I - La sphère et la boule

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2 I - La sphère et la boule - éfinitions éfinitions La sphère de centre et de rayon r (r 0) est l'ensemble des points tels que = r. La boule de centre et de rayon r (r 0) est l'ensemble des points tels que r. Remarques : n peut dire que la sphère est l'enveloppe de la boule (comme la peau d'une orange) tandis que la boule est l'intérieur. [] est un diamètre de la sphère (segment qui joint 2 points de la sphère passant par le centre de la sphère). Le cercle vert est un grand cercle de la sphère (cercle de centre et de rayon r). r - Section d'une sphère par un plan ex 1 et 2 Propriétés La section d'une sphère de centre par un plan est un cercle de centre '. Lorsque le plan ne passe pas par le centre de la sphère, la droite (') est perpendiculaire au plan de section. Quand la distance ' correspond au rayon de la sphère, la section est alors réduite au point '. n dit que le plan est tangent à la sphère en '. ' Rayon de la section ' ' Rayon de la sphère Exemple : Une sphère de rayon 4 cm est coupée par un plan à 3 cm de son centre. onne la nature et les dimensions de la section. La section d'une sphère par un plan est un cercle. est un point de la section. La droite (') est perpendiculaire au plan de section et en particulier au rayon de la section [']. onc le triangle ' est rectangle en '. 'après le théorème de Pythagore : ² = '² '². 16 = '² 9 '² = 16 9 '² = 7 d'où ' = 7 cm. ' Le rayon de la section de cette sphère mesure 7 cm. Remarques : Le rayon de la section est toujours plus petit ou égal au rayon de la sphère. ans le cas où le plan de section passe par le centre de la sphère, le rayon de la section est égal au rayon de la sphère. La section est alors appelée grand cercle. 224 GÉÉTRIE NS L'ESPE - HPITRE G3

3 II - Sections de solides - Sections d'un parallélépipède rectangle ex 3 à 5 Propriétés La section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face est un rectangle de mêmes dimensions que cette face. Exemple 1 : n coupe le pavé droit EFGH par un plan parallèle à la face. onne la nature et les dimensions de la section. La section est un rectangle de mêmes dimensions que. Remarque : ans le cas particulier du cube, la section par un plan parallèle à une face est un carré de même dimension que cette face. E H F G La section d'un pavé droit ou d'un cube par un plan parallèle à une arête est un rectangle, dont l'une des dimensions correspond à la longueur de cette arête. Exemple 2 : n coupe le pavé droit EFGH par un plan parallèle à l'arête [EH] de longueur 4 cm. onne la nature et les dimensions de la section NP, sachant que E = 3 cm et EP = 2 cm. N La section est le rectangle NP où N = EH. La face EF du pavé droit est un rectangle donc le triangle EP est rectangle en E. En appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle, on démontre que P = 13. Les dimensions de NP sont 4 cm et 13 cm. E H P F G - Sections d'un cylindre de révolution ex 6 Propriétés La section d'un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe est un cercle de même rayon que la base. Exemple 1 : n coupe un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe. onne la nature et les dimensions de la section. La section d'un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe est un rectangle. Exemple 2 : n coupe un cylindre de révolution de hauteur 10 cm dont le rayon de la base est 3 cm, parallèlement à son axe, à 2 cm de celui-ci. onne la nature et les dimensions de la section. Largeur de la section Rayon de la base Vue de dessus La section est un cercle de même rayon que la base. La section est un rectangle de longueur la hauteur du cylindre : ici, 10 cm. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle, on démontre que = 2 5. Les dimensions de la section rectangulaire de ce cylindre sont 10 cm et 2 5 cm. HPITRE G3 - GÉÉTRIE NS L'ESPE 225

