3 ème MARINE M2 MATH 2011/2012. Aide mémoire, Exemples, Sujets de TP. G. FACCANONI UFRST & ISITV. Problèmes hyperboliques, volumes finis.

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1 3 ème MARINE M MATH 011/01 Aide mémoire, Eemples, Sues de TP. UFRST & ISITV Problèmes hyperboliques, volumes finis. G. FACCANONI Dernière mise-à-our Mercredi 8 février 01

2 Les TP seron évalués. Vous avez usqu au février 01 pour rendre un rappor avec le code associé pour rendre compe de vore ravail. Vous pouvez écrire le rappor seul ou en binôme avec un aure membre de vore groupe. Gloria FACCANONI IMATH Bâimen U-318 T ) Universié du Sud Toulon-Var Avenue de l universié B gloria.faccanoni@univ-ln.fr LA GARDE - FRANCE i hp://faccanoni.univ-ln.fr

3 Table des maières 1 TP1 - résoluion de l équaion de ranspor Code Eercice Eemples TP - résoluion d une équaion non-linéaire 18.1 Rappels Eemple : équaion de Burgers Schémas Code Eercice TP3 - sysèmes hyperboliques Schémas numériques Eemple Code associé à l eemple Eercice

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5 Rappels sur les différences finies À par dans quelques cas rès pariculier, il es impossible de calculer epliciemen des soluions de modèles issus de la physique. Il es donc nécessaire d avoir recours au calcul numérique sur ordinaeur pour esimer qualiaivemen e quaniaivemen ces soluions. Le principe de oues les méhodes de résoluion numérique des équaions au dérivées parielles es d obenir des valeurs numériques discrèes c es-à-dire en nombre fini) qui approchen en un sens convenable à préciser) la soluion eace. Dans ce procédé il fau bien êre conscien de deu poins fondamenau : premièremen, on ne calcul pas des soluions eaces mais approchées ; deuièmemen, on discréise le problème en représenan des foncions par un nombre finis de valeurs, c es-à-dire que l on passe du coninu au discre. Il eise de nombreuses méhodes d approimaion numérique des soluions d équaions au dérivées parielles. Pour simplifier la présenaion, nous nous limierons dans ce chapire à la dimension un d espace. Principe de la méhode des différences finies Soi f : R R une foncion de classe C 1 R). Comme f f 0 + h) f 0 ) 0 ) = lim h 0 h il es naurel d inroduire les approimaions f 0 ) f 0 + ) f 0 ), 1) f 0 ) f 0) f 0 ), ) f 0 ) f 0 + ) f 0 ). 3) De manière analogue, la dérivée seconde peu êre approchée par f 0 ) f 0 + ) f 0 ) + f 0 ) ). y f 0 + ) f 0 ) f 0 ) f ) Si on fai un développemen de Taylor en auour du poin 0 f 0 ± ) = f 0 ) ± f 0 ) + ) f 0 ) +O ) 3 ), on a f 0 + ) f 0 ) f 0 ) f 0 ) f 0 + ) f 0 ) e pour l approimaion de la dérivée seconde on a f 0 + ) f 0 ) + f 0 ) ) = f 0) + f 0 ) + ) f 0 ) +O ) 3 ) f 0 ) = f 0) f 0 ) + f 0 ) ) f 0 ) +O ) 3 ) = f 0 ) +O ), = f 0 ) +O ), = f 0) + f 0 ) + ) f 0 ) +O ) 3 ) f 0 ) + f 0 ) ) f 0 ) = f 0 ) +O ) ), = f 0) + f 0 ) + ) f 0 ) +O ) 3 ) f 0 ) + f 0 ) f 0 ) + ) f 0 ) ) = f 0 ) +O ) ). Si es «pei», ces formules son des «bonnes» approimaions. 5

6 Table des maières Mercredi 8 février 01 Généralisaion au équaions au dérivées parielles Nous nous limions pour le momen à la dimension un d espace e considérons une équaion au dérivées parielles F u) = 0 définie pour, ) R R + avec une condiion iniiale u,0) = g ) pour R remarquons que F u) es une noaion pour une foncion de u e de ses dérivées parielles en ou poin). Pour discréiser le domaine R R +, on inrodui un pas d espace > 0 e un pas de emps > 0 e on défini les nœuds d un maillage régulier, n ) =,n ) pour Z, n N. On noe u n la valeur d une soluion discrèe approchée au poin, n ) e u, ) la soluion eace inconnue). Le principe de la méhode des différences finies es de remplacer les dérivées par des différences finies en uilisan des formules de Taylor dans lesquelles on néglige les reses. Dans ous schéma il y a bien sûr une donnée iniiale pour démarrer les iéraion en n : les valeurs iniiales u 0 ) Z son définies par eemple par u 0 = g ) où g es la donnée iniiale de l équaion. S il y a un second membre f, ) dans l équaion au dérivées parielles, alors les schémas se modifien en remplaçan zéro au second membre par une approimaion consisane de f, ) au poin, n ). Si l équaion es définie sur un domaine borné, par eemple [α;β], le maillage spaiale sera resrein à ce inervalle c es-à-dire 0,1,..., N } avec 0 = α e N = β e = β α)/n + 1). Il fau de plus aouer des condiions au limies qui peuven êre de plusieurs ypes. Par eemple, si on a des condiions au limies de Dirichle uα, ) = L, uβ, ) = R, pour R +, elles se raduisen au niveau discre en Si on a des condiions de Neumann u0 n = L, un N+1 = R, pour n N. uα, ) = L, uβ, ) = R, pour R +, elles se raduisen au niveau discre en u n 1 un 0 = L, u n N un N 1 = R, pour n N. Si on a des condiions périodiques u + β, ) = u + α, ), pour [α;β], R + elles se raduisen au niveau discre en u0 n = un N, pour n N, e plus généralemen u n = un N+. Niveau e sencil Un schéma es di à m niveau s il ne fai inervenir que m indices de emps. Les schémas les plus populaires son des schémas à deu ou rois niveau. La collecion des couples,n ) qui inerviennen dans l équaion discrèe au poin,n) es appelé sencil du schéma qu on peu essayer de raduire par suppor). En général, plus le sencil es large, plus le schéma es coûeu e difficile à programmer. Consisance e ordre de précision De manière générale, un schéma au différences finies es défini, pour ous les indices possibles Z e n N, par la formule ) } F, u n+m +k k k k + = 0 m m m + où les eniers k, k +, m e m + définissen la largeur du sencil du schéma. Un des bus de l analyse numérique es de comparer e de sélecionner les meilleurs schémas suivan des crières de précision, de coû ou de robusesse. 6 G. Faccanoni

7 Mercredi 8 février 01 Table des maières n + m + n + m + 1 n n m + 1 n m k k k k + FIGURE 1: Eemple de sencil pour un schéma à m + m niveau e k + k poins. Erreur de roncaure Considérons le schéma au différence finies F, u n+m }) pour l approimaion de l équaion au dérivées +k parielles F u) = 0. Soi u, ) une soluion suffisammen régulière de cee équaion. On appelle erreur de roncaure du schéma la quanié ) } τ n F, u + k, + m ) k k k +. m m m + Concrèemen on calcule l erreur de roncaure d un schéma en remplaçan u n+m dans la formule par u+k, +m ). +k Consisance Le schéma au différence finies F, u n+m }) es di consisan avec l équaion au dérivées parielles F u) = 0 +k si l erreur de roncaure du schéma end vers zéro, uniformémen par rappor à, ), lorsque e enden vers zéro indépendammen. Ordre de consisance Le schéma au différence finies F, u n+m }) es précis à l ordre p en espace e à l ordre q en emps avec +k l équaion au dérivées parielles F u) = 0 si l erreur de roncaure du schéma end vers zéro comme O ) p + ) q ) lorsque e enden vers zéro. Convergence La convergence d un schéma au différences finies es une propriéé naurelle qui assure que, pour des valeurs suffisammen peies des pas d espace e de emps, la soluion numérique calculée sera proche de la soluion eace du problème de dépar. Convergence Le schéma au différence finies F, u n+m }) uilisé pour la résoluion numérique de l équaion au dérivées +k parielles F u) = 0 es convergen si, pour oue soluion u de l équaion F u) = 0, la suie u n converge vers u, n ) avec, ) 0,0). Malheureusemen la noion de consisance ne suffi pas à garanir que le schéma soi convergene comme on verra sur des eemples. Pour inroduire un crière rès praique) qui perme de voir si un schéma donné es convergen nous allons inroduire la noion de sabilié. Sabilié Aure les ouils qui permeen de comparer les performances des différens schémas, on doi égalemen choisir les pas e de sore que le schéma correspondan donnera une soluion approchée correce, au sens où une peie perurbaion de la donnée iniiale g n induira par une perurbaion rop grande sur la soluion calculée au emps final. Cee idée, déà renconrée pour la définiion de problème bien posé, es à la base du concep de sabilié pour les schémas au différences finies. Soi u n u n ) 1 N 1 la soluion numérique d un schéma. G. Faccanoni 7

