Expérience aléatoire Loi de probabiltié sur un ensemble Exemples résolus

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1 2 e partie Chapitre > Loi de probabilité 6 B C Expérience aléatoire Loi de probabiltié sur un ensemble Exemples résolus Chapitre 2 > Probabilité d un événement 6 B C BD Événement et probabilité d un événement Événements «et B», «ou B», Exemples résolus Exercices d apprentissage Chapitre > Variables aléatoires 72 B C Définition d une variable aléatoire Loi de probabilité Exercices d apprentissage Chapitre 4 > Exercices d entraînement 77 > ides aux exercices 79 Sommaire séquence 4 M02 6

2 Loi de probabilité Expérience aléatoire Expérience Un sac contient 0 boules bleues, 0 boules rouges et 0 boules vertes On tire une boule au hasard, on note sa couleur et on la remet dans l urne a) On répète cette expérience 50 fois Quelle est la fréquence d apparition d une boule bleue, d une boule rouge, d une boule verte? b) Calculer ces fréquences pour quatre autres échantillons de 50 tirages c) Donner la distribution des fréquences pour les 250 tirages précédents d) Quelle loi de probabilité théorique est associée à cette expérience? Simulation a) On pourrait effectivement tirer 50 fois une boule avec remise à chaque fois, ce qui est une opération longue et fastidieuse On remplace ces opérations par une simulation, en utilisant un tableur, par exemple EXCEL Il faut trouver une façon de tirer les nombres aléatoires donnés par le tableur pour que la répartition ( 0, 0, 0) ou encore (,, ) soit respectée La fonction LE() donne au hasard un nombre réel compris entre 0 et, exclus Par suite, 5*LE() fournira un nombre réel aléatoire compris entre 0 et 5, 5 exclus Donc ENT(5*LE()) qui permet d obtenir la partie entière des nombres précédents fournira un nombre entier aléatoire compris entre 0 et 4 On pourra donc faire correspondre à la sortie du nombre 0 le tirage d une boule bleue, à celui du nombre le tirage d une boule rouge, et à ceux des nombres 2,, 4 celui d une boule verte Dans la cellule 2, il faut donc écrire la formule =ENT(5*LE()) avant de la valider On sélectionne ensuite la cellule 2 de façon à faire apparaître une petite croix en bas à droite de cette cellule et on étend la sélection de façon à couvrir la zone 2 : E Le nombre de fois où apparaît le nombre 0 dans la zone 2 : E peut être compté automatiquement en utilisant la fonction NBSI insi, dans la cellule H2, on écrira =NBSI(2:E;0) avant de valider Dans la cellule H, on écrira =NBSI(2:E;) avant de valider Dans la cellule H5, il suffira d écrire = 50 ( H2 + H) Pour avoir la fréquence, on écrira dans la cellule I2 = H2 50 et il suffira d étendre cette sélection aux cellules I et I4 Voici les résultats que nous avons obtenus 6

3 b) Il suffit de sélectionner les cellules :I, de copier cette sélection, de sélectionner ensuite le cadre :I et de coller la sélection précédente On obtient une nouvelle série de 50 résultats Il suffit alors de recommencer fois cette opération c) En faisant la moyenne des fréquences précédentes, nous avons obtenu : Fréquence sur 250 tirages simulées Boules bleues 0,20 Boules rouges 0,2 Boules vertes 0,592 d) Les proportions des couleurs dans le sac sont respectivement : 0,2 ; 0,2 ; 0,6 Il n est pas étonnant c est ce que nous avons appelé en première «la loi des grands nombres» que la distribution des fréquences se rapproche de cette répartition La loi de probabilité associée à cette expérience est donnée dans le tableau ci-dessous Bleue Rouge Verte Probabilité 0,2 0,2 0,6 spect théorique Définition Exemple Une expérience aléatoire peut conduire à plusieurs issues e, e 2,, e r ; une seule se réalise à la fois sans que l on puisse la prévoir Lancer d une pièce de monnaie On obtient l une ou l autre des deux issues : pile ou face Lancer d un dé à jouer On obtient une seule des six issues possibles :, 2,, 4, 5 ou 6 Simuler une expérience, c est utiliser un procédé technique adapté à la situation envisagée et qui doit rendre compte des conditions de l expérience On répète n fois l expérience dont les issues sont e, e 2,, e r k Si l issue e i se réalise k fois, la fréquence f i de e i est le nombre n Pour chacune des issues possibles, on calcule la fréquence : f, f 2,, f r 64

