Département de Génie Civil Faculté des sciences de l ingénieur Université Saâd Dahleb de Blida

Transcription

1

2 Ali BOUAFIA Département de Génie Civil Faculté des sciences de l ingénieur Université Saâd Dahleb de Blida MÉCANIQUE DES SOLS APPLIQUÉE PROBLEMES RÉSOLUS Editions Office des Publications Universitaires 1

3 Photos de couverture Vue et schéma de la célèbre tour penchée à Pise (Italie). Cette tour fut commencée en 1173 par Bonanno Pisano et achevée en De forme cylindrique, elle comporte 8 étages de 07 colonnes superposées et une hauteur de m. La fondation repose sur une couche de sable argileux de 4 m d épaisseur, surmontant du sable. Ce dernier surmonte une couche d argile molle. La pression transmise au sol en cas de la verticalité est de 514 kn/m et de 916 kn/m au maximum après son inclinaison. Il s agit d un exemple concret de tassement différentiel dû à la consolidation lente de l argile molle, cette dernière n étant pas homogène. Actuellement, on note une vitesse de tassement d environ 1 mm/an. Le tassement de la partie penchée a atteint 150 cm. (Source : Chantiers de France, N 3, Juillet-Août 1999) La photo d arrière plan illustre une vue de la surface d un terrain argileux gonflant subissant un retrait remarquable en période de sécheresse, pouvant se propager à des profondeurs importantes dans le sol. La zone de fluctuation saisonnière de la teneur en eau varie de 1 à 1 m de profondeur. Le cycle de gonflement/retrait de cette argile peut induire des pressions de soulèvement de l ordre de 60 kpa et engendrer des désordres importants aux ouvrages légers. Ouvrages du même auteur - Introduction au calcul des fondations, éditions SAB Alger, ISBN , année 003, 144 p (épuisé). - Mécanique des sols - Principes de base et exercices résolus, éditions EL-Maârifa Alger, ISBN , année 004, 57 p (épuisé). - Essais in-situ dans les projets de fondations, éditions OPU ISBN , année 004, 305 p. - Calcul pratique des fondations et des soutènements, éditions OPU, ISBN , année 005, 46 p. - Introduction à la dynamique des sols, Tomes I et II, éditions OPU, année Conception et calcul des ouvrages géotechniques, éditions SAB Alger, année 008, 367 p.

4 Table de matières Avant-propos de la première édition 4 Avant-propos de la seconde édition 5 Chapitre1. Propriétés physiques du sol 9 Chapitre. Reconnaissance et classification des sols 31 Chapitre 3. Ecoulement de l eau dans le sol 61 Chapitre 4. Distribution des contraintes dans le sol 103 Chapitre 5. Consolidation des sols fins 19 Chapitre 6. Résistance au cisaillement du sol 171 Chapitre 7. Enseignement de la mécanique des sols assisté par ordinateur 13 3

5 AVANT-PROPOS DE LA PREMIERE EDITION Le présent ouvrage a pour objectifs de présenter les applications des principes de la mécanique des sols aux projets de construction. Loin d être un traité académique ou un formulaire condensé, ce livre se veut d exposer, à l aide des problèmes résolus, les méthodes couramment utilisées par les ingénieurs pour l analyse du comportement du sol. De par cet objectif fixé, ce livre est destiné aussi bien aux étudiants universitaires en formation d ingénieur, qu aux ingénieurs désirant s initier ou revoir les bases de la mécanique des sols. Les problèmes présentés ont été sélectionnés par souci porté au côté pratique. Plusieurs d entre eux traitent d un cas réel issu d un projet de fondations. Quelques développements des aspects théoriques sont présentés sous forme de problèmes, en fin de chaque chapitre, afin de mettre en évidence la signification physique de certains paramètres de comportement du sol. Chaque chapitre commence par un bref rappel des notions nécessaires à la résolution des problèmes. Ce rappel n a pas la prétention de couvrir les connaissances fournies par un cours de mécanique des sols à l université. Malgré l effort fourni, tant de fond que de forme pour mettre au point ce livre, la première édition ne prétend pas être parfaite. Les lectures critiques seront les bienvenues pour des futures améliorations de ce livre. L auteur estime qu un tel ouvrage sera une contribution modeste à l introduction aux futurs ingénieurs d une discipline aussi importante qu est la mécanique des sols appliquée à la construction. Ali BOUAFIA Alger, le 14 mai

6 AVANT-PROPOS DE LA SECONDE EDITION Il va sans dire qu après huit ans de l apparition de la première édition de ce modeste livre, sa révision aussi bien sur le plan forme que contenu est devenue plus que nécessaire; d autant qu elle est complètement épuisée et un besoin a été ressenti auprès des étudiants d avoir à leur disposition un manuel de résolution des problèmes de mécanique des sols. Force est de dire que le contenu de ce livre a subi un aménagement de fond en mettant l accent sur les principes de la mécanique des sols, en limitant le nombre de chapitres aux six premiers, en l occurrence les propriétés physiques du sol, la reconnaissance et classification des sols, l hydraulique du sol, le calcul des contraintes, la consolidation des sols fins, et enfin la résistance au cisaillement. Le reste des chapitres traite plutôt le calcul des fondations et des soutènements, ce qui a été suffisamment développé dans des ouvrages ultérieurs à la première édition, aussi bien en termes de cours didactique que des exercices résolus *. Il a été ainsi procédé à l allégement du contenu du livre, en focalisant sur les notions fondamentales et les principes. En outre, bien que les principes de base ont été le sujet principal d un autre livre **, le rappel des notions requises pour résoudre les exercices a été quand même étendu et développé. Chaque chapitre commence par un rappel des notions, énonce les exercices, et regroupe les solutions en fin du chapitre. Dans un souci de concrétiser les principes de la mécanique des sols, présentés dans les différents chapitres de ce livre, des séquences de vidéos didactiques, des présentations en diapositives et des programmes sur PC ont été sélectionnés et mis à la disposition du lecteur. * Cours de calcul des fondations et des soutènements : Conception et calcul des ouvrages géotechniques, éditions SAB Alger, année 008, 367 p. Exercices de calcul des fondations et des soutènements : Calcul pratique des fondations et des soutènements, éditions OPU, ISBN , année 005, 46 p. ** Cours de mécanique des sols de base : Mécanique des sols - Principes de base et exercices résolus, éditions EL-Maârifa Alger, ISBN , année 004, 57 p. 5

