COUPLES VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES
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- Suzanne Brosseau
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1 COUPLES VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES EERCICE : U sac cotiet six jetos, u ortat le uméro, deux ortet le uméro et trois ortet le uméro Ces jetos sot idiscerables au toucher. Deux jetos sot rélevés de ce sac successivemet et sas remise Soit la variable aléatoire égale au uméro du remier jeto tiré et la variable aléatoire égale au uméro du secod jeto tiré ) Détermier la loi du coule, uis les lois margiales ) Détermier la loi coditioelle de sachat EERCICE : Ue ure cotiet a boules blaches et b boules oires. O tire successivemet sas remise deux boules de l ure et ote i la variable aléatoire égale à si la ième boule tirée est blache et 0 sio ) Détermier la loi du coule, uis les lois margiales ) Détermier la loi coditioelle de sachat ) Détermier la loi coditioelle de sachat 0 EERCICE : Das ue ure coteat boules umérotées de à, o tire deux boules ue à ue O défiit les variables aléatoires et Y resectivemet égales au lus etit uméro tiré et au lus grad uméro tiré. O ote k,, égale au uméro de la variable, our k la kèmeboule tirée ) Premier rotocole : o tire deux boules ue à ue avec remise a) Détermier la loi du coule, b) Détermier la loi du coule Y, c) Détermier les lois de et Y. ) Secod rotocole : o tire deux boules ue à ue sas remise a) Détermier la loi du coule, b) Détermier la loi de c) Détermier la loi du coule Y, d) Détermier les lois de et Y. EERCICE 4 : Ue ièce de moaie amèe ile avec la robabilité et face avec la robabilité q avec 0 O lace idéfiimet la ièce et o ote (resectivemet ) le rag d aaritio du remier ile (resectivemet du deuxième ile). Détermier la loi du coule uis la loi de,
2 EERCICE 5 : Soiet deux variables aléatoires et Y à valeurs das.o doe la loi du coule jk j k a Y, : j, k P j Y k où a est u réel e j! k! x Résoudre das l équatio xe ; détermier alors le réel a uis les lois de et Y Les deux variables sot-elles idéedates? EERCICE 6 : Das ue boîte il y a 9 boules : 4 boules oires et 5 boules blaches. O effectue u tirage d ue boule au hasard uis sas remettre la boule tirée o fait u secod tirage d ue boule. O ote la variable aléatoire reat la valeur 0 si le remier tirage est oir et la valeur si le remier tirage est blac. O ote Y la variable aléatoire reat la valeur 0 si le secod tirage est oir et la valeur si le secod tirage est blac. ) Quelle est la loi de? Y, uis ) Dresser le tableau à double etée doat la loi cojoite du coule détermier les lois margiales. ) Les variables aléatoires et Y sot-elles idéedates? Doer la loi de la variable aléatoire Z Y. 4) Calculer la covariace du coule Y,. 5) E déduire la variace de la variable aléatoire Y et le coefficiet de corrélatio liéaire du coule Y,. EERCICE 7 : Soit u etier aturel o ul. O disose de ures umérotées de à. Das l ure umérotée k, il y a k boules umérotées de à k. O choisit ue ure au hasard et das celle ci ue boule au hasard. Soit la variable égale au uméro de l ure choisi et Y le uméro de la boule tirée. ) Das cette questio o suose que.détermier la loi du coule, Y. Détermier la loi de Y Les variables aléatoires et Y sot-elles idéedates? Calculer leur coefficiet de corrélatio. Das cette questio, o suose est u etier aturel. ) Détermier la loi de Détermier EY ) i Y (o motrera que k Y PY k EERCICE 8 : Etat doé, o cosidère ersoes qui se réartisset au hasard das trois hôtels H, H, H. Pouri,,, o ote la variable aléatoire égale au ombre de ersoes ayat choisi l hôtel H. i ) Détermier les lois de robabilité des variables aléatoires,,. 4) Détermier la loi de et la variace de. 5) Calculer la covariace de et uis le coefficiet de corrélatio liéaire de et ik
3 EERCICE 9 : ESCP ORAL 008 EERCICE 0 : ORAL ESCP 008
