Lorsque qu on cherche une rue sur un plan de ville, on repère le rectangle où se trouve cette rue grâce à une lettre qui définit une colonne et un

Transcription

1 Trigonométrie

2 Un peu d histoire Les origines de la trigonométrie remontent aux civilisations d Égypte antique, de Mésopotamie et de la vallée de l Indus, il y a plus de 4000 ans. Il semblerait que les Babyloniens aient basé la trigonométrie sur un système numérique à base 60. Lagadha (-1350 ; -100) est le premier mathématicien à utiliser la géométrie et la trigonométrie pour l astronomie. La plupart de ses travaux sont aujourd hui détruits. La première utilisation de sinus apparaît dans les sulbasutras en Inde, entre 800 et 500 avant J.C., où le sinus de π 4 est correctement calculé comme 1 dans un problème de construction d un cercle de même aire qu un carré donné (le contraire de la quadrature du cercle).

3 Lorsque qu on cherche une rue sur un plan de ville, on repère le rectangle où se trouve cette rue grâce à une lettre qui définit une colonne et un nombre qui définit une ligne du quadrillage sur le plan. Les marins ou les géographes repèrent un point sur la Terre grâce à sa longitude et sa latitude. Les astronomes ont besoin, eux, de trois mesures pour repérer un objet spatial, par exemple deux angles définissant une direction et une distance caractérisant l éloignement de l objet sur la direction. Le repérage est donc indispensable dès lors qu on cherche à définir la position d un objet dans un espace. Les repères que nous avons utilisé jusqu à présent sont dit cartésiens, adjectif créé en hommage à Descartes ( ) mathématicien et philosophe français qui inventa en même temps que Fermat ( ) mais indépendamment de lui, le système de coordonnées que nous utilisons couramment. Les repères cartésiens utilisés jusqu à présent permettent de positionner des points dans un plan. Ils peuvent être complétés par une troisième coordonnée permettant de se repérer dans l espace à trois dimensions. Ces repères ne sont pourtant pas les seuls permettant de positionner des objets, nous allons découvrir dans ce chapitre comment se repérer sur un plan avec un angle et un rayon : grâce aux coordonnées polaires.

4 A- Le radian On appelle radian l unité de mesure d angle (noté rad) telle que : A et M étant deux points d un cercle > de rayon r, on dira que l angle <OM a pour mesure α radians lorsque la longueur de l arc géométrique <M intercepté par cet angle est égal à L = r α. <utrement dit, on dira que l angle AOM mesure α radians si l arc AM mesure r α unités de longueur. AM = r α longueur arc unité de longueur = mesure angle radians rayon unité de longueur

5 La mesure d un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degrés, selon le tableau de proportionnalité : Angle radian Degré Plat π 180 Quelconque α x Tableau de correspondance Degrés-Radians : Degrés Radians 0 π 6 π 4 π 3 π π 3 5π 6 π π

6 B- Arcs orientés On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon égal à 1 unité de longueur. Problématique : Deux points < et = d un cercle déterminent deux arcs de cercle. Si A et B sont diamétralement opposés, ces deux arcs ont même mesure. Sinon, il existe un «petit» arc AB et un «grand» arc AB. Comment les différencier?

7 On décide donc d orienter le cercle trigonométrique : On convient que les parcours effectués dans le sens inverse des aiguilles d une montre seront comptés positivement. Ce sens est appelé sens positif, sens trigonométrique ou encore sens direct. <insi, on peut distinguer les deux arcs d origine < et d extrémité =, selon le sens du parcours effectué sur le cercle pour se rendre de A en B. un tel parcours orienté est ainsi appelé arc orienté.

8 IJ = + π ou 3π JI = π ou + 3π IK = π ou +π

9 Théorème : Ayant choisi une orientation du cercle trigonométrique, on peut associer à chaque point M du cercle une mesure de l arc orienté IM. >ette mesure s appelle abscisse curviligne de M. Si x est la valeur de l une d entre elles, toutes les autres sont de la forme : x + k π ; k Z Parmi cette famille, il existe une abscisse curviligne et une seule appartenant à l intervalle ]-π ; π]. On l appelle mesure principale.

10 C- Angles orientés de vecteurs Soit u et v deux vecteurs non nuls. On note C le cercle trigonométrique de centre O. On pose u = OM et v = ON. Les demi-droites [OM) et [ON) coupent respectivement le cercle trigonométrique en deux point A et B. On appelle alors mesure de l angle orienté (u, v), toute mesure de l arc orienté <= Une seule mesure de l angle orienté (u, v) appartient à l intervalle ] π ; π]. Cette mesure est appelée mesure principale de l angle (u, v).