7 D une valeur pédagogique sûre, ces outils d enseignement assisté par ordinateur aident d une part l étudiant à assimiler les principes de la mécanique des sols, et d autre part l enseignant à mieux présenter son cours. De tels outils ne sont qu un spécimen des riches ressources dont jalonnent les websites éducatifs voués à la géotechnique. La mise au point de la forme actuelle de cette édition a exigé un effort particulier que mon épouse a aimablement pris en charge.qu elle en soit ici profondément remerciée. Alger, le 05 juin 008 Ali BOUAFIA Université Saâd Dahleb de Blida Faculté des sciences de l Ingénieur Département de Génie Civil Soildyn07@yahoo.fr 6

8 CONSOLIDATION DES SOLS FINS 5.1. INTRODUCTION La consolidation primaire d'un sol fin saturé de faible perméabilité correspond au tassement au fur et à mesure de l évacuation de l eau interstitielle, sous l'effet de la surpression u créée par une pression appliquée au massif. Au cours de cette opération, les contraintes effectives dans le squelette granulaire augmentent dans le temps jusqu'à la reprise totale de l'augmentation σ v de la contrainte totale. En contre partie, la pression interstitielle diminue et tend en fin de consolidations vers la pression hydrostatique u 0. Ce chapitre présente le phénomène de consolidation des sols fins, tels que les argiles et limons, les expériences nécessaires pour l'obtention des paramètres de calcul, et les méthodes les plus couramment utilisées pour estimer le tassement final d'un ouvrage ainsi que la vitesse de consolidation du sol. 5.. EVOLUTION DU TASSEMENT DANS LE TEMPS Le modèle analogique illustré à la figure 5. permet de concrétiser le phénomène de consolidation d'une couche de sol saturé soumise à une pression q en surface. Le squelette solide est représenté par un ressort élastique et la fente dans le piston représente la perméabilité du sol. Au moment de l'application de la charge q, l'eau encaisse seule toute la valeur de q et le ressort n'est pas comprimé. Ainsi, à t = 0 : σ v = u et σ v = 0 (5.1) 19

9 Ensuite, sous l'effet de la surpression u, l'eau commence à s'évacuer de la fente du piston, et le ressort reprend au fur et à mesure une part de la charge q. Autrement dit, la contrainte effective augmente dans le temps et en contre-partie, la surpression interstitielle diminue, telles qu en un temps t donné : u = f(t)q et σ v = [1- f(t)]q (5.) f(t) est une fonction du temps qu on déterminera ultérieurement. L'augmentation de σ v s'exprime par une compression du ressort, soit s, ce qui représente le tassement du sol. Le phénomène évolue jusqu à ce que la surpression interstitielle se dissipe, et le ressort reprend toute la charge q c'est à dire qu'on aura à t = t 100% : u = 0 et σ v = σ v (5.3) On parle alors de la fin de la consolidation. Le temps t 100% nécessaire à cette opération est théoriquement infini, mais en pratique il correspond à une dissipation presque totale de la surpression interstitielle. La figure 5.3 illustre l'évolution de la contrainte effective, de la pression interstitielle et du tassement avec le temps. Dans un sol perméable saturé, une surcharge induit un écoulement instantané de l'eau interstitielle, la consolidation ne se manifeste pas et ce type de sols manifeste un tassement instantané s i. Le phénomène de consolidation se visualise dans les sols fins à faible perméabilité, notamment dans les sols où la perméabilité est négligeable devant la vitesse de chargement. Le tassement de ce sol évolue dans le temps jusqu'à l'annulation des surpressions interstitielles u, et atteint alors une valeur s c. Un tel comportement est dit à long terme et ce type de consolidation est appelé consolidation primaire. Au-delà de ce stade, le tassement du sol se manifeste toujours et est dû à un réarrangement des grains et à des déformations plastiques des couches d'eau adsorbée entourant les grains argileux, sous des contraintes effectives constantes dans le temps. Un tel phénomène est appelé fluage, et la consolidation dans cette étape est dite secondaire. Le tassement évolue très lentement et est prépondérant dans les sols pratiquement imperméables comme la vase et la tourbe. Le tassement atteint dans ce stade est noté s f. 130

10 Figure 5.. Modèle analogique expliquant le phénomène de consolidation Figure 5.3. Evolution des contraintes et du tassement au cours de la consolidation Dans un sol sec, le phénomène de tassement peut se composer de deux phases: - compression primaire, dans laquelle le volume des vides se réduit par expulsion de l'air, avec un tassement instantané, - compression secondaire, analogue à la consolidation secondaire où le tassement évolue lentement. En conclusion, le tassement du sol peut se produire suivant trois 131

