Intégration des fonctions continues par morceaux

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1 Chpitre 4 Intégrtion des fonctions continues pr morceu 4.1 Introduction Dns cette section, on fie < deu réels, on note I = [, ] et on considère f : I R une ppliction continue. On suppose en outre que f est positive sur [, ], c est à dire que [, ], f() 0. On veut clculer l ire de l région du pln comprise entre le grphe de f, l e des cisses et les droites d éqution = et =. Autrement dit, on veut clculer l ire de l ensemle Ω, (f) = {(, y) R 2,, 0 y f()}. f() Ω, (f) Domine dont on veut clculer l ire Dns quelques cs prticuliers, il est possile de fire ce clcul simplement. Pr eemple, si f est l fonction constnte f() = c pour un certin c 0. Le domine Ω, (f) est un rectngle dont les cotés sont de longueurs respectives c et. Donc, son ire vut c( ). 1

2 2CHAPITRE 4. INTÉGRATION DES FONCTIONS CONTINUES PAR MORCEAUX f() Cs d une fonction constnte Si f est l fonction linéire, f() = c + d( ), pour deu constntes c 0 et d 0. Le domine Ω, (f) est un trpèze de petite se c, de grnde se c + d( ) et de huteur. Son ire vut donc 1 2 (petite se + grnde se) huteur = (c + d ( ))( ). 2 f() Cs d une fonction linéire Si f est une fonction plus compliquée. Pr eemple, f() = ( ) 2. Il n y ps de mnière élémentire de clculer. Une première pproche consiste à essyer de clculer l ire de mnière pprochée en découpnt le domine en petits morceu en remplcnt chque petit morceu pr un morceu proche dont on sit clculer l ire (pr eemple un rectngle ou un trpèze!).

3 4.2. DÉFINITION DE L INTÉGRALE 3 f() Approimtion pr découpge en petits rectngles Si on prend des morceu de plus en plus petits, on s ppercoit que les pproimtions successives convergent vers une vleur limite. 4.2 Définition de l intégrle Cs des fonctions en esclier Définition Soit f : [, ] R une fonction. On dit que f est une fonction en esclier s il eiste une sudivision de [, ] = 1 < 2 <... < N+1 = et des réels α 1,..., α N tels que pour tout k {1,..., N} on it ] k, k+1 [, f() = α k. Remrque Dns l définition précédente, on demnde juste que f soit constnte sur chque intervlle ] k, k+1 [. Définition Soit f une fonction en esclier. Soit = 1 < 2 <... < N+1 = une sudivision de [, ] telle que f est constnte égle à α k sur chque intervlle ] k, k+1 [. On définit l intégrle entre et de f pr f()d := N α k ( k+1 k ). Proposition Soient f et g deu fonctions en esclier sur [, ] et λ R. Alors f + g et λf sont ussi des fonctions en esclier et on et f()d = λ (f + g)()d = f()d + f()d. (4.1) g()d. (4.2) Preuve. Soient f et λ comme ci dessus. Il eiste une sudivision = 1 <... < N+1 et des réels α 1,..., α N tels que ] k, k+1 [, f() = α k.

4 4CHAPITRE 4. INTÉGRATION DES FONCTIONS CONTINUES PAR MORCEAUX Pr suite, ] k, k+1 [, (λf)() = β k vec β = λα k. Pr définition de l intégrle, il vient N N (λf)()d = β k ( k+1 k ) = λα k ( k+1 k ) = λ N α k ( k+1 k ) = λ f()d (4.3) Ceci prouve (4.12). L preuve de (4.13) est un peu plus délicte et lissée en eercice. Proposition Soient < < c trois réels et f une fonction en esclier sur [, c]. Alors f [,] et f [,c] sont ussi des fonctions en esclier et c f()d = f()d + c f()d. Preuve. C est une conséquence immédite du fit que pour tout N, M N, on N+M N M+N k = k + k. k=n Cs des fonction continues pr morceu Supposons pour commencer que f : [, ] R est continue. On lui ssocie des fonctions en esclier de mnière nturelle comme à l figure... en posnt pour tout n N, f n () = 2 n α n k1 [ n k, n k+1[, vec n k = + (k 1) 2 et α n n k = f(n k ). Il est clir que pour tout n N ; f n est une fonction en esclier. Pour tout n N, on définit I n (f) R pr I n (f) = f n ()d. Théorème Soit f une fonction continue. Soit (I n (f)) n N l suite de réels construite ci-dessus. Alors l suite (I n (f)) n N converge vers une limite finie lorsque n tend vers l infini. Cette limite est ppelée intégrle de f entre et et notée f()d.

