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1 Université Lyon 1 Algèbre générale S.P. Groupes III I. Groupe symétrique et géométrie. On se donne un ensemble E (souvent un espace euclidien ou une partie de cet espace) et une bijection f : E E (souvent f est affine ou une isométrie affine). Déf: - un point p E tel que f(p) = p est appelé point fixe. - une partie P E est dite fixe ou invariante par f si quelquesoit p P, f(p) = p. - une partie P est dite globalement invariante ou stable par f si f(p ) = P i.e. si quelquesoit p P, f(p) P et f 1 (p) P. Remarques: Certains étudiants ne distinguent pas f(p ) P de f(p ) = P. C est une erreur. Par exemple, pour l homothétie h : R 2 R 2 : x 1 2 x, du plan euclidien et D ρ = { x, x ρ} le disque de rayon ρ > 0 on a h(d ρ ) = D ρ 2 D ρ et D ρ h(d ρ ). Par contre, lorsque P est finie, l inclusion f(p ) P implique l égalité f(p ) = P car, f étant bijective, f(p ) = P. Pour E affine euclidien, on a la Propriété: L ensemble K des bijections (resp. des isométries) affines ρ tels que ρ(p ) = P est un sous-groupe du groupe affine (resp. des isométries affines) de E. Dans ce qui suit on détermine l ordre du sous-groupe d isométries stabilisant un triplet de droites (point 1) et ensuite l ordre du groupe d isométries du cube (point 2). Dans les deux cas on procède en privilégiant les notions algégriques (groupe de permutations, morphismes, classes à gauche et théorème d isomorphisme). Le point 3 explique pourquoi ces deux groupes sont les mêmes. 1. Groupe d isométries stabilisant un triplet de droites. L exemple qui suit illustre les questions d invariance et de stabilité. Il montre aussi que pour des questions vectorielles il est souvent plus direct d utiliser l algèbre linéaire (i.e. les matrices) plutôt que de faire un raisonnement de géométrie affine. On considère les trois axes D i, 1 i 3, portés par la base canonique ( e i ) 1 i 3 de R 3 et on se propose de déterminer les trois sous-groupes K (j) O 3, 1 j 3, suivants: K (1) est constitué des isométries ρ qui fixent les axes, K (2) des isométries qui stabilisent les axes et K (3) des isométries qui stabilisent la réunion des axes. (1) c est immédiat: pour ρ K (1) on a ρ( e i ) = e i d où ρ est l identité sur une base et dès lors K (1) = {id}. 1

2 (2) pour ρ K (2) on a ρ( e i ) D i d où ρ( e i ) = ± e i (car pour ρ O 3 toute valeur propre réelle vaut 1 ou 1 ) et dès lors K (2) est l ensemble des isométries ρ dont la matrice dans la base canonique s écrit [ρ] = ± ± ±1 Le groupe K (2) est commutatif d ordre 8. Chaque élément ρ id de K (2) est d ordre 2. (3) c est la question la plus délicate. On a ρ( 1 i 3 D i ) = 1 i 3 On commence par observer que ρ(d i ) 1 i 3 D i implique que D i est l un des trois axes. En effet, ρ(d i ) est une droite qui intersecte l un des trois axes, disons D j, en au moins deux points, elle coincide donc avec D j. De plus on a ρ(d i ) = ρ(d k ) i = k (appliquer ρ 1 ). L isométrie ρ induit donc une permutation des trois axes, i.e. il existe une permutation σ S 3 telle que ρ(d i ) = D σ(i), 1 i 3. On vérifie que l application est un morphisme de groupes. D i. ψ : K (3) S 3 : ρ σ ψ est surjectif: en effet, quelquesoit σ S 3 l isométrie ρ σ K (3) définie par ρ σ ( e i ) = e σ(i) satisfait ψ(ρ σ ) = σ. ψ n est pas injectif car, par exemple, ρ σ ( e i ) = e σ(i) est aussi un antécédent de σ. Préciser cette situation équivaut à déterminer le noyau Ker ψ. On a ψ(ρ) = id S 3 i, ρ(d i ) = D i ρ K (2). Dès lors Ker ψ = K (2). Par le théorème d isomorphisme K (3) /K (2) est isomorphe à S 3 et on a K (3) K (2) = S 3 = 3! = 6 dès lors K (3) = K (2) 6 = 48. Pour faire la liste de ses éléments (en fait de leurs matrices dans la base canonique), on utilise ce qui précède comme suit: chaque permutation σ S 3 admet exactement 8 antécédents par ψ. On commence par K (2) (les 8 antécédents de id S 3 ) et ensuite chaque permutation non triviale σ S 3 admet les antécédents [ρ σ ] K (2). En clair, cette liste correspond à la décomposition de K (3) en K (2) classes à gauche: K (3) = σ S 3 [ρ σ ] K (2). 2

