MATHÉMATIQUES II. Dans tout le texte, I désigne un intervalle de IR contenant au moins deux points

Transcription

1 MATHÉMATIQUES II Dans tout le texte, I désigne un intervalle de IR contenant au oins deux points et n est un entier stricteent positif On note M n ( IR) l enseble des atrices n n à coefficients réels et on désigne par E n ( I) l enseble des applications de classe C 1 de I dans M n ( IR) Si M E n ( I), M désigne la dérivée de M Pari les éléents de E n ( I), on s intéresse en particulier à ceux qui vérifient l une ou l autre des propriétés qui suivent : ( P1) : ( x, y) I 2, M( x)m( y) = M( y)m( x) ( P2) : x I, M ( x)m( x) = M( x)m ( x) On adopte les notations suivantes : I n désigne la atrice identité d ordre n, IR n l espace vectoriel des vecteurs-colonnes à n lignes, O n ( IR) le groupe des atrices orthogonales réelles d ordre n et SO n ( IR) le sous-groupe des atrices orthogonales réelles d ordre n et de déterinant +1 ; si M Mn( IR), on désigne par M [ i, j] le coefficient de M en position ( i, j) lorsque 1 i n et 1 j n Enfin, on dit d une atrice triangulaire de M n ( IR) qu elle est stricte si elle a les coefficients diagonaux tous nuls et d une atrice de M n ( IR) qu elle est scalaire si elle est proportionnelle à l identité ( M = λi n, avec λ IR ) Enfin, on rappelle que, si M est éléent de M n ( IR), l application de IR dans M n ( IR) définie par + ta exp( tm) = ----M tk k k! est un éléent de ta Mexp( tm) dont la dérivée est = exp( tm) M E n ( IR) Partie I - Exeples éléentaires IA - IA1) Montrer que tout éléent de E n ( I) vérifiant ( P1) vérifie ( P2) Concours Centrale-Supélec /6

2 IA2) Déontrer que si M est une application éléent de E n ( I), alors pour tout k IN *, l application M k : xa M( x) est éléent de E n ( I) ; calculer sa dérivée IA3) Déontrer que si M est une application éléent de E n ( I), telle que I la atrice M( x) est inversible, alors l application M 1 a M ( x ) 1 est éléent de E n ( I) ; calculer sa dérivée IB - Dans la suite de la Partie I, on prend n = 2 Un éléent M de E 2 ( I) s écrit pour I : M( x) = ax ( ) bx ( ) cx ( ) dx ( ) IB1) On suppose dans cette question que M vérifie ( P2) et que la fonction b ne s annule pas Que dire des fonctions c d a -- et ? b b Montrer, en l explicitant, qu il existe une atrice A M2( IR) telle que, pour tout I, M( x) Vect{ I 2, A} Montrer que l application M vérifie aussi ( P1) IB2) Soit A une atrice non scalaire dans M 2 ( IR) Montrer qu il existe X IR 2 tel que ( X, AX) soit une base de IR 2 On suppose X ainsi choisi Si B M2( IR), il existe donc ( uv, ) IR 2 tel que BX = ux + vax Montrer que, si la atrice B coute avec A, elle s écrit B = ui 2 + va IB3) On suppose dans cette question que M vérifie ( P2) et que M( x) n est scalaire pour aucun x de I Montrer qu il existe un unique couple ( uv, ) d applications continues de I dans IR tel que M ( x) = ux ( )I 2 + v( x)m( x) I Pour x 0 I donné, on pose alors Cx ( ) = M( x)m( x 0 ) M( x 0 )M( x) I Montrer que C vérifie une équation différentielle atricielle très siple, dans laquelle intervient la fonction v et la résoudre en la raenant par exeple à des équations différentielles ordinaires En conclure que M vérifie ( P1) Concours Centrale-Supélec /6

