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1 Introduction aux problèmes mal posés. Lionel Ségui GdT Ignotus LAAS-CNRS 18 janvier 2007

2 Qu est-ce qu un problème bien posé? La notion de problème bien posé (Hadamard). Soit A : U X Y un opérateur, X et Y espaces normés. L équation Aϕ = f est dite bien posée si : la solution ϕ existe pour tout f de Y (surjectivité de A), elle est unique (injectivité de A), elle dépend continûment de la donnée f : ε > 0, δ tel que f f Y < δ ϕ ϕ X < ε, avec Aϕ = f. Sinon, on dit que l équation est mal posée.

3 Exemple typique : les opérateurs compacts en dimension infinie. Opérateur compact : l image d un borné est relativement compacte (i.e. d adhérence compacte). Théorème Soit A : U X Y opérateur compact continu, X et Y espaces normés. Alors si U est de dimension infinie, l équation Aϕ = f est mal posée. En dimension, l inverse d un opérateur compact n est pas continu. Conséquence : lorsqu on recherche une solution approchée, plus on va rechercher une approximation de qualité (dimension finie d espace ), plus le problème approché va être mal conditionné (instabilités rédhibitoires) nécessité de régulariser.

4 Construire des solutions approchées stables aux problèmes mal posés. A injectif ; connaissant un second membre perturbé f δ avec un niveau d erreur connu f δ f δ, Y on souhaite approximer la solution ϕ de Aϕ = f. f A(X ) = Im(A) := {Aϕ : ϕ X }! solution de Aϕ = f Par contre rien ne dit que f δ A(X )! Connaissant f δ, on souhaite contruire ϕ δ approximation stable de ϕ solution de Aϕ = f : il faut approximer l opérateur inverse non borné A 1 : A(X ) X par l opérateur borné R : Y X.

5 Définition Soit A : X Y (espaces normés) un opérateur linéaire borné injectif. La famille des opérateurs linéaires bornés R α : Y X, α > 0, telle que lim α 0 R αaϕ = ϕ pour tout ϕ X (convergence simple) est appelée "schéma régularisant de l opérateur A". α : paramètre de régularisation. Si A est un opérateur compact en dimension, alors la convergence simple R α f α 0 A 1 f ne peut pas être uniforme.

6 On approxime la solution ϕ de Aϕ = f par la solution régularisée Alors ϕ δ α = R α f δ. ϕ δ α ϕ = R α f δ R α f + R α Aϕ ϕ ϕ δ α ϕ X δ R α + R α Aϕ ϕ X. Le premier terme croît lorsque α 0 alors que le deuxième décroît. Pour que le schéma soit optimal, on choisit α(δ) minimisant ϕ δ α ϕ X. Définition Le schéma régularisant R α, α > 0 est dit régulier si pour tout f A(X ) et f δ Y tels que f f δ Y δ on a R α(δ) f δ A 1 f lorsque δ 0.

7 Principe de décalage de Morozov. Principe Si l on considère des données bruitées, le résidu Aϕ f Y ne peut être inférieur à la précision de mesure δ de f : le paramètre α est ainsi choisi de sorte que AR α f δ f δ Y = γδ, avec γ 1. Ce principe est théoriquement essentiel, mais d un intérêt pratique limité : il permet, lors de la recherche (souvent empirique) de la régularisation optimale à niveau de bruit δ fixé de définir un critère "quantitatif" d arrêt.

8 Généralisation de la décomposition spectrale des opérateurs compacts autoadjoints. Théorème X espace de Hilbert. Soit A : X X opérateur compact autoadjoint (Aϕ, ψ) = (ϕ, Aψ), ϕ, ψ X, avec A 0. Alors les valeurs propres de A sont réelles. L opérateur A possède au moins une valeur propre non nulle, et au plus un ensemble dénombrable de valeurs propres de point d accumulation zéro. Ces valeurs propres 0 ont une multiplicité finie, i.e. leurs sous-espaces propres associés sont de dimension finie, et les vecteurs propres correspondant à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux entre eux.

