CONCOURS NATIONAL DEUG. Epreuve spécifique concours Physique PHYSIQUE PARTIE II. Durée : 2 heures

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1 SESSION 2004 CONCOURS NATIONAL DEUG Epeuve spécifique concous Physique PHYSIQUE PARTIE II Duée : 2 heues NB : le candidat attachea la plus gande impotance à la claté, à la pécision et à la concision de la édaction. Si un candidat est amené à epée ce qui peut lui semble ête une eeu d énoncé, il le signalea su sa copie et deva pousuive sa composition en expliquant les aisons des initiatives qu il a été amené à pende. Les calculatices sont autoisées. De tès nombeuses paties sont indépendantes. Il est conseillé aux candidats de pende connaissance apidement de la totalité du texte du sujet. Les candidats doivent especte les notations de l énoncé et pécise, dans chaque cas, la numéotation de la question taitée. Tounez la page S.V.P.

2 2 OPTIQUE : ASPECTS DE LA DIFFRACTION Les paties A, B et C sont totalement indépendantes. Patie A : étude de quelques figues de diffaction L espace est appoté, en coodonnées catésiennes, à un epèe othonomé diect ( Ox, Oy, Oz) de e, e, e. base ( x y z) Un écan plan et opaque (E ), pecé d une pupille (S) pafaitement tanspaente, est placé ente deux lentilles convegentes ( L ) et ( L ), de centes optiques espectifs Ω et Ω, et de même axe optique Oz pependiculaie à (E ). Une souce ponctuelle (Σ), placée au foye objet de ( L ), émet une adiation monochomatique, de longueu d onde λ. L obsevation de la lumièe diffactée s effectue su un écan ( E ) placé dans le plan focal image de ( L ), pependiculaiement à l axe Oz. Les points O et O sont les points d intesection espectifs des écans (E ) et ( E ) avec l axe. Les axes Ox et Oy définissent les coodonnées x et y d un point M de (E ) ; les axes Ox et Oy définissent les coodonnées x et y d un point M de ( E ). Ox et Ox d une pat, Oy et Oy d aute pat, sont paallèles (figue 1). y x y' x' (Σ) (3) (1) M (4) (2) u (α,β,γ) Ω O Ω (S) (E ) (L ) u ( L ) (5) O ( E ) z Figue 1 La phase du ayon (4), diffacté en O suivant la diection de vecteu unitaie u, de composantes (α, β, γ), est choisie pou oigine des phases. Celle du ayon (3), diffacté en M ( xy,,0) toujous suivant u, est définie pa : δ( M ) uuuu ϕ ( M ) = 2π, avec δ ( M ) = u. OM λ L amplitude complexe dψ de l onde diffactée, suivant u, pa l élément de suface ds = dx dy de la pupille (S), centé en M, s écit : dψ= k [ exp ( j ϕ ( M ))] dx dy k est une constante de popotionnalité et j est le nombe complexe pou lequel j 2 = 1.

3 3 I. Généalités 1) Décie, tès bièvement, une ciconstance de la vie couante dans laquelle se manifeste un phénomène de diffaction. 2) Recopie, appoximativement, la figue 1 et epésente le tajet des ayons (1) et (2) ente ( L ) et ( E ), puis celui des ayons (3), (4) et (5) ente ( L ) et ( E ). 3) Quelle est la pincipale caactéistique de l onde lumineuse incidente, qui pavient su l ouvetue (S)? 4) Comment se nomme la quantité δ ( M )? 5) Expime, en fonction des vaiables α, β, x, y et de la longueu d onde λ, la phase ϕ ( M ). 6) Le point O est cente de symétie de la pupille (S) choisie. Soit ds 1, centé au point M1 ( x, y,0), l élément de suface symétique, pa appot à O, de l élément ds, centé en M ( xy,,0) Popose un exemple de pupille admettant O comme cente de symétie Compae l amplitude complexe dψ 1 de l onde diffactée, dans la diection u1 ( α, β, γ), pa l élément ds 1, à l amplitude dψ de l onde diffactée, dans la diection u ( αβγ,, ), pa la suface ds Donne, sans calcul, la elation ente les intégales ψ1 ( α, β, γ ) et ψ( α, β, γ ) En déduie l élément de symétie caactéistique du phénomène de diffaction povoqué pa l ouvetue (S). 7) Le ôle de la lentille ( L ), de distance focale f, est de amene dans son plan focal image, donc à distance finie, les phénomènes elevant de la diffaction à l infini. ( L ) est utilisée dans le cade de l appoximation de Gauss Rappele bièvement les conditions de l appoximation de Gauss γ est donc poche de la valeu 1. En déduie une elation ente α, x et f Même question pou β, y et f. II. Diffaction pa une ouvetue ectangulaie La pupille (S) est une ouvetue ectangulaie, de cente O, de lageu l, paallèle à l axe Ox et de longueu L paallèle à l axe Oy. 1) Monte que l amplitude complexe ψ(α, β, γ) de l onde diffactée dans la diection de vecteu u, s écit sous la fome : sin A( α) sin B( β) ψ( α, β, γ ) =ψ0. A( α) B( β) Expime, en fonction des données de l énoncé, les gandeus ψ 0, A( α ) et B( β ). Tounez la page S.V.P.