11 étapes, chaque étape pouvant être prépondérante par rapport aux autres, suivant la nature du sol. On peut écrire en général que : s = s i + s c + s f (5.4) 5.3. EQUATION DE LA CONSOLIDATION PRIMAIRE Hypothèses Pour les besoins de la pratique, l'équation de consolidation de Terzaghi-Rendulic (1943) est couramment utilisée. Celle-ci repose sur les hypothèses suivantes : 1. le sol est formé d'une couche compressible homogène,. Le sol est saturé et reste saturé d'eau au cours de la consolidation et comporte au moins une face drainante, 3. La loi de Darcy généralisée aux milieux tridimensionnels anisotropes est applicable, 4. Les particules du sol et de l'eau sont incompressibles, 5. Les coefficients de perméabilité n'évoluent pas dans le temps, 6. Il existe une relation linéaire entre la contrainte effective moyenne et la variation du volume du sol. Autrement dit, on suppose que le sol suit une loi d élasticité linéaire Mise en équations Considérons une couche compressible ayant une épaisseur H et limitée par deux couches perméables. Sur ce sol repose un ouvrage exerçant une surcharge q à l'instant t = 0 (voir figure 5.4). On montre que la consolidation est décrite par l équation suivante : C v x u + C x u + C y u σ x + σ y + + ( z t 3 σ z vy v z u ) = t (5.5) Il s agit de l'équation fondamentale de la consolidation tridimensionnelle d'une couche de sol élastique saturé compressible soumis à une surpression interstitielle due à un chargement en surface. Le coefficient C vi est appelé coefficient de consolidation selon la direction i. 13

12 Figure 5.4. Consolidation d une couche argileuse drainée des deux faces. La résolution de cette équation permet d'obtenir la distribution de la pression interstitielle u(x,y,z,t) d'un point quelconque de la couche au cours de la consolidation. Avant d'aborder les méthodes de résolution de cette équation, il est utile d'analyser les hypothèses qui ont mené à la formulation du problème. L'hypothèse 1 d'un sol homogène coïncide rarement avec le cas d'un sol réel. Ce dernier possède des caractéristiques variables dans l'espace et est naturellement hétérogène. L'hypothèse concernant la saturation du sol par l'eau exclut le traitement des sols non-saturés qui sont à l'heure actuelle mal connus. L'hypothèse 3, bien qu'elle a l'ambition de tenir compte de l'anisotropie du sol en faisant intervenir des coefficients de perméabilité différents suivant les trois directions crée une difficulté pratique quant à la détermination expérimentale de ces coefficients pour un sol. On peut cependant agir d une manière approchée en estimant des coefficients de perméabilité verticale, et horizontale d'un terrain homogène anisotrope équivalent, mais les risques d'erreur à cause de cette procédure ne sont pas négligeables. L'hypothèse 4 concernant l'incompressibilité de l'eau interstitielle n'est pas rigoureusement vérifiée, notamment dans le cas des sols argileux organiques pouvant contenir des gaz organiques dissous dans l'eau, et l'eau qui va subir une surpression sera ainsi comprimée. L'hypothèse 5 est une simplification considérable du problème, dans le but d'obtenir des coefficients de consolidation C v constants dans le 133

13 temps, et d'aboutir ainsi à une équation aux dérivées partielles simple à résoudre numériquement, Mais la réalité est tout à fait différente. En effet, le coefficient de perméabilité, comme il a été déjà vu au chapitre 3, dépend sensiblement du volume des vides et va par conséquent évoluer à priori d'une façon non négligeable au cours de la consolidation. Néanmoins, pour des tassements faibles dus à des contraintes en deçà de la pression de préconsolidation, il est possible d'admettre un coefficient de consolidation C v invariable dans le temps au cours de la consolidation. Mais dans les sols normalement consolidés, cette hypothèse est assez grossière. Enfin, l'hypothèse 6 concernant la relation linéaire entre les contraintes et les déformations n'est pas expérimentalement vérifiée. Il faut noter enfin qu'il est tout à fait possible de remédier à certaines hypothèses simplificatrices, en procédant par résolution numérique de l'équation à l'aide d'un ordinateur. En effet, si le sol est hétérogène, il est possible de le découper en des sous-couches, chacune considérée comme étant homogène. On peut aussi tenir compte de la variation de la perméabilité au cours de la consolidation en lui proposant une loi de variation, et ainsi le coefficient de consolidation ne devient plus un paramètre intrinsèque, mais une fonction de l'indice des vides. Tavenas et al (1979) ont proposé une loi logarithmique liant la perméabilité à l indice des vides, telle que : e = A + B.Log(K) (5.6) Enfin, on peut proposer une autre loi de comportement pour le sol autre que la loi élastique, et établir l'équation de consolidation. La méthode générale de résolution se base sur l'approximation de l'équation de consolidation par différences finies, et de procéder par itérations sur la loi contrainte-déformation et celle de l'évolution des caractéristiques du sol au cours de la consolidation. On cite, à titre d exemple, le logiciel CONMULT du Laboratoire Central et Chaussées en France, qui se base sur ce principe et permet de traiter un multicouches en cours de consolidation Définition des conditions initiales et aux limites En supposant qu'avant le chargement, les conditions initiales en un point donné sont : 134