8 Table des maières Mercredi 8 février 01 Sabilié Un schéma au différences finies es di sable pour la norme s il eise une consane K > 0 indépendane de e lorsque ces valeurs enden vers zéro) elle que u n K u 0 pour ou n 0, quelle que soi la donnée iniiale u 0. Si cee inégalié n a lieu que pour des pas e asreins à ceraines inégaliés, on di que le schéma es condiionnellemen sable. On défini les normes classiques u n p = ) 1 N 1 u n p p =1 pour 1 p < +, u n = ma 1 N 1 un. Schéma linéaire Un schéma au différences finies es di linéaire si la formule F, u n+m }) = 0 qui le défini es linéaire par +k rappor à ses argumens u n+m +k. La sabilié d un schéma linéaire à deu niveau es facile à inerpréer. En effe, par linéarié ou schéma linéaire à deu niveau peu s écrire sous la forme condensée Au n = u n+1, où A es une marice die d iéraion) e on obien A n u 0 = u n+1 aenion, la noaion A n désigne ici la puissance n-ème de A) e par conséquen la sabilié du schéma es équivalene à A n u 0 K u 0, n 0, u 0 R N 1. Inroduisan la norme maricielle subordonnée M = sup u R N 1,u 0 qui veu dire que la suie des puissances de A es bornée. A n K n 0 Mu u, la sabilié du schéma es équivalene à Principe du maimum discre - sabilié L Un schéma au différences finies vérifie le principe du maimum discre si pour ou n 0 e ou 1 N 1 on a ) ) min u 0 0 N u n ma u 0 0 N quelle que soi la donné iniiale u 0. Sabilié L La norme L se prêe bien à l éude de la sabilié grâce à l ouil rès puissan de l analyse de Fourier. Supposons désormais que les condiions au limies pour l équaion au dérivées parielles son des condiions au limies de périodicié. À chaque veceur u n u n ) 1 N 1 on associe une foncion u n ), consane par morceau, périodique, définie sur [α;β] par u n ) = u n si 1/ < < +1/ avec +1/ = α + + 1/) pour 0 N, 1/ = α e N+1/ = β. Ainsi définie, la foncion u n ) apparien à L [α;β]), elle peu donc se décomposer en la somme de Fourier u n ) = û n k)e iπk k Z avec û n k) = β α un )e iπk d e la formule de Plancherel β α u n ) d = k Z û n k). Remarquons que même si u n ) es une foncion réelle, les coefficiens û n k) de la série de Fourier son complees. Une propriéé imporane pour l éude de sabilié de la ransformée de Fourier des foncions périodiques es la suivanes : si on noe v n ) = u n + ) alors ˆv n k) = û n k)e iπk. «Recee» pour un schéma à deu niveau On inece dans le schéma un mode de Fourier, on obien ainsi u n = Ak)n e iπk 8 G. Faccanoni

9 Mercredi 8 février 01 Table des maières e on en dédui la valeur du faceur d amplificaion Ak). Rappelons que pour l insan nous nous sommes limié au cas scalaire, c es-à-dire que Ak) es un nombre complee. On appelle condiion de sabilié de Von Neumann l inégalié Ak) 1 pour ou mode k Z. Si la condiion de sabilié de Von Neumann es saisfaie avec évenuellemen des resricions sur e ), alors le schéma es sable pour la norme L, sinon il es insable. Dans la plupar des cas, on va rouver des resricions sur e pour obenir la sabilié au sens L du schéma. Comme es iniialemen fié, ceci nous oblige à nous donner un pas de emps pei. Plus cee condiion de sabilié es resricive, plus le schéma sera coueu à uiliser d un poin de vue du emps de calcul. Au conrario, les schémas incondiionnellemen sables ne nécessien aucune resricion pariculière e donc peuven êre à priori uilisés pour une valeur quelconque de. Ceci ne signifie pas pour auan qu ils seron des «bons» schémas, e noammen que la soluion calculée sera proche de la soluion eace. En effe, un choi rop grand de donne une mauvaise approimaion de la dérivée parielle par rappor au emps. En praique, un schéma insable es inuilisable car, même si on par d une donnée iniiale spécialemen préparée de manière à ce qu aucun des modes de Fourier insables ne soi ecié par elle, les inéviables erreurs d arrondi von créer des composanes non nulles bien que rès peies) de la soluion sur ces modes insables. La croissance eponenielle de ces modes insables enraîne qu après seulemen quelque pas en emps ces modes deviennen énormes e polluen complèemen le rese de la soluion numérique. Sabilié + Consisance = Convergence Théorème de La Soi u, ) la soluion suffisammen régulière de l équaion au dérivée parielles F u) = 0 avec des condiions au limies appropriées. Soi u n la soluion numérique discrèe obenue par un schéma au différences finies avec la donnée iniiale u 0 = g ). Si le schéma es linéaire, à deu niveau, consisan e sable pour une norme, alors le schéma es convergen au sens où ) T > 0, lim sup u n, 0 n u, n ) = 0. T De plus, si le schéma es précis à l ordre p en espace e à l ordre q en emps, alors pour ou T > 0 il eise une consane C T > 0 elle que sup u n n u, n ) C T ) p + ) q). T D un poin de vue praique ce héorème es rès rassuran : si l on uilise un schéma consisan ils son consrui pour cela en général) e que l on n observe pas d oscillaions numériques c es-à-dire qu il es sable), alors la soluion numérique es proche de la soluion eace le schéma converge). Équaion équivalene : diffusion e dispersion Pour comparer divers schémas consisans e sables donc convergens) d un poin de vue praique, un concep perinen quoique formel) es celui d équaion équivalene. Équaion équivalene On appelle équaion équivalene d un schéma l équaion obenue en aouan au modèle éudié la parie principale c es-à-dire le erme d ordre le plus bas) de l erreur de roncaure. Tous les schéma qu on va voir son consisans. Cependan, si on aoue à l équaion la parie principale de l erreur de roncaure d un schéma, alors ces schémas non seulemen son encore consisans avec cee nouvelle équaion «équivalene», mais son même sricemen plus précis pour cee équaion équivalene. En d aure ermes, les schémas son «plus consisans» avec l équaion équivalene qu avec l équaion qu on veu approcher. Cee équaion va nous donner des renseignemens précieu sur le comporemen numérique du schéma. Le coefficien de diffusion c es-à-dire le coefficien de la dérivée seconde) de l équaion équivalene es appelé diffusion numérique. S il es grand on di que le schéma es diffusif ou dissipaif). Le comporemen ypique d un schéma diffusif es sa endance à éaler arificiellemen les données iniiales au cours du emps. Si le schéma es précis d ordre alors l équaion équivalene ne conien pas de erme de diffusion mais un erme du roisième ordre, di dispersif. Le comporemen ypique d un schéma dispersif es qu il produi des oscillaion lorsque la soluion es disconinue. En effe, le erme dispersif modifie la viesse de propagaion des modes de Fourier de la soluion pariculièremen des modes de fréquence élevée), alors qu un erme diffusif ne fai qu aénuer son ampliude. G. Faccanoni 9