11 Exemples : OA, OE = π 3 + kπ, (k Z) OA, OG = 11π 6 + kπ, (k Z) ou OA, OG = π 6 + k π, (k Z) OF, OL = π + kπ, (k Z) ou π ; 3π OE, OK = π 3 + kπ, (k Z)

12 Propriétés des angles orientés Angles orientés et colinéarité Dire que deux vecteurs sont colinéaires de même sens équivaut à dire que (u, v) = 0. Dire que deux vecteurs sont colinéaires de sens contraire équivaut à dire que (u, v) = π. Relation de Chasles Pour tous vecteurs non nuls, u, v et w, on a (u, v) + (v, w) = (u, w)

13 Conséquences : Pour tous vecteurs non nuls, u et v, on a (u, v) = - (u, v) ( u, v) = (u, v) ( u, v) = (u, v) + π (u, v) = (u, v) + π

14 D- Trigonométrie Dans tout ce paragraphe, l unité utilisée est le radian. Le plan orienté est muni d un repère orthonormal direct (O, i, j) ; on considère le cercle trigonométrique C de centre O Sinus et cosinus d un réel Soit x un nombre réel et M le point du cercle trigonométrique associé à x. On appelle cosinus et sinus de x (notés cos(x) et sin(x)) les coordonnées de M dans le repère (O, i, j). On a : OM = (cosx) OI + (sinx)oj

15 Sinus et cosinus d un angle orienté Soit u et v deux vecteurs du plan orienté. Si x est une mesure en radian de l angle orienté (u,v), alors les autres mesures sont de la forme x + kπ, k Z Or cos (x + kπ) = cosx et sin (x + kπ) = sinx. On en déduit la définition suivante : On désigne par cos(u,v) et sin(u,v) le cosinus et le sinus de l une quelconque de ses mesures.

16 Valeurs remarquables x 0 π 6 π 4 π 3 π sin x cos x

17 Lignes trigonométriques d angles associés Remarques préliminaires : Dans la pratique, on se permet souvent quelques légèretés d écriture très utiles pour la clarté des figures et pour retenir les formules. Les formules ci-dessous sont vraies pour tout réel x, mais pour faciliter la mémorisation, on se place dans le premier cadran.

18 cos ( x) = cos x cos ( x) = cos x cos ( + x) = cos x sin ( x) = sin x sin ( x) = sin x sin ( + x) = sin x cos ( π cos ( π x) = sin x + x) = sin x sin ( π x) = cos x sin ( π + x) = cos x

19 E- Repérage d un point dans le plan Repérage cartésien Un repère cartésien du plan est constitué d un point O appelé origine et de deux vecteurs i et j non colinéaires. On le note (O; i,j) Les coordonnées d un point M du plan sont l unique couple (x; y) tel que OM = xi + yj Les coordonnées d un vecteur u du plan sont l unique couple (x; y) tel que u = xi + yj

20 Repérage polaire Pour se repérer dans le plan avec des coordonnées polaires on a besoin d un point O et d un vecteur unitaire i. Ce couple (O; i) est appelé repère polaire du plan. O est le pôle et la demi-droite [O; i) l axe polaire. Soit M un point distinct du point O. Tout couple (ρ, θ) avec ρ > 0 tel que OM = ρ et (i,om)= θ est un couple de coordonnées polaires.

21 Remarque : Le principe des coordonnées polaires donc à donner un «cap» : l angle formé avec le vecteur i et une distance appelé aussi rayon. Les coordonnées polaires ne sont pas uniques. Par exemple (; 0) et (; π) repère le même point. En revanche, en imposant à θ d être dans ] π; π], les coordonnées polaires sont alors uniques Le repérage en coordonnées polaires permet de donner l équation de certaines lignes très facilement. Par exemple ρ = 3 est l équation du cercle de centre O et de rayon 3. Par contre l équation caractérisant une parabole est plus difficile à donner...

22 Changement de type de repérage On considère une repère cartésien (O; i,j) orthonormé et le repère polaire (O; i). Soit M un point du plan, on note (x; y) ses coordonnées dans le repère cartésien et (ρ; θ) ses coordonnées dans le repère polaire. Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires : ρ = x² + y² θ est alors une mesure de l angle tel que cosθ = x ρ et sinθ = y ρ Passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes : x = ρcosθ y = ρsinθ