4 4 2) L éclaiement É( x,y ) au point M ( x,y ) de l écan d obsevation ( E ) est popotionnel au caé de l amplitude de l onde diffactée ves M. L éclaiement su l écan s écit donc sous la fome : 2 2 sin A ( x ) sin B ( y ) É( x,y ) = É0. A ( x ) B ( y ) 2.1. Expime, en fonction des données de l énoncé, les gandeus A ( x ) et B ( y ) A l aide d un schéma, décie la figue de diffaction dans le plan x Oy, et pécise, notamment, la position elative des fanges sombes Le phénomène est-il confome au ésultat de la question A.I.6.4? 2.4. Détemine, en fonction de λ, f, l et L, les dimensions de la tache centale. 3) Que devient la figue de diffaction, si la hauteu L de l ouvetue (S) devient tès gande devant la lageu l? III. Diffaction pa une ouvetue ciculaie Sans démonstation, et à l aide, simplement, des considéations de symétie abodées au A.I.6., décie l allue de la figue de diffaction donnée, su l écan ( E ), pa une ouvetue ciculaie de cente O. Patie B : ôle constuctif de la diffaction dans les éseaux Un éseau plan pa tansmission, noté (R), compote N fentes fines, paallèles, de longueu infinie et sépaées pa la distance a (pas du éseau). Ce éseau pafait, d épaisseu négligeable, est éclaié pependiculaiement aux fentes, pa une onde plane monochomatique de longueu d onde λ, sous l incidence i. L onde lumineuse diffactée dans la diection caactéisée pa l angle θ, ésulte de la supeposition des N ondes cohéentes émises pa les fentes. Les angles i et θ sont comptés à pati de la nomale au éseau, positivement dans le sens tigonométique (figue 2). (2) Milieu d indice (R) absolu n = 1 + (2) (1) i i H 2 I 2 I 1 Figue 2 H 1 θ θ (1) a Milieu d indice absolu n = 1 +

5 5 I. Diffaction à l infini : fomule du éseau Soit δ la difféence de mache ente deux ayons consécutifs. Su la figue 2, pa exemple, le ayon (2) pésente un etad de mache H2I 2à l incidence et une avance de mache I 1 H 1 à l émegence, pa appot au ayon (1) (les angles I 1 H 2 I 2 et I2HI 1 1 valent π/2). 1) Expime, en fonction de H2I 2et I 1 H 1, la difféence de mache δ (comptée positivement) ente les ayons (1) et (2). En déduie, en fonction de a, i et θ, une aute expession de δ. 2) Pou qu il y ait inteféences constuctives dans la diection définie pa l angle θ, les ondes diffactées à l infini pa deux fentes consécutives doivent ête nécessaiement en phase : δ ϕ= 2π = 2k π, avec k entie elatif. Détemine, en fonction de a, i, λ et k, les diections θ k λ des maxima pincipaux de lumièe diffactée, d ode k (fomule du éseau). 3) Décie, bièvement, le pincipe de la constuction d un éseau plan pa tansmission. II. Spectomète La déviation D k, d un des ayons émegents, est l angle que fait sa diection de popagation avec celle de la lumièe paallèle incidente définie pa i. 1) Popose le schéma d un dispositif qui, en patique, pemet d obseve et de epée les diections de ces maxima pincipaux. 2) Expime, en fonction de θ k et i, la déviation D k. 3) L angle d incidence i peut ête modifié. Pou une cetaine valeu i = i mk,, la déviation D k d un ayon émegent, choisi dans l ode k, pésente un extémum (minimum) D mk, non nul. ddmk, Monte que l égalité = 0 entaîne, au minimum de déviation, la elation i mk, =±θ mk,. di mk, 4) Expime la déviation D mk, en fonction de i mk,. 5) En déduie la elation ente D, mk, k, λ et a (fomule du éseau au minimum de déviation). 6) Application numéique. Des mesues ont donné les ésultats suivants : Lampe spectale Radiation λ (nm) Ode k D mk, (degés) Mecue Vet «fluo» 546,1 2 35,32 Hélium Jaune? 2 38,11 Tounez la page S.V.P.