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11 1 TP1 - résoluion de l équaion de ranspor On considère le problème de ranspor en une dimension d espace dans le domaine borné [0;L] avec une viesse c consane non nulle e des condiions au limies de périodicié u, ) + c u, ) = 0 pour, ) [0;L] [0;T ], u + L, ) = u, ) pour, ) [0;L] [0;T ], u,0) = g ) pour [0;L]. On souhaie calculer la valeur de la soluion u en un ensemble discre de poins en espace e en emps. Plus précisémen, en fian un pas d espace = L/N > 0 N enier posiif) e un pas de emps > 0, on cherche à calculer u n u,n ) la valeur d une soluion discrèe approchée au poin, n ). On sai que u, ) = g c) es la soluion eace. Les condiions au limies de périodicié conduisen au égaliés u1 n = un N+1 pour ou n 0, par conséquen l inconnue discrèe à chaque pas de emps es un veceur u n = u n ) 1 N. Nore sraégie consise à remplacer des opéraeurs différeniels par des quoiens au différences finies. En uilisan différenes façon d évaluer les dérivées parielles, beaucoup de choi de schémas son possibles. Nous voulons en éudier ici quelques uns. Soi α := c. On considérera les schémas au différences finies suivans : ❶ le schéma décenré à gauche ❷ le schéma décenré à droie ❸ le schéma cenré u n+1 u n u n+1 u n u n+1 u n ❹ le schéma upwind décenré amon) u n un 1 + c = 0 i.e. u n+1 = u n αun un 1 ) u n +1 un + c u n +1 un 1 + c = 0 i.e. u n+1 = u n αun +1 un ) u n = 0 i.e. u n+1 = u n α +1 un 1 i.e. u n+1 = u n α + α u n+1 u n + c + c un un 1 ) + c c un +1 un ) = 0 u n un 1 ) + α α ) u n u n +1 un ) = αun un ) si α > 0, 1 u n αun +1 un ) si α < 0. ❺ le schéma de La-Friedrichs u n+1 un +1 +un 1 u n +1 un 1 + c = 0 i.e. u n+1 = 1 α un α un 1 ❻ le schéma de La-Wendroff i.e. u n+1 u n u n +1 un 1 + c c u n +1 un + un 1 ) = 0 u n u n+1 = u n α +1 un 1 + α un +1 un + un 1 11

12 1 TP1 - résoluion de l équaion de ranspor Mercredi 8 février 01 ❼ le schéma de Beam-Warmimg pour c > 0) i.e. u n+1 u n ❽ le schéma de Fromm pour c > 0) i.e. u n+1 u n g u n 1,un ) g un,un 1 ) + c = 0 avec g A,B) = u n+1 = αα 1) u n + α α)un 1 cc 1) α 1)α ) + u n g u n 1,un,un +1 ) g un,un 1,un ) + c = 0 avec g A,B,C ) = u n+1 = αα 1) 4 u n α5 α) + u n 1 4 ❾ le schéma ani-diffusif de Després-Lagouière pour c > 0) 1 α)α + 4) + u n 4 cc 1) 4 c3 c A + αα 1) + u n +1 4 ) B c1 c A + cb + 4 ) C i.e. avec où u n+1 u n g u n 1,un,un +1 ) g un,un 1,un ) + c = 0 u n+1 = u n αg un 1,un,un +1 ) g un,un 1,un )) A = mal,c ) + C mal,c ) α A, si R A, g L,C,R) = B, si R B, R, sinon,, B = minl,c ) + C minl,c ). α 1.1 Code Langage : Forran 90 Édieur : Programmer s Noepad sous Windows, coloraion synaique de Forran 90) Sysème d eploiaion : Linu via Cygwin) Visualisaion : Gnuplo Copier dans un sous-dossier du dossier C:/cygwin le fichier ranspor.f90 e le dossier daa où seron sauvegardé les sories. Lancer Cygwin depuis le menu : Sar Cygwin-X XWin-Serveur Pour compiler le programme ranspor.f90 on uilisera la commande gforran ranspor. f90 -o ranspor.o L eécuable ainsi crée s appelle ranspor.o qu on lancera en apan./ ranspor.o Les deu insrucion peuven êre eécués l une à la suie de l aure en uilisan && : gforran ranspor. f90 -o ranspor.o &&./ ranspor.o Les résulas son sauvegardés dans les fichiers ransporn.da où N= 0...Sma es le numéro de la sauvegarde. Ces fichier se rouven dans le dossier daa. Un fichier ransporn.da compore NX lignes e 11 colonnes : décenré gauche décenré droie cenré upwind lafriedrichs lawendroff beamwarmimg Pour comparer la soluion approchée du schéma XXX avec la soluion eace au cours du emps, on apera fromm anidiffusif 1 G. Faccanoni

13 Mercredi 8 février 01 1 TP1 - résoluion de l équaion de ranspor cd daa gnuplo plo_xxx. gnu Pour comparer les soluions approchées des schémas avec la soluion eace à l insan final e sauvegarder l image dans le fichier comparaison_finale.png on apera gnuplo plo_comaparaison_finale. gnu Pour revenir au dossier précéden aper cd.. 1. Eercice Soi la largeur du domaine L = 8 e le emps final T = 4. On considère la condiion iniiale π sin L π ) ] si 0; L [, ] g ) = L 0 si ; L [ 3 1 sinon. ] [ 5L 6 ;L, 1,0 0,8 0,6 0,4 0, ➀ Compléer le code avec les schémas qui manquen lorsque le schéma a éé donné pour c > 0, réfléchir à commen il fau le modifier pour c < 0 e compléer le code). ➁ Pour c = 1 e une grille de N = 50 mailles, comparer les schémas ❶-❾ : d abord on prendra la consane de Couran- Friedrichs-Levy égale à cfl= 0.99, puis cfl= 0.1 e enfin cfl= 1.1. Que remarque--on à propos de la sabilié? Que remarque--on à propos de la diffusion? E de la dispersion? Répéer les calculs sur une grille de N = 500 mailles. Répéer les calculs pour c = 1. ➂ Éudier analyiquemen) la sabilié L e l ordre de consisance des schémas ❷, ❹, ❼ e ❽ comme dans les eemples ci-dessous ; en déduire une condiion CFL le cas échéan. On vérifiera noammen que le schéma ❷ es sable L sous condiion CFL 1 < α < 0 e consisans d ordre 1 en emps e en espace, le schéma ❹ es sable L sous condiion CFL α < 1 e consisan d ordre 1 en emps e en espace, les schémas ❼ e ❽ son sables L sous condiion CFL 0 < α < e consisans d ordre 1 en emps e en espace. Pour l éude de sabilié du schéma ❾ voir hp:// 1.3 Eemples Éude du schéma ❶ décenré à gauche) Sencil u n+1 u n u n un 1 + c = 0 i.e. u n+1 = u n αun un 1 ) n + 1 n 1 G. Faccanoni 13

