T.I.P.E : La compression JPEG

Transcription

1 T.I.P.E : La compression JPEG FLIEDEL Romain 10 mars 2005 La norme J.P.E.G. (Joint Photographic Experts Groups) permet de compresser des images au format RGB en images de taille beaucoup moins importante mais dont la qualité n est que peu affectée. Ceci est particulièrement important en ce qui concerne la transmission d images par Internet et dans le stockage des données. Cette compression est donc essentielle afin de réduite les coûts et les ressources de stockage. Ainsi grâce au sacrifice de certaines informations (partie déstructive de la compression) et en introduisant volontairement des erreurs dans l image, on peut transmettre et stocker d avantage d information. Nous nous intéresseront dans un premier temps à une présentation de la méthode de compression puis dans le thème erreur et progrès nous étudierons l itération du procédé de compression - décompression en nous limitant aux étapes déstructives du procédé. 1

2 1 Présentation du procédé de compression 1.1 L algorithme JPEG Le procédé JPEG va donc chercher à minimiser le volume de données en supprimant certaines informations de l image. Cette compression s effectue selon le procédé décrit ci-dessous : Fig. 1 Principales étapes de l algorithme de compression JPEG (Les étapes déstructives sont représentées sur fond gris) La décompression s effectue alors selon les étapes suivantes : Fig. 2 Principales étapes de l algorithme de décompression JPEG 1.2 Le passage des composantes RGB en composantes Y, C b, C r Les images sont des ensembles de points élémentaires (pixels) colorés. Pour les images en 16 millions de couleurs on peut définir la couleur par un triplet (r,g,b) de composantes Rouge, Vert, Bleu chaque composante variant de 0 à 255 (cf : Figure 1). C est ce type de codage de couleur qui est utilisé dans le format BMP (Bitmap). Pour chaque point de l image on stocke un triplet définissant la couleur du pixel ce qui produit un volume de donnée très important mais une définition optimale de l image. Fig. 3 Couleurs pour r=125 et g,b variant de 0 à 255 2

3 Exemple de codage d une image en RGB : Fig. 4 Image de départ Fig. 5 Composante Rouge Fig. 6 Composante Verte Fig. 7 Composante Bleue Un autre type de codage est utilisé dans l algorithme JPEG, c est le codage de couleur Y C b C r. Les trois composantes alors utilisées sont respectivement la luminance (Y), et deux composantes de chrominance : Bleu (C b ) et Rouge (C r ). Fig. 8 Couleurs pour Y=128 et C b,c r variant de -227 à 227 Fig. 9 Variation de la luminance pour C b,c r nuls Exemple de codage d une image en Y C b C r : 3

4 Fig. 10 Image de départ Fig. 11 Composante de Luminance Fig. 12 Composante de Chrominance Bleue Fig. 13 Composante de Chrominance Rouge On voit bien sur ces exemples que l oeil humain est beaucoup plus sensible à la luminance qu à la chrominance. C est pourquoi on va convertir l image BMP, encodée dans le système RGB, en une image au format Y C b C r. On traitera alors séparément la luminance des composantes de chrominance. La conversion du système RGB vers Y C b C r se fait selon les formules suivantes. Y C b = R G B C r Cette transformation des composantes RGB en composantes Y, C b, C r est bijective et il est très simple de repasser en RGB en inversant la matrice de conversion : R G = Y C b B C r Cette étape n engendre donc pas de pertes en théorie, mais nous verrons dans la partie programmation qu en réalité il y a quand même des pertes dues au calcul sur les entiers. 1.3 Le downsample (sous échantillonnage) Comme on a vu que les informations de chrominance étaient moins importantes que celles de luminance on va réduire par 4 le volume d informations de chrominance. Pour cela on va découper les composantes de luminance en blocs de 16*16 puis les réduire à des blocs de 8*8 selon le procédé suivant : Pour chaque sous bloc de 2*2 on fait la moyenne des valeurs et on ne garde que la moyenne. Ex (on a réduit l exemple à une matrice 8*8 transformée en 4*4 pour des raisons de lisibilité) : 4

5 La différence n est que peu perceptible compte tenu de la faible taille d un carré de 2*2 pixels. 1.4 D.C.T (Discrete Cosinus Transformation) Pour cette étape on a déjà obtenu des blocs de 8*8 pour la chrominance, on découpe alors la matrice de luminance en blocs de 8*8 afin de pouvoir appliquer la DCT. La DCT consiste à faire une décomposition fréquentielle de l image vue en tant que triplets de composantes spatiales Y,C b,c r dépendant de x,y (enplacement dans l image). On peut alors décider d abandonner un certain nombre de fréquences pour ne garder que la composante continue et les principales harmoniques. Si A = (a ij ) réprésente un bloc de l image originale, et B = (b ij ) le bloc correspondant dans l image transformée. On a deux matrices de taille 8x8. La transformée cosinus discrete s écrit alors : b ij = 1 4 c ic j 0 l 7 0 k 7 avec c i = 1 2 pour i = 0 et c i = 1 pour i 0. cos (2k + 1)iπ 16 cos (2l + 1)jπ a kl 16 On peut aussi considérer cette transformation matriciellement en considérant : B = P 1 AP où P = (p i,j ) est la matrice de passage du domaine spatial au domaine fréquentiel avec : p i,j = c i 1 4 cos (2i + 1)jπ 16 De plus P est une matrice orthogonale donc P 1 = t P, ce qui permet de l inverser rapidement pour obtenir la transformée inverse : l idct (inverse Discret Cosinus Transformation). L intérêt de la D.C.T est principalement d isoler les informations essentielles à l image et de pouvoir supprimer des détails qui ne sont que peux perceptibles. Les basses fréquences sont situées en haut à gauche dans la matrice et les hautes fréquences en bas à droite. Les motifs élémentaires correspondants aux différentes fréquences sont les suivants : Fig. 14 Les motifs de base d une image 5