14 σ (x,y,z) = σ 0 (x,y,z) (5.7) σ'(x,y,z) = σ 0 '(x,y,z) (5.8) u(x,y,z) = u 0 (x,y,z) (5.9) A t = 0, en appliquant une surcharge q en surface, on aura : σ x (0) = σ 0x + σ x (0) (5.10) σ x '(0) = σ 0x ' (5.11) u(0) = u 0 + u(0) (5.1) x désigne une direction quelconque. Au niveau des faces drainantes de la couche, la surpression interstitielle est nulle à tout instant, car les couches supérieures sont par définition très perméables. Donc à tout instant t, on a : u(0,t) = u(h,t) = u 0 (5.13) On remarque que dans l'équation aux dérivées partielles, il est possible de faire intervenir la surpression interstitielle au lieu de la pression u, et les variations de contraintes σ au lieu de σ. Posons u = u 1. On a alors : u(z,t) = u 0 (z)+ u(z,t)= u 0 (z) + u 1 (z,t) (5.14) ce qui permet de réécrire l équation de consolidation, en supposant que le sol est un matériau homogène élastique isotrope et que l écoulement est tridimensionnel, comme suit : u Cv ( x u + y u σ x + σ y + σ 1 z u + ) + ( ) = z t 3 t (5.15) avec : KE C v = (5.16) 3γ (1 ν ) w E et ν sont respectivement le module d Young et le coefficient de Poisson du sol. Le module de déformation volumique a été déduit en écrivant la loi d élasticité généralisée de Hooke, entre les contraintes et 135

15 déformations. Cette équation décrit, par exemple, la consolidation d un sol argileux sous une semelle carrée de faible dimensions dans un bâtiment. Dans le cas d'un écoulement bidimensionnel, ce qui peut se manifester dans un sol fin sous une semelle continue, l'équation de consolidation se réduit à : u1 Cv ( x u + z σ x + σ z u ) + ( ) = t t 1 1 (5.17) avec : KE C v = (5.18) γ (1 ν (1 + ν )) w Enfin, dans le cas d'un écoulement unidimensionnel, ce qui est le cas d un radier dont les dimensions sont grandes par rapport à l épaisseur de la couche du sol, on aboutit à : C u z σ z + t u = t 1 1 v (5.19) avec : KE(1 ν ) C v = (5.0) γ (1 + ν )(1 ν ) w Les conditions initiales et aux limites s'écriront par exemple dans le cas d'un écoulement unidimensionnel, comme suit : - t = 0 : u 1 (z,0) = σ z (z) (5.1) - A tout instant u 1 (0,t) = u 1 (H,t) =0 (5.) Si la couche a une face drainante, on écrira que pour l'autre face imperméable la vitesse d'écoulement est nulle, c'est à dire que u 1 / Z =0. Les conditions aux limites deviennent alors: - t = 0 : u 1 (z,0) = σ z (z) -A tout instant : u 1 (0,t)=0 et u 1 / z=0 pour z=h si la couche imperméable est en haut. 136

16 Les équations établies précédemment sont à résoudre en général suivant des méthodes numériques, telles que les différences finies ou les éléments finis. Biot (1941) a présenté une méthode de calcul, mais elle a été abandonnée en pratique à cause de sa complexité mathématique. Actuellement, la calcul numérique en géotechnique a pris un essor considérable suite à la révolution de l'informatique au cours de ces dernières décennies. Mais dans la pratique des projets, il est de coutume que l on préfère résoudre des équations plus faciles que les précédentes bien que moins rigoureuses. Ce sont les équations de Terzaghi-Rendulic (1943). L'hypothèse supplémentaire adoptée par ces chercheurs est que la contrainte totale moyenne en un point donné de la couche n'évolue pas dans le temps au cours de la consolidation, c'est à dire que dans le cas de consolidation tridimensionnelle on suppose que : σ x + σ y + σ z ( ) = 0 t 3 (5.3) Cette hypothèse est assez grossière, notamment pour les points proches des faces drainantes, où la surpression interstitielle est pratiquement nulle, et les contraintes totales sont variables, du fait que les variations de contraintes totale et effective sont égales, et cette dernière évolue avec le tassement de la couche. On se limite ci-après à présenter la solution analytique de l'équation de la consolidation unidimensionnelle en cas d une couche drainée des deux faces. Le coefficient de consolidation est supposé constant ne variant pas au cours de la consolidation. Enfin, l augmentation des contraintes est supposée constante avec la profondeur et égale à la pression en surface. Les résultats obtenus sont utilisés couramment dans les projets,bien que les hypothèses sur lesquels repose l'équation sont simplistes et ne représentent pas le comportement physique réel du sol. On montre que l'expression de u est donnée par : u = 1 mz i= m T q sin( ) e v (5.4) i= 0 m H 137

17 m = π (i + 1) (5.5) T v = C v t/h est appelé facteur temps. On définit le degré de consolidation d'un point à la profondeur donnée, en un instant t par : var iation du volume à Z à l' ins tant t U ( z, t) = (5.6) variation finale du volume à Z ce qui peut s écrire comme suit : tassement à Z à l' ins tant t U ( z, t) = tassement final à Z σ '( t) σ '(0) = ' σ σ '(0) = σ ( t) u u (0) 1 1 ( t) u1(0) u1( t) u1( t, z) U ( z, t) = = 1 (5.7) u1(0) u1(0, z) On peut calculer un degré de consolidation moyen pour toute la couche, qu on définit par H 1 U moy = U ( t, Z). dz (5.8) H 0 Après tous calculs faits, on trouve : m T U ( t) = 1 e v (5.9) i= 0 m Cette expression est valable pour une couche drainée des deux faces et un profil linéaire de σ v (z), ainsi que pour une couche drainée d'une seule face avec un profil σ v (z) constant avec la profondeur. Pour les besoins de calcul manuel, les trois premiers termes de l'expression sont en principe suffisants pour la précision des résultats. On montre que U moy (t)= s(t)/s( ), s étant le tassement de la couche du sol. On note que la fin de consolidation (U=100%) correspond pratiquement à T v =. 138

