Pourquoi comprimer? Partie 5: Approximation et compression des images. Comment comprimer? Critères de performance. Traitement d images
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- Gilles Lacroix
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1 Pourquoi comprimer? Traitement d images Partie 5: Approximation et compression des images Thomas Oberlin Signaux et Communications, RT/ENSEEHT thomas.oberlin@enseeiht.fr ndispensable pour le stockage et la transmission dans de nombreuses situations! Exemples de signaux numériques et leur taille : Photographie : 0 Megapixel sur 8 bits couleur = 30 Mo mage hyperspectrale, 56x660, 4 bandes spectrales, bits = 6 Mo Vidéo : heures de film, 800x600, 5 images/sec = 60 Go Audio : 0 min de musique en stéréo à 44. khz sur 6 bits : 05 Mo problématique commune à tous les signaux numériques / 34 / 34 Comment comprimer? Critères de performance Redondance statistique (pour toute classe de signaux) : répétitions, motifs récurrents, etc Autres redondances : zones homogènes, zones régulières (basse fréquence), à faible dynamique, etc Spécificités de l image Prendre en compte le système visuel humain, comme la moindre sensibilité aux hautes fréquences des composantes de chrominance. Avec ou sans perte? Sans : faible compression, souvent pas suffisant Avec : compromis entre qualité et compression Taux de compression Débit de codage R = Erreur quadratique moyenne T = MSE = NM volume final volume initial volume final nombre de pixels bpp (f n,m f n,m ) n,m Rapport signal sur bruit crête : ( ) 55 PSNR = 0 log 0 MSE Mesures de qualité perceptuelles : SSM, analyse expérimentale, etc 3 / 34 4 / 34
2 Critères de performance (suite) Outils pour la compression mage f Codeur mage xomprimée f Décodeur mage f Complexité algorithmique codeur/décodeur : coût algorithmique (nombre d opérations, mémoire), parallélisation et allocation de ressources Retard Robustesse : sensibilité à de petites erreurs (possibles durant la transmission) En pratique Trouver un compromis entre la performance de la compression (taux et qualité) et les contraintes logicielles (ex : temps-réel) et matérielles. Compression sans pertes Codage des répétitions Codage entropique Algos à dictionnaire adaptable (type LZW) théorie de l information et codage Compression par transformée (avec pertes). Changer l espace de représentation : Fourier, DCT, ondelettes. Quantification 3. Codage (entropique) Souvent : réduction des couleurs, sous-échantillonnage de la chrominance Autre méthode de compression destructrice : codage par prédiction 5 / 34 0 / 34 Plan de la séance Transformée, bases de représentation ntroduction Transformées pour la compression Transformée en cosinus discrète TCD par blocs Transformations multi-échelles Transformation linéaire T : f g = T(f ) Cas particulier : changement de base orthonormée, T unitaire Bonne base de représentation pour une image : peu de coefficients importants, on peut négliger les autres Un autre objectif : décorréler les données 3 Approximation Bases de Hilbert Notion d approximation 4 Un exemple de compression : le format JPEG Exemples Base (discrète) de Fourier (TFD) Transformée en cosinus discrète (TCD) Transformée de Hadamard, base de Haar, bases d ondelettes... / 34 / 34
3 Transformée en cosinus discrète (DCT) TCD - fonctions de base (N = M = 8) Soit une image réelle f : [[0, M ]] [[0, N ]] R, sa DCT f : [[0, M ]] [[0, N ]] R est définie par : M N π(n + )v αu αv X X π(m + )u cos, f [u, v] = f [m, n] cos M N M N n=0 avec αu = si u = 0, sinon. Exercice : quel est le lien entre la TCD et la TFD? On pourra commencer par le cas D ndice : symétriser le signal 3 / 34 4 / 34 TCD llustration nversion de la TCD La TCD inverse reconstruit l image f part : f [n, m] = M X NX π(n + )v π(m + )u αu αv f [u, v] cos cos, M N MN u=0 v=0 Propriétés Similaires à la TFD : mage originale mage symétrisée TCD (valeur absolue, log) transformation séparable calcul rapide en O(NM log(nm )) interprétation fréquentielle En plus : transformation réelle, meilleure concentration de l énergie 5 / 34 6 / 34
4 Transformée en cosinus locaux Problème de la non-stationnarité On a déjà vu que les images sont fortement non-stationnaires : les propriétés statistiques ne peuvent pas être supposées constantes en espace. besoin de représentations/transformations locales DCT par blocs Découpage de l image en blocs (souvent : 8x8) DCT D sur chaque bloc Base de Haar (d) On considère un signal s R N. On pose m 0 = s, et on définit j = 0 N, t 0 N J : d j+ [t] = (m j[t + ] m j [t]) (détails à l échelle j) m j+ [t] = (m j[t + ] + m j [t]) (approximation à l échelle j) (d,, d J, m J ) est une décomposition complète (inversible) et multi-échelle de s. niveau 0 [ ] niveau [5 5 ] [ 9 3] niveau [5 5 ] 4 [ 0 4] 4 niveau 3 [5 5 ] } {{} d [ 0 4] } 4 {{} d [ 3] 8 [0] }{{} d 3 8 [44] }{{} m 3 7 / 34 8 / 34 Base de Haar (D) Plan de la séance On généralise en D : f moyenne m détails horiz. md détails vert. dm détails diag. dd ntroduction Transformées pour la compression Wavelet coefficients Wavelet coefficients 3 Approximation Bases de Hilbert Notion d approximation 4 Un exemple de compression : le format JPEG 9 / 34 / 34
