CRITÈRES DE CHOIX DES TITRES POUR LA DIVERSIFICATION D UN PORTEFEUILLE D INVESTISSEMENTS

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1 CRITÈRES DE CHOIX DES TITRES POUR LA DIVERSIFICATION D UN PORTEFEUILLE D INVESTISSEMENTS G. Gatev A. Malakhova Chare Systèmes et Commande, Unversté Technque de Sofa, Bulgare, E-mal: gatev@tu-sofa.bg, Tél: Ecole Doctorale Internatonale, Centre régonal francophone d ngénere pour le développement, Charе UNESCO, Unversté Technque de Sofa, Bulgare, E-mal: anna_malahova@yahoo.fr, Tél: Résumé: L effet de la dversfcaton est étudé sous condtons d un actf à corrélaton fable, postve ou négatve avec des actfs dfférents en même temps. La sélecton d un actf à ajouter au portefeulle est effectuée en utlsant les coeffcents de Sharpe et Treynor. Le portefeulle est synthétsé en utlsant le modèle de Markowtz et le modèle de marché. La détermnaton du nombre mnmal des actfs pour la dversfcaton est basée sur la stablsaton de la valeur mnmale du rsque du portefeulle, mesuré par la varance (ou l écart-type). L algorthme proposé est démontre par un exemple llustratf. Mots clés: Dversfcaton du portefeulle, frontère effcace, modèle de Markowtz, modèle de marché, ttre de valeur, portefeulle d nvestssement, soluton optmale.. Introducton. La dversfcaton de la composton d un portefeulle d nvestssements a comme but la réducton des fluctuatons éventuelles de la rentablté du portefeulle, c est-à-dre, l obtenton d un écarte-type de la rentablté assez fable []. Même dans le cas d une corrélaton fable et postve, la dversfcaton est possble et souhatable, car le rsque du portefeulle, mesuré par l écart-type, reste nféreur à celu de chaque nvestssement, évalué séparément. Un cas extrême correspond à la parfate corrélaton négatve qu permet d annuler ce rsque totalement. L autre cas extrême, celu de la parfate corrélaton postve, revent à chosr unquement l nvestssement dont le rsque propre est le plus fable [6]. Dans le cas réel l est dffcle de trouver des actfs parfatement corrélés, car un même actf peut avor une corrélaton fable, postve ou négatve avec des actfs dfférents. Souvent on ne sat pas comment sélectonner l actf à ajouter au portefeulle afn qu l sot le plus effcace possble. Il semble actuel d élaborer des crtères pour chosr des actfs à ajouter et pour détermner leur nombre mnmal dans un portefeulle. Dans cet artcle nous proposons d effectuer le chox des actfs à ajouter au portefeulle en utlsant les coeffcents de Sharpe et Treynor [] pour évaluer les actfs ndvduels et les portefeulles des actfs. Comme crtère pour détermner le nombre mnmal des actfs pour la dversfcaton nous proposons d utlser la stablsaton de la valeur mnmale du rsque du portefeulle, mesuré par la varance ou l écart-type.. Concepts de base. D abord on ntrodut les ndces qu sont utlsés pour caractérser un actf []-[4]. La rentablté mensuelle mouvante d un actf, =, n est obtenue comme: R t t = t m, N P P ( t+ m) = ()