9 On ordonne ces v.p. non nulles de la manière suivante : λ 1 λ 2 λ 3..., chaque valeur propre étant répétée selon sa multiplicité. On pose (ϕ n ) n la suite orthonormale des vecteurs propres correspondants. Chaque ϕ X peut s écrire ϕ = (ϕ, ϕ n ) ϕ n + Qϕ, n=1 où Q : X N(A) désigne la projection orthogonale de X sur N(A) = {ϕ X : Aϕ = 0}. Alors (décomposition spectrale de A) Aϕ = λ n (ϕ, ϕ n ) ϕ n. n=1

10 Opérateurs compacts quelconques A : X Y opérateur borné, X et Y Hilberts. Définition Il existe un unique opérateur borné A : Y X (adjoint de A) tel que (Aϕ, ψ) Y = (ϕ, A ψ) X, ϕ X et ψ Y Propriétés : A(X ) = N(A ) et N(A ) = A(X ). Si A : X Y est un opérateur compact linéaire, alors A est également compact. l opérateur A A : X X est un opérateur compact autoadjoint positif : (A Aϕ, ϕ) X = (Aϕ, Aϕ) Y = (ϕ, A Aϕ) X 0

11 Les racines carrées (réels positifs) des valeurs propres de A A sont appelées valeurs singulières de A, ordonnées de la manière suivante : µ 1 µ 2 µ 3..., en répétant les multiplicités conformément à dim ( µ 2 ni A A ). Alors il existe des suites orthonormales (ϕ n ) n de X et (g n ) n de Y telles que Aϕ n = µ n g n et A g n = µ n ϕ n, n N Pour tout ϕ X, on a la décomposition en valeurs singulières ϕ = (ϕ, ϕ n ) ϕ n + Qϕ, n=1 où Q désigne la projection de X sur N(A) noyau de A, et Aϕ = µ n (ϕ, ϕ n ) g n. n=1 (µ n, ϕ n, g n ) : système singulier de A.

12 Le théorème de Picard Théorème Soit A : X Y un opérateur compact linéaire de système singulier (µ n, ϕ n, g n ) n. L équation Aϕ = f peut être résolue ssi f N(A ) = A(X ), et vérifie 1 µ 2 n=1 n Une solution est alors donnée par ϕ = n=1 (f, g n ) Y 2 <. 1 µ n (f, g n ) Y ϕ n.

13 En effet, µ n (ϕ, ϕ n ) X = (ϕ, A g n ) X = (Aϕ, g n ) Y = (f, g n ) Y. Le théorème de Picard illustre bien la nature mal posée de l équation Aϕ = f : un second membre perturbé f δ = f + δg n donne la solution perturbée ϕ δ = ϕ + δϕ n /µ n. Alors le rapport ϕ δ ϕ X f δ f Y = 1 µ n peut être rendu aussi grand que l on veut puisque les valeurs singulières tendent vers zéro! Idée : régulariser en amortissant ou en filtrant l influence des 1/µ n de manière sélective.

14 La coupure spectrale. La régularisation de Tychonov. Théorème Soit A : X Y un opérateur injectif compact linéaire de système singulier (µ n, ϕ n, g n ) n, et soit q : (0, ) (0, A ] R une fonction bornée telle que pour tout α > 0 il existe une constante positive c(α) avec q (α, µ) c(α)µ, 0 µ A, et lim α 0 q (α, µ) = 1, 0 µ A. Alors les opérateurs linéaires bornés R α : Y X, α > 0, définis par R α f := n=1 1 µ n q (α, µ n ) (f, g n ) Y ϕ n, f Y décrivent un schéma régularisant avec R α c(α).

15 La coupure spectrale. La régularisation de Tychonov. Pour α fixé, q(α, µ) représente une "unité approchée", qui joue le rôle d un filtre : on la souhaite proche de 1 si µ "grand", et telle que q(α, µ)/µ reste borné lorsque µ 0. Deux exemples : La coupure spectrale, La régularisation de Tychonov.

16 La coupure spectrale. La régularisation de Tychonov. Soit α = 1/m ; on pose ( ) { 1 1 si n m q m, µ n = 0 si n > m. Théorème Soit A : X Y un opérateur injectif compact linéaire de système singulier (µ n, ϕ n, g n ) n. Alors la coupure spectrale R m f := µ n µ m 1 µ n (f, g n ) Y ϕ n décrit un schéma régularisant de paramètre m, et R m = 1/µ m.

17 La coupure spectrale. La régularisation de Tychonov. Principe de décalage pour la coupure spectrale. Théorème Soit A : X Y un opérateur compact linéaire injectif à image dense dans Y. Soit f A(X ), f δ Y tels que f f δ Y δ, avec δ > 0, et soit γ > 1. Alors il existe un plus petit entier m = m(δ) tel que ARm f δ f δ Y γδ soit vérifié, et R m(δ) f δ A 1 f, lorsque δ 0 (alors m ).