3 Voici la liste explicite pour chaque classe: K (2) : ± ±1 0, [ρ (12) ] K (2) : 0 ±1 0 ±1 0 0, 0 0 ±1 0 0 ±1 [ρ (23) ] K (2) : ± ±1, [ρ (13) ] K (2) : 0 0 ±1 0 ±1 0, 0 ±1 0 ±1 0 0 [ρ (123) ] K (2) : 0 0 ±1 ±1 0 0, [ρ (132) ] K (2) : 0 ± ±1. 0 ±1 0 ± L ordre du groupe de symétrie du cube. L exemple qui suit illustre comment intervient le groupe symétrique dans une question de géométrie en considérant une famille stable de droites attachée à la configuration. On se place dans l espace affine R 3 muni du produit scalaire ( ) et de la distance euclidienne d usuels. On désigne par C R 3 un cube de longueur d arêtes 1. On désigne par G C le sous-groupe des isométries affines f de R 3 qui conservent l ensemble S C des sommets du cube C i.e. telles que t S C, f(t) S C (ce qui équivaut à f(s C ) = S C car S C est fini). Question: Quel est l ordre de G C? Il y a bien sûr plusieurs manières de faire. Ici, j utilise les quatre diagonales principales D i, 1 i 4, de C passant par un sommet et le centre O de C. Voici les étapes (un conseil: suivez ces étapes sur une figure). (0) f G C fixe le centre O du cube C: - l argument est classique: O est l isobarycentre des sommets de C. f étant affine elle conserve les barycentres au sens où ( ) ( ) s1 s f 2 s 8 f(s1 ) f(s = 2 ) f(s 8 ) a 1 a 2 a 8 a 1 a 2 a 8 en particulier f(o) = O. (1) l image par f G C d une diagonale principale de C est une diagonale principale de C: - l argument est métrique: On observe qu il y a trois familles de droites passant par deux sommets de C: 12 arêtes de longueur 1, 12 diagonales faciales de longueur 2, 4 diagonales principales de longueur 3. Notons s ± i S C les deux sommets de la diagonale principale D i. L image f(d i ) est la droite passant par les sommets f(s + i ), f(s i ) S C. Puisque f conserve la distance on a 3 = d(s + i, s i ) = d(f(s+ i ), f(s i )), 3

4 dès lors f(d i ) est une diagonale principale. (2) par le point (1), toute f G C induit une permutation des diagonales principales de C i.e. il existe une (unique) permutation σ S 4 telle f(d i ) = D σ(i), 1 i 4. L application satisfait ψ : G C S 4 : f σ ψ(f f) = ψ(f ) ψ(f) i.e. ψ est un morphisme de groupes. (3) Etude de ψ. - ψ est surjectif: voici une démo: pour 1 i < j 4, on commence par observer que la transposition (ij) S 4 est dans l image de ψ. Pour cela, écrivons {1, 2, 3, 4} = {i, j} {k, l}. Soit P l unique plan affine contenant les diagonales principales D k et D l. La symétrie affine s ij de plan fixe P parallèlement à la droite D = P appartient à G C et satisfait s ij (D i ) = D j, s ij (D k ) = D k, s ij (D l ) = D l i.e. ψ(s ij ) = (ij). Pour obtenir la surjectivité de ψ on utilise ensuite le fait que toute permutation est une composée de transpositions: soit alors σ = (i 1 j 1 ) (i 2 j 2 ) (i n j n ) une décomposition de σ S 4 en transpositions. En utilisant pour chaque transposition (i r j r ) la symétrie s ir j r construite plus haut on a i.e. σ ψ(g C ). - ψ n est pas injectif: Démo: on va déterminer le noyau Ker ψ. Pour f G C, σ = ψ(s i1 j 1 ) ψ(s i2 j 2 ) ψ(s in j n ) = ψ(s i1 j 1 s i2 j 2 s in j n ) f Ker ψ f(d i ) = D i, 1 i 4. On va montrer (c est similaire à l exemple 1) qu une bijection affine qui stabilise les diagonales principales est nécessairement une homothétie. Soient S i D i, 1 i 4, les quatre sommets de la face supérieure de C. (Je ne fais pas la figure. L ordre des sommets supérieurs est ici trigonométrique.) 4