14 1 TP1 - résoluion de l équaion de ranspor Mercredi 8 février 01 Sabilié L. On uilise l analyse de Fourier : pour k Z, le coefficien de Fourier û n k) de la soluion du schéma vérifie [ û n+1 k) = 1 α + αe i πk ] û n k). En noan ξ πk, on a [ û n+1 k) = 1 α + αe iξ] û n k) = = [ 1 α + α cos ξ) + i sin ξ) )] û n k) = = [1 α + αcosξ) iαsinξ)]û n k). Après simplificaion on obien avec û n+1 k) = Ak) û n k) On a Ak) [1 α + αcosξ)] + α sin ξ = = 1 + αα 1)1 cosξ)). Ak) 1 k Z αα 1)1 cosξ)) 0 ξ R αα 1) 0. Pour 0 α 1 on a Ak) 1 pour oue fréquence k Z, ce qui prouve que le schéma es sable en norme L sous la condiion CFL 0 α 1. Ordre de consisance. On remplace u m i l erreur de roncaure par par u i, m ) où u es une foncion régulière, i = 1, e m = n,n + 1. On défini τ n u, n+1 ) u, n ) + c u, n ) u 1, n ). On fai un développemen de Taylor en auour du poin e en auour du poin n e, comme u es soluion de l équaion u = c u, on a u 1, n ) = u, n ) u, n ) + ) u u, n+1 ) = u, n ) + u, n ) + ) u = u, n ) + c u ), n ) + ) Par conséquen l erreur de roncaure se réécri = u, n ) c u, n ) c ), n ) +O ) 3 ),, n ) +O ) 3 ) c u ), n ) +O ) 3 ) ) u, n ) +O ) 3 ) = u, n ) c u, n ) + c ) u, n ) +O ) 3 ). τ n u, n+1 ) u, n ) = c c = O ) + )). Le schéma es donc d ordre 1 en emps e en espace. + c u, n ) u 1, n ) ) u, n ) +O ) + ) ) On aurai pu s arrêer un ordre avan dans les développemens de Taylor, mais vous voyez bien que même si on va plus loin on obien le bon résula! Cependan, dans la consigne de l eercice e vous ai suggéré l ordre pour évier de faire des calculs inuiles. Dans les eemples qui suiven on va s arrêer au minimum nécessaire. Eemple : éude du schéma ❸ cenré) Sencil u n+1 u n u n +1 un 1 + c = 0 i.e. u n+1 = u n α un +1 un 1 ) 14 G. Faccanoni

15 Mercredi 8 février 01 1 TP1 - résoluion de l équaion de ranspor n + 1 n Sabilié L. On uilise l analyse de Fourier : pour k Z, le coefficien de Fourier û n k) de la soluion du schéma vérifie [ û n+1 k) = 1 α e i πk e i πk )] û n k). En noan ξ πk, on a [ û n+1 k) = = e iξ e iξ)] û n k) = 1 α [ 1 α ) ] cosξ) + i sinξ) cos ξ) i sin i ) û n k) = = [1 iαsinξ)]û n k). Après simplificaion on obien avec û n+1 k) = Ak) û n k) On a Ak) 1 + α sin ξ). Ak) 1 k Z α sin ξ) 0 ξ R α R. Ce qui prouve que le schéma es incondiionnellemen insable en norme L. Ordre de consisance. On remplace u m i l erreur de roncaure par par u i, m ) où u es une foncion régulière, i = 1,, + 1 e m = n,n + 1. On défini τ n u, n+1 ) u, n ) + c u +1, n ) u 1, n ). On fai un développemen de Taylor en auour du poin e en auour du poin n e, comme u es soluion de l équaion u = c u, on a Par conséquen l erreur de roncaure se réécri u 1, n ) = u, n ) u, n ) + ) u, n ) +O ) 3 ), u +1, n ) = u, n ) + u, n ) + ) u, n ) +O ) 3 ), u, n+1 ) = u, n ) + u, n ) +O ) ) = u, n ) + c u ), n ) +O ) ) = u, n ) c u, n ) +O ) ). τ n u, n+1 ) u, n ) + c u +1, n ) u 1, n ) = O ) + )). Le schéma es donc d ordre 1 en emps e en espace. Eemple : éude du schéma ❺ La-Friedrichs) u n+1 un +1 +un 1 u n +1 un 1 + c = 0 i.e. u n+1 = 1 α un α un 1 G. Faccanoni 15

16 1 TP1 - résoluion de l équaion de ranspor Mercredi 8 février 01 Sencil n + 1 n Sabilié L. On uilise l analyse de Fourier : pour k Z, le coefficien de Fourier û n k) de la soluion du schéma vérifie [ 1 α û n+1 k) = ei πk 1 + α ] πk e i û n k). En noan ξ πk, on a [ 1 α û n+1 k) = eiξ α ] e iξ û n k) = [cosξ) iαsinξ)]û n k). Après simplificaion on obien avec û n+1 k) = Ak) û n k) On a Ak) cos ξ) + α sin ξ). Ak) 1 k Z cos ξ) + α sin ξ) 1 ξ R α 1. Ce qui prouve que le schéma es sable en norme L sous la condiion CFL α 1. Ordre de consisance. On remplace u m i l erreur de roncaure par par u i, m ) où u es une foncion régulière, i = 1,, + 1 e m = n,n + 1. On défini τ n u, n+1 ) u +1, n )+u 1, n ) + c u +1, n ) u 1, n ). On fai un développemen de Taylor en auour du poin e en auour du poin n e, comme u es soluion de l équaion u = c u, on a Par conséquen l erreur de roncaure se réécri u 1, n ) = u, n ) u, n ) +O ) ), u +1, n ) = u, n ) + u, n ) +O ) ), u, n+1 ) = u, n ) + u, n ) +O ) ) = u, n ) + c u ), n ) +O ) ) = u, n ) c u, n ) +O ) ). τ n u, n+1 ) u, n ) + c u +1, n ) u 1, n ) ) = O ) + ) + ). ) Éan donné que, sous la condiion CFL calculée précédemmen, O ) = O ), le schéma es donc d ordre 1 en emps e en espace. Pour = 0,..., N 1 e n N, le schéma de La-Wendroff s écri u n+1 u n u n +1 un u n 1 + c c +1 un + un 1 Eemple : éude du schéma ❻ La-Wendroff) ) = 0 i.e. u n+1 = u n α u n +1 un 1 + α un +1 un + un 1 16 G. Faccanoni

17 Mercredi 8 février 01 1 TP1 - résoluion de l équaion de ranspor Sencil n + 1 n Sabilié L. On uilise l analyse de Fourier : pour k Z, le coefficien de Fourier û n k) de la soluion du schéma vérifie En noan ξ πk, on a [ α + α û n+1 k) = e i πk + 1 α + α + α e ]û i πk n k). [ α + α û n+1 k) = e iξ + 1 α + α + α e ]û iξ n k) = [ 1 α 1 cosξ)) iαsinξ) ] û n k). Après simplificaion on obien û n+1 k) = Ak) û n k) avec Ak) α α 1)cosξ) 1) + 1. On a Ak) 1 k Z α 1. Ce qui prouve que le schéma es sable en norme L sous la condiion CFL α 1. Ordre de consisance. On remplace u m i l erreur de roncaure par τ n u, n+1 ) u, n ) par u i, m ) où u es une foncion régulière, i = 1,, + 1 e m = n,n + 1. On défini + c u +1, n ) u 1, n ) c u +1, n ) u, n ) + u 1, n ) ) = 0. On fai un développemen de Taylor en auour du poin e en auour du poin n e, comme u es soluion de l équaion u = c u, on a u 1, n ) = u, n ) u, n ) + ) u, n ) +O ) 3 ), u +1, n ) = u, n ) + u, n ) + ) u, n ) +O ) 3 ), u, n+1 ) = u, n ) + u, n ) + ) u, n ) +O ) 3 ) = u, n ) + c u ) ), n ) + ) c u, n ) +O ) 3 ) Par conséquen l erreur de roncaure se réécri τ n u, n+1 ) u, n ) = u, n ) c u, n ) + c ) u, n ) +O ) 3 ). + c u +1, n ) u 1, n ) c u +1, n ) u, n ) + u 1, n ) ) = O ) ) +O ) ). car, sous la condiion CFL calculée précédemmen, O c ) = O1), le schéma es donc d ordre en emps e en espace. G. Faccanoni 17

