CAPES épreuve 2 session Problème 1 : matrices d ordre fini

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1 ... CAPES épreuve 2 session 2014 A. P. M. E. P. Prolème 1 : matrices d ordre fini Notations et définitions Dans tout le prolème, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 1. On désigne par M n (C) (respectivement M n (R), M n (Z) l ensemle des matrices carrées à n lignes et n colonnes dont les coefficients appartiennent à C (respectivement à R, à Z). La matrice identité de taille n est notée I n. Soit A M n (C). L ensemle des valeurs propres de A est appelé spectre de A et noté Sp(A). On dit que A est d ordre fini s il existe k N, tel que A k = I n. Si A est d ordre fini, le plus petit entier strictement positif k tel que A k = I n est appelé ordre de A et noté o(a). Partie A : préliminaires 1. Cette question consiste en des rappels de théorèmes du cours. a. Soit A M n (R). On suppose qu il existe P R[X ], P 0 tel que P(A)=0. i. Donner une condition suffisante sur P pour que A soit trigonalisale dans M n (R). ii. Donner une condition suffisante sur P pour que A soit diagonalisale dans M n (R).. Soit A M n (C). On suppose qu il existe P C[X ], P 0 tel que P(A)=0. Que deviennent les conditions précédentes lorsque l on s intéresse à la trigonalisation ou à la diagonalisation de A dans M n (C)? 2. Soit B M n (C), d ordre fini. On pose o(b)=. a. Démontrer que B est inversile.. Soit k Z. Démontrer que B k = I n si et seulement si divise k. c. Démontrer que les valeurs propres de B sont des racines -ièmes de l unité. d. Démontrer que B est diagonalisale dans M n (C). 3. Soit C M n (C). Ses valeurs propres sont notées λ 1,...,λ n. On suppose que C est diagonalisale et que pour tout entier i tel que 1 i n, λ i est une racine n i -ième de l unité pour un certain entier n i. Pour tout entier i tel que 1 i n, on note k i le plus petit entier strictement positif tel que λ k i i = 1. a. Démontrer que C est d ordre fini et que son ordre divise le PPCM de k 1,...,k n.. Démontrer que o(c) est le PPCM de k i,...,k n. Partie B : matrices d ordre fini à coefficients réels Dans cette partie, on considère une matrice A M 3 (R) d ordre fini. Le ut est de démontrer que cette matrice est diagonalisale dans M 3 (C) et de déterminer le spectre de A dans C. 1. Démontrer que si toutes les valeurs propres de A dans C sont réelles, alors Sp(A) { 1 ; 1}.

2 2. On suppose que 1 est la seule valeur propre de A dans C. a. Justifier qu il existe P M 3 (R), inversile, et a,, c éléments de R tels que : 1 a P 1 AP = 0 1 c On pose B = P 1 AP. Démontrer que B est d ordre fini. k(k 1) 1 ka c. Démontrer par récurrence que pour tout k N : B k 2 ac+ k = 0 1 kc d. En déduire que A=I Énoncer sans démonstration un résultat semlale lorsque 1 est la seule valeur propre de A dans C. 4. On suppose que 1 est valeur propre simple de A et que 1 est valeur propre doule de A. a. Justifier qu il existe Q M 3 (R), inversile, et a,, c éléments de R tels que :. On pose C = Q 1 AQ. 1 a Q 1 AQ = 0 1 c Démontrer qu il existe trois suites de nomres réels (α k ) k N, ( ( ) β k )k N et γk telles que pour tout entier naturel k : k N ( 1) k α k β k C k = 0 1 γ k On définira ces suites à l aide de relations de récurrence. c. Donner une expression de γ k pour tout k 0. d. En déduire que c = 0. e. En déduire que C et A sont diagonalisales dans M 3 (C). 5. Énoncer sans démonstration un résultat semlale lorsque 1 est valeur propre doule de A et 1 est valeur propre simple de A. 6. On suppose que A admet dans C au moins une valeur propre non réelle. a. Démontrer qu il existe θ 2πQ\πZ, tel que Sp(A)= { e iθ, e iθ,1 } ou { e iθ, e iθ, 1 }. On pourra considérer le polynôme caractéristique de A.. Démontrer que A est diagonalisale dans M 3 (C). 7. Soit A M 3 (R). Démontrer que A est d ordre fini si, et seulement si, A est diagonalisale dans M 3 (C) et qu il existe θ 2πQ tel que Sp(A)= { e iθ, e iθ,1 } ou { e iθ, e iθ, 1 }. Partie C : matrices d ordre fini à coefficients entiers Soit A M 3 (Z), d ordre fini. D après la partie B, son spectre dans C est de la forme Sp(A)= { e iθ ; e iθ ; 1 } ou { e iθ ; e iθ ; 1 }, où θ 2πQ. 1. Démontrer que 2cos θ Z. On pourra considérer la trace de A. 2. Donner les valeurs possiles pour θ. CAPES externe

