Dégénérescence algébrique des courbes holomorphes entières à valeurs dans des hypersurfaces projectives.

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1 Introduction au domaine de recherche des courbes holomorphes entières à valeurs dans des hypersurfaces projectives. LIONEL DARONDEAU Formation Interuniversitaire de Mathématiques Fondamentale et Appliquées 15 octobre 2010

2 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. 1 Introduction à l hyperbolicité. Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. 2 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. 3 effective. Existence de sections globales en degré optimal. Conclusion

3 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Définition (Métrique de Poincaré) On note D le disque unité du plan complexe, qui est muni de la distance de Poincaré : ds 2 (z) := 4dzd z (1 z z) 2. D C

4 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Définition (Chaîne de Kobayashi) Soit X une variété analytique complexe connexe. Une chaîne de Kobayashi est une suite finie de disque holomorphes f 1 (D),..., f r (D), et de points p k f k (D) f k+1 (D) pris dans l intersection de deux disques successifs. f r 1 f r D C f 1 f 2 f k x p0 pr 2 p2 p 1 X pr 1 y pr

5 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Définition Une pseudo distance sur X est une application d : X X R + qui vérifie : - d(x, x) = 0. - d(x, y) = d(y, x). (Symétrie) - d(x, y) d(x, z) + d(z, y). (Sous-additivité)

6 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Définition Une pseudo distance sur X est une application d : X X R + qui vérifie : - d(x, x) = 0. - d(x, y) = d(y, x). (Symétrie) - d(x, y) d(x, z) + d(z, y). (Sous-additivité) Une distance sur X est une pseudo-distance qui sépare les points, c est-à-dire qui vérifie : (x y) (d(x, y) > 0).

7 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Définition Une pseudo distance sur X est une application d : X X R + qui vérifie : - d(x, x) = 0. - d(x, y) = d(y, x). (Symétrie) - d(x, y) d(x, z) + d(z, y). (Sous-additivité) Une distance sur X est une pseudo-distance qui sépare les points, c est-à-dire qui vérifie : (x y) (d(x, y) > 0). Définition La pseudo-distance de Kobayashi entre x et y := longueur minimale des chaînes de Kobayashi x y.

8 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Définition (Pseudo-norme de Kobayashi-Royden) C est une version infinitésimale de la pseudo-distance de Kobayashi. On appelle disque holomorphe centré une application f : D X, f (0) = x. Pour tout vecteur V T X,x, on définit : V x := inf { α: f : D X, f (0) = x, f ( x ) = V α }. 0 x f x V f x D C f ( D ) X X

9 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Exemple Soit f : D X un disque holomorphe centré en x, tel que : { f (0) = x X. f ( x ) = V TX,x. Si f est la restriction à D d une application holomorphe D(R) X du disque complexe de rayon R à valeurs dans X, alors : V x 1 R. En particulier, si f est la restriction à D d une application entière, f x = 0.

10 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Exemple Soit f : D X un disque holomorphe centré en x, tel que : { f (0) = x X. f ( x ) = V TX,x. Si f est la restriction à D d une application holomorphe D(R) X du disque complexe de rayon R à valeurs dans X, alors : V x 1 R. En particulier, si f est la restriction à D d une application entière, f x = 0. Interprétation : inverse de la taille maximal des disques holomorphes centrés en x tangents à V.

11 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Théorème (Royden, admis) Cette métrique infinitésimale induit par intégration la pseudo-distance de Kobayashi.

12 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Définition On dit d une variété analytique complexe qu elle est hyperbolique au sens de Kobayashi, si la pseudo-distance de Kobayashi est une vraie distance.

13 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Définition On dit d une variété analytique complexe X qu elle est hyperbolique au sens de Brody s il n existe pas d application f : C X holomorphe entière non-constante à valeurs dans X. f f (C) C X

14 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Définition On dit d une variété analytique complexe X qu elle est hyperbolique au sens de Brody s il n existe pas d application f : C X holomorphe entière non-constante à valeurs dans X. f f (C) C X Proposition Une variété hyperbolique au sens de Kobayashi est hyperbolique au sens de Brody.