18 TP - résoluion d une équaion non-linéaire.1 Rappels On cherche u : R R + R, ) u, ) soluion faible enropique du problème avec le flu u + qu) = 0, R, > 0, u,0) = g ), R, q : R R u qu) Courbes caracérisiques : on appelle courbe caracérisique de l EDP une courbe = ) dans le demi-espace > 0 le long de laquelle la soluion u es consane. Si pour un poin, ) passe une e une seule caracérisique e cee caracérisique a pied en ξ,0), alors u, ) = g ξ). La caracérisique de pied ξ,0) a équaion ) = ξ + q g ξ)). Pour suffisammen pei, la soluion u es définie impliciemen par l équaion u = g q g ξ))). Condiion de Rankine-Hugonio : si deu caracérisiques s inersecen elles génèren une disconinuié dans la soluion. La courbe de disconinuié es appelée onde de choc e si elle es régulière e a équaion = s) alors u doi vérifier les relaions de Rankine-Hugonio : si on appelle u R e u L respecivemen les races de u à droie e à gauche de la courbe de choc, on a s ) = qu R s), )) qu L s), )). u R s), ) u L s), ) Si 0 ; 0 ) es le premier poin où les caracérisiques s inersecen, alors on obien l équaion de la courbe de choc en résolvan l EDO avec la condiion iniiale s 0 ) = 0. Condiion d enropie : une condiion qui perme de sélecionner parmi les soluions faibles qui vérifien les relaions de sau de Rankine-Hugonio la soluion «physique» es la condiion d enropie de La le long de la courbe de choc = s) : qu R s), )) < s ) < qu L s), )). Onde de raréfacion ou de déene : dans les régions du demi-espace > 0 qui ne son pas reoines par les caracérisiques on consrui la soluion qui se connece avec coninuié avec les aures régions du demi-espace) par des ondes de raréfacion. Une onde de raréfacion cenrée en 0, 0 ) a équaion u, ) = q ) ).. Eemple : équaion de Burgers ) Considérons l équaion de Burgers u + u = 0 avec la donnée iniiale u,0) = g ). Il s agi d une équaion de ype u + qu) = 0 avec qu) = u, q u) = u, q ) 1 r ) = r. 18

19 Mercredi 8 février 01 TP - résoluion d une équaion non-linéaire Donnée 1 Considérons la donnée iniiale, si < 1, u,0) = g ) 1, si > 1. L équaion de la caracérisique de pied ξ,0) es donc ξ +, ξ < 1, ) = ξ + q g ξ)) = ξ + g ξ)) = ξ, ξ > 1. 1 La donnée iniiale du problème de Riemann a un sau décroissan e le flu es convee donc l unique soluion enropique présene une onde de choc qui par en 1,0). Pour calculer l équaion = s) de l onde de choc on uilise les relaions de Rankine-Hugonio : s ) = qu R ) qu L ) u R u L avec la donnée iniiale s0) = 1. On rouve donc = s) = = u R + u L = 1 1 La soluion es donc u, ) =, < 1 + 1, 1, > u = 0 = 0.5 = 1 Donnée 01 0 si < 1, g ) = 1 si 1 < <, si >. L équaion de la caracérisique de pied ξ,0) es ξ, ξ < 1, ) = ξ + q g ξ)) = ξ + g ξ)) = ξ +, 1 < ξ <, ξ +, ξ >. G. Faccanoni 19

20 TP - résoluion d une équaion non-linéaire Mercredi 8 février 01 1 La donnée iniiale a deu saus croissans, un en = 1 e l aure en =. Puisque q es convee, on s aend à ce que la soluion faible enropique présene deu ondes de raréfacion cenrées l une en 1,0) e l aure en,0). 1 0, si < 1, 1, si 1 < < 1 +, u, ) = 1, si 1 + < < +,, si + < < +,, si > +, = 0 u = 1.5 = 3 Donnée 10 Considérons la donnée iniiale si < 1, g ) = 1 si 1 < <, 0 si >. Elle a deu saus décroissans, un en = 1 e un en =. Puisque q es convee, on s aend à ce que la soluion faible enropique présene deu ondes de choc qui paren de 1,0) e de,0). En effe, l équaion de la caracérisique de pied ξ,0) es ξ +, ξ < 1, ) = ξ + q g ξ)) = ξ + g ξ)) = ξ +, 1 < ξ <, ξ, ξ >. 0 G. Faccanoni

21 Mercredi 8 février 01 TP - résoluion d une équaion non-linéaire 1 Pour calculer les équaions des deu ondes de choc on uilise les relaions de Rankine-Hugonio : choc de pied 1,0) s ) = qu R ) qu L ) u R u = u R ) u L ) L u R u L ) = ) = 3 s0) = 1 d où = s) = ; choc de pied,0) d où = s) = 1 +. s ) = qu R ) qu L ) u R u L = u R ) u L ) u R u L ) = ) = 1 s0) =, ) 1 Ces deu chocs von ensuie ineragir à parir d un, ) qu on déermine en résolvan le sysème linéaire = 1 +, = On obien ainsi le pied de la nouvelle onde de choc qui es, ) = 5,1). Donc la soluion pour 0 < < 1 es, si < 3 + 1, u, ) = 1, si < < 1 +, 0, si > 1 +, Pour 1 seule les données iniiales pour < 1 e > son ransporées e ce nouveau choc, qui par de 5,1), vérifie encore la relaion de Rankine-Hugonio : s ) = qu R ) qu L ) u R u = u R ) u L ) L u R u L ) = ) = 1 s1) = 5 d où = s) = G. Faccanoni 1

22 TP - résoluion d une équaion non-linéaire Mercredi 8 février 01 L unique soluion faible enropique pour ou > 0 es donc, si < min 3 + 1, + 3 }, u, ) = 1, si < < 1 +, 0, si > ma 1 +, + 3 }, u = 0 = 0.5 = 1 = 1.5 Donnée 010 Considérons la donnée iniiale 0 si < 1, g ) = 1 si 1 < <, 0 si >. L équaion de la caracérisique de pied ξ,0) es ξ, ξ < 1, ) = ξ + q g ξ)) = ξ + g ξ)) = ξ +, 1 < ξ <, ξ, ξ >. 1 On s aend donc à ce que la soluion faible enropique présene une onde de raréfacion cenrée en 1,0) e une onde de choc qui par de,0) e que, après un cerain emps, les deu ondes ineragissen. La raréfacion es comprise enre la droie d équaion ) = 1 e la droie d équaion ) = 1 + e a équaion ) 1 u, ) = q ) 1 = 1. 0 Pour déerminer l équaion de l onde de choc qui a pied en,0) on uilise les relaions de Rankine-Hugonio : s ) = qu R ) qu L ) u R u = u R ) u L ) L u R u L ) = ) = 1 s0) = d où = s) = 1 +. Ces considéraions son valables usqu à ce que l onde de choc e l onde de raréfacion se ouchen, c es-à-dire usqu à =. Donc la soluion pour 0 < < es 0, si < 1, 1 u, ) =, si 1 < < + 1, 1, si + 1 < < 1 +, 0, si > 1 +. G. Faccanoni

23 Mercredi 8 février 01 TP - résoluion d une équaion non-linéaire 1 3 Pour > on coninue à avoir une onde de choc mais l éa gauche n es plus consane car il es donné par la raréfacion i.e. u L = s) 1 donc le nouveau choc a pied en 3,) e vérifie s ) = qu R ) qu L ) s) = 3 u R u = u R ) u L ) L u R u L ) = 0 ) s) 1 0 s) 1 = s) 1 ) d où l équaion = 1 +. L unique soluion faible enropique pour > 0 es donc 1 3 0, si < 1, 1, si 1 < < min1 +,1 + }, u, ) = 1, si 1 + < < 1 +, 0, si > 1 + e <, 0, si > 1 + e. u = 0 = 1 = = 3 = 4 Remarquons que l ampliude du choc vau e le choc se déplace à viesse viesse du choc enden vers zéro. 1. Par conséquen, pour, l ampliude e la Donnée si < 1, g ) = 0 si 1 < <, 1 si >. L équaion de la caracérisique de pied ξ,0) es ξ +, ξ < 1, ) = ξ + q g ξ)) = ξ + g ξ)) = ξ, 1 < ξ <, ξ +, ξ >. G. Faccanoni 3

