Des particules vers la mécanique des fluides

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1 Des particules vers la mécanique des fluides Diogo Arsénio Institut de Mathématiques Université Paris Diderot Mathématiques en mouvement Université Paris Descartes 5 juin 013

2 Le sixième problème de Hilbert Congrès international des mathématiciens, Paris, 1900 Quant aux principes de la mécanique, nous possédons déjà au point de vue physique des recherches d une haute portée ; je citerai, par exemple, les écrits de MM. Mach, Hertz, Boltzmann et Volkmann. Il serait aussi très désirable qu un examen approfondi des principes de la mécanique fût alors tenté par les mathématiciens. Ainsi le livre de M. Boltzmann sur les principes de la mécanique nous incite à établir et à discuter au point de vue mathématique d une manière complète et rigoureuse les méthodes basées sur l idée de passage à la limite, et qui de la conception atomique nous conduisent aux lois du mouvement des continua.

3 Le sixième problème de Hilbert Congrès international des mathématiciens, Paris, 1900 Quant aux principes de la mécanique, nous possédons déjà au point de vue physique des recherches d une haute portée ; je citerai, par exemple, les écrits de MM. Mach, Hertz, Boltzmann et Volkmann. Il serait aussi très désirable qu un examen approfondi des principes de la mécanique fût alors tenté par les mathématiciens. Ainsi le livre de M. Boltzmann sur les principes de la mécanique nous incite à établir et à discuter au point de vue mathématique d une manière complète et rigoureuse les méthodes basées sur l idée de passage à la limite, et qui de la conception atomique nous conduisent aux lois du mouvement des continua.

4 La dynamique des fluides

5 La dynamique des fluides Densité de particules : F (t, x, v) 0, (t, x, v) [0, ) Ω R 3

6 La dynamique des fluides Densité de particules : F (t, x, v) 0, (t, x, v) [0, ) Ω R 3 Equilibre statistique :

7 La dynamique des fluides Densité de particules : F (t, x, v) 0, (t, x, v) [0, ) Ω R 3 Equilibre statistique : F (v)

8 La dynamique des fluides Densité de particules : F (t, x, v) 0, (t, x, v) [0, ) Ω R 3 Equilibre statistique : F (v) = ϕ(v 1 )ϕ(v )ϕ(v 3 )

9 La dynamique des fluides Densité de particules : F (t, x, v) 0, (t, x, v) [0, ) Ω R 3 Equilibre statistique : ϕ( v )ϕ(0)ϕ(0) = F (v) = ϕ(v 1 )ϕ(v )ϕ(v 3 )

10 La dynamique des fluides Densité de particules : F (t, x, v) 0, (t, x, v) [0, ) Ω R 3 Equilibre statistique : ϕ( v )ϕ(0)ϕ(0) = F (v) = ϕ(v 1 )ϕ(v )ϕ(v 3 ) v 1 v ϕ ( v )ϕ(0)ϕ(0) = ϕ (v 1 )ϕ(v )ϕ(v 3 )

11 La dynamique des fluides Densité de particules : F (t, x, v) 0, (t, x, v) [0, ) Ω R 3 Equilibre statistique : ϕ( v )ϕ(0)ϕ(0) = F (v) = ϕ(v 1 )ϕ(v )ϕ(v 3 ) v 1 v ϕ ( v )ϕ(0)ϕ(0) = ϕ (v 1 )ϕ(v )ϕ(v 3 ) v 1 v ϕ ( v )ϕ(0)ϕ(0) = ϕ (v 1 )ϕ(v )ϕ(v 3 ) ϕ( v )ϕ(0)ϕ(0) ϕ(v 1 )ϕ(v )ϕ(v 3 )

12 La dynamique des fluides Densité de particules : F (t, x, v) 0, (t, x, v) [0, ) Ω R 3 Equilibre statistique : ϕ( v )ϕ(0)ϕ(0) = F (v) = ϕ(v 1 )ϕ(v )ϕ(v 3 ) v 1 v ϕ ( v )ϕ(0)ϕ(0) = ϕ (v 1 )ϕ(v )ϕ(v 3 ) v 1 v ϕ ( v )ϕ(0)ϕ(0) = ϕ (v 1 )ϕ(v )ϕ(v 3 ) ϕ( v )ϕ(0)ϕ(0) ϕ(v 1 )ϕ(v )ϕ(v 3 ) ϕ ( v ) v ϕ( v ) = ϕ (v 1 ) v 1 ϕ(v 1 )

13 La dynamique des fluides Densité de particules : F (t, x, v) 0, (t, x, v) [0, ) Ω R 3 Equilibre statistique : ϕ( v )ϕ(0)ϕ(0) = F (v) = ϕ(v 1 )ϕ(v )ϕ(v 3 ) v 1 v ϕ ( v )ϕ(0)ϕ(0) = ϕ (v 1 )ϕ(v )ϕ(v 3 ) v 1 v ϕ ( v )ϕ(0)ϕ(0) = ϕ (v 1 )ϕ(v )ϕ(v 3 ) ϕ( v )ϕ(0)ϕ(0) ϕ(v 1 )ϕ(v )ϕ(v 3 ) ϕ ( v ) v ϕ( v ) = ϕ (v 1 ) v 1 ϕ(v 1 ) ϕ (r) rϕ(r) = constante

