Exercices sur les fonctions trigonométriques réciproques

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1 Eercices sur les foctios trigoométriques réciproques O cosidère la foctio f défiie par f Arcta ) Détermier l esemble de défiitio D de f ) Simplifier l epressio de f pour D Idicatio : Poser y Arccos Soit f la foctio défiie par f ) Peut-o prologer f par cotiuité? ) Simplifier l epressio de f Idicatio : Poser y Arcta Cotrôler sur la calculatrice graphique Arcta Questio prélimiaire : simplifier cos Arcsi pour ; La calculatrice est autorisée 6 5 L objectif de cet eercice est de calculer Arcsi Arcsi Arcsi 65 5 Idicatios : 5 6 Poser Arcsi, Arcsi et Arcsi 5 65 Démotrer que 0 Calculer cos et si Coclure O cosidère la foctio f défiie par f Arccos ) Démotrer que, pour tout réel apparteat à l esemble de défiitio de f, o a Arcsi f ) Détermier lim 0 f 5 Questio prélimiaire : Simplifier Arccos(cos ) pour 0 ; puis pour ; 6 7 ) Étudier la foctio f : Arct a Arcta Arc ta (parité, ses de variatio et limites) E déduire le ombre de solutios das de l équatio Arct a Arcta Arc ta m (E) suivat la valeur du réel m ) a) Rappeler sas démostratio la formule doat ta a b où a et b sot deu réels tels que a, b, a b e soiet pas de la forme k, avec k etier relatif b) Rappeler sas démostratio la formule doat ta a où a est u réel qui est pas de la forme k, avec k etier relatif c) Résoudre l équatio (E) pour m 8 Partie A (Questios prélimiaires) ta a b ) Rappeler la formule doat Arcta ta pour ; puis pour ; ) Simplifier Soit f la foctio défiie par f Arcta ) Détermier l esemble de défiitio D de f ) Pour D, simplifier l écriture de f 9 O cosidère la foctio f défiie sur par f Arcta Arcta ) Démotrer que pour tout réel, o a : 0 f ) Démotrer qu il eiste ue uique foctio g défiie sur telle que, pour tout réel, o ait : f Arc ta g ) Pour tout etier aturel, o pose S Arcta g k Détermier lim S k 0 Partie A O cosidère la foctio f : Arccos ) Détermier l esemble de défiitio de f f (méthode : chagemet de variable) ) Simplifier Mêmes questios avec la foctio g : Arccos

2 0 Le but de l eercice est de calculer Arcta Arcta par deu méthodes idépedates ère méthode : Rappeler la formule doat ta a b Démotrer que l o a : 0 Effectuer le calcul demadé e méthode : O cosidère la foctio f : Arcta Arcta Calculer f ' Coclure Résoudre das Arcsi y Arcsi le système Arccos y Arcsi Démotrer que pour tout réel, o a : cos Arcta et si Arcta ) Simplifier Arc(cos ) pour 0 ;, puis pour ; 0 Simplifier Arc(si ) pour ;, ; et ; ) Simplifier Arccos et simplifier Arcsi Démotrer que pour tout réel strictemet positif, o a : Arcta Arcta 5 Démotrer que : Arcta Arcta 7 6 Questio prélimiaire : rappeler la formule doat ta a b où a et b sot deu réels tels que a, b, a b soiet différets de k, pour tout etier relatif k Soit,,, 7 sept réels deu à deu disticts j i Démotrer qu il eiste deu réels disticts et i j tels que 0 i j Idicatio : o pourra supposer que 7 et o pourra poser i Arcta i Arcta Arcta 7 Calculer la dérivée de la foctio f : 8 Pour tout etier aturel m o ul, o ote C m l esemble des couples ( ; y) de réels o uls tels que marcta Arcta y ) Démotrer que pour tout réel o ul o a : Arg i Arcta m ) Démotrer que ; y C m i y ) Démotrer que : Arcta Arcta 7 i i e 9 Calculer la dérivée de la foctio f : Arcta(Arcta ) 0 Doer ue primitive sur de la foctio f : Idicatio : o pourra écrire f Calculer la dérivée de la foctio f : Arcta Résoudre das les équatios : () ; Arcsi Arcsi Arcsi Arcsi () Simplifier les epressios suivates : Arccos cos et Arcsi si O cosidère la foctio f : Arcta Pour cet eercice, o doe : ta et ta 8 8 ) Détermier l esemble de défiitio de la foctio f ) Démotrer que l o a : 5 f Arcta si ; f Arcta si ; f Arcta si 5 O cosidère la foctio f : Arccos ) Démotrer que f ' s aule e u uique réel et justifier que 0 < < ) Dresser le tableau de variatios de f ) Démotrer que le maimum de f est égal à

