Question 3 Cet hypermarché vend des téléviseurs dont la durée de vie, exprimée en année, peut être modélisée par une variable aléatoire réelle 1

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1 Das l esemble du sujet, et pour chaque questio, toute trace de recherche même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio. Exercice ( poits) Commu à tous les cadidats Cet exercice est u questioaire à choix multiples comportat quatre questios idépedates. Pour chaque questio, ue seule des quatre affirmatios proposées est exacte. Le cadidat idiquera sur sa copie le uméro de la questio et la lettre correspodat â l affirmatio exacte. Aucue justificatio est demadée. Ue répose exacte rapporte u poit ; ue répose fausse ou ue absece de répose e rapporte i elève de poit. Questio Das u hpermarché, 75 % des cliets sot des femmes. Ue femme sur ciq achète u article au rao bricolage, alors que sept hommes sur dix le fot. Ue persoe, choisie au hasard, a fait u achat au rao bricolage. La probabilité que cette persoe soit ue femme a pour valeur arrodie au millième : a.,75 b.,5 c.,6 d.,7 Questio Das cet hpermarché, u modèle d ordiateur est e promotio. Ue étude statistique a permis d établir que, chaque fois qu'u cliet s itéresse à ce modèle, la probabilité qu'il l achète est égale à,. O cosidère u échatillo aléatoire de dix cliets qui se sot itéressés à ce modèle. La probabilité qu'exactemet trois d etre eux aiet acheté u ordiateur de ce modèle a pour valeur arrodie au millième a.,9 b.,9 c., d.,67 Questio Cet hpermarché ved des téléviseurs dot la durée de vie, exprimée e aée, peut être modélisée par ue variable aléatoire réelle qui suit ue loi expoetielle de paramètre. La durée de vie moee d u téléviseur est de huit as, ce qui se traduit par :. 8 La probabilité qu'u téléviseur pris au hasard foctioe ecore au bout de six as a pour valeur arrodie au millième a.,75 b.,5 c.,7 d.,58 Questio Cet hpermarché ved des baguettes de pai dot la masse, exprimée e gramme, est ue variable aléatoire réelle qui suit ue loi ormale de moee g. La probabilité que la masse d ue baguette soit comprise etre 8 g et 6 g est égale à,95. La probabilité qu'ue baguette prise au hasard ait ue masse iférieure à 9 g a pour valeur arrodie au cetième a.,6 b., c.,8 d.,8 Exercice (- poits) Commu à tous les cadidats z O défiit pour tout etier aturel, les ombres complexes z par : z i z O ote r le module du ombre complexe z : r = z. Das le pla mui d u repère orthoormé direct d origie O, o cosidère les poits A d affixes z.. a. Calculer z, z et z. b. Placer les poits A et A sur le graphique de l aexe, à redre avec la copie. c. Écrire le ombre complexe i sous forme trigoométrique. d. Démotrer que le triagle OA A est isocèle rectagle e A. 6 pour tout etier aturel.. Démotrer que la suite (r ) est géométrique, de raiso. La suite (r ) est-elle covergete? Iterpréter géométriquemet le résultat précédet. O ote L la logueur de la lige brisée qui relie le poit A au poit A e passat successivemet par les poits A, A, A etc. Aisi L = i A i A = A i A + A A + + A A. i. a. Démotrer que, pour tout etier aturel : A A + = r +. b. Doer ue expressio de L e foctio de. c. Détermier la limite évetuelle de la suite (L ).

2 Aexe Exercice (7 poits) Commu à tous les cadidats Les parties A et B sot idépedates. Ue image umérique e oir et blac est composée de petits carrés (pixels) dot la couleur va du blac au oir e passat par toutes les uaces de gris. Chaque uace est codée par u réel x de la faço suivate x = pour le blac; x = pour le oir; x =, ; x =, et aisi de suite jusqu'à x =,99 par pas de, pour toutes les uaces itermédiaires (du clair au focé). L'image A, ci-après, est composée de quatre pixels et doe u échatillo de ces uaces avec leurs codes. U logiciel de retouche d image utilise des foctios umériques dites «foctios de retouche». Ue foctio f défiie sur l itervalle [ ; ] est dite «foctio de retouche» si elle possède les quatre propriétés suivates : f () = ; f est cotiue sur l itervalle [ ; ] ; f est croissate sur l itervalle [ ; ]. Ue uace codée x est dite assombrie par la foctio f si f (x) > x, et éclaircie si f (x) < x. Aisi, si f (x) = x, u pixel de uace codée, predra la uace codée, =,. L'image A sera trasformée e l image B ci-dessous. Si f (x) = x, la uace codée, predra la uace codée,,5. L'image A sera trasformée e l image C ci-dessous. Partie A. O cosidère la foctio f, défiie sur l itervalle [ ; ] par : f (x) = x 6 x + x. a. Démotrer que la foctio f est ue foctio de retouche. b. Résoudre graphiquemet l iéquatio f (x) x, à l aide du graphique doé e aexe, à redre avec la copie, e faisat apparaître les poitillés utiles. Iterpréter ce résultat e termes d éclaircissemet ou d assombrissemet.. O cosidère la foctio f défiie sur l itervalle [ ; ] par : f (x) = l ( + (e ) x). O admet que f est ue foctio de retouche. O défiit sur l itervalle [ ; ] la foctio g par : g(x) = f (x) x.