6 1.5 La quantification Une fois qu on a appliqué la DCT on peut négliger les hautes fréquences. Afin de contrôler la perte de qualité de l image on va définir un facteur de qualité F q. Avec ce coefficient on va créer une matrice de quantification Q = (q i,j ) définie par la relation suivante : (q i,j ) = 1 + (i + j) F q. Une fois cette matrice définie on va procéder à la quantification en elle même. Cette opération consiste à diviser chaque coefficient a i,j de la matrice DCT par le coefficient de la matrice de quantification associé q i,j. Les coefficients de la matrice de quantification ont étés choisis de sorte que le coefficient par lequel on va diviser le coefficient associé dans la matrice DCT, soit d autant plus grand que la fréquence est élevée. Exemple : Matrice de quantification pour F q = 5 Quantification de la matrice : On obtient a par cette opération éliminé les hautes fréquences non primordiales dans l image d ou l apparition de nombreux zéros en bas à droite. 1.6 Linéarisation des matrices Une fois qu on a quantifié la matrice DCT, on va la linéariser en la parcourant en zig-zag afin d obtenir un maximum de zéros à la fin de la sequence. Fig. 15 Les motifs de base d une image 6

7 Ex : La linéarisation de la matrice suivante donne la séquence : [293 ; 0 ; 4 ;0 ; 0 ; 0 ; -1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; -1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; -1 ; -1 ; 0 ; 0 ; -1 ; -1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0] 1.7 Le codage R.L.E (Run Length Encoding ) La méthode de compression RLE aussi connue sous le nom de RLC (Run Length Coding) est assez facile mettre en place et permet d obtenir de bons résultats sans nécessiter beaucoup de ressources. Le principe de cette méthode est de remplacer n répétitions d un motif par le couple (n, motif). D après cette définition on constate que cette méthode n entraîne pas de pertes car on peut reconstituer le fichier original d après ces couples. Cette méthode ce révèle efficace uniquement pour des fichiers dont la probabilité de répétition de chaque motif est élevée. En effet coder un texte grâce cette méthode n est pas très efficace compte tenu du faible taux de répétition. Par contre pour des fichiers binaires ou hexadécimaux, le faible nombre de codes utilisés pour coder un fichier augmente la probabilité de répétition. Dans le cadre de la compression JPEG cette méthode est utilisée après linéarisation des matrices DCT. Comme la séquence obtenue se termine par un nombre important de zéros on va remplacer cette suite de zéros par le nombre de zéros ce qui raccourci considérablement la séquence. 1.8 Le Codage Huffman Le codage Huffman est une méthode de compression statistique. Elle vise à associer chaque caractère d une image (triplet Y, C b, C r ) une séquence binaire de longueur inversement proportionnelle à la fréquence d apparition du caractère. Pour cela on construit récursivement un arbre binaire selon le procédé suivant : On cherche les deux caractère ayant la plus faible fréquence d apparition, on en fait un arbre dont le noeud est étiqueté de la fréquence obtenue en sommant les deux fréquences les plus faibles. On procède de cette manière jusqu à ce que l arbre soit totalement construit avec une racine de fréquence 1. On attribue à chaque caractère (Feuille de l arbre) la séquence binaire obtenue en parcourant l arbre et en ajoutant un 1 à la séquence si on prend la branche dont le noeud a la plus petite étiquette et un 0 si on prend la branche dont le noeud a la plus grande étiquette. On obtient avec cette méthode des séquences uniques et aucune séquence n est préfixe d une autre ce qui lève toute ambiguïté lors de la lecture du fichier compressé. 7

8 Exemple : pour un ensemble de caractère (A, B, C, D, E, F ) avec les fréquences Caractère A B C D E F Fréquence 0, Fig. 16 Exemple du codage Huffman (le chemin en bleu est celui donnant la séquence correspondant au C) On obtient donc sur cet exemple les séquences suivantes : Caractère A B C D E F Séquence Binaire L inconvénient majeur de ce codage est la nécessité d une bibliothèque donc, si la compression est satisfaisante (50% en moyenne) et la décompression rapide, la taille du fichier compressé est parfois plus grande que celle du fichier initial à cause de la bibliothèque. De plus la perte d un bit entraîne la destruction de la séquence et rend donc le fichier inutilisable. 2 Programmation en CamL de l algorithme de compression JPEG 2.1 Présentations d éléments de code 2.2 Exemples de compressions 3 Étude de l itération 3.1 Étude Théorique 3.2 Résultats expérimentaux 4 Conclusion 8