6 6 Calcule : 6.1. le nombe N* de taits pa mm pésenté pa le éseau ; 6.2. la longueu d onde λ de la aie jaune de l hélium. Patie C : effet limitant de la diffaction dans un instument d optique Un micoscope simplifié est constitué pa deux lentilles minces convegentes de même axe optique. On suppose que chacune de ces lentilles est utilisée dans des conditions de stigmatisme et d aplanétisme appochés. L objectif ( L 1), de cente optique O 1, pésente une distance focale image f 1. L oculaie ( L 2 ) cente optique O 2, possède une distance focale f 2. Le foye image F 1 de ( 1) de ( L 2 ) sont distants de FF 1 2, de L et le foye objet F 2 = (intevalle optique), gandeu maintenue constante et positive. Un petit objet AB à étudie est placé en avant du foye objet F 1 de l objectif, othogonalement à l axe optique, le point A appatenant à cet axe. Un condenseu de lumièe pemet d éclaie l objet obsevé. L œil d un obsevateu est placé deièe l oculaie (figue 3). Le micoscope pemet donc d obseve, à la loupe ( L 2 ), l image agandie AB 1 1 de l objet AB donnée pa l objectif ( L 1), soit : AB Objectif 1 L A 1 B 1 Oculaie L 2 AB B F 2 + A F 1 O 1 F 1 (L 1 ) F 2 O 2 (L 2 ) œil z Figue 3 Le micoscope est églé pou qu un œil, supposé nomal, n ait pas à accommode losqu il obseve, à taves l appaeil, l image finale AB de l objet AB. Les conventions d oientation, dans les mesues algébiques des angles (comptés à pati de l axe optique) et des bipoints, sont pécisées su la figue 3. I. Tacé de ayons 1) Donne la position de l image intemédiaie AB 1 1.

7 7 2) Faie un schéma et tace la mache d un pinceau lumineux étoit issu de B, point de l objet n appatenant pas à l axe. 3) Expime, en fonction de f 1 et, le gandissement linéaie γ 1 = AB 1 1 AB de l objectif. II. Limite de ésolution angulaie de l œil Soit α, l angle sous lequel l œil voit, depuis F, 2 l image définitive AB. 1) Écie, en fonction de f 1, f 2 et, l expession de la puissance P du micoscope, définie pa le appot P=α AB. 2) La puissance P dépend-t-elle de la position de l œil, en aièe de l oculaie? 3) Du fait de la stuctue ganulaie de la étine, l œil ne peut distingue les deux images A et B, que si l angle α, sous lequel il les voit, est tel que α ε (limite de ésolution angulaie de l œil). Détemine, en fonction de f 1, f 2, et ε, la taille AB min,oeil du plus petit objet dont les extémités pouaient ête obsevées distinctement à taves le micoscope. 4) Application numéique f 1 = 0,50 cm; f 2 = 2,5 cm; = 16 cm; ε = 4, ad. Calcule la limite de ésolution AB min,oeil imposée pa la stuctue de la étine. III. Limite de ésolution de l appaeil Le faisceau lumineux (longueu d onde λ), qui pénète dans le micoscope, est limité pa la montue de l objectif. Le diaphagme d ouvetue, pupille ciculaie de faible ayon R 1, est esponsable d un phénomène de diffaction. Les images A 1 et B 1 des points objets A et B sont, en fait, des taches ciculaies, dites «taches d Aiy», de ayon ρ, centées espectivement en A 1 et B 1 et situées dans un plan pependiculaie à l axe optique Oz. 1 0,61λ Le ayon ρ est donné pa la elation ρ= OA 1 1. n1r1 On admet, pa convention (citèe de Rayleigh), que les deux images A 1 et B 1 ne peuvent ête distinguées que si les deux taches ne se chevauchent pas top : à la limite, le cente de la figue d Aiy elative à l un des points coespond à la bodue de la tache d Aiy de l aute point. La condition d aplanétisme (elation des sinus d Abbe) est appelée : nabsin u= n1a1b1sin u1. n est l indice absolu du milieu dans lequel se touve l objet AB, n 1 = 1 est l indice absolu du milieu où se fome AB. 1 1 L angle u est le demi-angle du cône de lumièe qui pénète dans l appaeil (angle d ouvetue). L angle u 1 est faible, ce qui pemet d écie sin u1 tan u1 u1 (ad) (figue 4). Tounez la page S.V.P.

8 8 Milieu d indice n B A u (L 1 ) O 1 Milieu d indice n 1 = 1 R 1 u 1 Montue de l objectif (L 1 ) + A 1 B 1 y z Pojection des taches d Aiy, de ayon ρ, dans le plan ya 1 z Figue 4 1) Soit AB 1 1 min, la plus petite distance ente deux points-images distincts. Donne la elation ente AB 1 1 et le ayon ρ de la tache d Aiy. min 2) Monte que la limite de ésolution du micoscope AB fome : AB q min, µ n sin u min, µ coespondante, s écit sous la λ =, avec q constante positive. Donne la valeu de q. 3) Quel(s) moyen(s) peut-on employe pou diminue la valeu appaeil qui pemet l étude de détails plus fins? AB min, µ et ainsi dispose d un 4) Application numéique λ = 0,55 µm; nsin u = 0, Calcule la limite de ésolution AB 4.2. Compae AB et min, µ min,oeil. min, µ AB ( C.II.4.). Conclue. Fin de l énoncé