3 a. ( e ) ( e ) x Établir que, pour tout x de l itervalle [ ; ] : g '( x) ( e ) x b. Détermier les variatios de la foctio g sur l itervalle [ ; ]. Démotrer que la foctio g admet u maximum e e, maximum dot ue valeur arrodie au cetième est,. e c. Établir que l équatio g(x) =,5 admet sur l itervalle [ ; ] deux solutios et, avec <. O admettra que :,8 < <,9 et que :,85 < <,86. Partie B O remarque qu'ue modificatio de uace est perceptible visuellemet que si la valeur absolue de l écart etre le code de la uace iitiale et le code de la uace modifiée est supérieure ou égale à,5. Das l algorithme décrit ci-dessous, f désige ue foctio de retouche. Quel est le rôle de cet algorithme? Variables : x (uace iitiale) (uace retouchée) E (Écart) c (compteur) k Iitialisatio : c pred la valeur Traitemet : Pour k allat de à, faire k x pred la valeur Sortie : pred la valeur f (x) E pred la valeur x Si E,5, faire c pred la valeur c + Fi si Fi pour Afficher c. Quelle valeur affichera cet algorithme si o l applique à la foctio f défiie das la deuxième questio de la partie A? Partie C Das cette partie, o s itéresse à des foctios de retouche f dot l effet est d éclaircir l image das sa globalité, c est-à-dire telles que, pour tout réel x de l itervalle [ ; ], f (x) x. O décide de mesurer l éclaircissemet global de l image e calculat l aire A f de la portio de pla comprise etre l axe des abscisses, la courbe représetative de la foctio f, et les droites d équatios respectives x = et x =. Etre deux foctios, celle qui aura pour effet d éclaircir le plus l image sera celle correspodat à la plus petite aire. O désire comparer l effet des deux foctios suivates, dot o admet qu'elles sot des foctios de retouche : ( ) e ( x ) 6 f x x f ( x) x 5 x. a. Calculer A f. b. Calculer A f De ces deux foctios, laquelle a pour effet d éclaircir le plus l image? Exercice (5 poits) Cadidats aat pas choisi l eseigemet de spécialité. Motrer que les poits A, B et C e sot pas aligés.. Soit u (, b, c) u vecteur de l espace, où b et c désiget deux ombres réels. a. Détermier les valeurs de b et c telles que u soit u vecteur ormal au pla (ABC). b. E déduire qu'ue équatio cartésiee du pla (ABC) est : x + z =. c. Le poit D appartiet-il au pla (ABC)?. x t O cosidère la droite D de l espace dot ue représetatio paramétrique est : t 5 z t a. La droite D est-elle orthogoale au pla (ABC)? où t est u ombre réel.

4 b. Détermier les coordoées du poit H, itersectio de la droite D et du pla (ABC).. Étudier la positio de la droite (DE) par rapport au pla (ABC). Exercice (5 poits) Cadidats aat choisi l eseigemet de spécialité Partie A : prélimiaires. a. Soiet et N deux etiers aturels supérieurs ou égaux à, tels que N modulo N. Motrer que : modulo N. b. Déduire de la questio précédete u etier k tel que : 5 k modulo 6. O admettra que l uique etier k tel que : k 5 et 5 k modulo 6 vaut.. O doe les matrices : A, B, I =, x X et Y. x a. Calculer la matrice 6 A A. b. E déduire que A est iversible et que sa matrice iverse, otée A, peut s écrire sous la forme A = I + A, où et sot deux réels que l o détermiera. c. Vérifier que : B = 5 A -. d. Démotrer que si A X =Y, alors 5 X = B Y. Partie B : procédure de codage Coder le mot «ET», e utilisat la procédure de codage décrite ci-dessous. x Le mot à coder est remplacé par la matrice X, où x est l etier représetat la première lettre du mot et x l etier x représetat la deuxième, selo le tableau de correspodace ci-dessous. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z La matrice X est trasformée e la matrice Y telle que : Y = A X. r La matrice Y est trasformée e la matrice R, où r est le reste de la divisio euclidiee de par 6 et r le reste de r la divisio euclidiee de par 6. Les etiers r et r doet les lettres du mot codé, selo le tableau de correspodace ci-dessus. Exemple: «OU» (mot à coder) X 76 Y 8 R «YE» (mot codé). Partie C : procédure de décodage (o coserve les mêmes otatios que pour le codage) Lors du codage, la matrice X a été trasformée e la matrice Y telle que : Y = A X. 5 x l. Démotrer que. 5 x. x 6 5 E utilisat la questio. b. de la partie A, établir que : x 5 6. Décoder le mot «QP». modulo 6