24 TP - résoluion d une équaion non-linéaire Mercredi 8 février 01 1 La donnée iniiale a un sau décroissan en = 1 e un sau croissan en =. Puisque q es convee, on s aend à ce que la soluion faible enropique présene une onde de choc qui par de 1,0) e une onde de raréfacion cenrée en,0). Pour déerminer l équaion de l onde de choc on uilise les relaions de Rankine-Hugonio : d où = s ) = qu R ) qu L ) u R u L = u R ) u L ) u R u L ) = ) = 1 s0) = 1 1 Ces considéraions son valables usqu à =, ensuie on coninue à avoir une onde de choc mais avec d où l équaion = +. s ) = qu R ) qu L ) s) = u R u = u R ) u L ) L u R u L ) = 1 ) s) 1 s) ) = 1 + s) 1 1, si < min/ + 1, + }, 0, si + 1 < < e <, u, ) =, si ma, + } < < +, 1, si > +. 4 G. Faccanoni

25 Mercredi 8 février 01 TP - résoluion d une équaion non-linéaire = 0 u = 1 = = 3.3 Schémas Soi α := e cfl une consane réelle posiive e posons u n 1 la soluion approchée dans la mailles de cenre,n ). +1/ 1/ u,n )d ❶ On considère ou d abord le schéma upwind, qui se base sur la forme non-conservaive el qu on l a écri pour l équaion de ranspor : u + q u) u = 0, i.e. u n+1 u n q u n ) + q u n ) + q u n u n un 1 ) + ) q u n ) u n +1 un ) = 0 q u n u n+1 = u n α ) + q u n ) q u n u n un 1 ) + ) q u n ) ) u n u n +1 un ) = αq u n )un un 1 ) si q u n ) > 0, u n αq u n )un +1 un ) si q u n ) < 0. On considère ensuie des schémas de ype Volumes Finis qui se basen sur la forme conservaive de l équaion non-linéaire u + qu) = 0. Principe : on inègre l EDP enre 1/ 1/) e +1/ + 1/) pour ou > 0 : On pose ce qui donne ) +1/ ) +1/ u, )d + qu, ))d = 0. 1/ u ) = 1 +1/ 1/ 1/ u, )d ) qu +1/ )) qu 1/ )) u )) + = 0. Idée : approcher qu +1/ )) g u ),u +1 )) où g es le flu numérique du schéma qu il fau définir : u n+1 = u n αg un 1,un ) g un,un +1 )) avec cfl sup q u n ), Les différens schémas se caracérisen par la définiion du flu numérique g qui es une approimaion du flu q : ❷ le schéma de La-Friedrichs : g L,R) = ql) + qr) + L R α G. Faccanoni 5

26 TP - résoluion d une équaion non-linéaire Mercredi 8 février 01 ❸ le schéma de La-Wendroff : g L,R) = ql) + qr) αqr) ) ql))q L+R ❹ le schéma de Godunov : si on dénoe w,l,r) la soluion eace du problème de Riemann à deu éas donnés par L gauche) e R droie), le flu numérique s écri ❺ le schéma de Murman-Roe : g L,R) = qw0,l,r)) ql) si al,r) 0,1}, g L,R) = qr) si al,r) = 1 signeql) qr)) signel R) si L R, où al,r) = signeq L)) sinon..4 Code Langage : Forran 90 Édieur : Programmer s Noepad sous Windows, coloraion synaique de Forran 90) Sysème d eploiaion : Linu via Cygwin) Visualisaion : Gnuplo Le code burgers.f90 résou l équaion de Burgers. Copier dans un sous-dossier du dossier C:/cygwin le fichier burgers.f90 e le dossier daa où seron sauvegardé les sories. Lancer Cygwin depuis le menu : Sar Cygwin-X XWin-Serveur Pour compiler le programme burgers.f90 on uilisera la commande gforran burgers. f90 -o burgers.o L eécuable ainsi crée s appelle burgers.o qu on lancera en apan./ burgers.o Les deu insrucion peuven êre eécués l une à la suie de l aure en uilisan && : gforran burgers. f90 -o burgers.o &&./ burgers.o Les résulas son sauvegardés dans les fichiers burgersn.da où N= 0...Sma es le numéro de la sauvegarde. Ces fichiers se rouven dans le dossier daa. Un fichier burgersn.da compore NX lignes e 7 colonnes : u_up u_lf u_lw u_go u_mr u_gl Pour comparer la soluion approchée du schéma XXX avec la soluion eace au cours du emps, aper cd daa gnuplo plo_xxx. gnu où XXX es Up ou LF ou LW ou Go ou MR ou Gl. Pour comparer les soluions approchées des schémas avec la soluion eace à l insan final e sauvegarder l image dans le fichier comparaison_finale.png on apera gnuplo plo_comaparaison_finale. gnu Pour revenir au dossier précéden, aper cd.. 6 G. Faccanoni

27 Mercredi 8 février 01 TP - résoluion d une équaion non-linéaire.5 Eercice Dans les eemples précédens on a résolu cerains problèmes de Cauchy associés à l équaion de Burgers. Dans ce eercice on va appliquer la même méhode pour l éude héorique e numérique de l équaion non-linéaire pour différenes données iniiales du ype u,0) = g ). u u) u) + qu)) = 0 avec qu) = ➀ Calculer la soluion eace pour les données iniiales suivanes : 1 si < 1, g ) = 0 si > 1, si < 1, g ) = 1 si ]1;[, 0 si >, 0 si < 1, g ) = 1 si > 1, 0 si < 1, g ) = 1 si ]1;[, si >, si < 1, g ) = 0 si ]1;[, 1 si >, 1 si < 1, g ) = 0 si ]1;[, si <, ➁ Modifier le code forran écri pour l équaion de Burgers) pour qu il résou numériquemen cee équaion non-linéaire. Il faudra noammen modifier la rouine Calcul_Eace e les foncions flu, fluprime e g_go. On remarquera noammen que lorsque l on considère le générique problème de Riemann si le flu es convee eemple qu) = u /) on a une onde de choc ssi u L > u R g ) = une onde de raréfacion ssi u L < u R si le flu es concave eemple qu) = u u)/) on a une onde de choc ssi u L < u R une onde de raréfacion ssi u L > u R ul, si < 0 u R, si > 0, ➂ Implémener dans le code les soluions eaces calculées au premier poin e les comparer avec les soluions numériques obenues avec les schémas ❶-❺ : on prendra T = 6.0, une grille de 500 mailles e L = 10 i.e. on ravaille sur l inervalle [0;10]) avec des condiions au bord de Neumann homogènes. Pour eser les soluions eaces on pourra faire confiance au schéma de La-Friedrichs. Lorsqu on es convaincu que la soluion eace es correce, on pourra alors comparer les schémas ❶-❺ avec cfl= 0.5, puis avec cfl= 1, cfl= e enfin avec cfl= 3. Que peu-on conclure à propos de la sabilié? Es-ce que la viesse de l onde de choc numérique es correce pour ous les schémas? La soluion numérique converge--elle ouours vers une soluion faible? E vers une soluion faible enropique? Les schémas ❶-❺ son-ils monoones? Faculaif : décrire e implémener le schéma de Glimm voir par eemple le livre de E. F. TORO Riemann solvers and numerical mehods for fluid dynamics. A pracical inroducion. Second ediion. Springer-Verlag, Berlin, 1999.) Noa Bene : d aures schémas on éé implémenés dans le code mais l eercice demande la comparaison seulemen des schémas ❶-❺. G. Faccanoni 7