4 Propriétés Une fréquence est comprise entre 0 et : 0 f i La somme des fréquences est égale à : f + f f r = Pour cet échantillon de n expériences, la distribution des fréquences est l ensemble { f, f 2,, f r } e e 2 e e r f f 2 f f r Cette distribution de fréquences varie d un échantillon à l autre Les fluctuations de fréquences sont d autant moins fortes que n est plus grand Si l événement est réalisé pour les issues e, e 2 et e, la fréquence de l événement est égale à f + f 2 + f B Loi de probabilité sur un ensemble Définitions Exemple Ω = { ω, ω 2,, ω n } est l ensemble des résultats d une expérience aléatoire On l appelle aussi univers associé à cette expérience aléatoire Définir une loi de probabilité sur Ω, c est associer à chaque résultat ω i un nombre p i positif ou nul de telle façon que p + p p n = Ce nombre p i est appelé probabilité du résultat ou de l issue ω i Définir une loi de probabilité, c est modéliser l expérience aléatoire Les conditions de l expérience conduisent le plus souvent au choix d un modèle On tire au hasard une carte dans un jeu de 2 cartes, on s intéresse à sa couleur Chacune des couleurs a les mêmes chances d être obtenue On retient la loi de probabilité définie dans le tableau ci-dessous couleur cœur carreau pique trèfle Probabilité Loi des grands nombres Une fois le modèle retenu pour une expérience aléatoire, on peut simuler cette expérience Le lien entre les distributions de fréquences obtenues lors de ces simulations et les probabilités est éclairé par la loi des grands nombres qui s énonce de la façon suivante : Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité, les distributions de fréquences calculées sur des séries de taille n se rapprochent de la loi de probabilité quand n devient grand Espérance, variance, écart-type d une loi de probabilité On suppose que les résultats probabilité est définie sur Ω ω, ω 2,, ω n L espérance de la loi de probabilité est le nombre μ défini par : de l expérience sont des nombres réels et qu une loi de n μ = p i ω i = p ω + p 2 ω p n ω n i = 65

5 La variance de la loi de probabilité est le nombre V défini par : n n V p ( i ω i μ ) 2 = = p i ω2 i μ 2 = p ω2 + p 2 ω p n ω2 n μ 2 i = i = L écart-type de la loi est le nombre σ défini par σ = V C Exemples résolus Premier exemple Énoncé Un sac contient 5 jetons qui portent les lettres, B, C, D et E On tire au hasard un jeton que l on remet dans le sac puis un second jeton On note les lettres obtenues ; a) à l aide d un tableau, représenter l ensemble Ω de tous les résultats b) Définir une loi de probabilité sur Ω pour modéliser l expérience Solution a) Un résultat peut être représenté mathématiquement par un couple ( x ; y) où x représente la lettre du premier jeton tiré et y celle du second jeton On peut représenter tous les résultats possibles à l aide du tableau suivant ère lettre 2 ème lettre B C D E B C D E (, ) (, B) (, C) (, D) (, E) ( B, ) ( B, B) ( B, C) ( B, D) ( B, E) ( C, ) ( C, B) ( C, C) ( C, D) ( C, E) ( D, ) ( D, B) ( D, C) ( D, D) ( D, E) ( E, ) ( E, B) ( E, C) ( E, D) ( E, E) Second exemple résolu b) On peut considérer, les tirages étant réalisés au hasard, que chaque résultat a chance sur 25 d être obtenu On définit donc une loi de probabilité sur Ω en associant à chaque résultat la probabilité p = 25 Énoncé On lance un dé truqué dont les faces sont numérotées de à 6 La loi de probabilité est donnée par le tableau Face probabilité 2 a a) Déterminer a b) Calculer l espérance, la variance et l écart-type de cette loi de probabilité Solution On doit avoir : p + p 2 + p + p 4 + p 5 + p 6 =, on en déduit p = = =