18 La coupure spectrale. La régularisation de Tychonov. Théorème Soit A : X Y un opérateur linéaire compact. Alors pour chaque α > 0, l opérateur αi + A A : X X est bijectif et a un inverse borné. De plus, si A est injectif, alors R α := (αi + A A) 1 A décrit un schéma régularisant, avec R α 1/(2 α). L opérateur A A étant autoadjoint positif, on a (αϕ + A Aϕ, ϕ) X α ϕ 2 X si α > 0, alors αi + A A est bijectif.

19 La coupure spectrale. La régularisation de Tychonov. Soit (µ n, ϕ n, g n ) n le système singulier de A, Q : X N(A) la projection orthogonale. Alors T : X X défini par T ϕ := 1 α + µ 2 (ϕ, ϕ n ) ϕ n + 1 n α Q (ϕ) n=1 est borné et vérifie (αi + A A)T = T (αi + A A) = I T = (αi + A A) 1. Si A est injectif, alors Q = 0, et on déduit pour l unique solution ϕ α de de (A f, ϕ n ) X = µ n (f, g n ) Y que ϕ α = αϕ α + A Aϕ α = A f, µ n α + µ 2 (f, g n ) Y ϕ n. n n=1

20 La coupure spectrale. La régularisation de Tychonov. Alors R α est bien un schéma régularisant, avec q(α, µ) = µ2 α+µ 2. La fonction q est bornée : 0 < q(α, µ) < 1, et vérifie la condition q(α, µ) c(α)µ, avec c(α) = 1 2α (car αµ α+µ 2 2 ).

21 La coupure spectrale. La régularisation de Tychonov. Interprétation de la régularisation de Tychonov en terme de problème d optimisation sous contrainte. Théorème Soit A un opérateur compact linéaire et soit α > 0. Alors pour chaque f Y il existe un unique ϕ α X tel que Aϕ α f 2 Y + α ϕ α 2 X = inf ϕ X Aϕ f 2 Y + α ϕ 2 X. La valeur ϕ α est l unique solution de et dépend continûment de f. αϕ α + A Aϕ α = A f,

22 La coupure spectrale. La régularisation de Tychonov. Deux manières différentes d interpréter ce problème d optimisation : Pour δ > 0 donné, minimiser la norme ϕ X sous la contrainte Aϕ f Y δ (principe de décalage), Pour ρ > 0 donné, minimiser Aϕ f Y sous la contrainte ϕ X ρ (concept de quasi-solution).

23 Le principe de décalage. La coupure spectrale. La régularisation de Tychonov. Théorème Soit A : X Y un opérateur compact linéaire injectif à image dense dans Y. Soit f A(X ), f δ Y tels que f f δ Y δ f δ Y, avec δ > 0. Alors il existe un unique paramètre α = α(δ) tel que AR α f δ f δ Y = δ, et R α(δ) f δ A 1 f lorsque δ 0.

24 Le concept de quasi-solution. La coupure spectrale. La régularisation de Tychonov. Idée : restreindre l ensemble des solutions à un sous-ensemble de X, et minimiser l écart Aϕ f Y sur cet ensemble. Théorème Soit A : X Y un opérateur compact linéaire injectif et soit ρ > 0. Alors pour chaque f Y il existe un unique ϕ 0 X, avec ϕ 0 X ρ, tel que Aϕ 0 f Y Aϕ f Y, pour tout ϕ X ρ. ϕ 0 : quasi-solution de Aϕ = f avec contrainte ρ.

25 Théorème Soit A : U X Y un opérateur compact non-linéaire (aussi désigné par opérateur complètement continu) d un ouvert U d un espace normé X dans un espace de Banach Y. On suppose que A est différentiable au sens de Fréchet en ψ U. Alors la dérivée A ψ est un opérateur compact. Ce résultat illustre le fait que la linéarisation d un problème non-linéaire mal posé mène à un problème encore mal-posé.

26 Références. D. COLTON et R. KRESS. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory (Chapitre 4 : Ill-posed problems), volume 93 of Applied Mathematical Sciences, Springer Verlag. A. KIRSCH. An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, volume 120 of Applied Mathematical Sciences, Springer Verlag. V. ISAKOV. Inverse Problems for Partial Differential Equations, volume 127 of Applied Mathematical Sciences, Springer Verlag.

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