2 où P t, P ( t+ m) sont les prx de vente et d achat à la fn et au début d une pérode d nvestssement de jours, m=, N est le nombre d observatons des prx d une pérode de 5-jours, N=5. La valeur mensuelle moyenne de la rentablté d un actf est défne comme: R = N R t N t= m () Le rsque d un actf est caractérsé par la varance dsperson possble des valeurs Rt autour de R : (ou l écart-type ), qu met en évdence la N = ( Rt R ), N t= m = (3) La covarance entre deux actfs et j ndque leur évoluton ensemble [7]. N Cov j = ( Rt R )( R jt R jt ) N t = m La covarance normée est mesurée par le coeffcent de corrélaton : Covj ρ = j (5) j Le rsque systématque, ou non dversfable d un actf, dû à l nfluence du marché, est mesuré par le coeffcent bêta. Ce coeffcent évalue la réponse de la rentablté d une acton aux fluctuatons de la rentablté du marché, mesurée par la rentablté de l ndex du marché I: CovI β I =, I (6) où CovI est la covarance entre la rentablté d actf et celle du marché, et I représente la varance de la rentablté de l ndex I. Le rsque non systématque ou dversfable d un actf, est mesuré par le coeffcent alfa : α I = R β I R I (7) La rentablté d un actf est obtenue comme [8]: R = α + β R + ε (8) I I I I où ε I est une valeur aléatore [3]. La rentablté du portefeulle est obtenue comme: R où p = w n = w R, (9) est le pods de l actf dans le portefeulle. La varance d un portefeulle est détermnée d après le modèle de Markowtz [] comme: p = w w Cov (0) j j j La varance d un portefeulle est détermnée d après le modèle de marché [3] comme: p = β pi I + εp, () n pi = w = β ( β ) () I n ε p = w ε = (4) (3)

3 où est la varance de la valeur aléatore ε ε I. Dans le modèle de marché, le premer composant de la somme () est dt rsque du portefeulle systématque, qu ne peut pas être rédut par dversfcaton, tands que le deuxème composant est nommé rsque dversfable, qu peut être dmnué par dversfcaton. Un portefeulle est dt effcace, s l n exste pas [6]: - de portefeulle ayant le même écart-type mas une espérance de la rentablté supéreure à celle du portefeulle effcace - de portefeulle ayant la même espérance de la rentablté mas un écart-type nféreur à celu du portefeulle effcace. L ensemble des portefeulles effcaces peut être obtenu en résolvant un problème d optmsaton, formulé selon le modèle de Markowtz ou selon le modèle de marché [], [9], [0]: J = w w Cov mn (4) M j Sous contrantes: j j w R = R (5) w w 0 = ou ben J m = β pi I + εp mn (6) Sous contrantes: w R = R (7) w w 0 = L ensemble des portefeulles effcaces de actfs pour des valeurs dfférentes du coeffcent de corrélaton ρ est exposé dans la fgure [6]. Fgure. Représentaton des portefeulles dans le plan espérance écart-type Comme mesures d effcacté du portefeulle d nvestssement on utlse le coeffcent de Sharp (RVAR reward-to-varablty rato ) et le coeffcent de Treynor (RVOL reward-to-volatlty rato ) [], [3]:

4 R p R f RVAR = (8) p R p R f RVOL = (9) β p où est la rentablté de l actf sans rsque («rsk-free asset») [3]. R f 3. Dversfcaton d un portefeulle d nvestssement. 3. Exemple llustratf. On consdère des actfs vendus sur La Bourse Commercale Russe (Russan Tradng System Stock Exchange) []. Nous avons sélectonné 5 actons représentées par des compagnes des branches ndustrelles dfférentes. Les données statstques des actons sélectonnées ont été étudées pour une pérode d une année, notamment septembre août 005. Nous avons détermné les valeurs moyennes de rentablté des actfs par mos et nous avons calculé la matrce des covarances, en utlsant ()-(4). Une parte de la matrce des covarances est présentée dans le tableau. Tableau. Matrce des covarances Pour mettre en évdence l effet de la dversfcaton, nous avons calculé les coeffcents de corrélaton, pour 4 actfs en utlsant (5). Les ttres de valeur et les résultats sont donnés dans le tableau. Tableau. Matrce des corrélatons On vot qu un actf peut avor une corrélaton fable, postve ou négatve, avec des actfs dfférents en même temps. Nous avons synthétsé un portefeulle de 3 actfs prs par hasard, notamment Aeroflot, AptSet, AVAZ, en utlsant (4) et (6). Les résultats, présentés dans la fgure, ndquent que pour la Bourse Commercale Russe le modèle (6) est plus convenable, car le rsque pour attendre la rentablté donnée est plus pett. En ajoutant d autres actfs - le 4 ème, le 5 ème etc. nous dversfons le portefeulle. L effet de la dversfcaton est montré dans la fgure 3.