5 4.2. DÉFINITION DE L INTÉGRALE 5 Preuve. Pour montrer que l suite (I n (f)) n N une limite qund n tend vers l infini, il suffit de montrer que cette suite est de Cuchy (c.f. Th??). Prenons ɛ > 0 quelconque. On cherche N N tel que n, m N, (n N = I n (f) I n+m (f) < ɛ). (4.4) Or, l fonction f est continue sur [, ] qui est un intervlle fermé et orné, donc elle est uniformément continue, d près le Théorème??. Pr conséquent, il eiste δ > 0 tel que, y [, ], ( y < δ = f() f(y) < ɛ ) (4.5) Prenons N N tel que ( )2 N δ (c est possile cr l suite (2 n ) n N tend vers 0) et supposons que n, m N vérifient n N. On v montrer que (4.4) est vérifiée. Pr définition, on I n (f) = 2 n et 2 n j=1 f( + j 1 ( )) = 2n 2 n 2 n j=1 1 2 m 2 m f( + j 1 ( )) 2n (4.6) I n+m (f) = 2 n+m 2 n+m f( + i 1 ( )) 2n+m = 2 n i=1 2 n j=1 1 2 m 2 m f( + j 1 k 1 ( ) + ( )) 2n 2n+m (4.7) Pr suite, I n (f) I n+m (f) 2 n+m 2 n 2 m j=1 f( j,k ) f(y j,k ) (4.8) vec j,k = + j 1 2 ( ) et y n j,k = + j 1 2 ( ) + k 1 n 2 ( ). En prticulier, n+m pour tout 1 j 2 n et 1 k 2 m, on j,k y j,k = k 1 ( ) 2n+m 2 n δ (4.9) cr n N. Pr conséquent, en cominnt (4.5) et (4.9), on otient f( j,k ) f(y j,k ) En utilisnt cette inéglité dns (4.8), il vient I n (f) I n+m (f) 2 n+m ɛ 2 n 2 m j=1 (4.10) ɛ = ɛ. (4.11) Ceci prouve (4.4) et chève l démonstrtion.

6 6CHAPITRE 4. INTÉGRATION DES FONCTIONS CONTINUES PAR MORCEAUX Remrque Dns le þéorème précédent, on démontre que l suite (I n (f)) n N une limite sns epliciter celle-ci. Pour l plus prt des fonctions l limite (c est à dire l intégrle) est inclculle eplicitement de mnière ecte. Pr contre, le théorème précédent montre que cette intégrle est ien définie (ici le critère de Cuchy est fondmentl) et donne même un lgorithme pour en clculer une pproimtion. en effet, en prennt n de plus en plus grnd, le nomre I n (f) (qui est fcilement clculle) s pproche de plus en plus de l intégrle de f. On v mintennt définir l intégrle d une fonction continue pr morceu. Pour cel, on esoin de l notion de prolongement pr continuitã c d une fonction. Définition Soit f :], [ R une fonction continue. On suppose que lim,> f() eiste et lim,< f() eiste. On ppelle prolongement pr continuité de f à l intervlle [, ] l fonction f définie sur [, ] pr ], [; f() = f() et f() = lim,> f(), f() = lim,< f(). Remrque L fonction f ci dessus est continue sur [, ], pr définition. Eemple Soit f :]0, 1] R l fonction définie pr f() = sin( 1 ). Alors, l fonction f défine pr f(0) = 0 et f() = f(), > 0, est le prolongement pr continuité de f [0, 1]. Définition Soit f : [, ] R une fonction. On dit que f est continue pr morceu sur [, ] s il eiste une sudivision = 1 <... < N+1 = telle que f ] k, k+1 [ est continue pour tout k et f une limite guche et à droite en k. Définition Soit f une fonction continue pr morceu sur [, ]. On définit l intégrle de f entre et pr f()d = N k+1 k f ]k, k+1 [()d, où f ]k, k+1 [ est le prolongement pr continuité de f ]k, k+1 [ à l intervlle [ k, k+1 ]. Proposition Soient f et g deu fonctions continues pr morceu sur [, ] et λ R. Alors f +g et λf sont ussi des fonctions continues pr morceu et on et f()d = λ (f + g)()d = f()d + f()d. (4.12) g()d. (4.13)

7 4.2. DÉFINITION DE L INTÉGRALE 7 Preuve. Pr définition, on peut supposer que f et g sont continues. Il suffit lors de remrquer que et I n (f + g) = I n (f) + I n (g) I n (λf) = λi n (f). En pssnt à l limite (n ) dns les églités ci dessus, on otient le résultt nnoncé. Définition Soit f une fonction continue sur [, ]. On définit l intégrle entre et de f (ttention u ornes!!) pr f()d = f()d. Proposition Soit I un intervlle et,, c trois réels pprtennt à I. Soit f une fonction continue pr morceu sur I. Alors c f()d = f()d + c f()d. Preuve. Admis On s interesse mintennt u propriétés de conservtion du signe de l intégrle. Proposition Soit f une fonction continue et positive sur [, ]. Alors f()d 0. Preuve. Il suffit de remrquer que l suite I n définissnt l intégrle est positive. Donc s limite est positive. Corollire Soient f et g deu fonctions continues sur [, ]. On suppose que f g sur [, ]. Alors, f()d g()d. Preuve. Appliquer l proposition précédente à g f. Corollire Soit f une fonction continue sur [, ]. Alors il eiste c [, ] tel que f()d = f(c)( ).