15 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Théorème (Critère de Brody) Réciproquement, toute variété compacte hyperbolique au sens de Brody est hyperbolique au sens de Kobayashi.

16 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Théorème (Critère de Brody) Réciproquement, toute variété compacte hyperbolique au sens de Brody est hyperbolique au sens de Kobayashi. Proposition (Lemme de reparamétrisation de Brody) Soit X une variété complexe lisse, munie d une métrique hermitienne h et f : D X un disque holomorphe. Pour tout r [0, 1) il existe R r f (0) h et un biholomorphisme ψ : D(R) D(r) tels que : { (f ψ) (0) h = 1. (f ψ) (t) h 1. 1 t R 2

17 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Théorème (Picard) Il n existe pas d application f : C X holomorphe entière non-constante à valeurs dans le complémentaire X de trois points dans la sphère de Riemann S = Ĉ. f f (C) X C S

18 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Proposition Le revêtement universel de la sphère de Riemann S est le disque unité D C.

19 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Proposition Le revêtement universel de la sphère de Riemann S est le disque unité D C. Propriété de relèvement.

20 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Proposition Le revêtement universel de la sphère de Riemann S est le disque unité D C. Propriété de relèvement. Proposition (Lemme de Liouville) Toute application holomorphe entière C D est constante.

21 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. L espace projectif Par définition, P n C est l espace des droites de Cn+1. Il peut aussi être vu comme le quotient de C n+1 \ {0} par la relation être proportionnels.

22 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. L espace projectif Par définition, P n C est l espace des droites de Cn+1. Il peut aussi être vu comme le quotient de C n+1 \ {0} par la relation être proportionnels. Exemple L espace projectif P 1 C s identifie à la sphère de Riemann S.

23 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. L espace projectif Par définition, P n C est l espace des droites de Cn+1. Il peut aussi être vu comme le quotient de C n+1 \ {0} par la relation être proportionnels. Exemple L espace projectif P 1 C s identifie à la sphère de Riemann S. Coordonnées homogènes, coordonnées locales.

24 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Définition (Hyperplans en position générale) Dans P n+1 C, les (m + 1) hyperplans H 0 = ker l 0,..., H m = ker l m sont dits en position générale lorsque (n + 1) quelconques des formes linéaires l i sont toujours linéairement indépendantes

25 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Définition (Hyperplans en position générale) Dans P n+1 C, les (m + 1) hyperplans H 0 = ker l 0,..., H m = ker l m sont dits en position générale lorsque (n + 1) quelconques des formes linéaires l i sont toujours linéairement indépendantes Théorème (Green, admis) Il n existe pas d application f : C X holomorphe entière non-constante à valeurs dans le complémentaire X de 2n + 1 hyperplans en position générale dans l espace projectif P n C.

26 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Hypersurface algébrique projective générique. Une hypersurface algébrique projective est définie par une seule équation polynomiale en coordonnées homogènes : P = α1 α A α1,...,α n Z 0 Z n+1 n+1. α =d

27 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Hypersurface algébrique projective générique. Une hypersurface algébrique projective est définie par une seule équation polynomiale en coordonnées homogènes : P = α1 α A α1,...,α n Z 0 Z n+1 n+1. α =d Un ouvert de Zariski est le complémentaire d un sous-ensemble algébrique.

28 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Hypersurface algébrique projective générique. Une hypersurface algébrique projective est définie par une seule équation polynomiale en coordonnées homogènes : P = α1 α A α1,...,α n Z 0 Z n+1 n+1. α =d Un ouvert de Zariski est le complémentaire d un sous-ensemble algébrique. Définition (Hypersurface générique) Un ensemble générique d hypersurfaces algébriques projectives est un ouvert de Zariski dans l espace projectif des coefficients des équations définissantes.