5 Puisque f(d i ) = D i, on a f ( D i ) = D i ; il existe donc des réels γ i tels que f ( OSi ) = γ i OSi, 1 i 4. On a OS 4 = OS 1 OS 2 + OS 3 Dès lors γ 4 OS4 = f ( OS 4 ) = f ( OS 1 ) f ( OS 2 ) + f ( OS 3 ) = γ 1 OS1 γ 2 OS2 + γ 3 OS3. On a donc dans la base affine (O; ( OS 1, OS 2, OS 3 )), ( γ 4 OS1 OS 2 + ) OS 3 = γ1os1 γ 2OS2 + γ 3OS3 qui implique γ 1 = γ 2 = γ 3 et f est une homothétie ou une translation. Puisque f(o) = O c est une homothétie. Si le rapport γ ±1 la distance n est pas conservée. Conclusion: f = id ou f = ι (l homothétie de centre O et de rapport 1) i.e. pour le noyau on a Ker ψ = {id, ι}. Par le théorème d isomorphisme, l application ψ induit un isomorphisme entre G C /{id, ι} et S 4 et dès lors G C = {id, ι} S 4 = 2 24 = 48. Remarque: ce qui précède est instructif. Afin de déterminer l ordre d un groupe (ici G C ) on construit un morphisme surjectif de ce groupe sur le groupe de permutations d un ensemble fini (ici l ensemble des 4 diagonales principales). L étude de ce morphisme et le théorème d isomorphisme nous permettent de calculer l ordre de ce groupe sans expliciter la liste de ses éléments. 3. K (3) = G C. Il y a au moins deux façons de voir que K (3) = G C. (1) Dans le repère affine canonique (O; e 1, e 2, e 3 ) où O est le centre du cube C, on peut vérifier que les éléments de K (3) sont bien les matrices des isométries du cube. Ces isométries sont (il est ici vraiment utile de faire une figure): - les déplacements G + C : (1) l identité, (2) les 9 rotations de πl 2, 1 l 3, d axe passant par O et le centre d une face, (3) les 6 rotations de π d axe passant par O et le milieu d une arête, (4) les 8 rotations de 2πl 3, 1 l 2, d axe passant par O et un sommet de C. - les antidéplacements G C : (5) l homothétie ι de centre O et de rapport 1 (i.e. la symétrie centrale de centre O), (6) les composées ι ρ où ρ est l une des 23 rotations non triviales de G + C. 5

6 A titre d exemples: pour (2), la rotation de π 2 d axe passant par le centre O = (0, 0, 0) origine du repère et le point de coordonnées ( 1 2, 0, 0) a pour matrice Pour (3), la rotation de π d axe passant par O et le point de coordonnées ( 1 2, 1 2, 0) a pour matrice Pour (4), la rotation de 2π 3 d axe passant par O et ( 1 2, 1 2, 1 2 ) a pour matrice (2) Une autre manière de faire consiste à utiliser la dualité géométrique entre le cube et l octaèdre régulier (assemblage convexe des 8 triangles équilatéraux identiques). Voici, en très bref, ce lien (encore une fois, faites une figure): la dualité consiste à réaliser l octaèdre régulier O comme l enveloppe convexe des centres des faces du cube C. En utilisant le fait que toute isométrie f de C conserve la distance entre sommets de C et transforme barycentre de sommets en barycentre de sommets, on peut voir que f est aussi une isométrie de l octaèdre O. De même, l enveloppe convexe des centres des faces de l octaèdre O est un cube (homothétique à C). Dès lors toute isométrie de O est aussi une isométrie de C. En clair, le groupe de l octaèdre et du cube sont les mêmes. Pour conclure, il suffit d observer que le groupe K (3) est le groupe de symétrie de l octaèdre régulier. II. Les groupes usuels se ressemblent. Certains groupes intervenant naturellement en géométrie (le groupe symétrique S n, le groupe orthogonal O n, le groupe des isométries affines Is(E),...) présentent des similarités structurelles liées à l existence d un sous-groupe distingué naturel. Avant une étude d exemples, voici un rappel général. 1. Transport de structure, produit semi-direct. (1) Transport de structure. Soient E un ensemble, G un groupe et φ : E G une bijection. On peut alors définir une loi de composition interne sur E en transportant la loi de groupe de G sur E à l aide de la bijection φ comme suit: pour tout a, b E, a E b = φ 1 (φ(a) φ(b)). 6