28 3 TP3 - sysèmes hyperboliques Dans ce dernier chapire on s inéresse à la résoluion de problèmes de Riemann associés au sysèmes hyperboliques nonlinéaires en une dimension d espace. Plus précisémen, on cherche une foncion qui vérifie au sens faible) le sysème d EDPs avec le flu W: R + R R p, ) W, ) W + FW) = 0, R, > 0, WL si < 0, W0, ) = W R si > 0, F: R p R p W FW) Pour des soluions régulières on peu réécrire ce sysème sous la forme quasi-linéaire W + BW) W = 0 avec BW) la marice acobienne du flu F e on noe λ 1 W) < λ 1 W) < < λ p W) ses valeurs propres. 3.1 Schémas numériques Pour Z e n N on pose W n 1 +1/ W, n )d e GW n,wn +1 ) FW +1/, n )). 1/ On considère des schémas Volumes Finis : à savoir W n+1 = W n n ] [GW n,wn +1 ) GWn 1,Wn ), le schéma de La-Friedrichs le schéma de Rusanov Ga,b) = Fa) + Fb) n b a) Fa) + Fb) Ga,b) = ma k=1,...,p λ ka), λ k b) } b a On associe à ces schémas la condiion de sabilié de Couran-Friedrichs-Lewy n }. ma Z λ 1 W n ),, λ pw n ) 8

29 Mercredi 8 février 01 3 TP3 - sysèmes hyperboliques 3. Eemple On cherche à simuler un écoulemen d eau sous l hypohèse de faible profondeur dans le cas 1D e à fond pla. De plus, l eau sera considérée comme un fluide incompressible non visqueu e les froemens air/eau e eau/sol seron négligés. Les inconnues, foncion du emps [0;+ [ e de l espace R, son h h, ) > 0 la haueur de l eau e u u, ) R sa viesse horizonale on suppose qu elle es la même sur oue la haueur de l eau). On noe g > 0 la consane de gravié. En dimension un d espace e pour une opographie plae, on modélise ce ype d écoulemens par le sysème de Sain Venan ou des eau peu profondes) h + hu) = 0, hu) + hu + g h /) = 0, h, ) : haueur de l eau u, ) : viesse de l eau avec R, > ) Sous forme vecorielle il s écri ayan défini U + FU) = 0 ) h U =, FU) = hu hu hu + g h ). 1. Soi W = h,u), alors le sysème 3.1) se réécri, pour des soluions régulières, sous la forme quasi-linéaire Monrer que la marice AW) s écri W + AW) W = 0. 3.) ) u h. g u. Calculer les deu valeurs propres λ 1 W) e λ W) de la marice AW). Afin de fier les noaions on ordonne les deu valeurs propres selon λ 1 W) < λ W). Proposer une base associée de veceurs propres à droie r 1 W),r W)}. En déduire que le sysème 3.1) es sricemen hyperbolique. 3. Vérifier que les champs 1 e son vraimen non linéaires. 4. On noe I k l invarian de Riemann du k-ème champ caracérisique. Monrer qu un choi possible pour I 1 e I es I 1 = u + g h, I = u g h. 5. Pour un éa gauche W L = h L,u L ) donné on cherche les éas W = h,u) qui peuven êre relié à W L par une onde de déene Considérons le 1-champ. Monrer que u > u L, h < h L. Calculer u en foncion de h L, u L e h. Plus précisémen, monrer que u peu se mere su la forme u = u L + r h L,h) en eplician la foncion r. Éudier la foncion h u = u L + r h L,h) e racer son graphe dans le plan h,u). 5.. Reprendre la quesion pour le -champ. 6. Pour un éa gauche W L = h L,u L ) donné on cherche les éas W = h,u) qui peuven êre relié à W L par une onde de choc enropique de viesse σ k Monrer que les relaions de Rankine-Hugonio peuven s écrire sous la forme = hu σk ) = h L u L σ k ), En déduire que uhu σ k ) + g h = u L h L u L σ k ) + g h L. = g h L h u u L. 6.. Considérons le 1-champ. Calculer u en foncion de h L, u L e h. Plus précisémen, monrer que u peu se mere sous la forme u = u L + dh L,h) en eplician la foncion d. Éudier la foncion h u = u L + dh L,h) e racer son graphe dans le plan h,u). Monrer que u < u L, h > h L. G. Faccanoni 9

30 3 TP3 - sysèmes hyperboliques Mercredi 8 février Reprendre la quesion pour le -champ. 7. À l aide du dessin d onde dans le plan h,u) résoudre le problème de Riemann : pour un éa gauche W L e un éa droi W R on consruira une soluion composée d une 1-onde e d une -onde séparan un éa inermédiaire W. On précisera les valeurs de ce éa inermédiaire ainsi que les viesses des ondes. 8. Cherchons mainenan une enropie pour le sysème 3.1). Monrer que la foncion es une enropie du sysème avec flu d enropie ηw) = hu + g h ΦW) = hu3 + g h u. Soluion 1. On développe les dérivées du sysème 3.1) pour des soluions régulières : h + u h + h u = 0, u h + h u + hu u + u h + g h h = 0. Il se réécri alors h + u h + h u = 0, e on rouve le sysème quasi-linéaire suivan : u u h h u) + h u + hu u + u h + g h h = 0 h u ) + u h g u ) ) h = u. On cherche les deu soluions λ k W) de l équaion deaw) λw)id) = 0, i.e. de l équaion u λ) hg = 0. ) 0. 0 On obien λ 1 W) = u g h < λ W) = u + g h. Puisque h 0, les valeurs propres son réelles e disinces donc le sysème 3.1) es sricemen hyperbolique. On peu alors prendre h h r 1 W) = ), r W) = ). g g 3. Pour déerminer la naure des deu champs caracérisiques on calcule λ k ) T r k pour k = 1, : λ 1 W)) T r 1 W) = u g h ) h) + u g h ) 3 g = g > 0, h u λ W)) T r W) = u + g h ) u + g h ) 3 h + g = g > 0, h u Éan donné qu aucun champ n es LD, il n y aura aucune disconinuié de conac. 4. On vérifie que I k W)) T r k W) = 0 pour k = 1, : I 1 W)) T r 1 W) = u + g h ) h) + u + g h ) g = 0, h u I W)) T r W) = u g h ) u g h ) h + g = 0. h u 1-champ VNL, -champ VNL. 5. Éude des déenes : on cherche à déerminer les éas drois W = h,u) qui peuven êre reliés à un éa gauche W L = h L,u L ) par une onde de déene champ : 30 G. Faccanoni

31 Mercredi 8 février 01 3 TP3 - sysèmes hyperboliques Dans une déene les invarians de Riemann son conservés. Ici k = 1 d où I 1 W L ) = I 1 W) donc u L + g h L = u + g h d où h u = u L + g h L h). La condiion d enropie λ 1 W L ) < λ 1 W) se réécri u L g h L < u g h donc u > u L + g h h L ). Comme u = u L + g h L h), on obien h < h L e u > u L. On obien ainsi avec r h L,h) = g h L h). De plus, On a donc les graphes suivans : u u = u L + r h L,h) pour h < h L g u h) = h < 0, pour h < h L, u h) = 1 g h 3 > 0, pour h < h L. u L W L = λ 1 W L ) = λ 1 W R ) W L W R h L h Pour calculer la soluion en un poin ˆ, ˆ) à l inérieure de l onde on considère la caracérisique qui relie ce poin à l origine de l onde 0,0). La viesse caracérisique de l onde es d d = λ 1, c es-à-dire ˆˆ = u g h. De plus, l invarian de Riemann es conservé dans l onde, c es-à-dire u + g h = u L + g h L. On obien u ˆ, ˆ) = 1 3 u L + ) g h L + ˆˆ e h ˆ, ˆ) = 1 9g u L + ). g h L ˆˆ 5.. -champ : Dans une déene les invarians de Riemann son conservés. Ici k = d où I W L ) = I W) donc u L g h L = u g h d où h u = u L + g h h L ). La condiion d enropie λ W L ) < λ W) se réécri u L + g h L < u + g h donc u > u L + g h L h). Comme u = u L + g h h L ), on obien h > h L e u > u L. On obien ainsi avec r h L,h) = g h h L ). De plus, u = u L + r h L,h) pour h < h L g u h) = h > 0, pour h > h L, G. Faccanoni 31