5 Représenter pour quoi faire? Approximation linéaire dans une base Changer de représentation pour structurer l information discriminer le signal et le bruit concenter l information dans peu de coefficients approximation Cadre général de l approximation Étant donné un signal/une image f d un espace de Hilbert H, et B = (g m ) m N une base hilbertienne de H. Tout f H se représente dans la base B : f = f, g m g m. Question : que se passe-t-il quand on tronque cette somme? Exemples : base de Fourier continue (H = L (0, )), discrète (H = R N ), DCT... Approximation linéaire : Consiste à approcher un signal/une image en utilisant seulement certains coefficients prédéfinis : Exemple pour la TCD : f R [n, m] = MN Exercice : u+v<r f M = M f, g m g m. ( ) π(m + )u α u α v f [u, v] cos cos M ( π(n + )v Représentez le support des coefficients sélectionnés dans cette reconstruction Quel est le principal inconvénient de cette reconstruction? N ), 3 / 34 4 / 34 Approximation non linéaire Consiste à approximer un signal/une image en utilisant seulement les plus grands coefficients. Non linéaire, car le choix des coefficients dépend de l image. En pratique : On sélectionne les R plus grands (en valeur absolue) : f M = m M f, g m g m. ou bien on sélectionne ceux qui sont au-dessus d un certain seuil γ : f, g m si f, g m > γ S γ (f m ) = 0 sinon L approximation de f au seuil γ s écrit : f γ = S γ (f m )g m Quantifier l erreur d approximation Erreur d approximation : linéaire : non-linéaire : E(M ) = f f M = E(M ) = f f M m=m f, g m m M f, g m But : décroissance rapide de l erreur d approximation. Comment faire? résultats théoriques/analyse fonctionnelle. But : décroissance rapide des coefficients f, g m. Exemple : décroissance des coefficients de Fourier pour des fonctions régulières approche expérimentale à voir en TP 5 / 34 6 / 34
6 llustration de différentes approximations mage originale mage originale Approx. linéaire, taux = 8 Approx. linéaire, taux = 3 Approx. non linéaire, taux = 8 Plan de la séance ntroduction Transformées pour la compression 3 Approximation 4 Un exemple de compression : le format JPEG Approx. non linéaire, taux = 3 8 / 34 7 / 34 Principe général Pré-traitements et transformation. Décomposition luminance-chrominances YCbCr. Sous-échantillonnage des composantes de chrominance (souvent, facteur ) 3. Découpage en blocs 8x8 pour chaque composante 4. DCT sur chaque bloc, exemple : "Compression JPEG" par Stéphane Brunner via Wikimedia Commons 9 / / 34
7 Quantification Codage Étape cruciale de la compression. But : compresser tout en ne perdant pas trop d information. Quantification uniforme, adaptative? JPEG : quantification non uniforme On utilise une matrice de quantification Q, et la quantification suivante : [ ] F[u, v] F [u, v] = Q[u, v] Parcours du bloc F en Z : Dans notre exemple : 79, 0, -, -, -, -, 0, 0, -, EOB. Codage (sans pertes) : RLE (Run-length encoding) sur 0, pour coder les répétitions de 0 Codage entropique : Huffman ou arithmétique 3 / 34 3 / 34 Conclusion Quelques exercices Besoin de compresser à taux élevés pour la transmission et le stockage Compression par transformation : trouver une représentation où les coefficients décroissent rapidement JPEG : basé sur la décroissance de la DCT (en D, MP3) Plus l image est régulière, plus la décroissance est rapide L étape de compression proprement dite : la quantification, mise à 0 de coefficients Utilisation de propriétés perceptuelles : moindre sensibilité aux hautes fréquences. Pourquoi n utilise-t-on pas la quantification uniforme dans le format JPEG? Et pourquoi pas une quantification optimale?. Un des avantages de la TCD par rapport à la TFD est la suppression des hautes fréquences artificielles dûes aux bords de l image. Expliquer pourquoi. Quel est l intérêt lorsqu on fait du sur-échantillonnage par zéro-padding, par exemple? 3. On explicite ici le lien entre la décroissance des coefficients et celle de l erreur d approximation linéaire. Soit s > /. Montrer que si les coefficients de f vérifient m s f, g m < +, alors E(M ) = o(m s ). 33 / / 34
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