TES/ spé TL Eléments de correction de l évaluation n 1 du Jeudi 22 Novembre 2012 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé.

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1 TES/ spé TL Eléments de correction de l évaluation n 1 du Jeudi 22 Novembre 2012 Calculatrice autorisée - ucun document n'est autorisé. Vous apporterez un grand soin à la présentation et à la rédaction de votre copie. Vous n oublierez pas de rendre le sujet avec votre copie. Bon courage. Le barème est noté sur 20 points. Exercice 1 : Probabilités ( 6,5 points) Durée : 3 h On étudie le trafic sur un tronçon d autoroute de contournement d une grande ville. On constate que la moitié des véhicules empruntant cette autoroute sont des camions et que 40% sont des voitures particulières. Les autres sont des motos. La société exploitant cette autoroute propose des abonnements aux usagers. Parmi les conducteurs de voitures particulières, 60% n ont pas souscrit d abonnement. 20% des conducteurs de camions et 20% des conducteurs de motos se sont abonnés. Un véhicule se présente au péage. On note les événements suivants C : «Le véhicule est un camion» V : «Le véhicule est une voiture particulière» M : «Le véhicule est une moto» : «Le conducteur a souscrit un abonnement» Partie 1 1. Traduire l énoncé par un arbre pondéré. 0,20 C (0,80) 0,50 (0,40) 0,40 V 0,60 (0,10) 0,20 M (0,80) 2. Calculer p ( V ).Interpréter ce résultat. p (V ) = p ( V) p V () = 0,4 0,4 = 0,16 La probabilité que le véhicule se présentant au péage soit une voiture particulière qui a souscrit un bonnement est de 0, Montrer que la probabilité que le conducteur arrivant au péage ait souscrit un abonnement est égale à 0,28 C, V et M forment une partition de l univers, donc d après la formule des probabilités totales : p() = p(c ) + p(v ) + p(m ) p() = p(c) p C () + 0,16 + p(m) p M () p() = 0,50 0,20+ 0,16 + 0,10 0,20 p() = 0,10+ 0,16 + 0,02 p() = 0,28 La probabilité que le conducteur arrivant au péage ait souscrit un abonnement est égale à 0,28

2 4. Sachant que le conducteur est un abonné, calculer la probabilité que son véhicule soit une moto. p (M) = p(m ) )= p(m) p M() 0,1 0,2 = p() p () 0,28 = 0,02 0,28 = 2 28 = 1 14 Sachant que le conducteur est un abonné, la probabilité que son véhicule soit une moto est égale à 1 14 Partie 2 Dans cette partie, on expliquera le raisonnement et les résultats seront arrondis au millième. Quatre véhicules arrivent au péage indépendamment les uns des autres. Calculer la probabilité qu exactement deux véhicules soient ceux de deux abonnés. «Se présenter au péage de ce tronçon d autoroute» est une épreuve de Bernoulli. En effet, pour chaque véhicule, il y a deux issues possibles, succès ou échec, le succès : «être un abonné» ayant une probabilité p égale à 0,28. De plus, quatre véhicules arrivent au péage indépendamment les uns des autres, ceci revient à répéter quatre fois de façon identique et indépendante l épreuve de Bernoulli précédente : on a ainsi un schéma de Bernoulli que l on peut schématiser au moyen de l arbre ci-dessous( incomplet). 0,28 0,28 0,28 0,28 0,72 0,28 0,72 0,28 0,72 0,28 (0,72) 0,28 0,72 0,72 0,28 0,72 Remarque : Cet arbre est incomplet : il faudrait le compléter en mettant les mêmes probabilités respectives sur toutes les branches Soit X le nombre de véhicules dont le conducteur a souscrit un abonnement. X est le nombre de succès. X suit donc la loi binomiale de paramètres 4 et 0,28 Pour k compris entre 0 et 4, on a : p ( X= k) = On cherche ici p ( X = 2) 4 p ( X = 2) = 2 0,282 0,72 2 = 6 0,28 2 0,72 2 0,244 Remarque: on a sur l arbre, 4 k 0,28k 0,72 4 k p ( X = 2) = p ( ) + p ( ) + p ( ) + p ( ) + p ( ) + p ( ) La probabilité qu exactement deux véhicules sur les quatre soient ceux de deux abonnés est égale à environ 0,244.