29 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Conjecture (Kobayashi, 1970) Soit X n P n+1 C une hypersurface algébrique complexe projective lisse générique vérifiant : deg X 2 dim X + 1, alors toute courbe holomorphe entière sur X est constante. f f (C) C X

30 Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. Conjecture (Green-Griffiths, 1979) Soit X n P n+1 C une hypersurface algébrique complexe projective lisse générique vérifiant : deg X dim X + 3, alors il existe une sous-variété propre Y X contenant toutes les courbes holomorphes entières non constantes sur X. f Y f (C) C X

31 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. 1 Introduction à l hyperbolicité. Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. 2 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. 3 effective. Existence de sections globales en degré optimal. Conclusion

32 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Hypersurface universelle Dans un système de coordonnées homogènes [Z 0, Z 1,..., Z n ], une hypersurface algébrique projective de P n+1 C de degré d est le lieu d annulation d une équation polynomiale de degré α = d : P = α1 α A α1,...,α n Z 0 Z n+1 n+1, où il y a N = ( ) n+1 d paramètre A,...,.

33 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Hypersurface universelle Dans un système de coordonnées homogènes [Z 0, Z 1,..., Z n ], une hypersurface algébrique projective de P n+1 C de degré d est le lieu d annulation d une équation polynomiale de degré α = d : P = α1 α A α1,...,α n Z 0 Z n+1 n+1, où il y a N = ( ) n+1 d paramètre A,...,. Définition L hypersurface universelle de degré d de P n+1 C est le lieu d annulation dans P N 1 C P n+1 C du polynôme général de degré d : P d (A,..., ; Z 0, Z 1,..., Z n+1 ) := α1 α A α1,...,α n Z 0 Z n+1 n+1. α =d

34 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Approche extrinsèque/intrinsèque L intersection de l hypersurface universelle avec {A α1,...,α n } P n+1 C est l hypersurface X n P n+1 C de degré d définie par l équation : α1 α Aα1,...,α n Z 0 Z n+1 n+1, = 0. On peut donc voir les hypersurfaces projectives dans H (approche extrinsèque), ou en coordonnées locales (approche intrinsèque).

35 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. La contrainte f (C) X donne une équation algébrique qui doit être satisfaite par f. Par différentiation, on obtient des équations différentielles algébriques, qui doivent être satisfaites par f et ses dérivées. On aimerait obtenir assez d équations différentielles algébriques pour pouvoir effectuer une élimination algébrique des dérivées de f, et ainsi obtenir une équation différentielle algébrique d ordre zéro i.e. la dégénérescence algébrique.

36 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. La contrainte f (C) X donne une équation algébrique qui doit être satisfaite par f. Par différentiation, on obtient des équations différentielles algébriques, qui doivent être satisfaites par f et ses dérivées. On aimerait obtenir assez d équations différentielles algébriques pour pouvoir effectuer une élimination algébrique des dérivées de f, et ainsi obtenir une équation différentielle algébrique d ordre zéro i.e. la dégénérescence algébrique. Cas n = 2 Siu. On ne sait pas faire pour n > 2. On utilise donc en remplacement une approche intrinsèque, en coordonnées pour trouver des équations.

37 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Soit X n une variété analytique complexe de dimension n. Définition (κ-jets) π Le fibré des κ-jets de courbes holomorphes J κ X est l ensemble des classes d équivalences des applications holomorphes C X pour la relation d équivalence : f g si les dérivées coïncident à l ordre κ au point x.

38 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Soit X n une variété analytique complexe de dimension n. Définition (κ-jets) π Le fibré des κ-jets de courbes holomorphes J κ X est l ensemble des classes d équivalences des applications holomorphes C X pour la relation d équivalence : f g si les dérivées coïncident à l ordre κ au point x. C est un fibré holomorphe. La projection est π(f ) = f (0). Par la formule de Taylor : J κ,x ( C n) κ.

39 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Proposition (Faà di Bruno) Soient f : C X une application de classe C κ et ψ : C C un changement de variable de classe C κ, alors : (f ψ) (κ) = κ f (k) ψ k=1 p(κ,k) κ! λ 1! λ 2! λ κ! ( ) κ ψ (i) λi, i! i=1 où p(κ, k) est l ensemble des partitions λ 1,..., λ κ de k vérifiant : κ i=1 λ i = k, κ i=1 iλ i = κ.