18 La fonction U= f(tv) est tabulée dans le tableau 5.1, et représentée à la figure 5.5, pour différents cas de distribution de la surpression initiale σ v, et de drainage. Une formule approchée proposée par Hansen pour estimer la valeur de U est : U T 3 v = 6 (5.30) Tv Le cas où la couche d'argile comporte une seule face drainante peut se traiter suivant le même principe, en tenant compte des conditions aux limites dans la face imperméable et dans l hypothèse d une distribution uniforme de σ v. On peut utiliser la solution obtenue précédemment, en considérant seulement la demi-épaisseur de la couche. En effet, comme le montre la figure 5.4, la ligne médiane de la couche correspond à une vitesse d'écoulement nulle par symétrie. Autrement dit, on peut considérer cette ligne médiane comme une face non drainante. La solution présentée ci-dessus peut être généralisée en définissant la distance de drainage d comme étant égale à l'épaisseur ou à la demi-épaisseur selon que la couche a respectivement une seule face drainante ou deux. Le facteur de temps sera alors défini comme suit : T Cvt d v = (5.31) Tableau 5.1. Valeurs de T v en fonction de U% pour différents cas de chargement U % Cas C 1 Cas C Cas C

19 Figure 5.5.Diagramme U(%)=f(T v ) pour les différents cas de chargement 5.4. HISTOIRE DES CONTRAINTES DANS LES SOLS Le sol est un matériau non élastique qui se déforme d'une façon plus ou moins irréversible. Ce fait est dû à plusieurs facteurs, parmi lesquels le caractère granulaire discontinu du sol. Ainsi, si le matériau du sol a subi au cours de son histoire géologique 140

20 une contrainte donnée, soit σ c '(poids d'une couche formée récemment par exemple), il se déformera. En cas de déchargement (altération et transport des matériaux des couches superficielles, couches de glaces fondues...), le sol se décharge, mais ne revient pas à son état initial. Le sol se déforme peu s'il est soumis à une contrainte plus faible que la contrainte σ c ', mais la déformation est par contre plus importante que la déformation actuelle si la contrainte appliquée est plus grande que σ c '. Cette dernière est appelée contrainte de préconsolidation, et il importe de la déterminer pour délimiter les deux phases de déformation du matériau sous les charges d un ouvrage. Usuellement, la contrainte de préconsolidation est définie comme étant la plus grande contrainte verticale sous laquelle le matériau s est consolidé au cours de son histoire géologique. Cependant, il convient de préciser qu'il arrive, à cause de l'effet des agents chimiques, de la cimentation et de la dessiccation du sol, que ce sol peut présenter une contrainte de préconsolidation plus grande que la plus grande contrainte due au chargement au cours de l'histoire du matériau. La notion de contrainte de préconsolidation est limitée aux sols fins doués de consolidation. Dans les sols pulvérulents (sables, graviers ), le tassement se manifeste instantanément, et on peut définir d'une manière analogue une contrainte de précompression, bien qu'elle soit difficile à déterminer au laboratoire, vu le problème d'obtention des échantillons intacts pour ce type de sols. On parle d'un sol fin : Surconsolidé si la contrainte effective due au poids des terres σ v0 ' est inférieure à σ c ', Normalement consolidé si σ v0 ' est égale à σ c ', Sous consolidé si σ v0 ' est supérieure à σ c '. Il s'agit des sols de formation récente, en cours de consolidation sous leur propre poids tels que la vase, la tourbe et certains sols organiques. Selon Magnan, si on obtient une telle inégalité dans un essai de compressibilité au laboratoire, ceci est signe d'une anomalie d essai ou d'un échantillon très remanié ETUDE DE LA COMPRESSIBILITE AU LABORATOIRE Appareillage de l essai de compressibilité La compressibilité d un sol fin est usuellement étudiée au laboratoire à travers un essai oedométrique. L'échantillon, placé dans moule rigide à 141

21 parois lisses, subit uniquement une déformation verticale, les déformations latérales étant nulles. Il existe plusieurs essais oedométriques qui différent par leur mode opératoire et l'objectif à atteindre. Les essais les plus fréquents dans les projets sont l'essai par paliers et l essai de fluage. Comme le montre la figure 5.6, l'échantillon du sol est en contact avec deux pierres poreuses qui facilitent le drainage de l'eau interstitielle. Un piston rigide transmet l'effort appliqué à l'échantillon. Dans un essai à contraintes imposées, on applique le plus souvent un effort sur l'échantillon à l'aide d'un système de bras de levier, comme le montre la figure 5.7. Un ensemble de disques de poids connu sont posés dans un plateau, ce qui fait pivoter le levier lié à l'étrier et l'effort est ainsi transmis au piston. Dans le cas où l'essai est fait à des déformations contrôlées, on utilise une presse, la vitesse d'avancement du plateau de la presse étant fixée Essai de compressibilité par paliers Le programme de chargement comporte une série de paliers de pressions verticales, chacun durant 4 heures. A partir des résultats obtenus, on trace sur un graphique semilogarithmique la variation de l'indice des vides e en fonction du logarithme décimal de la pression appliquée σ'. La figure 5.8 illustre un exemple de courbe oedométrique. Figure 5.6. Schéma d un moule oedométrique 14