32 3 TP3 - sysèmes hyperboliques Mercredi 8 février 01 On a donc les graphes suivans : u u h) = 1 g h 3 < 0, pour h > h L. u L W L h L h W L = λ W L ) = λ W R ) W R Pour calculer la soluion en un poin ˆ, ˆ) à l inérieure de l onde on considère la caracérisique qui relie ce poin à l origine de l onde 0,0). La viesse caracérisique de l onde es d d = λ, c es-à-dire ˆˆ = u + g h. De plus, l invarian de Riemann es conservé dans l onde, c es-à-dire u g h = u R g h R. On obien u ˆ, ˆ) = 1 3 u R + ) g h R + ˆˆ e h ˆ, ˆ) = 1 9g u R ). g h R + ˆˆ 6. Éude des chocs : on cherche à déerminer les éas drois W = h,u) qui peuven êre reliés à un éa gauche W L = h L,u L ) par une disconinuié de viesse σ k. Les relaions de Rankine-Hugonio pour un choc de viesse σ k s écriven σk = h Lu L hu h L h, σ k = h Lu L +g /)h L hu g /)h h L u L hu, qu on peu réécrire comme hu σk h = h L u L σ k h L, u σ k )hu u L σ k )h L u L = g /)h L h ), ou encore k hu σ k ) = h L u L σ k ), k u u L ) = g /)h L h ) champ : la condiion d enropie La) pour k = 1 demande à ce que la viesse σ 1 du 1-choc vérifie λ1 W) < σ 1 < λ W), σ 1 < λ 1 W L ), c es-à-dire u g h < σ1 < u + g h, σ 1 < u L g h L, donc u g h < σ 1 σ 1 < u + 1 < h g h g h, σ 1 < u L = 1 > h h > hl, g h, = 1 > 0, g h L, 1 > h L g hl, e on conclu que h > h L e u < u L. En éliminan σ 1 dans les relaions de Rankine-Hugonio on rouve 1 = g h L h ) u u L ) = u < u L h u = u L + dh L,h) pour h > h L g h avec dh L,h) = h L h) L +h h L h e la viesse du 1-choc es g σ 1 = u L h h L + h h L h. 3 G. Faccanoni

33 Mercredi 8 février 01 3 TP3 - sysèmes hyperboliques De plus, g u h) = 8 g u h) = 3 On a donc les graphes suivans : u h L h + h + h L h 3 h L h L + h) < 0, pour h > h L, h 3 L 5h + 3h L) h 5 h L + h) 3 > 0. pour h > h L. u L W L = σ 1 W L W R h L h 6.. -champ : la condiion d enropie La) pour k = demande à ce que la viesse σ du -choc vérifie λ W) < σ, λ 1 W L ) < σ < λ W L ), c es-à-dire u + g h < σ, u L g h L < σ < u L + g h L, donc u + g h < σ σ > u L g h L, σ < u L + g h L, < h g h = < h L g hl, > h L g hl, = h < hl, < 0, = g h L h ) u u L ) = u < u L e on conclu que h < h L e u < u L. En éliminan σ dans les relaions de Rankine-Hugonio on rouve h u = u L + dh L,h) pour h < h L g h avec dh L,h) = h h L ) L +h h L h e la viesse du -choc es De plus, g u h) = 8 g u h) = 3 On a donc les graphes suivans : g σ = u L + h h L + h h L h. h L h + h + h L h 3 h L h L + h) > 0, pour h < h L, h 3 L 5h + 3h L) h 5 h L + h) 3 < 0. pour h < h L. G. Faccanoni 33

34 3 TP3 - sysèmes hyperboliques Mercredi 8 février 01 u u L W L = σ W L W R h L h Récapiulaif : quel qui soi W L = τ L,u L ), le demi-plan R + R se décompose en quare zones séparées par les quare demi-courbes 1-choc, -choc, 1-déene e -déene. u u L 1-déene I I I IV W L -déene I 1-choc I I h L h -choc 7. Soi un problème de Riemann avec les deu éas consans donnés suivans : W L = hl u L ), W R = La soluion es consiuée de rois éas consans séparés par deu ondes. 1-onde hr u R ). W -onde W L W R Pour eplicier cee soluion on cherche à définir l inconnue W h ) = u à l aide de l éude des ondes précèden. On a cinq cas possibles : Cas 1) 1-choc e -choc il correspond au cas où W R apparien à la zone I I, c es-à-dire si h > h L e h > h R ) 34 G. Faccanoni

35 Mercredi 8 février 01 3 TP3 - sysèmes hyperboliques = σ 1 W L,W ) = σ W,W R ) W W L W R L unique soluion faible enropique es W L, W, ) = W, W R, avec si < σ 1 h L,h,u L ), si σ 1 h L,h,u L ) < < σ h,h R,u ), si > σ h,h R,u ), σ 1 h L,h,u L ) = u L h g h L + h h L h σ h,h R,u ) = u g h + h R + h R h h R e h e u es l unique soluion du sysème u = u L + h L h ) u R = u + h R h ) g h L +h h L h, g h +h R h h. R Cas ) 1-choc e -déene il correspond au cas où W R apparien à la zone I, c es-à-dire si h > h L e h < h R ) = σ 1 W L,W ) W L W = λ W ) = λ W R ) W R L unique soluion faible enropique es W L, W, W, ) = W de, W R, avec e h e u l unique soluion du sysème si < σ 1 h L,h,u L ), si σ 1 h L,h,u L ) < < u + g h ), si u + g h ) < < u R + g h R ), si > u R + g h R ), σ 1 h L,h,u L ) = u L h g h L + h h L h, 1 W de = 9g ur + g h R + ) ) 1 3 ur g h R + ), u = u L + h L h ) g h L +h h L h, u R = u + g h R h ). G. Faccanoni 35

36 3 TP3 - sysèmes hyperboliques Mercredi 8 février 01 Cas 3) 1-déene e -choc il correspond au cas où W R apparien à la zone I I I, c es-à-dire si h < h L e h > h R ) = σ W,W R ) = λ 1 W ) W = λ 1 W L ) W L W R L unique soluion faible enropique es W L, W 1 de, W, ) = W, W R, si < u L g h L ), si u L g h L ) < < u g h ), si u g h ) < < σ h,h R,u ), si > σ h,h R,u ), avec e h e u l unique soluion du sysème σ h,h R ) = u g h + h R + h R h, h R 1 W 1 de = 9g ul + g h L ) ) 1 3 ul + g h L + ), u = u L + g h L h ), u R = u + h R h g h ) +h R h h. R Cas 4) 1-déene e -déene il correspond au cas où W R apparien à la zone IV, c es-à-dire si h < h L e h < h R ) W L = λ 1 W L ) = λ 1 W ) W = λ W ) = λ W R ) W R L unique soluion faible enropique es W L, avec W 1 de = W 1 de, W, ) = W, 1 9g 1 3 si < u L g h L ), si u L g h L ) < < u g h ), si u g h ) < < u + g h ), W de, si u + g h ) < < u R + g h R ), W R, si > u R + g h R ) ul + g h L ul + g h L + ) ) ), W de = 1 9g 1 3 e h e u l unique soluion du sysème u = u L + g h L h ), u R = u + g h R h ). ur + g h R + ur g h R + ) ) ), 36 G. Faccanoni