5 CORRECTION Exercice ( poits) Commu à tous les cadidats Questio Répose c p(b) = p(b F) + p(b F ) =,75, +,5,7 p(b) =,5 +,75 =,5 p ( B F),5 p B (F) =,6 p ( B),5 Questio Répose d Soit X la variable aléatoire comptat le ombre de cliets aat acheté u ordiateur de ce modèle. O a ue successio de expérieces aléatoires idetiques et idépedates, chacue d elles a deux issues : succès : le cliet a acheté u ordiateur de ce modèle (p =,) échec : le cliet a pas acheté d ordiateur de ce modèle (q =,7) doc X suit ue loi biomiale de paramètres ( ;,) p(x = ) =,67 Questio Répose c Cet hpermarché ved des téléviseurs dot la durée de vie, exprimée e aée, peut être modélisée par ue variable aléatoire réelle qui suit ue loi expoetielle de paramètre. La durée de vie moee d u téléviseur est de huit as, ce qui se traduit par :. 8 La probabilité qu'u téléviseur pris au hasard foctioe ecore au bout de six as a pour valeur arrodie au millième X suit ue loi expoetielle de paramètre doc p(x t) = e t 8 p(x 6) = e,7 6 Questio Répose a X est icou doc soit T, T suit ue loi ormale cetrée réduite. 8 6 p(8 X 6) =,95 P T,95 6,995 = 8, doc p(x 9),6 P 6 6 T,95 doc 6,995 doc

6 Exercice (- poits) Commu à tous les cadidats. a. z = i 6 = i z = i 8 ( + i) = 8 i et z = i 8 i = + i b. c. i i cos cos doc soit si si et cos i si i cos i si. doc arg (z) = à près d. OA = z = 6, A A = i 6 = 8 + i = 8 OA = z = 8 + i = 8. A A = O A et A A + O A = = 6 = OA doc le triagle OA A est isocèle rectagle e A. i. z z doc z r = q r avec q = et r = 6 < q < doc lim q doc lim i z doc r + = La suite (r ) coverge vers doc lim r = OA =, les poits A tedet vers O. r doc la suite (r ) est géométrique, de raiso.. a. A A + = z + z = i i z z z A A + = i z = r = r + b. L = r + r + + r = r ( + q + q + + q ) avec q = doc L = r q q doc L = 8 8 c. lim q doc lim L r. q O pouvait trasformer l expressio et prouver que lim L 6 + 6

7 Exercice (7 poits) Commu à tous les cadidats Partie A. a. Vérificatio : f () = ; f est u polôme doc cotiue sur l itervalle [ ; ] ; f (x) = x x + = ( x x + ) = ( x ) doc pour tout x de [ ; ], f (x) doc f est croissate sur l itervalle [ ; ]. La foctio f est ue foctio de retouche. b. Graphiquemet f (x) x,5 x La foctio f éclaircira les uaces iférieures à,5 et assombrira celles supérieures à,5. ( e ). a. g (x) = doc, ( e ) x doc pour tout x de l itervalle [ ; ] : ( e ) ( e ) x g '( x) ( e ) x ( e ) ( e ) x g '( x) ( e ) x b. e > doc e >, x [ ; ] doc + (e ) x > g (x) a le même sige que (e ) (e ) x (e ) (e ) x = x = e et (e ) < doc : e x g (x) + e g g e e e La foctio g est croissate sur ; et décroissate sur ; doc la foctio g admet u maximum e e e e e, e Ce maximum est égal à g soit l ( + e ) e e = l (e ) dot ue valeur arrodie au cetième est,. e e e e e c. La foctio g est défiie cotiue, strictemet croissate sur ;, g() = et g, doc g(),5 e e e g e doc l équatio g(x) =,5 admet sur l itervalle ; ue solutio. e e e e La foctio g est défiie cotiue, strictemet décroissate sur ;, g() = et g, doc g(),5 e e e g e doc l équatio g(x) =,5 admet sur l itervalle ; ue solutio. e e L équatio g(x) =,5 admet sur l itervalle [ ; ] deux solutios et, avec < e <. e Partie B. L algorithme calcule le ombre de modificatios à effectuer avec la foctio de retouche (avec u pas de,) pour lesquelles la modificatio de uaces est perceptible visuellemet. e e. O cherche doc les valeurs de x telles que f (x) x,5 c est-à-dire telles que g(x),5.