3 IB4) Dans cette question, on s intéresse à E 2 ( IR) a) Montrer que ( P2) est vérifiée lorsqu on choisit pour abc,, et d les fonctions qui à x réel associent respectiveent 1 + x 2, xx, x 2 et 1 x 2 b) Déteriner soigneuseent les éléents de E 2 ( IR) de la fore x a 1 + x2 bx ( ) cx ( ) 1 x 2 vérifiant ( P2) Pour chaque éléent de E 2 ( IR) ainsi trouvé, - dire s il vérifie ( P1), - déteriner la diension du sous-espace vectoriel de M n ( IR) engendré par l enseble des M( x), noté Vect{ M( x), x IR} IC - Soit M un éléent de E 2 ( I) tel que I, M( x) est la atrice d une réflexion IC1) Montrer qu il existe une application θ de classe C 1 de I dans IR telle que la preière colonne de M( x) soit cos θ( x) sin θ( x) I IC2) À quelle condition, portant sur la fonction θ, M vérifie-t-elle ( P2)? On dit d une application de I M n ( IR) dans M n ( IR) qu elle est de type ( Q) (abréviation pour quasi-polynoial) si elle est de la fore ( x, M) a a k ( x) P k ( x) M k Q k ( x) où sont donnés IN a 0,, a de classe C 0 de I dans IR P 0,, P, Q 0,, Q de classe C 0 de I dans M n ( IR) On dira qu une telle application est polynoiale si, de plus, les applications et sont toutes constantes, égales à Q k I n P k Concours Centrale-Supélec /6

4 On adettra alors le théorèe Cauchy-Lipschitz : suivant, qui est une version du théorèe de a) Si F : I M n ( IR) M n ( IR) est de type ( ), et si ( x 0, U 0 ) I M n ( IR), il existe une unique solution axiale U de l équation différentielle atricielle M ( x) = F( x, M( x) ), définie sur un intervalle J tel que x 0 J I vérifiant de plus U( x 0 ) = U 0 b) Si, en outre, E est un sous-espace vectoriel de M n ( IR), si F( I E) E et si E, alors U( x) E J U 0 L attention des candidats est attirée sur le fait que, dans les questions qui suivent, les hypothèses faites entraînent que les fonctions atricielles solutions d éventuelles équations différentielles sont définies sur I tout entier et que, partant, le point de vue de la axialité de ces solutions est accessoire Partie II - Étude de cas particuliers IIA - Soit une équation différentielle atricielle polynoiale de la fore ( ) : M ( x) = a k ( x)m 2k + 1 ( x) T Déduire du théorèe le résultat ( ) suivant : si une solution U sur I de ( E) est telle que, pour une valeur x 0 I, U( x 0 ) est une atrice antisyétrique, alors U( x) est antisyétrique I Donner un énoncé plus général concernant une fore analogue d équation différentielle atricielle, ais de type ( Q), pour laquelle le résultat ( R) soit conservé IIB - Soit une équation différentielle atricielle polynoiale, de la fore M ( x) = a k ( x)m k ( x) T R Soit M une solution sur I et x 0 I tel que le polynôe caractéristique de M( x 0 ) soit scindé On choisit alors P GL n ( IR) et T 0 M n ( IR) triangulaire supérieure telles que M( x 0 ) = PT 0 P 1 IIB1) Forer une équation différentielle atricielle polynoiale vérifiée par T : xa P 1 M( x) P perettant de ontrer que T( x) est triangulaire supérieure I IIB2) On suppose en outre que T 0 est triangulaire stricte En considérant les fonctions à valeurs réelles x T( x) [ ii, ] avec i n, donner une condition nécessaire et suffisante sur la fonction a 0 pour que T( x) soit triangulaire stricte I Concours Centrale-Supélec /6 Q E

