Exemple pour tout réel x > 0, lnx = dt 1 t Remrques On ne peut ps employer l même lettre pour l orne vrile x et l vrile «muette» d intégrtion t. L fonction F définie ci-dessus est donc dérivle sur I et F' = f. 2 - Clcul d une intégrle à l ide d une primitive. Théorème Soit f une fonction continue sur un intervlle I et F une primitive quelconque de f sur I. Pour tous réels et de I, on : f(x)dx = F() - F() Remrque : on utilise souvent l nottion, f(x)dx = F(x) F() - F() Conséquences f(x)dx = 0 et f(x)dx = f(x)dx D) Propriétés de l intégrle. 1 - Reltion de Chsles. Soit f une fonction continue sur un intervlle I. Pour tous réels, et c de I : c c f(x)dx + f(x)dx = f(x)dx Interpréttion en termes d ire lorsque f est continue et positive sur I, vec c. Si D est le domine hchuré, lors Aire(D) = Aire(D 1) Aire(D 2) 3

4 L.S.Mrs Elridh Clcul intégrl M : Zrii Applictions f est une fonction continue sur un intervlle contennt et -. - Si f est pire sur- ; +, lors + f(x)dx = 2 f(x)dx - 0 f est impire sur- ; +, lors + - f(x)dx = 0 - Si f est une fonction continue sur, périodique de période T. - Pour tout réel : + T f(x)dx = 0 T f(x)dx 2 - Linérité de l intégrle. Soit f et g deux fonctions continues sur un intervlle I contennt et. Pour tous réels α et β, on : αf(x) + βg(x) dx = α f(x)dx + β g(x)dx 3 - Signe de l intégrle. Soit f une fonction continue sur un intervlle I contennt les réels et tels que. Si f est positive sur Si f est négtive sur ;, lors ;, lors f(x)dx 0. f(x)dx 0. 4

5 L.S.Mrs Elridh Clcul intégrl M : Zrii 4 - Intégrtion d inéglités. Soit f et g deux fonctions continues sur un intervlle I contennt les réels et tels que. Si pour tout réel x de ;, f(x) g(x), lors f(x)dx g(x)dx Interpréttion en termes d ire lorsque f et g sont continues et positives sur ; : Aire(D 1) Aire(D 2) 5 - Inéglité de l moyenne. Soit f une fonction continue sur un intervlle I contennt les réels et, m et M deux réels. Si et si, pour tout x de ;, m f(x) M, lors m( - ) f(x)dx M( - ) Si, pour tout x de I, f(x) M, lors f(x)dx M -. Interpréttion en termes d ire lorsque f est continue et positive sur ; et si m 0 : l ire du domine sous l coure de f (en vert) est comprise entre l ire du petit rectngle (hchuré en rouge) et l ire du grnd rectngle (entouré en leu). 5

6 L.S.Mrs Elridh Clcul intégrl M : Zrii E) Intégrtion pr prties. Théorème Soit u et v deux fonctions dérivles sur un intervlle I telles que leurs dérivées u' et v' soient continues sur I. Pour tous réels et de I : u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - u'(x)v(x)dx Remrques - Le théorème précédent sert à clculer une intégrle lorsqu on ne connît ps de primitive de l fonction à intégrer. - L intégrle f(x)dx peut s écrire 1f(x)dx ; ceci permet d utiliser le théorème précédent pour clculer l intégrle. - Il est prfois nécessire de fire plusieurs intégrtions pr prties successives. 6

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