14 La dynamique des fluides Densité de particules : F (t, x, v) 0, (t, x, v) [0, ) Ω R 3 Equilibre statistique : ϕ( v )ϕ(0)ϕ(0) = F (v) = ϕ(v 1 )ϕ(v )ϕ(v 3 ) v 1 v ϕ ( v )ϕ(0)ϕ(0) = ϕ (v 1 )ϕ(v )ϕ(v 3 ) v 1 v ϕ ( v )ϕ(0)ϕ(0) = ϕ (v 1 )ϕ(v )ϕ(v 3 ) ϕ( v )ϕ(0)ϕ(0) ϕ(v 1 )ϕ(v )ϕ(v 3 ) ϕ ( v ) v ϕ( v ) = ϕ (v 1 ) v 1 ϕ(v 1 ) ϕ (r) rϕ(r) = constante ϕ(r) = Ae Br

15 La dynamique des fluides Densité de particules : F (t, x, v) 0, (t, x, v) [0, ) Ω R 3

16 La dynamique des fluides Densité de particules : F (t, x, v) 0, (t, x, v) [0, ) Ω R 3 Distribution maxwellienne : F (t, x, v) = ρ (πθ) 3 e v u θ ( ) équilibre statistique

17 La dynamique des fluides Densité de particules : F (t, x, v) 0, (t, x, v) [0, ) Ω R 3 Distribution maxwellienne : F (t, x, v) = ρ (πθ) 3 e v u θ Le système de Navier-Stokes-Fourier incompressible : { t u + u x u ν x u = x p, x u = 0, t θ + u x θ κ x θ = 0. ( ) équilibre statistique

18 La dynamique des fluides Densité de particules : F (t, x, v) 0, (t, x, v) [0, ) Ω R 3 Distribution maxwellienne : F (t, x, v) = ρ (πθ) 3 e v u θ Le système de Navier-Stokes-Fourier incompressible : { t u + u x u ν x u = x p, x u = 0, t θ + u x θ κ x θ = 0. ( ) équilibre statistique Système d Euler compressible : t ρ + x (ρu) = 0, t (ρu) + x (ρu u + ρθ) = 0, ( t ρ u + 3 ) ρθ + x ((ρ u + 3 ) ) ρθ + ρθu = 0.

19 La dynamique des fluides Densité de particules : F (t, x, v) 0, (t, x, v) [0, ) Ω R 3 Distribution maxwellienne : F (t, x, v) = ρ (πθ) 3 e v u θ ( ) équilibre statistique

20 La dynamique des fluides Densité de particules : F (t, x, v) 0, (t, x, v) [0, ) Ω R 3 Distribution maxwellienne : F (t, x, v) = L équation de Boltzmann : ρ (πθ) 3 e v u θ ( t + v x ) F (t, x, v) = B (F, F ) (t, x, v). ( ) équilibre statistique

21 La dynamique des fluides Densité de particules : F (t, x, v) 0, (t, x, v) [0, ) Ω R 3 Distribution maxwellienne : F (t, x, v) = L équation de Boltzmann : ρ (πθ) 3 e v u θ ( t + v x ) F (t, x, v) = B (F, F ) (t, x, v). L équation de Boltzmann modélise un gaz raréfié : entrée d une navette spatiale dans l atmosphère, ( ) équilibre statistique courant dans semi-conducteur, si petit que pas d équilibre thermodynamique (gaz d électrons), analyse des nano-flots (air ionisé autour d une tête de lecture de disque dur).

22 L opérateur de Boltzmann

23 L opérateur de Boltzmann B (F, F ) (t, x, v) = R 3 S (F F F F ) v v dσdv F = F (t, x, v ), F = F (t, x, v), F = F (t, x, v ) v = v+v + v v σ, v = v+v v v σ

24 L opérateur de Boltzmann B (F, F ) (t, x, v) = R 3 S (F F F F ) v v dσdv F = F (t, x, v ), F = F (t, x, v), F = F (t, x, v ) v = v+v + v v σ, v = v+v v v σ { v + v = v + v (conservation de la quantitié de mouvement) v + v = v + v (conservation de l énergie)

25 L opérateur de Boltzmann B (F, F ) (t, x, v) = R 3 S (F F F F ) v v dσdv F = F (t, x, v ), F = F (t, x, v), F = F (t, x, v ) v = v+v + v v σ, v = v+v v v σ { v + v = v + v (conservation de la quantitié de mouvement) v + v = v + v (conservation de l énergie)

26 L opérateur de Boltzmann B (F, F ) (t, x, v) = R 3 S (F F F F ) v v dσdv F = F (t, x, v ), F = F (t, x, v), F = F (t, x, v ) v = v+v + v v σ, v = v+v v v σ