5 IIB3) Cette condition étant supposée replie, on choisit r IN * tel que r T 0 = 0 ; forer une équation différentielle atricielle de type ( Q) vérifiée par I a T r ( x) perettant de ontrer que l application T r est nulle IIC - IIC1) Soit U solution sur I de l équation différentielle atricielle M ( x) = a k ( x)p k ( x) M k ( x) Q k ( x) On suppose qu il existe x 0 I tel que U( x 0 ) coute avec toutes les atrices P k ( x) et Q k ( x) I Montrer que U( x) coute avec U( x 0 ) pour tout I IIC2) Soit U une solution sur I d une équation différentielle atricielle polynoiale Vérifie-t-elle ( P1), vérifie-t-elle ( P2)? Montrer que di( Vect{ U( x), I} ) est inférieure ou égale à n IID - Soit E un sous-espace vectoriel de M n ( IR) tel que ( M, N) E 2 MN NM E En introduisant une équation différentielle atricielle bien choisie, ontrer que ( t, M, N) I E 2, exp( tm) Nexp( tm) E Partie III - Cas des atrices orthogonales IIIA - On s intéresse à une équation différentielle atricielle de la fore ( E ) : M ( x) = ax ( )( I n M 2 ( x) ), où a désigne une fonction donnée, de classe C 0 de I dans IR IIIA1) Si U est une solution sur I de ( E ) telle que ( U( x 0 )) = I n (atrice d une syétrie) pour un certain x 0 I, que peut-on dire de la fonction U? IIIA2) Soit J Mn( IR) On suppose qu une solution U de ( E ) sur I vérifie t U( x 0 )JU( x 0 ) = J pour un x 0 I On pose alors N( x) = t U( x)ju( x) pour tout I Forer une équation différentielle atricielle de type ( Q) vérifiée par N J et en conclure que N( x) = J I Si, en outre, J est inversible, ontrer que l application x a det( U( x) ) est constante IIIB - Dans toute cette section IIIB, on choisit n = 3 Soit U une atrice éléent de E 3 ( I) à valeurs dans SO 3 ( IR) vérifiant ( P2) et telle que, U( x) I I, 3 1 n est pas valeur propre deu( x) Concours Centrale-Supélec /6

6 IIIB1) a) Pour x 0 I fixé, on pose U 0 = U( x 0 ) Montrer qu il existe un vecteur Z 0 unitaire dans IR 3 euclidien canonique, tel que U 0 Z 0 = Z 0 b) On choisit alors X 0 et Y 0 tels que B = ( X 0, Y 0, Z 0 ) soit une base orthonorale directe de IR 3, on pose X = Y 0 + Z 0 2 et C = ( X, U 0 XU, 0 X ) De quelle fore est la atrice dans B de l endoorphise de IR 3 ayant U 0 pour atrice dans la base canonique? Calculer alors det B ( C) en fonction des coefficients de cette atrice et en déduire que C est une base de IR 3 c) En conclure qu il existe trois fonctions u, v, w de I dans IR telles que U ( x) = ux ( )I 3 + vx ( )U( x) + wx ( )U 2 ( x) I On adettra que ces trois fonctions sont continues t t d) En expriant la dérivée de UU en fonction de u, v, w, U + U, ontrer que U est solution d une équation différentielle atricielle, notée F, de la fore ( E ) : on expriera, à l aide de certaines des fonctions u, v, w, la fonction a correspondante IIIB2) Transforer l équation ( F) par le changeent de atrice inconnue défini par la forule : ( I 3 + U( x) )Ax ( ) = I 3 U( x), en justifiant l introduction de Ax ( ) Montrer que A est solution sur I d une équation différentielle atricielle polynoiale très siple Résoudre cette équation et en déduire une expression de U( x) I IIIC - En s inspirant de IIIB1-d), construire une fonction éléent de E 3 ( IR) à valeurs dans SO 3 ( IR) vérifiant ( P2) ais pas ( P1) IIID - Chercher la solution axiale U dans M 2 ( IR) de l équation différentielle atricielle M ( x) = I 2 + M 2 ( x), définie au voisinage de 0 et telle que U( 0) 01 = 10 Pour cela, on ontrera que les solutions sont nécessaireent de la fore I a U( x) ax ( ) bx ( ) = bx ( ) ax ( ) et on cherchera ensuite une équation différentielle vérifiée par u = b 2 a 2, sachant que u( 0) = 1 FIN Concours Centrale-Supélec /6