Devoir à rendre le 4 janvier 2017

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1 Uiversité Paris-Dauphie, L MIDO, groupe Aalyse ( ) Devoir à redre le javier 207 Eercice Soit D u domaie o vide de R et f : D!R.. O souhaite démotrer la caractérisatio séquetielle de l uiforme cotiuité : «f est uiformémet cotiue sur D si et seulemet si, pour toutes suites ( ) et (y ) àvaleurs das D telles que ( y ) tede vers 0, lasuite(f( ) f(y )) ted vers 0.» (a) Démotrer le ses direct de cette équivalece. (b) E raisoat par cotraposée, démotrer le ses idirect. Idicatio : o sera ameé à dire quelque chose comme «j applique (...) avec (...) =/». 2. Pour chacue des foctios f suivates, dire si f est uiformémet cotiue sur le domaie doé et justifier votre répose : (a) f() = p sur [0, ] ; (b) f() = p sur R + ; (c) f() = 2 sur R ; (d) f() = 2 sur [, (0 80 )!] ; (e) f() = sur R + ; (f) f() = sur [, 2] ; (g) f() = sur [, +[ ; (h) f() =si sur ]0, ]. Eercice 2. Soiet a et b deu réels positifs ou uls et u etier aturel. Motrer que si a b alors a b (a b). Idicatio : commecer par écrire a =(a b)+b. Das les trois questios suivates, est u etier supérieur ou égal à Motrer que pour tout (, y) 2 (R + ) 2 o a l iégalité y y. 3. E déduire que la racie -ième est ue foctio uiformémet cotiue sur R +.. O rappelle l égalité suivate, valable pour tous réels a, b et pour tout etier aturel o ul : X a b =(a b) a k b k. Motrer e utilisat cette égalité que la racie -ième est ue foctio (/)-lipschitziee sur [, +[. Est-elle lipschitziee sur R +?

2 Uiversité Paris Dauphie Aalyse L MIE Corrigé du DM sur la cotiuité uiforme à redre le javier 207 Eercice. (a) Soit >0 fié. Comme f est uiformémet cotiue sur D, ileiste >0 tel que : (, y) œd 2, y < f() f(y) < () Soiet deu suites ( ) et (y ) à valeurs das D telles que la suite ( y ) tede vers 0 ; o détermie N œ N tel que y < pour tout etier Ø N, et o e déduit d après () que : Ø N, f( ) f(y ) <. O coclut que la suite (f( ) f(y )) coverge vers 0. (b) La réciproque se démotre par cotraposée : o prouve que si f est pas uiformémet cotiue sur D, ileistedeusuites( ) et (y ) à valeurs das D telles que la suite ( y ) tede vers 0 sas que la suite (f( ) f(y )) tede vers 0. Supposos f o uiformémet cotiue sur D :ileiste >0 tel que, pour tout >0, o peut trouver u couple (, y) œd 2 vérifiat y < et f() f(y) Ø. E particulier pour chaque = ( œ Nú ), o détermie u couple (,y ) d élémets de D tels que 0 Æ y < et f( ) f(y ) Ø. Les deu suites ( ) et (y ) aisi défiies sot à valeurs das D, lasuite( y ) ted vers 0 d après le théorème d ecadremet des suites, et la suite (f( ) f(y )), miorée e valeur absolue par >0 e peut pas coverger vers 0, ce qui termie la preuve. Comme o va le voir à la questio suivate, cette caractérisatio est très utile pour motrer qu ue foctio est pas uiformémet cotiue sur u domaie D. 2. (a) f() = Ô sur [0, ] : f est cotiue sur le segmet [0, ], doc uiformémet cotiue sur ce segmet (théorème de Heie). (b) f() = Ô sur R + : Soit >0 fié. étape : o sait d après le (a) qu il eiste > 0 tel que : (, y) œ [0, ] 2, y < f() f(y) < 2 étape 2 : o motre que f est -lipchitziee, doc uiformémet cotiue sur [, +Œ[ : 2 e e et, si Ø et y Ø, Ô Ô y = Ô y Ô Æ + y 2 y, car Ô + Ô y Ø 2 et y Ø 0 étape 3 : posos alors =mi(, ), et cosidéros u couple (, y) de réels positifs tels que y <. si et y sot tous les deu das [0, ] ou tous les deu das [, +Œ[ : il résulte des deu étapes précédetes que f() f(y) < 2 ;

3 si l u des deu, par eemple, est das [0, ], et l autre, y, das [, +Œ[ : o a alors 0 Æ Æ Æ y, et: y < < f() f() < 2, car (, ) œ [0, ]2. De même, y < y < f() f(y) < 2, car (,y) œ [, +Œ[2. O e déduit : y < f() f(y) Æ f() f() + f() f(y) <. Partat d u >0, o a trouvé >0 tel que :, y œ R +, y < f() f(y) <. O coclut que f est uiformémet cotiue sur R +. Ue autre méthode cosiste à motrer que :, y œ R +,Ø y Ô Ô y Æ Ô y. E e et cette derière iégalité, portat sur des réels positifs, est équivalete à : ( Ô Ô y) 2 Æ ( Ô y) 2, rameée après développemet et simplificatios à : y Æ Ô Ô y, iégalité qui est vraie puisque y Æ. O e déduit par symétrie :, y œ R +, Ô Ô y Æ apple y. Partat d u >0, il su t doc de poser = 2 pour que y < implique f() f(y) <, ce qui prouve l uiforme cotiuité de f sur R +. (c) f() = 2 sur R : Cosidéros les suites défiies pour Ø par = + et y =. La suite ( y ) ted vers 0. Ø, f( ) f(y )= 2 y 2 =( y )( + y )= (2 + )=2+ 2. La suite (f( ) f(y )) ted vers 2, ce qui prouve d après la caractérisatio de la première questio que f est pas uiformémet cotiue sur R. (d) f() = 2 sur [ fi, (0 80 )!] : f est uiformémet cotiue sur ce segmet (théorème de Heie). (e) f() = sur Rú + : Cosidéros les suites à valeurs das R ú + défiies pour Ø par = 2 et y =. La suite ( y ) ted vers 0. Ø, f( ) f(y )= = y = y y 2. La suite (f( ) f(y )) ted vers Œ, doc f est pas uiformémet cotiue sur R. (f) f() = sur [, 2] : o peut coclure avec le théorème de Heie, ou utiliser le (g), qui doe u résultat plus puissat. (g) f() = sur [, +Œ[ : f est uiformémet cotiue, car -lipchitziee sur [, +Œ[ ; e e et, pour Ø et y Ø, f() f(y) = y = y Æ y, car y Ø et y Ø 0 y (h) f() =si sur ]0, ] : 2 Cosidéros les suites à valeurs das ]0, ] défiies pour Ø par = (2 + )fi et y = fi. ( ) et (y ) tedet vers 0, doc la suite ( y ) ted vers 0. Ø, f( ) f(y )=si si =( ). y La suite (f( ) f(y )) e ted pas vers 0, doc f est pas uiformémet cotiue sur ]0, ]. 2