22 Figure 5.7. Bâti oedométrique avec chargement par l avant En général, la courbe obtenue est composée de deux parties distinctes, la première étant légèrement curviligne, et la deuxième est quasi-linéaire. Physiquement parlant, la première partie indique une légère variation de l'indice des vides en fonction des contraintes appliquées. Au-delà de σ c ', le comportement du matériau est décrit par la deuxième partie de la courbe caractérisée par une diminution plus importante de l'indice des vides. La contrainte de préconsolidation peut être estimée d'une façon approximative en reliant la pente à l'origine de la première partie de la courbe à la droite représentant la deuxième partie. Il existe de nombreuses méthodes pour estimer σ c ', mais elles sont imprécises car elles dépendent de l'appréciation subjective de certaines caractéristiques géométriques de la courbe oedométrique. On présente à titre d'exemple la méthode de Casagrande (1930). Dans la courbe de compressibilité schématisée à la figure 5.9, on détermine le point M ayant le rayon de courbure minimum. On trace une horizontale AM à partir du point M, et une tangente à la courbe au point M, soit BM. Le prolongement de la partie linéaire de la courbe coupe la bissectrice de l'angle (MB,MA) en un point N. L'abscisse du point N est la contrainte σ c '. Il est évident que le résultat obtenu dépend de l'appréciation du rayon de courbure minimum. 143

23 Figure 5.8. Exemple de courbe de compressibilité oedométrique Butterfield et al (1979) ont proposé une autre méthode de détermination de σ c '. Il s agit de tracer plutôt le logarithme de (1+e) en fonction du logarithme de σ, ce qui permet selon les auteurs, de mieux distinguer deux droites dont l'intersection donne σ c '. A partir de la courbe de compressibilité, on définit : - le coefficient de suconsolidation C s, pente de la partie de la courbe définie pour σ v < σ c et assimilée à une droite, telle que 144

24 e e 1 = - C s (Log σ Log σ 1 ) (5.3) - le coefficient de compression C c, pente du tronçon de la courbe définie par σ v > σ c, appelée courbe vierge, qu'on peut l assimiler à une droite d'équation : e e 1 = - C c.(log σ Log σ 1 ) (5.33) - le coefficient de gonflement C g, pente de la courbe oedométrique correspondant au déchargement. Cette courbe a souvent une allure linéaire. Les sols argileux peuvent être classés selon leur compressibilité, en fonction du terme C c /(1+e 0 ) qui intervient dans le calcul du tassement de consolidation, e 0 étant l indice des vides initial de l échantillon : C c /(1+e 0 ) < sol incompressible < C c /(1+e 0 ) < sol peu compressible < C c /(1+e 0 ) < 0.00 sol moyennement compressible C c /(1+e 0 ) > 0.00 sol très compressible. Outre le tracé de la courbe de compressibilité, on s'intéresse à l'évolution du tassement dans le temps et au temps nécessaire à la consolidation. Plusieurs méthodes sont utilisées à cette fin. Les plus connues sont : Méthode de Casagrande. La méthode est basée sur le tracé d'une courbe donnant la variation du tassement en fonction du logarithme du temps. Dans certains cas, cette méthode est incorrecte notamment dans les sols caractérisés par un coefficient de consolidation important. Méthode de Taylor. La méthode est basée sur une courbe du tassement en fonction de la racine carrée du temps. L'idée est basée sur l'expression approchée proposée par Terzaghi reliant le degré de consolidation U au facteur temps T v pour U < 50% : T v = πu /4 (5.34) Autrement dit, on obtient : s( ) s( t) = 1.18 Cv t H. (5.35) 0 145

25 Figure 5.9. Détermination de σ c ' par la méthode de Casagrande Autrement dit, la courbe s =f( t) est une droite. On commence par tracer la droite AB correspondant à la variation quasi-linéaire du début de la courbe. A partir du point d'intersection de cette droite avec l'axe des ordonnées, soit A, on trace une droite AC résultant de la droite AB par une affinité de 1.15 sur les abcisses. Le point d'intersection de la droite AC avec la courbe, soit D, correspond à 90 % de consolidation. Il est facile d'expliquer cette façon de procéder en remarquant que la droite AB est décrite par la relation approximative de Terzaghi, et que pour un tassement correspondant à 90% de consolidation, le temps correspondant est égal à 1.15 fois le temps estimé par cette relation. Une fois qu'on a déterminé t 90, on peut calculer le coefficient de consolidation pour le niveau de pression appliquée σ v, tel que: C v = 0.848xd /t 90 (5.36) Méthode d Asaoka. La méthode est récente, simple et relativement rigoureuse. Le chercheur japonais Akira Asaoka, a mis au point en 1978 une procédure graphique simple qui permet d'estimer le tassement final et le coefficient de consolidation. 146