3 Partie 3 Le tarif pouremprunter ce tronçon d autoroute est de 2 pour une moto, 4 pour un camion et 3,50 pour une voiture particulière. L abonnement permet d obtenir une réduction de 20%. Soit S la somme payée par le conducteur. 1. Calculer la probabilité que le conducteur paye exactement 3,20 c est-à-dire p(s = 3,20). 0,8 4 = 3,20 donc p( S = 3,2) = p ( C ) = p ( C) p C () = 0,5 0,2 = 0,10 La probabilité que le conducteur paye exactement 3,20 est égale à 0,10 2. Etablir la loi de probabilité de la variable aléatoire S en complétant le tableau ci-dessous, ceci sans donner d explications. 0,20 S= 4 0,8 = 3,2 0,50 C (0,80) S= 4 0,40 V 0,40 S= 3,5 0,8 = 2,8 0,60 S= 3,5 (0,10) 0,20 S= 2 0,8 = 1,6 M (0,80) S=2 x i 1,6 2 2,8 3,2 3,5 4 p (S = x i ) 0,02 0,08 0,16 0,10 0,24 0,40 Pour trouver p ( S = 3,5) Première méthode : on utilise la somme de toutes les probabilités doit être égale à 1 donc Seconde méthode : p ( S = 3,5) = 1 ( 0,02 + 0,08 + 0,16 + 0,10 = 0,40 ) = 0,24 p ( S = 3,5) = p ( V ) = p ( V) p V ( ) = 0,40 0,6 = 0,24 3. Calculer la somme payée en moyenne par véhicule lorsqu un grand nombre de véhicules se présente au péage de ce tronçon d autoroute. Il s agit donc de calculer l espérance de S E( S) = 0,02 1,6 + 0, ,16 2,8 + 0,10 3,2 + 0,24 3,5 + 0,40 4 = 3,4 La somme payée en moyenne par véhicule lorsqu un grand nombre de véhicules se présente au péage de ce tronçon d autoroute est de 3,4

4 Exercice 2:( 3 points) QCM / LOGIQUE (deux parties indépendantes) Partie QCM Pour chaque ligne du tableau suivant, 3 réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Pour chacune des questions, on cochera la bonne réponse. On considère la fonction f définie et dérivable sur [ 2 ; 8 ] et on donne ci-dessous sa courbe représentative C f dans un repère orthogonal. Lacourbe passe par les points, B et C et les tangentes à la courbe C f aux points,b et C sont tracées sur la figure. 1) Le nombre dérivé de f en 3 est égal à : autre réponse f (3) est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d abscisse 3 f (3) = = ) f '( x ) est strictement négatif sur l'intervalle : ] 2 ; α [ avec α 1,2 [ 2 ; 1[ ] 5 ; 8] ] 1 ; 5[ On regarde les valeurs de x pour lesquelles les coefficients directeurs des tangentes sont strictement négatifs 3x 3) Le réel 5 2 est égal à 53x x x 3x 5 2 = ( 5 3x ) 2 = 5 3x 1 4) L expression ex 1 e 2x (e x+ 1 ) 2 est égale à : e x+ 1 e x 3 autre réponse e x 1 e 2x (e x+ 1 ) 2 = ex 1+2x e 2(x+ 1) = e3x 1 e 2x+ 2 = e (3x-1)-(2x+2) = e 3x-1-2x- 2 = e x 3

5 Partie LOGIQUE uvous répondrez aux deux propositions ci-dessous par VRI ou FUX en justifiant 1) Soit f la fonction définie par f(x)=q x telle que q >1 Pour tous réels a et b tels que a< b alors q a <q b VRI q > 1, donc la fonction f définie par f(x)=q x est strictement croissante Donc pour tous réels a et b tels que a< b alors q a <q b 2) Si f est une fonction continue sur [ 2 ; 5] alors f est dérivable sur [ 2 ; 5] FUX Voici un contre exemple La fonction représentée ci-contre est continue sur [ 1 ; 8] mais n est pas dérivable en 2 Exercice 3:(5 points) L entreprise Iron S. exploite un filon de minerai de fer depuis La première année d extraction, l entreprise a récupéré tonnes de fer. Depuis 1950, en raison des difficultés croissantes d extraction et de l appauvrissement du filon, les quantités de fer extraites diminuent de 1% par an. Soit u n le nombre de tonnes extraites l année n 1. En utilisant un tableur, un élève a obtenu les résultats qui figurent cicontre : Indiquer la formule qui est à écrire dans la cellule B3 et qui, par recopie vers le bas,permet de trouver les termes consécutifs de cette suite (u n ). = B2*0,99 2. Montrer que la suite (u n ) est une suite géométrique. On précisera sa raison et son premier terme. Les quantités de fer extraites diminuent de 1% par an donc pour tout n 1 on a : u n+1 = (1 100 ) u n u n+1 = 0,99 u n On en déduit que la suite (u n ) est une suite géométrique de raison 0,99 (b=0,99). De plus son premier terme est u 0 tel que u 0 =