4 - Sections de pyramides et cônes ex 7 Propriété La section d'une pyramide ou d'un cône de révolution par un plan parallèle à la base est une réduction de la base. Exemple 1 : n coupe une pyramide S à base carrée de côté 3 cm et de hauteur 5 cm, par un plan parallèle à sa base à 4 cm du sommet. S onne la nature et les ' dimensions de la section ' ''''. ' ' Le coefficient de réduction est k = 4 5 donc '' = k = 4 3 = 2,4 cm. 5 La section est donc un carré de côté 2,4 cm. Exemple 2 : n coupe un cône de révolution par un plan parallèle à sa base. onne la nature de la section. S ' La section est une réduction de la base, c'est donc un cercle. ' III - ires et volumes - ire et volume de la boule ex 8 et 9 Formules Exemple : alcule l'aire d'une sphère et le volume d'une boule, toutes deux de rayon 5 cm. onne les valeurs exactes puis des valeurs approchées au dixième près. - Effets des agrandissements ou réductions ex 10 Propriété Lors d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport k, les longueurs sont multipliées par k, les aires sont multipliées par k 2, les volumes sont multipliés par k 3. Exemple : Un aquarium a pour dimensions : L 60 cm l 30 cm H 30 cm, la surface de ses vitres est cm 2 et son volume est cm 3. Thomas a réalisé une maquette de cet aquarium au sixième. Quels en sont les dimensions, la surface des vitres et le volume? Le coefficient de réduction est k = 1 6. Les dimensions de la maquette sont : L 10 cm l 5 cm H 10 cm. La surface des vitres de la maquette est : = = 200 cm2. Le volume de la maquette est : = = 250 cm GÉÉTRIE NS L'ESPE - HPITRE G3

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6 hapitre G3 Géométrie dans l'espace 4 éterminer la section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face 1 éterminer la section d'une sphère par un plan a. La section d'une sphère par un plan est un cercle. b. n appelle le centre de la sphère, le centre de la section et un point de la section. ans le triangle rectangle en, d'après le théorème de Pythagore : 2 = = = = 24 = 24 4,9 cm. 5 éterminer la section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face n trace un cercle de rayon 4,9 cm. 2 éterminer la section d'une sphère par un plan (bis) a. b. ans le triangle rectangle en, d'après le théorème de Pythagore : 2 = = = = 25 = 25 = 5 Le rayon de la section vaut 5 cm. 3 éterminer la section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une arête a. La face FE est un rectangle de dimensions = 5 cm et E = 8 cm. La section FG est un rectangle de dimensions = 6 cm et F qui est la longueur de la diagonale du rectangle FE. (Il suffit donc d'utiliser le compas pour reporter la longueur obtenue dans la première figure.) b. La section FG est parallèle à l'arête [EH] donc FG est un rectangle de dimensions = 6 cm et F. La face FE du pavé droit est un rectangle donc le triangle FE est rectangle en E. 'après le théorème de Pythagore : F 2 = E 2 EF 2 soit F 2 = = = 106. 'où F = 106. Les dimensions du rectangle FG sont 6 cm et 106 cm. L'aire du rectangle FG est : F G = ,8 cm 2 (arrondi au dixième). 6 éterminer la section d'un cylindre de révolution par un plan parallèle à sa base La largeur de la section est 8 cm, donc = 8 cm. ans le triangle isocèle en, la hauteur issue de et la médiane issue de sont confondues. onc [) est une médiane, d'où est le milieu de []. n en déduit que = 4 cm. La distance entre l'axe et la section est 3 cm, donc = 3 cm. ans le triangle rectangle en, d'après le théorème de Pythagore : 2 = 2 2 soit 2 = = 9 16 = 25 soit = 25 = 5. Le rayon de la base de ce cylindre est 5 cm. 7 éterminer la section d'un cône par un plan parallèle à sa base Le coefficient de réduction est 3 4. Le volume est donc multiplié par 3 3 = , = 5,4. Le volume de jus de fruit est donc de 5,4 cl. 8 alculer une aire = 4 π R 2 = 4 π 6,2 2 = 153,76π cm 2 valeur exacte 483 cm 2 valeur arrondie au cm RRETIN ES EXERIES «À TI E JUER»

7 9 alculer un volume V = 4 3 π R3 = 4 3 π 93 V = 972π cm 3 valeur exacte V 3 053,628 cm 3, soit mm 3 valeur arrondie au mm grandir ou réduire : effet sur les aires et les volumes Le coefficient de réduction est 1 2. Les aires sont donc multipliées par 1 2 = La surface de papier n'est donc pas deux fois plus petite mais quatre fois plus petite. Les volumes sont donc multipliés par 1 3 = Le volume de l'objet obtenu n'est donc pas deux fois plus petit mais huit fois plus petit. RRETIN ES EXERIES «À TI E JUER» 259