4 EERCICE : (isiré de EM LYON E 99) Soit N u etier aturel suérieur ou égal à. Ue ure cotiet ue boule blache, ue boule verte et N- boules rouges Ces boules sot idiscerables au toucher. O tire successivemet les N boules sas remettre les boules tirées das l ure. O ote la variable aléatoire égale au rag du tirage de la boule blache et la variable aléatoire égale au rag du tirage de la boule verte. ) Soiet i et j deux etiers comris etre et N. Calculer la robabilité our que = i et = j. (O distiguera le cas i = j et le cas i j) ) Détermier les lois des variables aléatoires et. Est-ce que les variables aléatoires et sot idéedates? Calculer les eséraces des variables aléatoires et ) O ote la variable aléatoire égale au rag du tirage où o obtiet soit la boule blache, soit la boule verte. O ote Y la variable aléatoire égale au rag du tirage à artir duquel o a obteu la boule blache et la boule verte. Remarque : e fait, = mi (, ) et Y = max (, ). =5 = Par exemle, si o a tiré rouge, rouge, verte, rouge, blache, alors : et = Y=5 a) Détermier les lois des variables aléatoires et Y. Calculer l esérace de la variable aléatoire. b) Quelle est la loi de N? E déduire l esérace de Y et le coefficiet de corrélatio liéaire de et Y. EERCICE : ORAL ESCP 007 O disose d ue ièce de moaie doat ile avec la robabilité 0, et face avec la robabilité q. O lace cette ièce, les lacers état idéedats les us des autres, et o ote N le ombre aléatoire de lacers écessaires à la remière aaritio de ile (o ote N si ile aarait jamais) Quad ile aaraît au bout de lacers, o effectue ue série de lacers avec cette même ièce et o ote le ombre de ile obteus au cours de cette série ) Détermier la loi de N uis la loi du coulen, ) Calculer 0 P uis, our tout etier ) Détermier l esérace de k, P k O raelle que our tout etier aturel r et our tout réel 0, x, r x r Cette derière formule dite du biôme égatif est u classique des cocours Par exemle début du roblème EDHEC 05 : Das cette artie, la lettre r désige u etier aturel et x est u réel fixé de] 0, [. ) Motrer que, lorsque est au voisiage de +, o a : r ~ ) a) Doer la valeur de lim r x. b) E déduire que la série r x est covergete. r r!. r r x
5 x. ) Pour tout etier aturel r, o ose : Sr r a) Doer la valeur de S 0. b) Établir, e utilisat la formule du triagle de Pascal, que : xs c) E déduire : d) Doer efi la valeur de r EERCICE : HEC ORAL 007 r xr ( x) x 0,, r, r x r r xr. r r xsr. EERCICE 4 : Soiet deux variables aléatoires ety défiies sur le même esace robabilisé, TP, Soit u réel 0, et q O suose que : La variable aléatoire suit ue loi de Poisso de aramètre 0 Y Pour tout, la loi coditioelle de Y sachat est ue loi biomiale de aramètres et ) Détermier la loi du coule Y, uis motrer que Y suit ue loi de Poisso de aramètre ) Détermier la loi de Y ) Etablir l idéedace des variables aléatoiresy et Y 4) Calculer le coefficiet de corrélatio liéaire de et Y EERCICE 5 : U sac cotiet billes umérotées de à. O tire ue bille au hasard, o ote so uméro et o la remet das le sac. O aelle la variable aléatoire qui red our valeur ce uméro Lorsque ce uméro est k, o tire sas remise k billes que l o distribue au hasard das boîtes B, B,..., B.O désige ar Yi la variable aléatoire égale au ombre de billes reçues ar la boîte B i ( i, ) ) Détermier la loi dey i coditioée ar l évèemet k ) E déduire la loi du coule Y, i our i, ) Détermier, our touti, la loi de Yi et calculer so esérace
6 EERCICE 6 : isiré de HEC ECO 00 O eut reteir (et savoir le redémotrer) que Soiet deux variables aléatoires ety défiies sur le même esace robabilisé, TP, max, mi, max, mi, max, mi, Soit 0, Y Y Y Y Y Y Y Y Y et q Soiet et deux variables aléatoire idéedates et de même loi géométrique de aramètre O ose Y, S, T max, et Z mi, ) Calculer E, V, E, V ) Doer la loi de S ) Calculer cov SY,. Les variables aléatoires S et Y sot-elles idéedates? 4) Calculer P 5) Motrer que Z suit la loi géométrique. E déduire E Z, V Z et ET 6) Soit k.justifier l égalité Z kt k k k 7) E déduire la relatio : PT k P k PZ k 8) Etablir que VT 9) Préciser T Z q q q q foctio des évèemets.exrimer our tout l exressio de P Z j Z T j et j 0) Motrer que our tout coule jl, j l P Z j T Z l q ) Motrer que our tout k, P k ) E déduire la loi de j, l évèemet Z j Z T, o a k q q ) Etablir que les variables aléatoires Z ett Z.E déduire our tout sot idéedates e j, 4) E déduire cov ZT,.Les variables aléatoires Z et T sot-elles idéedates? Calculer e foctio de q, le coefficiet de corrélatio liéaire de Z et T
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