26 La méthode se base sur la courbe de consolidation s =f(t), obtenue à partir d'essais de compressibilité ou d'observations sur ouvrages. Sur cette courbe, on choisit un pas de temps t, et on interpole les valeurs de tassement s i correspondant au temps i. t. Sur un même graphique, on trace la courbe récurrente s i = f(s i-1 ) et la droite bissectrice d'équation s i = s i-1. En général, la fonction s i = f(s i-1 ) est sensiblement linéaire, et peut s'écrire comme suit : s i = α + β.s i-1 (5.37) Le point d'intersection des deux droites, soit A, aura pour abscisse le tassement correspondant à la fin de la consolidation sous la contrainte actuelle, soit s (voir figure 5.10). Le coefficient de consolidation peut être déduit de la pente de la droite récurrente, par la relation suivante : C v 5. d Ln( β ) = 1. t (5.38) Cette expression exige que la distance de drainage d soit connue avec précision. En outre, les observations de tassement doivent être suffisamment longues pour tenir compte du phénomène du fluage dans la consolidation secondaire. Figure Détermination graphique du tassement final d'après Asaoka 147

27 L annexe 1 présente les éléments de démonstration des deux dernières équations. On remarque que les résultats de cette méthode dépendent de l'incrément de temps t pris au départ. Une attention particulière est exigée lors de l'interprétation de la courbe récurrente. En effet, il arrive que l'ensemble des points ne s'aligne pas rigoureusement sur une droite unique, ce qui peut être le signe de la superposition de plusieurs facteurs, comme le chargement par paliers et le fluage. La figure 5.11 due à Magnan(1980) illustre certains cas qui peuvent se présenter, et montre l'intérêt de cette méthode qui permet de distinguer clairement les différentes étapes du comportement du sol. La méthode d Asaoka a néanmoins prouvé son efficacité lors de la comparaison avec les constatations faites sur ouvrages réels. Enfin, il est recommandé de vérifier les résultats, en faisant un calcul à rebours, c est à dire qu on calcule les tassements à partir de s( ) et C v déduits de cette méthode, et on les compare aux valeurs mesurées. Figure Cas éventuels pouvant se présenter sur la courbe Récurrente 148

28 Essai oedométrique de fluage L'essai est réalisé pour apprécier le phénomène de fluage du sol sous une charge constante. Chaque incrément de pression doit durer au moins 7 jours. L'essai sur sol organique peut durer plus, vue la tendance au fluage de ce type de sol. Pour chaque palier de pression, on trace une courbe semilogarithmique de la variation du tassement mesuré en fonction du Logarithme du temps. La fin de cette courbe est sensiblement linéaire. On appelle indice de compression secondaire C α la pente de cette droite (voir figure 5.1), telle que : s Cα = (5.39) H. Log( ) 0 t H 0 étant la hauteur initiale de l'échantillon. On définit aussi l'indice de fluage C f comme étant la pente de la partie finale de la courbe e-logt : e C f = = Cα.(1 + e0 ) (5.40) H. Log( t) 0 Ces deux coefficients sont utiles au calcul du tassement de fluage. Figure 5.1. Exemple de courbe de fluage oedométrique 149

29 5.6. APPLICATIONS ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo PROBLEME 1. LEQUEL SE CONSOLIDE LE PREMIER? On demande de désigner le sol finissant le premier sa consolidation primaire à partir de la figure Figure Schéma de différents cas de consolidation des sols ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo PROBLEME. CONSOLIDATION D UNE MINCE COUCHE D ARGILE Une couche d'argile saturée épaisse de 3 m, limitée en haut par du 150

30 sable fin et en bas par du grès imperméable, reçoit une pression en surface de 500 kpa. On suppose que cette pression se répartit uniformément avec la profondeur. L essai oedométrique sur un échantillon intact, ayant une hauteur H 0 =5 mm et drainé d une seule face a permis de mesurer un tassement final de mm, après 3 heures sous une pression de 500 kpa. 1) Déterminer le coefficient de consolidation du sol, ) En supposant que le tassement relatif mesuré H/H 0 est le même pour la couche d'argile, déduire le tassement final de la couche d argile et le temps de fin de consolidation. 3) Le compactage du terrain a fait diminuer la perméabilité de 35%, déduire le temps nécessaire à la fin de consolidation primaire, en supposant que le module d'young de ce sol reste constant. γ s =6.5kN/m 3. ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo PROBLEME 3. RENFORCEMENT PAR CONSOLIDATION Un super marché de plusieurs niveaux doit être bâti sur une couche d'argile molle saturée, épaisse de 1.6 m et reposant sur un substratum de grès dur imperméable. Il a été décidé d'améliorer les propriétés de ce sol par consolidation en construisant un remblai provisoire à partir d'un matériau perméable. Calculer le temps nécessaire à l'opération de consolidation sachant que ce sol est caractérisé par C v = 10-5 m /s. On veut réduire ce temps à la moitié. Quel type de terrassement faut il alors réaliser avant de construire le remblai?. ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo PROBLEME 4. CONSOLIDATION DU SOL SOUS UN BATIMENT Une couche d argile saturée épaisse de 5 m est limitée en surface par une couche de sable épaisse de 1m et en bas par une couche de gravier. Un bâtiment construit sur ce sol exerce une pression de 378 kpa. Le coefficient de perméabilité de l'argile est égal à 1.5x10-7 cm/s. On suppose que la couche de l'argile est formée d'un matériau élastique ayant un module d'élasticité de 5 MPa et un coefficient de Poisson de