27 L opérateur de Boltzmann B (F, F ) (t, x, v) = R 3 S (F F F F ) v v dσdv F = F (t, x, v ), F = F (t, x, v), F = F (t, x, v ) v = v+v + v v σ, v = v+v v v σ 5 hypothèses : collisions binaires (gaz raréfié) localisation en temps et en espace des collisions collision élastiques micro-réversibilité des collisions chaos moléculaire

28 Lien microscopique-macroscopique Lois de conservation

29 Lien microscopique-macroscopique Lois de conservation ( t + v x ) F (t, x, v) = B (F, F ) (t, x, v)

30 Lien microscopique-macroscopique Lois de conservation ( t + v x ) F (t, x, v) = B (F, F ) (t, x, v) Variables macroscopiques : densité : ρ(t, x) = R F (t, x, v) dv 3 vitesse : ρu(t, x) = R F (t, x, v)v dv 3 température : ρθ(t, x) = R 3 F (t, x, v) v u(t,x) 3 dv

31 Lien microscopique-macroscopique Lois de conservation ( t + v x ) F (t, x, v) = B (F, F ) (t, x, v) Variables macroscopiques : densité : ρ(t, x) = R F (t, x, v) dv 3 vitesse : ρu(t, x) = R F (t, x, v)v dv 3 température : ρθ(t, x) = R F (t, x, v) v u(t,x) 3 3 dv Conservations microscopiques : 1 R B (F, F ) (t, x, v) 3 v dv = 0 v

32 Lien microscopique-macroscopique Lois de conservation ( t + v x ) F (t, x, v) = B (F, F ) (t, x, v) Variables macroscopiques : densité : ρ(t, x) = R F (t, x, v) dv 3 vitesse : ρu(t, x) = R F (t, x, v)v dv 3 température : ρθ(t, x) = R 3 F (t, x, v) v u(t,x) 3 dv

33 Lien microscopique-macroscopique Lois de conservation ( t + v x ) F (t, x, v) = B (F, F ) (t, x, v) Variables macroscopiques : densité : ρ(t, x) = R F (t, x, v) dv 3 vitesse : ρu(t, x) = R F (t, x, v)v dv 3 température : ρθ(t, x) = R F (t, x, v) v u(t,x) 3 3 dv Conservations macroscopiques : ( t ρ u + 3 ) ρθ + x t ρ + x (ρu) = 0, t (ρu) + x (ρu u + P) = 0, ((ρ u + 3 ) ) ρθ + Pu + q = 0. tenseur des contraintes : P(t, x) = R 3 F (t, x, v)(v u) (v u) dv flux thermique : q(t, x) = R 3 F (t, x, v)(v u) v u dv

34 Régimes hydrodynamiques Euler compressible

35 Régimes hydrodynamiques Euler compressible ( t + v x ) F ɛ (t, x, v) = 1 B (F ɛ, F ɛ ) (t, x, v) ɛ nombre de Knudsen libre parcours moyen

36 Régimes hydrodynamiques Euler compressible ( t + v x ) F ɛ (t, x, v) = 1 B (F ɛ, F ɛ ) (t, x, v) ɛ nombre de Knudsen libre parcours moyen Limite continue ɛ 0 : F ɛ F B(F, F ) = 0 ρ F = (πθ) 3 e v u θ est une maxwellienne.

37 Régimes hydrodynamiques Euler compressible ( t + v x ) F ɛ (t, x, v) = 1 B (F ɛ, F ɛ ) (t, x, v) ɛ nombre de Knudsen libre parcours moyen Limite continue ɛ 0 : F ɛ F B(F, F ) = 0 ρ F = (πθ) 3 e v u θ Système d Euler compressible : est une maxwellienne. t ρ + x (ρu) = 0, t (ρu) + x (ρu u + ρθ) = 0, ( t ρ u + 3 ) ρθ + x ((ρ u + 3 ) ) ρθ + ρθu = 0.

38 Régimes hydrodynamiques Autres systèmes

39 Régimes hydrodynamiques Autres systèmes (ɛ s t + v x )F ɛ (t, x, v) = 1 ɛ q B (F ɛ, F ɛ ) (t, x, v) F ɛ = M(v)(1 + ɛ m g ɛ ) 1 Euler compressible (q = 1, s = 0, m = 0) Ondes acoustiques (q = 1, s = 0, m > 0) { t ρ + x u = 0, t (ρ + θ) + x u = 0, t u + x (ρ + θ) = 0. 3 Navier-Stokes-Fourier incompressible (q = 1, s = 1, m = 1) 4 Stokes-Fourier incompressible (q = 1, s = 1, m > 1) { t u ν x u = x p, x u = 0, t θ κ x θ = 0. 5 Euler-Fourier { incompressible (q > 1, s = 1, m = 1) t u + u x u = x p, x u = 0, t θ + u x θ = 0.