7 Prop: La loi E est une loi de groupe sur E telle que φ : E G est un isomorphisme de groupes. Démo: laissée au lecteur. Remarque: le transport de structure par bijection s applique à des situations très diverses. Par exemple, on peut transporter une distance, une topologie,...rien d exceptionnel à tout ceci. En effet, deux ensembles en bijection sont les mêmes à une notation près. (2) Produit semi-direct de groupes. Soient G un groupe, H < G un sous-groupe et K < G un sous-groupe distingué. Supposons que l application φ : H K G : (h, k) h k soit une bijection. Par le point (1) la loi est une loi de groupe sur H K. (h, k) (h, k ) = φ 1 ((h k) (h k )) Pour expliciter il suffit d écrire l argument de φ 1 sous la forme h k, h H, k K (on aura alors φ 1 (h k ) = (h, k )). Pour ce faire on observe que (h k) (h k ) = (h h ) (h 1 k h k ) où h h H et h 1 k h k K (car, K étant distingué, h 1 k h K). D où (h, k) (h, k ) = (h h, (h 1 k h ) k ). On dit que (H K, ) - ou que (G, ) - est un produit semi-direct de H par K. 2. Exemples principaux. (1) Pour S n on va utiliser le morphisme de signature ɛ : S n {+1, 1} : σ Π i<j σ(j) σ(i) j i à valeur dans le groupe multiplicatif U 2 = {+1, 1}. Remarque: On peut montrer que la signature ɛ est l unique morphisme surjectif de S n à valeur dans U 2. On a ɛ(τ) = 1 pour toute transposition τ S n. Tout l cycle c s écrivant c = (i 1 i 2... i l ) = (i 1 i 2 ) (i 2 i 3 )... (i l 1 i l ), on a ɛ(c) = ( 1) l 1. Enfin sachant que toute permutation σ S n admet une unique décomposition en cycles c j (de longueur l j ) de supports deux à deux disjoints σ = c 1 c 2 c k, 7

8 on a Le noyau ɛ(σ) = ( 1) l 1 1 ( 1) l 2 1 ( 1) l k 1. Ker ɛ = {σ S n, ɛ(σ) = 1} est noté A n et appelé groupe alterné. Comme noyau d un morphisme, A n < S n est un sous-groupe distingué. Prop: A n est d indice 2 dans S n (i.e. il y a deux A n classes à gauche dans S n ). Démo: voici une première manière de faire: on choisit une transposition τ par exemple τ = (12). Pour σ S n \ A n, on a ɛ(σ) = 1 et dès lors ɛ(τ σ) = ɛ(τ) ɛ(σ) = +1 i.e. τ σ A n. En composant par τ il vient σ τ A n. On a donc S n = A n τ An. Voici une seconde preuve: par passage au quotient, la signature ɛ : S n U 2 induit l isomorphisme de groupes d où l on obtient S n /A n = 2. ɛ : S n /A n U 2 : σ A n ɛ(σ) Pour décrire S n comme produit semi-direct, on choisit une transposition τ S n comme dans la démo. Puisque τ 2 = id, le sous-groupe engendré par τ est donné par τ = {id, τ}. La décomposition en A n classes à gauche montre que l application est une bijection i.e. τ A n S n : (τ i, ρ) τ i ρ S n est le produit semi-direct de τ par le groupe alterné A n. Exemples pour A n : A 2 = {id} et A 3 = {id, (123), (132)}. Afin de faire la liste des éléments de A 4 commençons par compter les cycles: - Combien y-a-t-il de l cycles dans S n, 1 l n? Pour former un l cycle, on commence par choisir son support i.e. une partie S = {i 1, i 2,..., i l } de {1, 2,..., n} de cardinal l. Il y a ( n l) possibilités. Reste à dénombrer les cycles c de support S. Pour ce faire, observer qu il y a l 1 possibilités pour c(i 1 ), l 2 possibilités pour c 2 (i 1 ) etc...jusqu à 1 possibilité pour c l 1 (i 1 ). Au total il y a donc (l 1)! cycles de support S. D où nombre de l cycles de S n = 8 ( ) n (l 1)! l