8 8CHAPITRE 4. INTÉGRATION DES FONCTIONS CONTINUES PAR MORCEAUX Preuve. Comme f est continue sur [, ], il eiste 1, 2 [, ] tels que f( 1 ) = inf [,] f() et f( 2 ) = sup [,] f(). Autrement dit, pour tout [, ] on f( 1 ) f() f( 2 ). En intégrnt ces inéglités entre et, on otient ( )f( 1 ) f()d ( )f( 2 ). En divisnt pr ( ) on voit que le nomre I = 1 f()d vérifie I [f( 1 ), f( 2 )]. Le théorème de l vleur intermédiire montre donc qu il eiste c [ 1, 2 ] tel que I = f(c). D où le résultt nnoncé. 4.3 Théorème fondmentl de l Anlyse Théorème Soit f une fonction continue sur un intervlle [, ] et 0 [, ]. Pour [, ] on définit F () = 0 f(t)dt. Alors, F est de clsse C 1 sur [, ], F ( 0 ) = 0 et [, ], F () = f(). Preuve. Le fit que F ( 0 ) = 0 est évident. Montrons que F est dérivle. Fions [, ]. Pour h > 0, grce à l reltion de Chsles, on F ( + h) F () h f() = 1 h +h f(t)dt f() (4.14) De plus, d près le corollire 4.2.2, il eiste h [, + h] tel que +h f(t)dt = hf( + h). Pr suite, F ( + h) F () h f() = f( h ) f(). (4.15) Comme h tend vers lorsque h tend vers 0, on en déduit que F ( + h) F () lim = f(). h 0 h Ceci montre que F est dérivle et que F = f. Comme f est continue, on utomtiquement F C 1. Définition Soit f une fonction continue sur un intervlle [, ]. Une fonction F dérivle q et telle que F = f s ppelle une primitive de f.

9 4.4. INTÉGRATION PAR PARTIES 9 Remrque Le théorème précédent ffirme que tout fonction coninue possède une primitive. Il est fcile de voir qu étnt donnée une primitive F de f, quelque soit λ R, l fonction F + λ est ussi une primitive de F. Réciproquement, si F et G sont deu primitives de f, lors G = F + λ pour une certine constnte λ. Théorème Soit f une fonction de clsse C 1 sur un intervlle [, ], lors f ()d = f() f(). Preuve. Soit F l fonction définie pr F () = f (t)dt. D pr`s le théorème 4.3.1, on F () = 0 et ], [, F () = f (). Pr suite F f est constnte égle à f(). En prennt =, il vient F () = f() f(), c est à dire f ()d = f() f(). Proposition Soit f une fonction continue sur un intervlle [, ] et F une primitive de f. Alors f(t)dt = F () F (). Preuve. Soit F une primitive de f. D près le corollire, on F (t)dt = F () F (). Or F = f. Donc f(t)dt = F () F (). 4.4 Intégrtion pr prties Théorème Soient u et v deu fonctions dérivles sur un intervlle ], [ et coninues sur [, ]. On lors l formule suivnte : u ()v() = [uv] où l on utilise l nottion [f] = f() f(). u()v ()d (4.16)

10 10CHAPITRE 4. INTÉGRATION DES FONCTIONS CONTINUES PAR MORCEAUX Preuve. D près le théorème 4.3.2, on [uv] = = (uv) ()d = u ()v()d + (u ()v() + u()v ())d u()v ()d. (4.17) Eemple On 2 0 te t dt = e En effet, une intégrtion pr prtie montre que 2 0 te t dt = [te t ] Chngement de vrile 0 e t dt = 2e 2 e = e Théorème Soit f : [, ] R une ppliction continue et soit ϕ : [α, β] [, ] une ppliction de clsse C 1. Alors β α (f ϕ)(t)ϕ (t)dt = ϕ(β) ϕ(α) f(s)ds. Preuve. Soit F une primitive de f. Alors F ϕ est dérivle et (F ϕ) = F ϕ.ϕ. Pr conséquent l fonction G = F ϕ est une primitive de (F ϕ)ϕ. En ppliqunt le théorème 4.3.2, on otient β α (F ϕ)(t).ϕ (t)dt = G() G() = F (ϕ()) F (ϕ()). Or F étnt une primitive de f, ceci entrine β α (f ϕ)(t).ϕ (t)dt = ϕ(β) ϕ(α) f(s)ds. Eemple (1+ 2 ) d = Preuve. Notons I = (1+ 2 ) d. On pose f() = (1+ 2 ) et ϕ(t) = 1+2 tn(t). Alors, ϕ( π 4 ) = 1, ϕ( π 3 ) = 3. Pr suite I = ϕ( π 3 ) ϕ( π 4 ) f()d = π 3 π 4 f(tn(t)) tn (t)dt

11 4.5. CHANGEMENT DE VARIABLE 11 Or tn (t) = 1 + tn 2 (t), donc f(tn(t)) tn 1 (t) = = cos(t). Pr suite 1+tn2 (t) I = π 3 π 4 cos(t)dt = [sin] π 3 π =. 2

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