6 3. Exprimer alors u n en fonction de n. Comme (u n ) est une suite géométrique de raison 0,99 (b=0,99) et de premier terme est u 0 tel que u 0 = , on a pour tout n 0 u n =u 0 b n = ,99 n 4. Déterminer la quantité de minerai de fer extraite dans ce filon en Comme u n estle nombre de tonnes extraites l année n, dans ce filon, Il s agit de calculer u 58 u 58 = , ,32 La quantité de minerai de fer extraite dans ce filon en 2008 est d environ tonnes 5. On considère l algorithme ci-contre. a) Des informations concernant la suite (u n ) ont été effacées. vous de les ajouter(cf pointillés). b) Quel est le rôle de cet algorithme? En utilisant les résultats obtenus par l élève sur le tableur, préciserla valeur de n qui sera affichée en final. Le rôle de cet algorithme est de trouver la plus petite valeur de n telle que u n soit inférieur ou égal à Variables : n est un entier naturel uest un réel Initialisation: u prend la valeur n prend la valeur 0 Traitement : Tant que u> u prend la valeur u 0,99 n prend la valeur n + 1 Fin de Tant que Sortie : fficher n D après les résultats obtenus sur le tableur, cette valeur de n, trouvée par l algorithme précédent, sera égale à a) Calculer u 0 + u 1 + u u 58 u 0 + u 1 + u u 58 = , , ,99 58 = ( 1 + 0,99 + 0, ,99 58 ) Comme 0,99 est différent de 1, on a u 0 + u 1 + u u 58 = , ,99 u 0 + u 1 + u u ,05 b) Interpréter concrètement la somme calculée précédemment = ,9959 0,01 = (1 0,99 59 ) Le total du minerai de fer extrait dans ce filon durant les 59 premières années donc de 1950 à 2008 s élève à environ tonnes Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. 7. On admet que la quantité totale extraite durant n années, exprimée en tonnes est : S n = ( 1 0,99 n ) En 1950, les géologues estimaient que ce filon recelait tonnes de fer. Déterminer, à partir de quelle année,le filon sera épuisé.

7 On cherche le plus petit entier n tel que S n > Mode Table Y1 : ( 1 0,99 X ) SET : ( Sn) est strictement croissante. En effet,0< 0,99 < 1 donc ( 0,99 n ) est strictement décroissante. En multipliant par ( - 1 ) on obtient doncla suite (-0,99 n ) strictement croissante. En ajoutant 1, la suite (1-0,99 n ) strictement croissante. Finalement, en multipliant par le réel positif , on obtient une suite strictement croissante De plus, S S 68 < S S 69 > On peut donc affirmer que : le plus petit entier n tel que S n > est égal à 69 donc au bout de 69 années, le filon serait épuisé en 2018.

8 Exercice 4: Etude de fonctions et fenêtre graphique (5,5 points) On considère la fonction f définie sur [ 3 ; 2 ] par f(x) = 2 x 2 e x 3 2 x2 PRTIE Conjecture Un élève a visualisé avec sa calculatrice la représentation graphique de f. Voici ce qu il a obtenu à l écran : Conjecturer les variations de f sur son ensemble de définition Il semble que f soit croissante sur [ 3 ; 2 ] Dans la suite du problème, on s intéresse à la validité de cette conjecture PRTIE B : Etude d une fonction auxiliaire Soit la fonction g définie pour tout réel x de [ 3 ; 2] par : g (x) = ( 2x + 4 ) e x 3 1. Calculer g (x) g = uv 3 donc g = (u v+uv ) 0 g (x) = 2 e x + ( 2x + 4 ) e x = 2 e x + 2xe x + 4 e x = 2x e x + 6e x = ( 2x + 6 ) e x 2. Etudier le signe de g (x) et en déduire les variations de g x 3 2 Signe de 2x Signe de e x + Signe de g (x) 0 + g( 2) Variation de g g ( 3 ) g ( 3 )= ( 2 ( 3 ) + 4 ) e 3 3 = 2e 3 3 g( 2) =( ) e 2 3 = 8e Montrer que l équation g(x) = 0 admet une unique solution α dans [ 3 ; 2] g est continue sur [ 3 ; 2] g est strictement croissante sur [ 3 ; 2] le réel zéro est compris entre g ( 3 )et g ( 2) car g ( 3 ) 3,1 et g(2) 56,11 donc, d après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équationg(x) = 0 possède une unique solution dans [ 3 ; 2]

9 On admettraque 0,19 < α < 0,18 4. En déduire le signe de g(x) x 3 α 2 g( 2) Variation de g 0 g ( 3 ) Signe de g(x) 0 + PRTIE C : Etude de la fonction f 1. vec un logiciel de calcul formel, on a obtenu la dérivée de f En admettant ce résultat,on constate que : f (x) =x g (x) BONUS : Montrer que c est exact en utilisant l affichage obtenu avec le logiciel D après cet affichage, on a : f (x) = x(2e x x + 4 e x 3) = x [2e x x + 4 e x ) 3]= x [ ( 2x + 4 ) e x 3] doncf (x) = x g (x) Etudier lors le signe de f (x) sur [ 3 ; 2] puis en déduire les variations de f x 3 α 0 2 Signe de g(x) Signe de x 0 + Signe de f (x) f(α) f(2) Variation de f f( 3) f(0) 2. Que peut-on penser alors de la conjecture faite en début d exercice? Elle est donc fausse!