40 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Proposition (Faà di Bruno) Soient f : C X une application de classe C κ et ψ : C C un changement de variable de classe C κ, alors : (f ψ) (κ) = κ f (k) ψ k=1 p(κ,k) κ! λ 1! λ 2! λ κ! ( ) κ ψ (i) λi, i! i=1 où p(κ, k) est l ensemble des partitions λ 1,..., λ κ de k vérifiant : κ i=1 λ i = k, κ i=1 iλ i = κ. Corollaire pour κ = 1 J 1 = T X est un fibré vectoriel mais J κ n est pas un fibré vectoriel pour κ > 1.

41 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Notations Soit X n une variété complexe de dimension n 2 vue en coordonnées locales holomorphes centrées : (x 1,..., x n ).

42 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Notations Soit X n une variété complexe de dimension n 2 vue en coordonnées locales holomorphes centrées : (x 1,..., x n ). application holomorphe locale : C ξ ( f 1 (ξ),..., f n (ξ) ).

43 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Notations Soit X n une variété complexe de dimension n 2 vue en coordonnées locales holomorphes centrées : (x 1,..., x n ). application holomorphe locale : C ξ ( f 1 (ξ),..., f n (ξ) ). variable indépendante : x i λ λ f i ξ λ.

44 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Notations Soit X n une variété complexe de dimension n 2 vue en coordonnées locales holomorphes centrées : (x 1,..., x n ). application holomorphe locale : C ξ ( f 1 (ξ),..., f n (ξ) ). variable indépendante : κ-jet d application : x i λ λ f i ξ λ. J κ f := ( x 1, x 2,..., x κ ).

45 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Définition (opérateurs différentiels algébriques d ordre κ) Dans un repère local (x 1,..., x n ), ils sont de la forme générale : P(J κ f ) = κ, (α 1,α 2,...,α κ) (N n ) κ a α1,α 2,...,α κ (f ) x α1 1 x α 2 2 x ακ où les fonctions a α1,α 2,...,α κ : C n C sont holomorphes.

46 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Définition (opérateurs différentiels algébriques d ordre κ) Dans un repère local (x 1,..., x n ), ils sont de la forme générale : P(J κ f ) = κ, (α 1,α 2,...,α κ) (N n ) κ a α1,α 2,...,α κ (f ) x α1 1 x α 2 2 x ακ où les fonctions a α1,α 2,...,α κ : C n C sont holomorphes. Définition (degré) On gradue l algèbre de ces opérateurs par le degré (ou poids) correspondant au nombre de "primes" : deg ( x α 1 1 x α 2 2 x ) κ ακ := α1 + 2 α κ α κ.

47 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Définition Pour tout entier m, on appelle fibré de jets de Green-Griffiths de poids m et on note : E GG κ,mt X C[J κx] l ensemble des polynômes (en les variables de κ-jets d applications holomorphes C X n ) homogènes de poids m.

48 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Définition Pour tout entier m, on appelle fibré de jets de Green-Griffiths de poids m et on note : E GG κ,mt X C[J κx] l ensemble des polynômes (en les variables de κ-jets d applications holomorphes C X n ) homogènes de poids m. C est un fibré vectoriel (Faà di Bruno).

49 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Filtration de l espace des différentielles de jet de Green-Griffiths Intuitivement un polynôme de poids m : P(J κ f ) = a α1,α 2,...,α κ (f ) x α 1 1 x α 2 2 x κ ακ, α 1 +2α 2 + +α κ=m ressemble à une combinaison linéaire de produits (tensoriels) de monômes élémentaires (individuellement symétriques par le lemme de Schwartz) X α k k. Il est tentant d écrire une décomposition locale sous la forme (volontairement imprécise) : E GG κ,m = S α 1 (T X ) S ακ (T X ).