8 x e e g (x) + g M,5,,5 g(x),5 x Ce sot doc toutes les uaces comprises etre les solutios α et β de la partie précédete, les uaces sot des ombres de la k forme, doc les uaces sot comprises etre,9 et,85. Il e a par coséquet = 77 uaces. L affichage est 77 Partie C a. A f = x x x e d x e e soit A f, 6 b. A f = 5 d 5 6 l ( ) x x x x x x A f = + 6 l 5 6 l soit A f,9 Etre deux foctios, celle qui aura pour effet d éclaircir le plus l image sera celle correspodat à la plus petite aire or doc f a pour effet d éclaircir le plus l image. A f < Exercice (5 poits) Cadidats aat pas choisi l eseigemet de spécialité. AB a pour coordoées ( ; ; 5) AC a pour coordoées ( ; ; ) Les coordoées de AB et AC e sot pas proportioelles doc AB et AC e sot pas coliéaires, les poits A, B et C e sot pas aligés.. a. Si u soit u vecteur ormal au pla (ABC), u est orthogoal à AB et à AC doc b 5 c = et b c = b 5 c Il faut doc résoudre le sstème doc b + 5 c (b + c) = doc c = soit c = b c b + c = doc b + = soit b = u (,, ) est u vecteur ormal au pla (ABC). b. u (,, ) est u vecteur ormal au pla (ABC) doc ue équatio cartésiee du pla (ABC) est de la forme x + z + d =. B( ; ; ) appartiet au pla doc + + d = soit d = Ue équatio cartésiee du pla (ABC) est : x + z =. c. E remplaçat : x D D + z D = + + doc x D D + z D Le poit D appartiet pas au pla (ABC).. a. U vecteur directeur de D est v ( ; ; ) or v = u doc la droite D est orthogoale au pla (ABC). A f b. H est le poit d itersectio de D et du pla (ABC) doc les coordoées de H vérifiet t + ( t + 5) + t = doc t = soit t = H a pour coordoées (5 ; ; ) x t t 5 z t et x + z =.. DE a pour coordoées ( ; ; 5) ces coordoées e sot pas proportioelles à celles de u doc DE et u e sot pas coliéaires. DE. u = + ( ) ( ) + ( 5) = doc DE et u sot orthogoaux. (DE) est parallèle au pla (ABC), D appartiet pas au pla (ABC) doc la droite (DE) est strictemet parallèle au pla (ABC).

9 Exercice (5 poits) Cadidats aat choisi l eseigemet de spécialité Partie A : prélimiaires. a. N modulo N doc si N modulo N alors modulo N doc ( ) ( ) modulo N doc modulo N soit : modulo N. b. E posat = 5 et N = 6, = 5 doc N modulo N doc modulo N soit 5 5 modulo 6 k = 5 = 5. a. A = A A 6 = = 5 5 = 5 I. b. 6 A A 6 6 = 5 I doc A A I soit A I A I A est iversible et que sa matrice iverse, otée A, est A = 6 I A. c. A = 6 I A = = 5 B doc B = 5 A -. d. Si A X =Y, alors B A X = B Y soit 5 A A = B Y doc 5 X = B Y. Partie B : procédure de codage «ET» (mot à coder) X 9 5 Y A X 5 9 R «JY» (mot codé). Partie C : procédure de décodage (o coserve les mêmes otatios que pour le codage) Lors du codage, la matrice X a été trasformée e la matrice Y telle que : Y = A X. O doe les matrices : A, B, I =, x X et Y x. x. Y = A X 5 X = B Y 5 x 5 x 5 x. 5 x. 5 modulo 6 doc si 5 x = = doc 6 modulo 6 = doc 5 modulo 6 5 modulo 6 doc 5 modulo 6 = 8 = doc 6 modulo 6 alors x x modulo 6 si 5 x 5 x alors x 6 5 x 5 6 modulo 6 6. «QP» (mot à décoder) Y 5 x 6 5 x 5 6 (mot décodé) modulo 6 x x modulo 6 9 R 8 «TS»