4 Eercice 2. L iégalité est trivialemet vraie pour =. Pour Ø 2, o écrit a =(a b + b), et o développe par la formule du biôme : a = 3 k (a b) k b k = b + k= Or (a b) Ø 0 et b Ø 0 implique 3 k 3 k k= (a b) k b k +(a b) (a b) k b k Ø 0, d où a b Ø (a b). 2. Soit (, y) œ R 2 +, et supposos y Ø. Posos a = y et b =. La foctio racie -ième t æ t est la réciproque de la foctio t æ t restreite à R + :elle est défiie et strictemet croissate de R + das R +, doc a et b sot positifs ou uls et a Ø b. E appliquat le résultat de la première questio au couple (a, b), o obtiet y Ø (y ), d où (y ) Ø (y ) e utilisat à ouveau la croissace de la foctio racie -ième. Le cas Ø y se traite symétriquemet. O coclut : (, y) œ R 2 +, y Æ y 3. Soit >0. Posos = ; o a bie >0, et,, y Ø 0, y < y <, d après l iégalité ci-dessus et la croissace de la foctio racie -ième. La foctio racie -ième est doc bie uiformémet cotiue sur R +.. Pour Ø, l égalité a b =(a b) a k b k s obtiet e développat le produit de droite : cela doe ue somme télescopique d où e subsistet que les termes a et b. Supposos maiteat Æ b Æ a : k œ [[0, ], a k b k Ø, d où a k b k Ø et, puisque (a b) Ø 0, (a b) a k b k Ø (a b). O a doc : a b Ø (a b) (). O va alors procéder comme à la deuième questio : Partat d u couple (, y) tel que Æ Æ y, o pose a = y et b =. Le couple (a, b) vérifiat Æ b Æ a, o peut lui appliquer l iégalité () : o obtiet aisi l iégalité y Ø (y ), qui est équivalete à y Æ (y ). Le cas Ø y Ø se traitat de même, o a fialemet : (, y) œ [, +Œ[ 2, y Æ y La foctio racie -ième est doc -lipchitziee sur [, +Œ[. Motros par l absurde qu elle est pas lipchitziee sur R + : Supposos qu il eiste u réel K>0tel que :, y œ R +, y Æ K y. E particulier, o aurait pour =0et y>0 : 3

5 y œ R ú +,y Æ Ky, c est-à-dire : y œ R ú +,y Æ K ce qui sigifierait que la foctio y æ y est borée sur R ú +. Or pour Ø 2, ( ) < 0, doc lim yæ0 + y =+Œ, d où la cotradictio. Cet eercice prouve que f lipchitziee sur D est ue coditio su sate mais o écessaire pour que f soit uiformémet cotiue sur D. E particulier pour =2, o retrouve u cotreeemple classique de la coditio écessaire : la foctio æ Ô sur R +.

6 Uiversité Paris Dauphie Aalyse L MIE Corrigé de l eercice 0 du TD5 O e peut utiliser directemet le théorème des bores puisque R + est pas u segmet. Mais o va s y rameer e motrat que f est majorée et qu il eiste u segmet [0,A] tel que sup f() = f(). œr + sup œ[0,a] si f est idetiquemet ulle, le maimum 0 est atteit e tout poit de R +. si f est pas idetiquemet ulle : a œ R +,f(a) > 0. O écrit que f a pour limite 0 e +Œ, e posat = f(a). O détermie aisi u A>0 tel que : > A, f() < f(a), c est-à-dire f() <f(a) puisque f est positive. L iégalité stricte f() <f(a) prouve que a/œ ]A, +Œ[. Sur le segmet [0,A], f est cotiue (puisqu elle est cotiue sur R + ), doc o peut appliquer le théorème des bores : le réel M = f() est bie défii, et il est atteit e u poit 0 de [0,A]. sup œ[0,a] De plus, comme o a remarqué que a Æ A, o a f(a) Æ M, doc M majore f aussi sur ]a, +Œ[. E coclusio : M est u majorat de f sur R +, atteit e u poit 0, ce qui prouve que f admet bie u maimum. Si f est pas cotiue, le résultat est plus vrai : Soit par eemple f défiie sur R + par : Y ] f(0) = 0 [ f() = f est pas cotiue e 0, et est pas majorée. si >0 Autre eemple : Soit f défiie sur R + par : I f(0) = si 0 Æ < f() =0si Ø f est pas cotiue e, elle est majorée mais sa bore supérieure est pas atteite.