31 1) Calculer le temps nécessaire à la consolidation, ) Dans l'hypothèse d'une distribution uniforme de la surcharge avec la profondeur, calculer la pression interstitielle et la contrainte effective en un point se trouvant à 1.5 m de la surface de l'argile pour un degré de consolidation de 41 %. Prendre γ d (sable)=13 kn/m 3, γ d (argile )=1 kn/m 3. ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo PROBLEME 5. CONSOLIDATION D UN SOL SANDWICH Un sol sandwich comporte une couche d'argile de 3.6 m limitée par deux couches de grave sableuse. Un bâtiment repose sur un radier de grandes dimensions qui transmet au sol une pression de 350 kpa. 1) Estimer le temps nécessaire à la consolidation primaire de ce sol sachant que le coefficient de consolidation de l'argile est de 1.7x10-7 m²/s. ) En supposant que l'augmentation des contraintes due aux surcharges provenant de l'ouvrage est constante avec la profondeur tracer le profil de la surpression interstitielle dans l'argile pour les degrés de consolidation de 5%, 51% et 95%. 3) Tracer le profil de la contrainte effective pour ces degrés de consolidation, sachant que le poids volumique déjaugé de l'argile est de 10 kn/m 3. L'épaisseur de la couche de grave est à négliger. Prendre γ s =6.5 kn/m 3. ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo PROBLEME 6. ESSAI OEDOMETRIQUE SUR UNE ARGILE MOLLE Les résultats de l'essai oedométrique sur une argile molle d'un remblai sont regroupés dans le tableau 5.4. L'échantillon étudié, extrait d'une profondeur correspondant à une contrainte σ v0 ' de 1 kpa, est constitué d'une éprouvette saturée ayant une section de 38.5 cm², une hauteur H 0 égale à 4.34 mm et un poids sec de 13 g. L'application de chaque palier de pression dure 4 heures. On demande de : 15

32 1) Remplir le tableau 5.4, ) Tracer la courbe de compressibilité e-logσ donnant la variation de l'indice des vides en fonction de la pression appliquée. On peut se servir du graphique semi-logarithmique placé en annexe, 3) Déterminer σ c ', C s et C c par la méthode de Casagrande, 4) Déterminer σ c ' selon la méthode de Butterfield, 5) Déterminer C v par la méthode de Taylor pour une pression appliquée σ v ' égale à 150 kpa, et dont les résultats sont mentionnés au tableau 5.5. Tableau 5.4. Résultats de l'essai oedométrique σ v (kpa) Tassement s (10 -² mm) H 0 -s (mm) e Tableau 5.5. Tassement mesuré sous une pression de 150 kpa T(mn) s (10 -² mm) T(mn) s (10 -² mm) Prendre γ s =6.5 kn/m 3. ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 153

33 ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo PROBLEME 7. CONSOLIDATION SOUS SURCHARGE VARIABLE AVEC LA PROFONDEUR Un massif de sol est composé d'une couche d'argile saturée épaisse de H, et limitée en haut et en bas par du sable graveleux. Une fondation de grandes dimensions repose en surface et transmet au sol une surcharge q. On suppose que le profil σ v (z) est linéaire de la forme : σ v (z)= a + bz, z étant comptée à partir de la base de la couche. 1) Définir les conditions aux limites concernant le phénomène de consolidation de ce sol, ) En partant de l'équation de consolidation unidimensionnelle établir l expression de la surpression d'eau u(z, t), et la calculer au milieu de la couche pour un facteur de temps Tv = 0.75, q = 100 kpa, a = q et b= -q/4h. x 1 Indication : x.sinbx.dx = cosbx + sinbx b b ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo PROBLEME 8. ANALYSE GRAPHIQUE DES TASSEMENTS On considère que l'évolution du tassement S en fonction du temps est décrite par une suite : S 0, S 1, S, S 3,, S i,, S. S et S 0 correspondent aux tassements final et initial respectivement. Le tassement S i correspond au temps t i = i. t, t est un pas de temps donné. 1) En se basant sur l'expression du degré de consolidation moyen U, et en retenant le premier terme de la série, montrer que le tassement peut être décrit par la suite récurrente : S i = α. S i-1 +β α et β sont deux constantes à déterminer en fonction de d, C v et t. 154

34 ) Calculer le coefficient de consolidation C v, le tassement final, et le temps nécessaire à la fin de consolidation avec les données suivantes : d = 1.8 m, β =0.9, α = 7 mm et t = 4 heures. 3) Reprendre le problème 6 de ce chapitre. Tracer la courbe de tassement en fonction du temps pour une pression de 150 kpa. En choisissant un pas de temps de 00 mn, interpoler les valeurs du tassement pour les temps i. t. Tracer sur un même graphique les courbes S i = f(s i-1 ) et la droite bissectrice S i = f(s i ). Quelle est l'allure de la première courbe? A quoi correspond le point d intersection des deux courbes? 4) Estimer le tassement final et le coefficient de consolidation. ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo PROBLEME 9. APPLICATION DE LA PROCEDURE GRAPHIQUE D ASAOKA En 1969, à Fucino (Italie) fut construite une antenne géante de communication sur une couche d'argile saturée de 70 m d'épaisseur. Les mesures de tassement après construction ont permis d'obtenir la courbe de la figure 5.1 donnant le tassement en fonction du temps. La méthode graphique d'aasaoka a été appliquée à cet ouvrage. 1) Tracer le courbe récurrente du tassement en prenant un pas de temps t=4 mois, ) Déterminer le tassement final et le coefficient de consolidation de ce sol, 3) Déduire le temps nécessaire à la consolidation primaire et le degré de consolidation actuel en supposant la couche drainée des deux faces. 4) Estimer le tassement correspondant à 5 mois, à partir de la méthode, et le comparer à celui mesuré. Conclusions? 155

35 Figure 5.1. Courbe d évolution des tassements de l argile oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 156