3 6 ) Soit u réel apparteat à l itervalle [ ; ] Préciser e foctio de Arccos l esemble des réels u [ ; ] tels que cos u > ) Soit y u réel apparteat à l itervalle [0 ; ] Préciser e foctio de Arcsi y l esemble des réels u [ ; ] tels que si u < y 7 Soit u réel apparteat à l itervalle ], [ Eprimer Arcsi e foctio de Arcta 8 Devier la valeur de Arcta Arcta Arcta à l aide de la figure ci-dessous, puis démotrer cette cojecture Questio prélimiaire : Rappeler sas démostratio la formule pour ta a b réels tels que a, b, a + b e soiet pas de la forme k, avec k etier relatif Résoudre das les équatios Arcta Arcta e foctio de ta a et de ta b où a et b sot deu ; Arcsi Arcsi Idicatios pour l équatio : Deu méthodes idépedates ère méthode : Étudier la foctio correspodat au premier membre de l équatio (variatios et limites) pour démotrer que l équatio admet ue uique solutio das Détermier le sige de cette solutio puis la détermier e raisoat par implicatios e méthode : 9 Démotrer que pour tout réel 0 ; o a : si 0 Soit f la foctio défiie sur * par Calculer f ' Que peut-o e déduire? f Arcta Arcta Arcta O cosidère deu réels et de l itervalle 0 ; tels que ta 0,6 et ta 0,5 ) Marquer et avec précisio sur le cercle trigoométrique ) O pose Calculer ta ; e déduire Résoudre das l équatio Arccos cos Raisoer par équivaleces : ta Arcta a Arcta b Calculer le produit i 5i 8i ; e déduire la valeur de S Arcta Arcta 5 Arcta 8 5 Calculer 5 i 9 i ; e déduire la formule de Machi : Arcta Arcta 5 9 Note historique : Grâce à cette formule qu il découvrit e 706, le mathématicie Joh Machi (680-75) calcula les 00 premières décimales de E 97, la formule Arcta 8Arcta 5Arcta (variate de la formule de Machi due à Gauss qui se démotre de la même maière e utilisat de plus l iégalité 0 Arcta pour tout réel 0 ), permit d obteir u millio de décimales pour e utilisat u ordiateur 6 Calculer i9 i et 5 i E déduire la formule de Machi : Arcta Arcta Calculer S Arcta 5 Arcta 8 Arcta

4 8 Partie A ) Rappeler la relatio etre Arcta et ) Rappeler ta y Soit a et b deu réels tels que ab O pose S Arcta a Arcta b Arcta pour 0 ) Calculer ta S ) O suppose das tout le ) que ab a) O suppose de plus que a 0 a b Démotrer e écrivat b que S E déduire que S Arcta a ab b) O suppose maiteat que a 0 Démotrer le même résultat c) Vérifier que le résultat précédet reste valable lorsque a 0 ) O suppose das tout le ) que ab a) Justifier que a et b sot de même sige b) O suppose que a et b sot positifs a b Démotrer que S E déduire que S Arcta ab c) O suppose ici que a et b sot égatifs a b Démotrer que S E déduire que S Arcta ab Bila : a b Si ab, alors Arcta a Arcta b Arcta ab a b Si ab, alors Arcta a Arcta b Arcta sg a ab Partie C ) Calculer A Arcta Arcta Arcta 5 8 ) Que démotre cette figure? a Simplifier Arccos(cos ) et cos(arccos ) QUESTIONS DE COURS Démotrer que la foctio Arcsius est impaire ; Eprimer Arccos( ) e foctio de Arccos pour Doer les domaies de dérivabilité et les dérivées des foctios Arccosius, Arcsius et Arctagete Démotrer les formules Éocer la propriété sur le graphe d ue foctio umérique bijective et de sa réciproque Applicatio au graphes des foctios Arccosius et Arcsius 5 Doer la relatio etre Arccos et Arcsi pour ; Démotrer cette relatio si possible par deu méthodes différetes 6 Doer les primitives de la foctio f : t t z où z est u ombre complee 7 O cosidère la foctio f = Arcsi si ) Étudier la parité et la périodicité de f E déduire u itervalle d étude I de f ) Doer ue epressio simplifiée de f pour I ) Tracer la représetatio graphique de f 8 O cosidère la foctio f = Arccos cos ) Étudier la parité et la périodicité de f E déduire u itervalle d étude I de f ) Doer ue epressio simplifiée de f pour I ) Tracer la représetatio graphique de f 9 Étude des foctios tagete et Arctagete 0 Recopier et compléter les équivaleces suivates à l aide des foctios Arccosius, Arcsius et Arctagete si y ta y cos y 0 ; ; ; Pour 0 ;, simplifier Arccos cos Pour ; Pour ; Arcsi si, simplifier, simplifier Arcta ta Pour ;, simplifier cos Arccos Pour ;, simplifier si Arcsi Pour réel quelcoque, simplifier ta Arcta