6 La loi de probabilité est donc définie par le tableau : Face probabilité On a alors : μ = = =, V = = On en déduit σ = V =, 49 9 V = 20 9 Remarque Ces résultats peuvent être vérifiées à la calculatrice ; (bien sûr, avec la majorité des modèles nous trouverons des résultats approchés) En effet, tout se passe comme si l on avait la série statistique ω i n i Vous pourrez vérifier que l on obtient bien en appliquant les formules relatives aux séries statistiques la même moyenne, la même variance et le même écart-type D une façon plus générale, si l on considère la loi de probabilité définie par : Valeurs ω ω 2 ω n Probabilité a N a 2 N a n N où les ω i sont des nombres réels et où les a i sont des entiers vérifiant a + a a n = N, on pourrait démontrer en utilisant les formules définissant les différents paramètres statistiques, que cette loi de probabilité a même moyenne, variance et écart-type que la série statistique : Valeurs ω ω 2 ω n effectifs a a 2 a n En fait pour les séries statistiques à une variable pondérés par des effectifs, la moyenne, l espérance et l écart-type restent inchangés si l on multiplie tous les effectifs par un même nombre Donnons la démarche permettant d obtenir les différents paramètres statistiques sur une TI plus STT ClrList enter L, L 2 enter permet d effacer les données précédentes STT EDIT enter permet de rentrer les valeurs dans L et les effectifs dans L2 STT CLC enter L, L 2 permet de préciser que nous ferons des statistiques à une variable entrée dans L pondérée par des effectifs entrées dans L 2 En appuyant sur enter, on obtient de nombreux paramètres dont la moyenne x et l écart-type σx 67

7 Probabilité d un événement Événement et probabilité d un événement Définitions Exemples Ω = { ω, ω 2,, ω n } est l ensemble des résultats d une expérience aléatoire Un événement est une partie ou un sous-ensemble de Ω Si = { ω 2, ω }, on dit que ω 2 et ω réalisent Un événement constitué d un seul résultat est appelé événement élémentaire Une loi de probabilité est définie sur l ensemble Ω La probabilité d un événement est la somme des probabilités des résultats qui le réalisent On la note P ( ) Par suite P( ) = 0 et est appelé événement impossible P( Ω) = et Ω est appelé événement certain On lance un dé bien équilibré et on lit sa face supérieure L univers Ω est défini par : Ω = {, 2,, 4, 5, 6} L événement : «obtenir un nombre pair» est réalisé par les résultats 2, 4, 6 On peut donc écrire = { 2, 4, 6} Chaque résultat de Ω a pour probabilité 6 On en déduit P ( ) = + + = Cas de l équiprobabilité Lorsque la loi de probabilité associe à tous les résultats d une expérience la même probabilité, on parle de loi équirépartie et la situation est dite d équiprobabilité Si l univers Ω est composé de n résultats, chaque événement élémentaire a donc pour probabilité n k Si est composé de k résultats, on a donc P ( ) = n nombres de cas favorables à On dit aussi : P ( ) = nombre de cas possibles B Événements «et B», «ou B», Définitions L événement ( et B), noté B, est réalisé si et B sont réalisés tous les deux L événement ( ou B), noté B, est réalisé si l un au moins des deux événements est réalisé L événement complémentaire de, ou contraire de, est la partie complémentaire de dans Ω : on l écrit Propriétés Si et B sont deux événements tels que B =, les événements et B sont dits incompatibles et l on a : P ( B) = P ( ) + PB ( ) Si et B sont deux événements quelconques, P ( B) = P ( ) + PB ( ) P ( B) Pour tout événement, P ( ) = P( ) Ces propriétés se démontrent aisément en utilisant la définition de la probabilité d un événement 6

