Intégrale impropre. 9.1 Convergence d intégrales Intervalles semi ouverts 2 Intervalles ouverts 3 Propriétés 4

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1 Lyee Fidherbe, Lille PC* Chpitre 9 ntégrle impropre 9. Convergene d intégrles ntervlles semi ouverts 2 ntervlles ouverts 3 s ntégrbilité Comprisons

2 est un élément de R { }, b est un élément de R {+ }. 9. Convergene d intégrles 9. ntervlles semi ouverts Définition Définition Soit f ontinue pr moreux sur [; b[. On dit que l intégrle Fx = b. x On note lors f t d t onverge si l fontion f t d t dmet une limite qund x roît vers x f t d t = lim f t d t. x b Soit f ontinue pr moreux sur ]; b]. On dit que l intégrle Fx = vers b. x On note lors f t d t onverge si l fontion f t d t dmet une limite qund x déroît f t d t = lim f t d t. x x Exemples de bse + e λt d t onverge si et seulement si λ > 0 ; dns e s 0 + Riemnn : e λt d t = λ + dt onverge si et seulement si r > ; dns e s tr d t onverge si et seulement si r < ; dns e s tr 0 lnt d t onverge et vut 0 d t onverge si et seulement si r < b t r onverge si et seulement si r <. t r t r d t = r t dt = r r pge 2

3 Soient f ontinue pr moreux sur [; b[ et ]; b[ f tdt onverge si et seulement si Dns e s f t d t = f t d t + f tdt onverge. f t d t Soient f ontinue pr moreux sur ]; b] et ]; b[ f tdt onverge si et seulement si Dns e s f t d t = f t d t + f tdt onverge. f t d t 9.2 ntervlles ouverts Ainsi, pour f ontinue pr moreux sur ]; b[, si et d pprtiennent à ]; b[ f t d t onverge si et seulement si f t d t onverge si et seulement si En s de onvergene on f t d t + On dit lors que f t d t = = f t d t + f t d t + d d d f t d t onverge. f t d t onverge. f t d t + f t d t + f t d t d f t d t f t d t onverge et on note f t d t = f t d t + f t d t. Clul prtique Si f est ontinue pr moreux sur ]; b[ et si F est une primitive de f lors f t d t onverge si et seulement si F dmet une limite finie en et en b. b [ On noter prfois f t d t = Ft ] t b. t Les deux limites doivent être lulées indépendmment : qund on lie les bornes l limite peut exister sns que l intégrle onverge. l vut toujours prouver l onvergene vnt de luler les intégrles. Exemple + t d t ne onverge ps mis lim ε 0 + /ε t d t = 0. /ε Dns l suite toutes les fontions sont supposées ontinues pr moreux sur où désigne un intervlle de l forme ]; b[ ou ]; b] b R ou [; b[ R. pge 3

4 9.3 s Les propriétés de l intégrle lssique sur les segments intégrle propre qui sont onservées pr un pssge à l limite sont : Linérité de l onvergene Si lors f t d t et gt d t onvergent et si λ, µ C 2 λf t + µgt d t onverge et λf t + µgt d t = λ f t d t + µ gt d t. Si f t = ut + ivt où u et v sont des fontions réelles ontinues pr moreux lors si et seulement si f t d t = ut d t et ut d t + i f tdt onverge vt d t onvergent et vt d t. Si f est ontinue pr moeux et positive sur et si f t d t onverge lors Chngement de vrible f t d t 0. Si f est ontinue pr moeux sur, si f t d t onverge et si ϕ est un C difféomorphisme de J vers lors l intégrle f ϕu.ϕ udu onverge et vut f tdt. D On suppose, pr exemple, = [; b[, ϕ = et lim ϕy = b don J = [; d[. On, pour y [; d[, y f ϕu.ϕ u d u = tend vers d existe dns R {+ } et vut y d ϕy f t d t don l limite qund y f t d t pge 4

5 9.2 ntégrbilité Définition f ontinue pr moreux sur est intégrble sur si f t d t onverge. On dit ussi que f t d t onverge bsolument. On noter f ou f t d t l intégrle de f sur. N.B. f est intégrble si et seulement si f l est. Crtéristion f ontinue pr moreux sur est intégrble sur si et seulement si il existe un réel M tel que, pour tout segment [; d], on f t d t M. D Si f est intégrble sur lors Si f t d t M lors x limte en b et De même Ainsi x x f t d t onverge. f t d t f t d t = M. f t d t est mjorée et roissnte don dmet une f t d t est déroissnte et mjorée don dmet une limte en +. f t d t onverge Si f est intégrble sur et si gt f t pour tout t lors g est intégrble sur. D Pour tout segment [; d] inlus dns on gt d t f t d t f t d t =. L rtéristion i dessus permet de onlure Linérité de l intégrbilité Si f et g sont intégrbles sur et si λ, µ C 2 lors λf + µg est intégrble sur. D On λf t + µgt λ f t + µ gt est l intégrle de l fontion positive t λ f t + µ gt onverge don l fontion est intégrble Lemme D Si f est ontinue pr moreux de vers C lors f est intégrble sur si et seulement si Rf et f sont intégrbles sur. On érit f t = ut + ivt ve u et v réelles, Si f est intégrble sur on ut f t = ut 2 + vt 2 don u est intégrble sur. De même v est intégrble sur. Si u et v sont intégrbles sur lors f = u + iv est intégrble sur pge 5