50 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Cependant l égalité sur les fibrés n est pas satisfaite : la formule de Faà di Bruno montre que l application de transition fait apparaître des termes d ordres inférieurs. Notre première intuition n est donc pas tout à fait rigoureuse. Mais quitte à négliger ces termes, les indéterminées se comportent de la façon attendue. Cette approximation revient à passer à un espace gradué sur E GG n,κ,m

51 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Sous-fibré du fibré de jets de Green-Griffith G k,m En,κ,m GG constitué des polynômes ne faisant intervenir que des indéterminées {Xλ i : λ k} de poids inférieur ou égal à k : G k,m := E GG κ,m X i λ : 1 λ k alg. On vérifie aisément à l aide la formule de Faà di Bruno qu il s agit d un sous-fibré. On une filtration naturelle sur G k,m associée au rôle particulier de x k. On note Fk l le sous-fibré de G k,m constitués de polynômes où x k apparaît avec une puissance de longueur au plus l. On a la filtration croissante : {0} F 0 k F 1 k F m k k = G k,m (1)

52 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. On note S l (TX ) la l-eme puissance symétrique de X. Proposition En observant que E GG n,κ,m = G κ,m, on obtient par récurrence : Gr E GG n,κ,m = l l κ κ=m S l 1 (T X ) S lκ (T X ).

53 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Définition Un diagramme de Young est un ensemble de cases justifiées à gauche et en haut. En comptant le nombre de cases dans chaque ligne, on peut l interpréter comme la représentation graphique d une partition d un entier.

54 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Définition Un tableau (semi-standard) de Young T est un diagramme de Young dont les cases sont remplies par des entiers : strictement croissants selon les colonnes. croissants selon les lignes

55 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. On définit alors deux sous-groupes de S d : P α comme le sous-groupe des permutations de {1, 2,..., d} qui préservent chaque ligne de T. Q α comme le sous-groupe des permutations de {1, 2,..., d} qui préservent chaque colonne de T.

56 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. On définit alors deux sous-groupes de S d : P α comme le sous-groupe des permutations de {1, 2,..., d} qui préservent chaque ligne de T. Q α comme le sous-groupe des permutations de {1, 2,..., d} qui préservent chaque colonne de T. Définition (symétriseur de Young) Pour chaque diagramme de Young α, on définit un élément de l algèbre de groupe C[S d ] de la façon suivante : c α := σ P α e σ σ Q α sgn(σ )e σ

57 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Soit V un espace vectoriel complexe. Soit α une partition de l entier d. On note V α une version de V d où les versions de V sont indexées par les cases de α.

58 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Soit V un espace vectoriel complexe. Soit α une partition de l entier d. On note V α une version de V d où les versions de V sont indexées par les cases de α. On a alors une action naturelle du symétriseur de Young c α sur V α.

59 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Soit V un espace vectoriel complexe. Soit α une partition de l entier d. On note V α une version de V d où les versions de V sont indexées par les cases de α. On a alors une action naturelle du symétriseur de Young c α sur V α. Proposition (Module de Schur) Les représentations irréductibles de Gl(V ) sont les espaces vectoriels : S α( E ) := c α ( E α ).

60 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Soit V un espace vectoriel complexe. Soit α une partition de l entier d. On note V α une version de V d où les versions de V sont indexées par les cases de α. On a alors une action naturelle du symétriseur de Young c α sur V α. Proposition (Module de Schur) Les représentations irréductibles de Gl(V ) sont les espaces vectoriels : S α( E ) := c α ( E α ). Proposition (Fibré de Schur) Les fibres S α( T X,x) se recollent en un fibré vectoriel.

61 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. S (n,0,...,0)( V ) = S n( V ) = V V.

62 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. S (n,0,...,0)( V ) = S n( V ) = V V. S (1,1,...,1,0...,0)( V ) = n ( V ) = V V.

63 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. S (n,0,...,0)( V ) = S n( V ) = V V. S (1,1,...,1,0...,0)( V ) = n ( V ) = V V. Exemple (un autre cas simple) T = c T (e 1 e 2 e 3 ) = 1 3 (id (13)) (id + (12))(e 1 e 2 e 3 ) = (e 1 e 2 ) e 3 (symétrie par rapport aux lignes, antisymétrie par rapport aux colonnes.) S (2,1,0) (V ) = ( V V ) V.