8 B B B = B et B sont incompatibles B désigne les résultats de la zone hachurée C Exemples résolus Premier exemple Second exemple Énoncé Dans un groupe de 40 personnes, 20 s intéressent au sport, 6 à la musique et 6 s intéressent au sport et à la musique On choisit au hasard une personne du groupe Calculer la probabilité qu elle s intéresse au sport ou à la musique Calculer la probabilité qu elle ne s intéresse ni au sport, ni à la musique Solution Soit S l événement «La personne s intéresse au sport» et M l événement «la personne s intéresse à la musique» Comme on choisit au hasard une personne, on choisit la loi équirépartie sur Ω nombres de cas favorables à S 20 On a donc PS ( ) = = = nombre de cas possibles De même PM ( ) = = 40 5 On recherche PS ( M) Cette probabilité est donnée par la formule PS ( M) = PS ( ) + PM ( ) PS ( M) S M désigne l événement : «La personne s intéresse au sport et à la musique» 6 On a donc PS ( M) = = Donc PS ( M) = + = Les personnes qui ne s intéressent ni au sport ni à la musique sont toutes les personnes ne réalisant pas l événement S M Elles réalisent donc l événement contraire de S M, soit S M PS ( M) = P( S M) = = 4 4 Énoncé On lance une pièce de monnaie bien équilibrée trois fois de suite Écrire à l aide d un arbre les résultats possibles de l expérience On note l événement «obtenir au moins une fois pile» Quel est l événement contraire de de? Calculer sa probabilité En déduire la probabilité de l événement 69

9 Solution er lancer 2 e lancer e lancer événement réalisé P P F P F P F PPP PPF PFP PFF F P F P F P F L événement contraire de «obtenir au moins une fois pile» est l événement «n obtenir que des faces» À cette expérience on peut associer l univers des résultats possibles : Ω = { PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF} Cette pièce étant bien équilibrée, on est en situation d équiprobabilité La probabilité de l événement élémentaire ( FFF) est donc : P( FFF) = On a donc P ( ) = 7 Par suite P ( ) = P( ) = FPP FPF FFP FFF D Exercices d apprentissage La cible ci-contre est constituée de cercles respectifs de rayon 0, 20 et 40 cm Le disque de rayon 0 cm définit la zone, la couronne noire la zone B, et la couronne blanche extérieure la zone C On estime que toute fléchette lancée sur cette cible l atteint et que chaque zone est atteinte avec une probabilité proportionnelle à l aire de cette zone Définir sur Ω = {, B, C} une loi de probabilité pour modéliser cette expérience On a lancé 000 fois un dé pipé Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous numéro sorti Nombres de sorties On prendra comme probabilité de sortie d un numéro la fréquence d apparition de ce numéro On lance le dé une fois Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : : «Le résultat est inférieur ou égal à» B : «Le résultat est strictement supérieur à 5» C : «Le résultat est multiple de» 70

10 Une urne contient quatre boules numérotées de à 4 indiscernables au toucher On tire au hasard une première boule de l urne puis, sans la remettre, on tire une seconde boule On note leur numéro Construire un arbre pour obtenir tous les tirages possibles Quelle est la probabilité de chaque issue? Dans un exercice de lecture sur ordinateur, les quatre mots de la phrase : «Claire aime les voyages» sont affichés en désordre à l écran aime les Claire voyages L enfant doit ensuite reconstituer la phrase Calculer la probabilité pour que l affichage proposé par l ordinateur : commence par le mot «Claire» contienne les deux mots «les» et «voyages» successivement et dans cet ordre D un jeu de 2 cartes, on tire une carte au hasard Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : : «la carte est un cœur» ; B : «la carte est un roi» Définir les événements B, B, B et calculer la probabilité de ces trois événements Un nombre de cinq chiffres est composé uniquement des chiffres et 2 Il peut ne contenir que des ou que des 2 Combien y a-t-il de tels nombres? On choisit l un de ces nombres au hasard a) Quelle est la probabilité qu il commence par? b) Qu il se termine par 2? c) Qu il commence par 2 et se termine par 2? Dans un lot de vis, on a constaté que : 500 présentent le défaut (a) 400 présentent le défaut (b) 200 présentent les deux défauts Voici un diagramme : Ω est l ensemble de toutes les vis, celui des vis ayant le défaut (a), B celui des vis ayant le défaut (b) On a marqué 200 dans B B 200 B Indiquer les nombres dans les trois autres parties de Ω Le diagramme précédent est appelé diagramme de Carroll On choisit une vis au hasard dans ce lot Quelles sont les probabilités de chacun des événements suivants? E : la vis ne présente aucun défaut? F : la vis ne présente qu un défaut? G : la vis présente le défaut (a) seulement? 7