6 Si f est intégrble sur lors f t d t onverge. D On lors u = Rf et v = f intégrbles. ux + ux On note u + x = : u + x = ux si ux 0, u + x = 0 si ux 0. 2 De plus u + x = 2 ux + 2 ux don u+ est ontinue pr moreux sur. On 0 u + x ux don u + est intégrble ; omme est une fontion positive son intégle sur onverge. Or l intégrle de u onverge ussi u est intégrble don l intégle sur de u = 2u + u onverge. De même, vt d t onverge d où f t d t onverge Chngement de vrible Si f est intégrble sur et si ϕ est un C difféomorphisme de J vers lors l fontion u f ϕu.ϕ u est intégrble sur J ve f t d t = f ϕu. ϕ u d u. J D On note ε le signe onstnt de ϕ sur J. Pour tout segment [; d] J on ϕ [; d] = [, d ] segment de et f ϕu.ϕ u d u = ε f ϕu. ϕ u d u ϕd = ε f t d t = f t d t ϕ r ϕ = et ϕd = d si ϕ est roissnte ε = et ϕ = d et ϕd = si ϕ est déroissnte ε =. Ainsi f ϕu.ϕ u d u f t d t pour tout segment d où l intégrbilité. Le hngement de vrible déjà été prouvé pour les limites d intégrles pge 6

7 9.3 Comprisons Aroissements finis Si f est intégrble sur lors f f. D On psse à l limite pour des intégrles sur un segment Si g = O f resp. g = Ob f ve f intégrble sur ]; b] resp. [; b[ lors g est intégrble sur ]; b] resp. [; b[. D Si g = O f lors il existe des réels d et M tels que gx M f x pour tout x ]; d]. L onvergene de de f t d t implique don elle de gt d t puis elle gt d t. L utre énoné se démontre de même Corollire Si g = o f resp. g = ob f ve f intégrble sur ]; b] resp. [; b[ lors g est intégrble sur ]; b] resp. [; b[. Si g f resp. g f b lors f est intégrble sur ]; b] resp. sur [; b[ si et seulement si g est intégrble sur ]; b] resp. [; b[. D g f implique g = O f et f = O g Première omprison série intégrle Si f est une fontion positive déroissnte et ontinue pr moreux sur [; + [ lors l série f n n onverge si et seulement si f est intégrble sur [; + [. n+ D On, pour n +, u n = f t d t f n f t d t = u n. n n Si f n onverge lors n+ n + u n onverge don f t d t = u k N n k=n k=n u k = S. Si [; d] est un segment inlus dns [N; + [ lors il existe n tel que d n + d où f t d t [; + [. n+ N f t d t S don f, positive, est intégrble sur [N; + [ don sur Si f est intégrble sur [; + [ lors il existe K tel que [; d] [; + [. Ainsi on n+ k=n+ f k n u k = k=n n+ N f tdt K pour tout segment f t d t K don l suite des sommes prtielles de l série à termes positifs f n n N+ est mjorée don l série onverge puis f n n onverge pge 7

8 Seonde omprison série intégrle Si f est une fontion ontinue pr moreux sur [; b[ et si n est une suite de [; b[ stritement roissnte telle que 0 = et lim n = b n + n+ lors, en posnt u n = f t d t l série u n n 0 n onverge si et seulement si f est intégrble sur [; b[. D Si f est intégrble sur [; b[ lors l intégrle de f sur [; b[ onverge vers puis n n = lim f t d t = lim u k : l série onverge. n + n + k=0 nversement si l série onverge vers S lors l suite des intégrles n f t d t onverge don est mjorée pr S. Pour tout x [; b[ il existe n tel que x n don x f t d t n f t d t S d où l intégrbilité néglité de Cuhy-Shwrz Si f et g sont ontinues pr moreux sur et si f 2 et g 2 sont intégrbles sur lors f.g est intégrble sur et f tgt d t f 2. g 2 D On f tgt f t 2 + gt 2 don 2 f.g est intégrble sur sif 2 et g 2 le sont. On f tgt d t f t gt d t. Pour tout λ R on f t + λ gt 2 = f t 2 + λ 2 gt 2 + 2λ f t. gt intégrble et positive sur d où 2 0 f t + λ gt d t = f t 2 d t + 2λ f t. gt d t + λ 2 gt d t = A + 2Br + Cr 2 Le polynôme réel P = A + 2BX + CX 2 est positif sur R don son disriminnt est négtif 2 : 0 B 2 AC = f t. gt d t f t 2 d t. gt 2 d t pge 8

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