64 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Proposition (Formule de Pieri) Pour tout diagramme de Young α, on a : S α S k = S β, β où on obtient les diagrammes β à partir de α en ajoutant k cases sans en placer deux dans la même colonne.

65 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Proposition (Formule de Pieri) Pour tout diagramme de Young α, on a : S α S k = S β, β où on obtient les diagrammes β à partir de α en ajoutant k cases sans en placer deux dans la même colonne. Exemple : S (2,1,0) S (2,0,0) = S (2,2,1) + S (3,1,1) + S (3,2,0) + S (4,1,0).

66 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Corollaire Si α est une partition de l entier n telle que α k = α k+1 = = α n = 0, alors : S α( T X ) S q ( T X ) = νλ S λ (T X ), où les termes S λ (TX ) qui apparaissent avec une multiplicité ν λ N non nulle vérifient : λ k+1 = λ k+2 = = λ n = 0.

67 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Corollaire Soit k < n et soient (q 1,..., q k ) des entiers. Le produit tensoriel d algèbres symétriques : S q 1 ( T X ) S q k ( T X ) = νλ S λ (T X ) se décompose en somme de représentations irréductibles, où les termes S λ (TX ) qui apparaissent avec une multiplicité ν λ N non nulle vérifient : λ k+1 = λ k+2 = = λ n = 0.

68 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. Définition (Contenu de T ) Soit T un tableau de Young, le contenu de T est le comptage des entiers avec lesquels il est rempli. Théorème Gr E GG n,κ,mx = α 1 α 2... α n 0 M κ,m α S (α 1,α 2,...,α ( n) TX ) où la multiplicité Mα κ,m compte le nombre de tableaux de forme α et de contenu l qui vérifie l l κ κ = m.

69 effective. Existence de sections globales en degré optimal. Conclusion 1 Introduction à l hyperbolicité. Deux définitions de l hyperbolicité. Exemples historiques. Conjectures célèbres. 2 Variables de jets. Différentielles de jets de Green-Griffiths. Décomposition en fibrés de Schur. 3 effective. Existence de sections globales en degré optimal. Conclusion

70 effective. Existence de sections globales en degré optimal. Conclusion Effective Algebraic Degeneracy. DIVERIO-MERKER-ROUSSEAU C est le premier résultat effectif en dimension quelconque : Théorème (Diverio-Merker-Rousseau) Pour toute hypersurface projective lisse générique X n P n+1 C de degré d 2 n5 n + 3 il existe une sous-variété propre Y X contenant l image de toute fonction holomorphe entière non constante f : C X. f Y f (C) C X

71 effective. Existence de sections globales en degré optimal. Conclusion Soit X une variété algébrique et L un fibré en droite de base X. Définition (Fibré ample) Le fibré en droites L est très ample s il existe un plongement fermé X P N C tel que L s identifie au fibré tautologique O X (1) := O P N (1) X. C Le fibré en droites L est ample si une puissance tensorielle L m de L est très ample.

72 effective. Existence de sections globales en degré optimal. Conclusion Lemme à la Ahlfors-Schwarz Théorème (Bloch, Green-Griffiths, D ly, Siu) Soient X une variété (algébrique) projective complexe, A un fibré en droites ample sur X et soit P H 0( X, Eκ,m GG A 1) une section globale non nulle du fibré de Green-Griffiths translaté par l inverse de A. Alors toute application holomorphe entière non-constante f : C X vérifie l équation différentielle algébrique : ( P f,..., f (κ)) 0.

73 effective. Existence de sections globales en degré optimal. Conclusion Plan de preuve de Siu Trouver une section. C est à dire montrer que : h 0( X, E GG κ,m( T X ) A 1 ) > 0. Engendrer de nombreuses sections, en utilisant des champs de vecteurs avec des pôles contrôlés, dont la liste effective a été donnée par Merker. On utilise ici l approche extrinsèque de Siu. Élimination algébrique pour obtenir une équation différentielle algébrique de degré 0 i.e. la dégénérescence algébrique.