11 Variables aléatoires Définition d une variable aléatoire Définition Exemple Ω est l ensemble des résultats d une expérience aléatoire Définir une variable aléatoire X sur Ω consiste à associer un nombre réel à chaque résultat On lance une pièce de monnaie bien équilibrée trois fois de suite et on note le côté sortie pour chacun des trois lancers Dans l exemple 2 du chapitre 2, nous avons vu que l univers associé à cette expérience était : Ω = { PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF} Imaginons un jeu qui consiste à gagner chaque fois que pile apparaît et perdre un chaque fois que face apparaît La fonction X qui à chaque issue associe le gain (positif ou négatif) est une variable aléatoire sur Ω Elle prend les valeurs,,, Nous pouvons la visualiser à l aide du schéma suivant : B Loi de probabilité Exemple Reprenons l exemple précédent et cherchons, par exemple, la probabilité de l événement «gagner», événement que l on note ( X = ) Cet événement est réalisé lorsque l événement de Ω, = { PPF, PFP, FPP}, est réalisé Or P ( ) = Donc la probabilité de l événement ( X = ), que l on note PX ( = ), est Le tableau suivant représente ce qu on appelle la loi de probabilité de X gain x i Théorème et définition PX ( = x i ) Une loi de probabilité est définie sur Ω Ω = { x, x 2,, x m } est l ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire X Lorsqu on associe à chaque valeur x i la probabilité de l événement ( X = x i ), on admet que l on définit ainsi une loi de probabilité sur Ω 72

12 Cette loi est appelée loi de probabilité de la variable aléatoire X On la présente souvent sous la forme du tableau : x i x x 2 x m PX ( = x i ) p p 2 p m Remarques D après la définition d une loi de probabilité, on a donc PX ( = x ) i = i = Dans notre exemple, vous remarquerez que sur Ω, la loi de probabilité définie était équirépartie Sur Ω, elle ne l est plus m Définition Calculs sur notre exemple Exemple résolu Espérance, variance et écart-type d une variable aléatoire L espérance, la variance, l écart-type d une variable aléatoire X sont respectivement l espérance, la variance, l écart-type de sa loi de probabilité On obtient donc : l espérance de la loi variable aléatoire X est le nombre noté EX ( ) défini par : n EX ( ) = p i x i = p x + p 2 x p n x n i = la variance de la variable aléatoire X est le nombre VX ( ) défini par : n VX ( ) = p i ( x i EX ( )) i = n VX ( ) = p i x2 i ( EX ( )) i = = EX ( 2 ) ( EX ( )) = ( moyenne des carrés) ( carré de la moyenne) et l écart-type σ( X) = VX ( ) Cela signifie qu en moyenne, le gain sur ce jeu serait nul ou encore que ce jeu est équitable Énoncé gain x i PX ( = x i ) VX ( ) ( ) 2 ( ) = = = σ( X) =, 72 = p x2 + p 2 x p n x2 n EX ( ) 2 EX ( ) = + + = 0 On lance deux dés équilibrés, l un rouge et l autre noir Un modèle est donné par la loi P équirépartie sur l ensemble Ω des couples ( x ; y) avec x 6 et y 6 On considère la fonction S définie Ω, qui à tout couple ( x ; y) associe x+ y Donner l ensemble Ω des valeurs prises par la variable aléatoire S 7

13 Présenter Ω sous forme de tableau en indiquant les images de chacun des couples par S Définir la loi de probabilité de S Quelle est la somme la plus probable? Calculer l espérance ES ( ) et l écart-type σ( S) Donner une simulation de cette expérience à l aide de votre calculatrice Solution Ω = { 2 ; ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; ; 9 ; 0 ; ; 2} dé noir dé rouge Pour remplir ce tableau, nous avons directement écrit à l intersection d une ligne et d une colonne la somme obtenue par le couple défini par cette intersection Nous utilisons sur Ω une loi équirépartie, donc chacun des résultats d une case du tableau ci-dessus a pour probabilité On en déduit la loi de probabilité de S définie sur Ω s i PS ( = s i ) On vérifie que PS ( = s ) i = i D après ce tableau, la somme la plus probable est 7 2 ES ( ) = = 7 VS ( ) ES ( 2 ) ( ES ( )) = = = 5 σ( S) = 2, 45 6 Nous allons simuler cette expérience avec une TI- Plus mais nous pourrions écrire des programmes analogues avec d autres calculatrices Ce programme «SOM2DES» permet de simuler le lancer de deux dés semblables n fois de suite et consigne les résultats (fréquences d apparition des sommes) dans une liste (ici L) qu il suffit ensuite d étudier comme une série statistique ordinaire, et la comparer à la liste des fréquences théoriques attendues