5 ,075,07,065,06 Marche R,055 Markow tz,05,045,04 0,06 0,065 0,07 0,075 StDev Fgure. L ensemble espérance écart-type selon le modèle de marché et le modèle de Markowtz Fgure 3. L effet de la dversfcaton On peut vor que le portefeulle composé de 4 actfs est plus effcace que celu de 3 actfs et mons effcace que celu de 5 actfs. Parm les portefeulles de la fgure 3 le plus effcace est celu synthétsé de 7 actfs. La prse des actfs par hasard peut être consdéré comme «dversfcaton aveugle» («blnd dversfcaton» []). Il semble actuel d élaborer des crtères pour chosr des actfs à ajouter et pour détermner leur nombre mnmal dans un portefeulle. 3.. Crtères pour chosr des actfs à ajouter et pour détermner leur nombre mnmal dans un portefeulle. Pour mesurer l effet de la dversfcaton, l faut évaluer son nfluence sur la rentablté et sur la varance d un portefeulle. Les coeffcents de Sharpe et Treynor peuvent être utlsés pour comparer les actfs entre eux et pour évaluer l effet de la dversfcaton. Afn d obtenr les valeurs des coeffcents de Sharpe et Treynor nous avons calculé les coeffcents α et β des actfs en utlsant (6) et (7). Nous avons chos actons parm 5, pour lesquelles la valeur de coeffcent de corrélaton est suffsamment grande ( >0.65 ). Les résultats sont présentés dans le tableau 3. Les coeffcents de Sharpe et Treynor ont été calculés pour les actfs sélectonnés en utlsant (8) et (9) et en supposant = %. Les actfs ont été rangés selon les coeffcents de Sharpe et Treynor. R f Les résultats sont présentés dans le tableau 4. Les résultats du tableau 4 montrent que les coeffcents de Sharpe et Treynor donnent des rangements dfférents. Le chox du coeffcent dépend de l nvestsseur. S l possède d autres actfs fnancers, l est plus rasonnable d utlser le coeffcent de Treynor, qu tent compte de la valeur β, la dernère étant une mesure du rsque systématque (ou non dversfable), du à l nfluence du marché. S l ne possède pas d autres actfs, l peut utlser le coeffcent de Sharpe.

6 Selon le coeffcent de Sharpe nous avons sélectonné les premers 3 actfs parm les, pour commencer la synthèse, et nous avons calculé la frontère effcace. Les résultats sont montrés dans la fgure 4. Tableau 3. Valeurs statstques d analyse de régresson Tableau 4. Rangement des actfs selon les coeffcents de Sharpe (RVAR) et Treynor (RVOL),07,07 Return,068,066,064,06,06 StDev,058 0,06 0,06 0,06 0,063 0,064 0,065 0,066 0,067 Fgure 4. Frontère effcace pour les portefeulles composés de 3 actfs Nous avons synthétsé les portefeulles de 4 nstruments (en consdérant tous combnasons possbles des 3 choss et un 4 ème nstrument) en fxant la rentablté souhatable au nveau 6%. Pour chaque combnason on a évalué les coeffcents de Sharpe et Treynor pour le portefeulle (tableau 5). Le 4 ème actf, notamment AptSet, à ajouter au portefeulle a été sélectonné selon le coeffcent de Sharpe. Noter que, comme dans le cas précédent du Tableau 4, le coeffcent RVOL (de Treynor) détermne un autre actf à ajouter, notamment BashkrEn. De la même façon on a sélectonné le 5 ème, 6 ème, 7 ème et 8 ème actf. Les résultats sont présentés dans le tableau 6.

