EXERCICE I Entraînement personnel aux calculs de dérivée EXERCICE II EXERCICE III EXERCICE IV

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1 EXERCICE I On considère la fonction définie sur par =.+1² 1 Déterminer l ensemble de dérivabilité et calculer. on montrera que = Etudier le signe de la dérivée. 3 Dresser le tableau de variation de la fonction. 4 En déduire le tableau de signe de. EXERCICE II On considère la fonction définie sur ;1 par = Déterminer l ensemble de dérivabilité et calculer. 2 Etudier le signe de la dérivée. 3 Dresser le tableau de variation de la fonction. EXERCICE III : On considère la fonction définie sur { 2 ; 1 } par = Déterminer l ensemble de dérivabilité et calculer. 2 Etudier le signe de la dérivée. 3 Dresser le tableau de variation de la fonction. EXERCICE IV : On considère la fonction définie sur par = Déterminer l ensemble de dérivabilité et calculer. 2 Etudier le signe de la dérivée. 3 Dresser le tableau de variation de la fonction et énoncer le sens de variation de la fonction Entraînement personnel aux calculs de dérivée Dans chacun des cas suivants, déterminer la fonction dérivée (ne pas oublier l ensemble de dérivabilité) a) La fonction est définie sur et = +3² +1. b) La fonction est définie sur et =3+1. c) La fonction est définie sur ] 3 ; + [ et =! d) La fonction est définie sur [ 2 ; + [ et =#! $ e) La fonction est définie sur ]0 ; + [ et = f) La fonction est définie sur et = ' ()! g) La fonction est définie sur et = * ) +0,25² +1 h) La fonction est définie sur - {- 5/3} et =! i) La fonction est définie sur, ; +, et = 2 1. j) La fonction est définie sur -{ 2 }et =! k) La fonction est définie et dérivable sur et =

2 Ex1 : On considère la fonction définie sur par =.+1² 1 Dérivée : est une fonction polynôme donc est dérivable sur. pour tout de, on a : -= - =3².=+1. =2 1+1=2+1 Avec -.. = = = = =² Signe de la dérivée : ² Sens de variation de la fonction : La fonction est strictement croissante sur ] ; 1], La fonction est strictement décroissante sur, 1 ; 1 La fonction est strictement croissante sur, ; +,, 3 Tableau de variation de la fonction -1-3/ / Du tableau de variation, on peut déduire le tableau de signe de EXERCICE II On considère la fonction définie sur ;1 par = Dérivée : + est une fonction rationnelle donc est dérivable sur 2 3, c est-à-dire sur ;1 pour tout de ;1, on a : -=4 1 - =4.=1. = 1 Avec # 4 $ = 45 4

3 = + ² =!² ²² = ² ²² = 676!7 ²² Signe de la dérivée : -1/2 ¼ ½ (4 1)² (1 )² () = = (! ²² Tableau de variation de la fonction f -1/2 ¼ ½ 1 + () /3 () 3 EXERCICE III : On considère la fonction définie sur { 2 ; 1 } par ()=!!!! Dérivée : est une fonction rationnelle donc est dérivable sur 2 3, c est-à-dire sur { 2; 1} pour tout de { 2; 1}, on a : -()=² ()=2+3.()=²+3+2. ()=2+3 Avec # 4 : $ = 45.:: 5.4 :² ()= (!)6!!7(!)(!!) (!!)² = (!)#(!!)6!!7$ (!!)² = (!) (!!)² Signe de la dérivée : 2 3/ ( +3+2)² () Tableau de variation de la fonction f -2-3/2-1 + () () 5

4 EXERCICE IV : On considère la fonction définie sur par = Dérivée : est une fonction polynôme donc est dérivable sur. pour tout de, on a : = ² = ² = Signe de la dérivée : ² Tableau de variation de la fonction La fonction est strictement croissante sur ] ;1], La fonction est strictement décroissante sur [1; + [, Calcul de dérivées : a) La fonction est définie sur et = +3² +1. b) La fonction est définie sur et =3+1. c) La fonction est définie sur ] 3 ; + [ et =! d) La fonction est définie sur [ 2 ; + [ et =#! $

5 e) La fonction est définie sur ]0 ; + [ et ()=(2 +5+1). f) La fonction est définie sur et ()= ' ()(!) g) La fonction est définie sur et ()= * ) +0,25² +1 h) La fonction est définie sur - {- 5/3}et ()=! i) La fonction est définie sur, ; +, et ()= 2 1. Cette fonction est dérivable sur 1 ; +, j) La fonction est définie sur -{ 2 }et ()=! k) La fonction est définie et dérivable sur et

6 = Exercice supplémentaire : Exercice Soit la fonction définie sur par = '! Calculer Déterminer le sens de variation de la fonction. Dresser son tableau de variation Déduire l intervalle image par de l intervalle [0 ;4]. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Cf en l origine O du repère Etudier la position relative de la courbe par rapport à la tangente en O Tracer la représentation graphique de dans un repère orthonormé d unité 1 cm 1 ) a) Calculer est dérivable sur comme fonction rationnelle définie sur # 4 : $ = 45 :: 5 4 : -=10 - =10.=1+. =2 <=->?=-? >éab, = b) Déterminer le sens de variation de la fonction. Racines de la dérivée : on travaille sur = = = Le numérateur est un second degré tronqué, pour chercher ses racines il suffit de la factoriser. (Discriminant inutile) 101 = =0 1 =0 =- 1+ =0 =1 =- = 1 : ce sont les racines de la dérivée Le dénominateur n a pas de racine donc pas de valeur interdite d après l ens de définition donné par l énoncé.

7 Signe de la dérivée : grâce au tableau : Donc la fonction est strictement décroissante sur ] ; 1] puis sur [ 1;+ [ Et est strictement croissante sur [ 1;1] Dresser son tableau de variation ' ) On applique la règle du signe d un polynôme du second degré c) Déduire l intervalle image par de l intervalle [0 ;4]. D après le tableau de variation complété par les images de 0 et 4 : 0=0 A? 4= ' ) 2,4 le minimum de f sur l intervalle [0 ;4 ] est 0 et le maximum est 5 Donc l intervalle image par E de l intervalle [F ;G] est l intervalle [F ;H] d) Déterminer une équation de la tangente à la courbe Cf en l origine O du repère Formule d une équation de tangente T : I= J J+J 0=10 ;0=0 T a pour équation I = K=L? I =10 contact O (0 ;0) Cette tangente passe bien par le point de e) Etudier la position relative de la courbe par rapport à la tangente en O Méthode : On étudie le signe de 10 10= = = Racine du numérateur =0 Le dénominateur n a pas de racine et M=->?=-? >éab, 1+ >0 Donc I O a le même signe que 10 c'est-à-dire le signe contraire de celui de 0 + I O Conclusion Sur P ;0Q, la courbe est au -dessus de la tangente T Sur ]0;+ [, la courbe est en dessous de la tangente T

8 En O ( 0 ; 0 ), la courbe traverse sa tangente f) Tracer la représentation graphique de dans un repère orthonormé d unité 1 cm y x y=10x0-6