3 3. Donner les différents spectres dans C possiles pour A puis démontrer que o(a) {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6}. 4. On cherche maintenant à construire des matrices de M 3 (Z) de chaque ordre. a. Donner des matrices de M 3 (Z) d ordre 1 et a. i. Soit (a,,c) R 3. Calculer le polynôme caractéristique de : c ii. Construire une matrice de M 3 (Z) dont les valeurs propres sont 1,e 2iπ 3 et e 2iπ 3. Démontrer que cette matrice est d ordre 3. iii. Construire des matrices de M 3 (Z) d ordre 4 et d ordre 6. Tournez la page S.V.P. CAPES externe

4 Prolème 2 : décimales des nomres rationnels Notations et définitions N, Z, D et Q désignent respectivement l ensemle des nomres entiers naturels, celui des nomres entiers relatifs, celui des nomres décimaux et celui des nomres rationnels. Un nomre réel x est dit décimal s il existe un entier n tel que 10 n x Z. On dit qu une suite d entiers naturels ( ) n N est une suite décimale si, pour tout entier n 1, on a 0 9, le premier terme d 0 étant un entier naturel quelconque. Une suite décimale est dite finie si tous ses termes sont nuls à partir d un certain rang. Elle est dite : impropre si tous ses termes sont égaux à 9 à partir d un certain rang ; propre dans le cas contraire du précédent. On définit pour tout réel x la partie entière de x, notée E(x), par la condition : E(x) est le plus grand entier inférieur ou égal à x. Le ut de ce prolème est de démontrer quelques propriétés des nomres décimaux, puis d étudier les décimales des nomres rationnels non décimaux. Partie A nomres décimaux 1. Démontrer que Z D Q et que ces inclusions sont strictes. 2. Démontrer que l ensemle D est stale pour l addition et la multiplication. 3. Soit x un nomre rationnel positif. On pose x = a avec a et entiers naturels premiers entre eux et 0. a. On suppose qu il existe (α,β) N 2, tels que = 2 α 5 β. Démontrer que x est décimal.. On suppose que x est un décimal non entier. Démontrer que si p est un diviseur premier de, alors p {2 ; 5}. c. Déduire des questions précédentes une condition nécessaire et suffisante sur pour que le rationnel x soit un nomre décimal. 4. On considère une suite décimale ( ) n N. a. Démontrer que la série n=0 est convergente. On note x sa limite. 10n. Démontrer que dans les deux cas suivants, x est un nomre décimal : la suite ( ) n N est finie ; la suite ( ) n N est impropre. c. Démontrer que pour tout entier N 0, on a n= d N k, avec égalité si et seulement si, pour tout k N + 1,d k = 10N 9. d. En déduire que si x est un réel vérifiant x = n=0 10 n et si () n N est une suite décimale propre, alors la suite ( ) n N vérifiant cette égalité est unique. Si x= n=0 10 n avec () n N suite décimale propre, on note alors x= d 0 d 1,d et on dit que, pour tout n 1, est la n-ième décimale du réel x. 5. Démontrer que pour tout nomre décimal positif x, il existe une unique suite décimale finie ( ) 0 n N telle que x= n=0 10 n. d k CAPES externe

