GRANDEURS PERIODIQUES CIRCUITS LINEAIRES EN REGIME

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1 GANDS PIODIQS CICIS LINAIS N GIM SINSOIDAL I. Propréés des granders pérodqes A avec A : are comprse enre le sgnal e l'axe des emps pendan la pérode. emarqe : s le sgnal es alernavemen posf e négaf sr la pérode, l'are A es égale à : A = A A avec A l'are a desss de la corbe e A l'are en dessos. La valer effcace d'ne grander pérodqe de pérode, noée Y, es défne par : Y = < >, avec < > = ()d emarqe : por des sgnax carrés o rangles, on pe calcler la valer effcace par la méhode des ares. Por cela : On élève l'amplde d sgnal a carré. On représene = f (). A On calcle sa valer moenne par la méhode des ares : < > =. On exra la racne carrée d résla : < > = Y. II. égme snsoïdal Valer nsananée d'ne enson snsoïdale : La valer moenne d'ne grander pérodqe de pérode, noée < >, es défne par : < > = A = () = max sn(ω + ϕ ) avec ω = πf (rad.s ) plsaon de la enson e max son amplde. ϕ es la phase de la enson à l'orgne. Valer moenne e effcace d'ne enson snsoïdale : max < > = e = emarqes : La valer nsananée d'ne enson snsoïdale s'écr ass : () = sn(ω + ϕ ) Les défnons précédenes son valables qelle qe so la nare de la grander snsoïdale. ()d

2 4ésmé de cors Les dfférenes pssances en régme snsoïdal son : P = I cosϕ : pssance acve (W) ; Q = I snϕ : pssance réacve (VA) ; S = I = P + Q : pssance apparene (VA) ; P cos ϕ = S : facer de pssance. héorème de Bochero : les pssances acves e réacves absorbées par n gropemen de récepers son respecvemen égales à la somme des pssances acves e réacves absorbées par chaqe réceper. III. de des crcs lnéares n crc es d lnéare s'l es nqemen formé de dpôles lnéares (dpôles, L e C par exemple). Les los d coran conn son applcables ax régmes varables, à condon de les écrre en valers nsananées : par exemple les los des nœds o des malles. n régme snsoïdal, l'éde des crc se fa en applqan les los d conn ax valers nsananées o à lers granders assocées : nombres complexes (dvser de enson o de coran, héorèmes de hèvenn, de Noron e de sperposon) e vecers de Fresnel (solons graphqes).. de A chaqe grander snsoïdale (enson o coran) on pe assocer n vecer de Fresnel e n nombre complexe. Par exemple à la enson = sn(ω + ϕ ), on assoce le vecer = [ ; ϕ ] e le nombre complexe = [ ; ϕ ] (en noaon polare). Le modle d nombre complexe es sa valer effcace, e son argmen es sa phase à l'orgne ϕ.. Impédance d'n dpôle lnéare D Z = = + I [ Z; ϕ] = jx avec : le modle de Z noé Z égal à : Z = + X = ; I l'argmen de Z noé ϕ (q représene le déphasage ϕ = ϕ ϕ d coran par X rappor à la enson à l'almenaon d dpôle) donné par la relaon : an ϕ =. emarqe : on défn l'admance complexe Y comme l'nverse de l'mpédance Z : Y =. Z

3 ésmé de cors5 3. Cas des dpôles élémenares Composans elaons Impédances Pssances Dagrammes de Fresnel éssance = I Z = = [ ; ] P = I ϕ = Q = π Indcance = jlωi π P = ϕ = + Z = jlω = Lω; Q = LωI ϕ π I Capacé = π P = ϕ = + Z = = jc ω ; jcω Cω Q = Cω ϕ 4. Cas d'ne assocaon de dpôles élémenares LC sére, résonance C = + + = + j(lω ) I Cω C L L L L'éde d crc se fa svan ros cas : jlωi = I j I Cω jlωi I ϕ j I Cω jlωi I ϕ j I Cω L ω = C ω ϕ = dpôle réssf : résonance : le coran es mnmm L ω > C ω ϕ > dpôle ndcf Dagramme de Fresnel L ω < C ω ϕ < dpôle capacf IV. égme pérodqe qelconqe o sgnal pérodqe () de fréqence f es décomposable en ne somme de snsoïdes de fréqences mlples de f e d'n erme consan égal à sa valer moenne :