7 Tableau 5. Les paramètres des portefeulles composés de 4 actfs Tableau 6. Les paramètres des portefeulles Number of assets Weght of the Asset SBER 0, , , , , LKOH 0, , , , , Kalna 0, , , , AptSet 0 0, , , , BashkrEn 0 0 0, , , EESR GMKN SGNG Portfolo parameters BetaPort 0, , , , , Varance 0, , , , , StDev 0, , , , , RVAR 0, , , , , RVOL 7, ,0969 7, , , L effet de la dversfcaton est présenté dans la fgure 5. On peut vor qu à partr du 5 ème actf le rsque du portefeulle ne dmnue pas consdérablement et la soluton optmale pratquement ne change pas (vor tableau 6). Fgure 5. L effet de la dversfcaton Nous avons évalué l effcacté de portefeulle de 5 actfs en comparant sa rentablté avec la rentablté du marché des actons, mesurée par la rentablté de l ndex de marché RTS-Index [] (vor fgure 6). La valeur de coeffcent PQ [0] égale à 8,6% ndque une bonne performance du portefeulle composé. Rappelons que ce coeffcent représente une mesure de l effcacté d un portefeulle.

8 ,, 0,9 0,8 0, Portf RTS Fgure 6. La rentablté du portefeulle et celle de marché (mesuré par RTS-Index) 4. Dscusson Le chox ntal des papers de valeur par l nvestsseur dépend des ndces des ttres de valeur, comme nveau de lqudté, coeffcents EPS, DPS, P/E, etc. [5]. Ayant sélectonné les ttres de valeur qu convennent, l nvestsseur peut les combner selon la procédure de chox des actfs proposée. Dans l étude du portefeulle consdéré, nous avons proposé de dversfer le portefeulle, en prenant au mons les 5 actfs détermnés c-dessus pour rédure le rsque. Ce nombre est obtenu à la base de la (quaz)stablsaton de la valeur mnmale de la varance du portefeulle. 5. Concluson Dans cet artcle nous avons proposé une procédure pour sélectonner les actfs à nclure dans un portefeulle selon les coeffcents de Sharpe et Treynor. Ces coeffcents sont utlsés pour comparer les actfs ans que pour évaluer l effet de la dversfcaton. Une approche a été proposée pour détermner le nombre mnmal des actfs pour la dversfcaton du portefeulle, basée sur la stablsaton de la valeur mnmale de la varance du portefeulle. Références [] D.G. Luenberger, Investment scence, Oxford Unversty Press, 998, New York [] F. J. Fabozz, Investment Management, Prentce Hall Internatonal, Inc., 995 [3] W.F. Sharpe, G.J. Alexander, J.V. Beley, Investments, Prentce Hall Internatonal, Inc., 995, New Jersey [4] Z. Bode, A. Kane, A.J.Marcus, Essentals of Investments, McGraw-Hll, 00, New York [5] Н.Коларев. Методи на корпоративни финансы, Сиена, 00, София [6] G.Causse, A.Chevaler, G.Hrsch, Management fnancer. Analyse, décson, contrôle, 979, Srey. [7] V.E. Gmurman, Probabltes and statstcs, Hgher School, 999, Moscow [8] R.Ferrander, V.Koen, Marchés de Captaux et Technques Fnancères, Economca, 994, Pars [9] G.Gatev, A.Malakhova, The Asset Allocaton Problem Under Parametrc Uncertanty, Proceedngs of the Thrd Internatonal Conference on Challenges n Hgher Educaton and Research n the st century, June -3, 005, Sozopol, Bulgara, p [0] G.Gatev, A.Malakhova, Optmzaton Models for Investment Portfolo Analyss, Proceedngs of the Internatonal Conference Automatcs and Informatcs 05, Sofa, October, 3-5, 005, Bulgara, Unon of Automaton and Informatcs, p []