14 Remarques sur le programme précédent L instruction Input (lire) se trouve dans le menu PRGM suivi de I/O L instruction Clrlist (effacer) se trouve dans le menu STT EDIT L instruction For (qui débute une boucle) se trouve dans le menu PRGM CTL L instruction randlnt se trouve dans le menu MTH PRB et randlnt(,6) permet d obtenir un nombre entier aléatoire compris entre et 6 L instruction End (fin de boucle) se trouve dans le menu PRGM CTL L instruction Disp (écrire) se trouve dans le menu PRGM suivi de I/O Les trois premiers écrans donnent simplement le programme : la liste L contient les résultats possibles pour la somme des deux dés ( a été gardé par souci de simplicité mais bien évidemment sa fréquence sera toujours égale à 0) ; la liste L2 contient les effectifs et L les fréquences d apparition Les écrans suivants donnent les résultats issus de l exécution de ce programme avec liste L4 donne les fréquences théoriques à 0 près) N = 250 (la Les écrans suivants donnent les résultats issus de l exécution de ce programme avec N = 000 Vous constatez que les fréquences obtenues se rapprochent des résultats théoriques 75

15 C Exercices d apprentissage Voici un tableau donnant la loi de probabilité d une variable aléatoire Y y 2 i 0 2 PY ( = y i ) 0, 0,2 0,25 0,25 0,05 0,5 La somme de ces probabilités est-elle bien égale à? Calculer la probabilité des événements : = { Y 0} ; B = { Y< 2} Calculer EY ( ) et σ( Y) Une loterie organisée par une association sportive est constituée d un ensemble Ω de billets numérotés de à Un des billets rapporte un lot de 500 euros, deux billets un lot de 50 euros et cinq billets un lot de 00 euros Le prix du billet est 2 euros G est la variable aléatoire définie sur Ω égale au gain algébrique procuré par le billet Quelles sont les valeurs prises par G? Définir la loi de probabilité de G Calculer l espérance mathématique de G Que conclure? Un candidat répond au hasard à un QCM qui comprend quatre questions Pour chaque question, il choisit une réponse parmi les trois qui lui sont proposées ; une seule de ces trois réponses est exacte De combien de façons peut-il remplir ce QCM? La variable aléatoire X associe au questionnaire du candidat le nombre de réponses correctes a) Calculer la probabilité de l événement ( X = ) b) Le candidat est reçu s il a donné au moins trois réponses exactes Calculer la probabilité qu il soit reçu 76