4 6ésmé de cors avec : () = + n Yn max sn(nω + ϕn ) ( a cos(nω) + bn sn(nω) ) = + a n = () cos(nω) d e b n = ()sn(nω) d On pe égalemen lser le changemen de varable θ = ω e les expressons devennen : π π a n = ( θ)cos(nθ) dθ e b n = π π ( θ)sn(nθ) dθ emarqes : s () es pare, os les b n son nls ; s () es mpare, os les a n son nls ; le erme Yn max sn(nω + ϕn ) es ne snsoïde de fréqence nf e es appelé harmonqe de rang n. Son amplde a por expresson : Y n max = Yn avec Y n sa valer effcace. ϕ n es la phase par rappor à l'orgne ; l'harmonqe de rang (de même fréqence qe le sgnal) es ass appelé fondamenal ; cee décomposon es appelée décomposon en séres de Forer ; on pose ass al = Ynmaxsn(nω+ϕn). On a alors : = + al. al es la composane alernave de, sa valer moenne es nlle. Valer moenne : l fa lser la défnon. Valer effcace : por calcler rgoresemen la valer effcace, l fa lser la défnon. S l'on connaî les ermes de la décomposon en sére de Forer, on pe lser la relaon svane : Y = Y n n = correspond à la valer moenne de () Impédance e dagramme de Fresnel : on pe parler d'mpédance, assocer des granders complexes e dagrammes de Fresnel à chaqe harmonqe (mas pas a sgnal). x : por l'harmonqe de rang n, l'mpédance complexe assocée à ne ndcance es jnlω. On parlera de résonance por n harmonqe parcler. Les dfférenes pssances en régme pérodqe monophasé son : P =.I + nin cos ϕn : pssance acve (W) ; = n Q = nin sn ϕn : pssance réacve (VA) ; S = I = P + Q + D : pssance apparene (VA), D es la pssance déformane ; P F p = : facer de pssance. S Avec, I : valers moennes de () e () ;, I : valers effcaces de () e (), n, I n : valers effcaces des harmonqes de rang n de () e () e ϕ n le déphasage enre les harmonqes de rang n de la enson e d coran.

5 ésmé de cors7 Cas parclers : o es conn, P = ; Q =. es snsoïdale, P = I cosϕ, Q = I sn ϕ. ax de dsorson harmonqe : df = Y Y (exprmé en %). S le sgnal es Y snsoïdal, d f es nl.

6 GIMS ANSIOIS er d OD I. Inrodcon Les granders (enson, coran o vesse) d'n ssème élecronqe o élecromécanqe (machnes élecrqes) n'évolen pas nsananémen d'n pon de fonconnemen à n are. Ces éas de ransons son appelés régmes ransores. Les granders respecen les los d ssème e son réges par des éqaons dfférenelles lnéares à coeffcens consans. S l'éqaon es d premer ordre, le régme ransore es d d er ordre, e s l'éqaon dfférenelle es d dexème ordre le régme ransore es d d n ordre. II. égme ransore d er ordre. appels mahémaqes a) Foncon S la foncon (enson, coran o vesse) es rége par ne éqaon dfférenelle d pe : d + = z d z éan de même nare qe, alors : = Ae + z compore dex ermes, l'n assocé a régme ransore q dsparaî a bo de 5, l'are éan la valer de en régme permanen. emarqes : S z es ne consane alors prendra la valer de cee consane en régme permanen (ex : on charge n condensaer sos ne enson, a bo d'n ceran emps, la enson ax bornes de ce condensaer sera ). A dépend de la valer de à l'orgne (()), appelée condon nale : () = A + z. es la consane de emps. lle caracérse la rapdé d ssème (l es d'aan pls rapde qe la consane de emps es fable). A bo de 3, on a aen 95% d régme permanen, 99% a bo de 5 (on se consdère alors en régme permanen). Mse sos cee forme, on d qe l'éqaon es sos sa forme canonqe. On ne connaî les solons de l'éqaon nqemen, s elle es sos sa forme canonqe. b) éponse à n échelon,99,95 Z = 3 5 () = ; () = e + éponse à dex pes d'échelon Z = () = ; () = e

7 ésmé de cors9 c) Crénea de pérode éponse à n crénea de pérode : l s'ag en fa d'assocer dex échelons. Dex cas se présenen, > e <<. > 5 d <<, ce q correspond à résodre ne éqaon smplfée d pe : K = A. d M m éponse à ne aaqe en crénea d) Méhode de résolon de problèmes mplqan des ransores d premer ordre α. crre la lo des malles e les relaons enre les granders coran, enson e vesse por chacn des cas consdérés. crre l'éqaon dfférenelle q rég les granders d crc. β. n dédre l'éqaon dfférenelle q rég les granders d crc e la mere sos la forme canonqe. δ. Déermner la solon svan la nare de z à l'ade des condons nales (ne sff por n premer ordre). χ. racer l'allre de la réponse. Nos allons mere cela en applcaon dans les 3 cas svans : crc, crc L, machne à coran conn.. Applcaon a crc ère éape : lo des malles, propréés d crc C = = + dq = d q = C ème éape : en dédre l'éqaon dfférenelle e la mere sos sa forme canonqe por dq dc = + C = + C = C + C d d d c por : sachan qe = C, on déermnera après avor déermné. d

8 ésmé de cors 3 ème éape : déermnaon de la solon svan la nare de la enson e des condons nales er cas : le condensaer es nalemen déchargé ( () = ) e on le charge sos la enson (consane) : c'es ne réponse à n échelon,99,95 = 3 5 () = C () = e + () = e ème cas : le condensaer es nalemen chargé ( () = ) e on applqe ax bornes d crc la enson < : () = ( )e + () = e 3 ème cas : on applqe ne enson crénea α) > 5 β) >> CM Cm éponse en coran e enson d n crc à ne aaqe en crénea

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