9 En particulier, dans S 4 il y a ( ( 4 2) = 6 transpositions, 4 3) 2 = 8 cycles de longueur 3, ( 4 4 ) 3! = 6 cycles de longueur 4. En comptant l identité, il y a donc = 21 cycles dans S 4. Comme S 4 = 24, pour compléter la liste de ses éléments, il nous reste à trouver 3 permutations qui ne sont pas des cycles: il s agit de (12) (34), (13) (24), (14) (23). A 4 est constitué de l identité, des 8 cycles de longueur 3 et des trois permutations d ordre 2 qui ne sont pas des cycles. (2) Pour O n le sous-groupe distingué naturel est le noyau du morphisme i.e. c est le sous - groupe Det : O n U 2 : A Det(A) O + n = {A O n, Det(A) = +1}. Ici encore O + n est d indice 2 dans O n : en effet, en procédant comme plus haut, on commence par choisir une matrice orthogonale S de déterminant 1, par exemple S = On observe ensuite que si A O n alors S A O + n i.e. A S O + n, d où O n = O + n S O + n. En prenant S = {id, S}, la décomposition qui précède montre que est une bijection i.e. S O + n O n : (S i, A) S i A O n est le produit semi-direct de S par O + n. (3) On a une décomposition analogue pour le groupe de symétrie du cube G C < Is(R 3 ). En effet, en séparant déplacements et anti-déplacements, on a (cf point 2): G C = G + C G C = G+ C ι G + C où ι est la symétrie centrale de centre l isobarycentre O du cube C. Dès lors G C est produit semi-direct de ι par G + C. 9

10 (4) Une décomposition du même type apparait dans l étude du groupe diédral D n, i.e. du sous-groupe de O 2 constitué des isométries linéaires qui stabilisent l ensemble des sommets du polygone régulier standard à n côtés du plan euclidien: D n = (D n O + 2 ) (D n O 2 ) où s est la matrice de symétrie = D + n s D + n ( ) 1 0. Ici aussi 0 1 le groupe diédral D n est produit semi-direct de s par D + n. Remarques: - le groupe D n + est l ensemble des rotations vectorielles d angles 2πl n, 0 l n 1. D n + est cyclique de générateur la rotation d angle 2π n. Comme tout groupe cyclique d ordre n, D n + est isomorphe au groupe multiplicatif des racines n ièmes de l unité du plan complexe C ou encore au groupe additif Z/nZ. - Pour n 2, on a D n = 2n S n = n! avec égalité ssi n = 3. Pour n = 3, on a D 3 S 3 i.e. toute permutation des sommets du triangle est la restriction aux sommets d une isométrie du plan. De plus, D + 3 est isomorphe à A 3. - Pour n > 3, D n < S n signifie que certaines permutations des sommets du n gone régulier ne peuvent être réalisées comme restriction aux sommets d une isométrie du plan. - Par analogie à l isomorphisme D 3 S 3, le sous-groupe des isométries de l espace R 3 qui stabilisent l ensemble des sommets d un tétraèdre régulier (l analogue en dim 3 du triangle équilatéral du plan) est isomorphe à S 4. (En inscrivant dans le cube unité deux tétraèdres réguliers sans sommets communs et de longueur d arêtes 2 on peut d ailleurs retrouver le groupe G C à partir de S 4.) (5) Pour le groupe unitaire U n le sous-groupe distingué est aussi le noyau du déterminant Det : U n S 1 qui, on l a déjà vu, est noté SU n. Par passage au quotient, le déterminant induit l isomorphisme de groupes Det : U n /SU n S 1 : A SU n Det(A), ce qui montre en particulier que SU n n est pas d indice fini (pour rappel, la projection stéréographique établit une bijection entre le cercle S 1 privé d un point et R). L application z 0 0. ψ : S SU n U n : (z, B) B

11 est une bijection de réciproque et dès lors 1 Det(A) 0 0. A (Det(A), A) U n est produit semi-direct de S 1 par SU n, où S 1 est identifié au sous-groupe ψ(s 1 {1 n }) de U n. (6) Pour le groupe des isométries affines il s agit du sous - groupe des translations, noyau du morphisme Is(E) O( E ) : f f qui à toute isométrie f associe sa partie linéaire f. Le sous- groupe des translations T Is(E) est identifié à l espace E par le morphisme E T < Is(E) : v τ v où τ v est la translation de vecteur v. Fixons un point o de l espace affine euclidien E. L application est alors une bijection de réciproque ψ : Is(E) O( E ) E : f ( f, of(o)) (l, v ), l o τ l 1 ( v ) où l o Is(E) est définie en posant, pour tout p E, l o (p) = o + l( op). Dès lors Is(E) est produit semi-direct de O( E ) par E. Par transport de structure (via ψ 1 ) la loi de groupe sur O( E ) E s écrit (l, v ) (l, v ) = (l l, v + l(v )). Remarque: dans cet exemple, on voit O( E ) comme sous-groupe de Is(E) via le morphisme d inclusion O( E ) Is(E) : l l o. 11

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