16 Exercices d entraînement Exercirce Une expérience consiste à lancer dix fois de suite une pièce de monnaie À chaque résultat on associe lorsque la suite des 0 lancers contient au moins trois résultats successifs identiques et 0 sinon On définit ainsi une variable aléatoire X Simuler l expérience aléatoire Proposer une estimation de la loi de probabilité de X Une enquête statistique a montré que parmi les élèves d un lycée ( E), 50 % s intéressent à la musique ( M), 45 % à la lecture ( L), 60 % au sport ( S) De plus 20 % s intéressent à la musique et à la lecture, 5 % à la musique et au sport, 20 % au sport et à la lecture et enfin 7 % ont ces trois pôles d intérêt On interroge un élève pris au hasard et on note F l événement «il ne s intéresse à aucun de ces trois pôles» Préciser PM ( ), PL ( ), PS ( ), PM ( L), PM ( S), PS ( L), PM ( L S) Trouver PM ( L S) En déduire PF ( ) La fermeture de sécurité d un cartable est assurée par la composition d un code de trois chiffres, obtenu en faisant tourner trois molettes portant les chiffres de 0 à 9 Une personne compose au hasard un code On note, B et C les événements suivants : : «le code est bon» B : «le code est formé de trois chiffres distincts» C : «Le code comporte deux chiffres identiques et deux seulement» Déterminer P ( ), PB ( ), PC ( ) Trois personnes prennent l ascenseur au rez-de-chaussée Cet ascenseur dessert cinq étages Modélisation Chaque personne descend à l un des cinq étages, on peut donc lui associer un numéro d étages de à 5 Une issue est représentée par une suite de trois numéros d étage Combien de suites peut-on obtenir? On suppose que chaque issue précédente est équiprobable Calculer la probabilité de l événement : «toutes les personnes descendent au même étage» On note B l événement : «Une personne au moins descend au 5 ème étage» Déterminer la probabilité de B BCD est un tétraèdre régulier Un scarabée se déplace sur les arêtes de ce tétraèdre, et uniquement sur les arêtes Son déplacement obéit aux règles suivantes : le temps de parcours d une arête est une minute ; 77

17 à un sommet, il choisit aux hasard l une des trois arêtes ; le scarabée part du sommet À l aide d un arbre, écrire les trajets possibles d une durée de trois minutes La variable X associe à chacun des trajets précédents, le nombre de points visités par le scarabée (y compris le point de départ) a) Déterminer la loi de probabilité de X b) Calculer son espérance et son écart-type L erreur du chevalier de Méré Le jeu de «passe-dix» consiste à jeter trois dés ; on gagne si la somme des points dépasse 0 Le chevalier de Méré constatait qu en pratique on gagnait plus souvent avec qu avec 2 Cela contredit son raisonnement que voici : Il y a six possibilités de marquer points : { 4, 4, }, { 5,, }, { 5, 4, 2}, { 5, 5, }, { 6,, 2}, { 6, 4, } et six possibilités de marquer 2 points : { 4, 4, 4}, { 5, 4, }, { 5, 5, 2}, { 6,, }, { 6, 4, 2}, { 6, 5, } Donc la probabilité de marquer points est égale à celle d en marquer 2 L erreur du chevalier est de s en tenir aux issues observables et de les croire équiprobables Or, si l on veut distinguer des issues équiprobables, il faut distinguer les dés Vérifier qu en distinguant les dés, il y a par exemple 6 façons d obtenir 5, 4 et Vérifier qu il y a vingt-sept façons d obtenir et vingt-cinq d obtenir 2 Conclure Le chevalier de Méré, homme de lettres et philosophe, vécut de 607 à 64 Personnage marquant à la cour de Louis XIV, il a acquis auprès des historiens la réputation d un joueur impénitent Il se trouve que son intérêt pour ces questions, ainsi que les discussions qu il eût avec Pascal, en font un précurseur essentiel des probabilités 7

18 ides aux exercices d entraînement Vous pouvez utiliser la touche RND de votre calculatrice qui donne un nombre décimal compris entre 0 et, ( exclus), sous la forme d un point suivi de 0 chiffres Les 0 chiffres se succédant peuvent représenter 0 lancers de pièce Les chiffres compris entre 0 et 4, 4 compris, simulent pile Les chiffres compris entre 5 et 9, 9 compris, simulent face Représenter la situation à l aide du diagramme suivant : M L S en commençant par remplir le taux de pourcentage de disjoints de cette figure S L M, puis de chaque sous ensembles Pour déterminer le nombre de cas favorables à B, vous pouvez ébaucher l arbre des possibilités ou raisonner sur le nombre de façons de choisir le premier chiffre du code, puis le second, le premier ayant été choisi et enfin le troisième, le deuxième ayant été choisi Pour déterminer PC ( ), vous pouvez remarquer que : ou le code est formé de trois chiffres distincts ; ou le code comporte deux chiffres identiques et deux seulement ; ou le code comporte trois chiffres identiques Penser à utiliser l événement contraire Remarquer par exemple que { 4, 4, } peut s obtenir de façons équiprobables ( 4 ; 4 ; ), ( 4,, 4), (, 4, 4) car le peut s obtenir sur l un des trois dés 79

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