5 Partie B : périodicité des décimales d un rationnel positif non décimal Soit x un nomre rationnel positif non décimal. On pose x = a avec a et entiers naturels premiers entre eux. On définit par récurrence deux suites d entiers naturels ( ) n N et (r n ) n N de la manière suivante : d 0 et r 0 sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de a par ; pour tout n 0, +1 et r n+1 sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de 10r n par. 1. Soit N un entier tel que N 1. a. Écrire un algorithme permettant d afficher les entiers et r n de n = 0 jusqu au rang N. On suppose disposer d une instruction calculant la partie entière E(y) d un réel y.. Donner pour le rationnel x = 5 13 les valeurs de et r n jusqu au rang N = a. Démontrer par récurrence que pour tout entier n : x = n k=0 d k 10 k + r n 10 n.. En déduire que, pour tout entier n, r n est le reste de la division euclidienne de 10 n a par. c. Démontrer que x = k=0 d k 10 k et que () n N est une suite décimale propre. 3. Dans cette question, on va étalir que les suites ( ) n N et (r n ) n N sont périodiques à partir d un certain rang. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, r n 0.. Démontrer que les nomres r 0, r 1,...,r 1 ne peuvent pas être deux à deux distincts. c. Soit q le plus petit indice d un reste figurant au moins deux fois dans la liste de la question précédente et q l indice du premier autre reste qui lui est égal. On pose p= q q, de sorte que 0 q < q+ p 1 et r q = r q+p. Démontrer que la suite (r n ) n N est périodique de période p à partir du rang q et que la suite ( ) n N est périodique de période p à partir du rang q+ 1. Dans la suite, on dit que q est la pré-période du rationnel x et p sa période. On note alors x = d 0, d 1,...,d q [d q+1... d q+p ] si q 1 et x= d 0,[d 1... d p ] si q = On conserve dans cette question les notations précédentes. a. i. Démontrer que parmi les nomres 10 0, 10 1,...,10 1, au moins deux d entre eux sont congrus modulo. ii. Démontrer que : q est le plus petit exposant d un nomre de la liste précédente qui est congru modulo à un autre nomre de cette liste ; q+ p est l exposant du premier nomre de cette liste congru à 10 q modulo et distinct de 10 q.. Démontrer que le rationnel x = a la même période et la même pré-période que 1. Dans la suite, lorsque la fraction est non décimale, q et p seront nommés «la pré-période et la période de l entier». CAPES externe

6 5. Déterminer la pré-période et la période des entiers suivants : 7;12;112. Partie C : détermination de la pré-période On considère un entier supérieur ou égal à 2 tel que la fraction 1 soit non décimale et on note ω() sa pré-période et π() sa période. 1. Dans cette question, on suppose que est premier avec 10. a. Démontrer l équivalence : 10 q 10 q+p modulo 10 p 1 modulo.. En déduire que w() = Dans cette question, on pose = 2 j 5 k c, où c est un entier premier avec 10. Démontrer que π() = π(c) et que ω() = max( j ; k). On pourra montrer que : 10 q (10 p 1) multiple de 10 q multiple de 2 j 5 k et 10 p 1 multiple de c. 3. Application : déterminer la période et la pré-période des nomres 150 et Partie D : détermination de la période Dans cette partie, on se propose de déterminer la période des entiers supérieurs ou égaux à 2, qui sont premiers avec 10, en fonction de leur décomposition en facteurs premiers. Si est un tel entier, d après la partie C, sa période π() est le plus petit entier n non nul tel que 10 n 1 modulo. 1. Dans cette question, est un nomre premier distinct de 2 et 5. a. On note a la classe d un entier a dans Z/Z et (Z/Z) l ensemle Z/Z privé de 0. { (Z/Z) (Z/Z) Démontrer que l application f : est ien définie et a 10 a injective.. En utilisant la question précédente, démontrer que : modulo. c. Démontrer que si r est le reste de la division euclidienne d un entier n par un entier m, alors 10 r 1 est le reste de la division euclidienne de 10 n 1 par 10 m 1. On pourra utiliser une forme factorisée de x n 1, où x désigne un réel quelconque. d. Déduire des résultats précédents que : si un entier k vérifie 10 k 1 modulo, alors π() divise k ; π() divise Dans cette question, et c sont deux entiers premiers avec 10 et premiers entre eux. a. Soit n un entier naturel non nul. Démontrer que 10 n 1 modulo c si et seulement si n est un multiple de π() et de π(c).. En déduire que π(c)=ppcm(π(), π(c)). 3. Dans cette question, est un entier de la forme p n, où p est un nomre premier distinct de 2 et 5, et n un entier naturel non nul. On pose π()=l. a. Justifier l existence de deux entiers q et r tels que r 1 et 10 l 1= p r q.. Premier cas : n r. Démontrer que π ( p n) = l. CAPES externe

7 c. Deuxième cas : n> r. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel k, il existe un entier naturel Q premier avec p tel que 10 l pk 1= p r+k Q et que π ( p r+k) = l p k. En déduire que π ( p n) = l p n r. 4. Applications a. Déterminer la période des entiers 3, 3 2, 3 3, 3 4, 7, 7 2 et En déduire la période de l entier CAPES externe