74 effective. Existence de sections globales en degré optimal. Conclusion Complex projective hypersurfaces of general type : toward a conjecture of Green and Griffiths. MERKER Premier résultat en degré optimal n + 3 pour la première étape : Théorème (Merker) Pour tout m, dès que deg(x) n + 3, on a l inégalité : h 0( X, E GG κ,m( T X ) A 1 ) > 0. (κ, m )

75 effective. Existence de sections globales en degré optimal. Conclusion Complex projective hypersurfaces of general type : toward a conjecture of Green and Griffiths. MERKER Premier résultat en degré optimal n + 3 pour la première étape : Théorème (Merker) Pour tout m, dès que deg(x) n + 3, on a l inégalité : h 0( X, E GG κ,m( T X ) A 1 ) > 0. (κ, m ) Par la suite on ne note plus A 1, qui est sous-entendu.

76 effective. Existence de sections globales en degré optimal. Conclusion Définition La caractéristique d Euler d un fibré en droites E peut être obtenue comme la somme alternée de ses dimension cohomologiques : χ(x, E) = h 0 (X, E) h 1 (X, E) + h 2 (X, E) Une façon de minorer h 0 (X, E) est donc de minorer les dimensions impaires (par zéro) et de majorer les dimension paires h 2i (X, E): i > 0 : ( ) ( ) h 0 (X,E)=χ(X,E) h 2 (X,E)+h 4 (X,E)+ + h 1 (X,E)+h 3 (X,E)+

77 effective. Existence de sections globales en degré optimal. Conclusion Proposition Soit E un fibré vectoriel muni d une filtration descendante : E = E 0... E p E p+1... E r = {0}, alors pour tout q N, le q-eme espace de cohomologie H q( X, E ) du fibré E vérifie : dim H q( X, E ) r 1 dim H q( ) X, E p E p+1. p=0

78 effective. Existence de sections globales en degré optimal. Conclusion Démonstration. Il est bien connu que la suite exacte courte : {0} E p E p+1 E E p+1 E E p {0} donne une suite exacte longue d espaces vectoriels :... H q( X, E p E p+1 ) fp H q( X, E E p+1 ) gp H q( X, E E p )... D où les r inégalités : dim H q( X, E E p+1 ) dim H q ( X, E E p ) dim H q ( X, E p E p+1 ). On sommant ces inégalités, presque tous les termes de gauche se compensent par effet domino. En remarquant que E E 0 = {0} et E E r = E, on obtient le résultat.

79 effective. Existence de sections globales en degré optimal. Conclusion Une remarque de Diverio Théorème (Brückmann) Soit X n P n+1 C une hypersurface algébrique projective lisse de dimension n. Pour tout tableau de Young T ayant strictement moins de n = dim(x) lignes non vides, on a l annulation : H 0( X, S T ( T X ) ) = {0}. Corollaire Pour tout m et pour 1 κ < n : H 0( ) X, Eκ,mT GG X = 0.

80 effective. Existence de sections globales en degré optimal. Conclusion Proposition On peut se ramener à l espace gradué : χ ( X, Eκ,mT GG X ) ( = χ X, Gr E GG κ,mtx ). la caractéristique d Euler est additive.

81 effective. Existence de sections globales en degré optimal. Conclusion Schéma de la preuve de Merker Fibré des différentielles de jets de Green-Griffiths Décomposition en fibrés de Schur caractéritique d Euler : χ = χ ( S α) dim. cohom. paires : h 2i h 2i( S α) ESTIMATIONS DIFFICILES h 0 χ + h 2i κ,m > 0

82 effective. Existence de sections globales en degré optimal. Conclusion On obtient le résultat plus précis : Théorème (Merker) On a la minoration asymptotique : h 0( X, E GG κ,m( T X ) ) m (κ+1)n 1 (κ!) n ((κ + 1)n 1)! n (log κ)n ( (d(d n 2) + O n,d (log κ) n 1 )) ( + O n,d,κ m (κ+1)n 2 ). n!

83 effective. Existence de sections globales en degré optimal. Conclusion Conclusion Rencontre hyperbolicité : Orsay, 4 5 nov. Généralisation C p X n : mon mémoire de mastère. Questions?