5 Résoudre das les iéquatios : Arccos ; Arcsi ; Arcta Compléter l équivalece : ta y Le y ; cos y Arccos y k k ou Arccos y k ' k ' ) ; ) lim 0 0 f ) f 6 0 et 0 ; Arcsi 6 65 RÉPONSES Arcta y ; si y Arcsi y k k ou Arcsi y k ' k ' 5 Questio prélimiaire Arccos cos si 0 ; si ; Partie A ) f Arccos si 0 ; Arccos si ; 0 ) Pour l esemble de défiitio de g, o résout l iéquatio O peut évetuellemet étudier la foctio ) O pose cos Arccos cos cos Arccos cos cos g g g Arccos cos cos g Arccos cos cos g Arccos cos cos cos g Arccos cos O pose = cos u avec u das l itervalle [0 ; ] Arccos cos f u

6 D après la questio prélimiaire, o a : Arccos si ; g Arccos si ; Arc cos si ; ta ta ; attetio à distiguer le cas où b c 6 ) a b c a b c La solutio de l équatio est 7 ) c) Applicatio : 0 est pas solutio de (E) Coditios écessaires : 0 Arcta et Arcta car 0 est pas solutio de (E) ère faço : Arcta Arcta pour ; o vérifie esuite que est pas solutio de (E) Arcta Arcta pour ; o vérifie esuite que est pas solutio (E) O se place das le cas où est différete de 0,, e faço : S il eiste solutio de (E) tel que Arcta Arcta S il eiste solutio de (E) tel que impossible, alors Arc ta 0 doc 0 Arcta Arcta, alors Arc ta ce qui est O trasforme l équatio (E) Arcta Arcta Arc ta O peut predre la tagete de chacu des deu membres ou (O eclut la solutio égative car f est strictemet croissate sur ) 8 Partie A ) Arcta ta ) 9 Arcta ta θ f Arcta Arcta ) 0 f Trois cas : 0 ; 0 ; pour ; 0 : Arcta et Arcta : Arcta 0 et Arcta ) S Arc ta ; S puis Arcta ta Arc ta si Arcta si pour ; 0 e méthode : O trouve f ' 0 pour tout réel de l esemble de défiitio de f Doc f est costate sur tous les itervalles qui costituet l esemble de défiitio de f, e particulier sur ; Pour trouver la costate sur ;, il y a trois faços : f 0, limite e, limite e + coditio : ; y ; si ; y si cos Utiliser Arccos y Arcsi y Il faut impérativemet faire la réciproque car o a pas résolu le système par équivaleces Il y a cepedat moye de résoudre le système par équivaleces Démotros que pour tout réel strictemet positif, o a : Arcta Arcta Soit u réel strictemet positif O pose Arcta O a : 0 ;

7 ta cot ta Doc Arcta et Arcta Doc o a : O a démotré que pour tout réel strictemet positif, o a : Arcta Arcta 6 7 Arcta i i i ; ta, ta,, 7 ta i i i 7 Doc si i i i, alors 7 6 i 0 i i 6 0 ta i i 7 f ' 0 ; f est costate sur ; f f ' 5 Pas très simple La dérivée est pas agréable du tout f ' Arccos Arccos Arccos f '' Sige de Variatio de 0 f '' + 0 f ' 6 ) ] Arccos, Arccos [ ) [, Arcsi y[ ]Arcsi y, ] Arcsi Arcsi () O regarde l esemble de résolutio de () L esemble de défiitio est égal à {0} Arcsi Arcsi () Arcsi Arcsi ; Arcsi ; L esemble des solutios de l iéquatio est l itervalle ; 9 Itéressat : le poit e lequel la foctio auiliaire admet u etremum peut se calculer à l aide d u Arccos et l o peut doer la valeur eacte de l etremum 0 Par limite e 0 + ou + cos k k ou k ' k '

8 Il faut commecer par doer l esemble auquel appartiet ; et ; doc ; Arcsi Arcsi si Arcsi si Arcsi cos Arcsi ou 0 O e retiet que la solutio 0

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