STATISTIQUE. Le principal d un collège étudie les notes du dernier devoir de mathématiques de 20 élèves d une classe de 3 ème.

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1 STATISTIQUE I / Vocabulaire Activité Le principal d un collège étudie les notes du dernier devoir de mathématiques de 20 élèves d une classe de 3 ème. Voici la liste des notes obtenues par les élèves : ) Population : L ensemble sur lequel on recueille les données est appelé population. Les élèves de la classe constituent la population. 2) Individu : Tout élément de la population est appelé individu. Chaque élève de la classe est un individu. 3) Caractère (ou variable statistique) : Les notes des élèves constituent le caractère (ou variable statistique). Un caractère est toute information qu'on peut étudier sur la population. L ensemble des données s appelle série statistique. Caractère quantitatif : Un caractère quantitatif s exprime par un nombre obtenu, soit par mesure, soit par comptage. Exemple : Notes des élèves, tailles, poids. Un caractère quantitatif peut être discret ou continu. Un caractère quantitatif est discret lorsqu il prend des valeurs isolées. Exemple : Notes des élèves, nombres de frères et sœurs. Un caractère quantitatif est continu lorsqu il peut prendre n importe quelles valeurs d un intervalle. Exemple : Tailles, poids. Caractère qualitatif : Un caractère qualitatif ne peut pas être mesuré. Exemple : Sports pratiqués, groupes ethniques, couleur. 4) Modalité : Toute valeur possible du caractère est appelée une modalité. Exemple : La note 10 est une modalité. La note 7 est une modalité.

2 5) Echantillon : Une partie de la population est appelée un échantillon. 6) Effectif total : Le nombre total d individus qui constituent la population est l effectif total. Exemple : Dans l activité, l effectif total est 20. 7) Effectif d une modalité : L effectif d une modalité est le nombre d individus ayant cette modalité. Exemple : Dans l activité, l effectif de la modalité 10 est 3. 8) Fréquence d une modalité : La fréquence d une modalité est le quotient de l effectif de cette modalité sur l effectif total. Fréquence d une modalité = effectif de cette modalité effectif total La somme des fréquences est égale à 1. 9) Fréquence (en %) (ou Pourcentage) La fréquence est souvent exprimée en pourcentage. Fréquence (en %) = Fréquence 100 La somme des pourcentages est égale à ) Effectifs cumulés croissants : La série étant ordonnée, l effectif cumulé croissant d une modalité est la somme des effectifs de chaque modalité inférieure ou égale à cette modalité. 11) Effectifs cumulés décroissants : La série étant ordonnée, l effectif cumulé décroissant d une modalité est la somme des effectifs de chaque modalité supérieure ou égale à cette modalité. 12) Fréquences cumulées croissantes : La série étant ordonnée, la fréquence cumulée croissante d une modalité est la somme des fréquences de chaque modalité inférieure ou égale à cette modalité. 13) Fréquences cumulées décroissantes : La série étant ordonnée, la fréquence cumulée décroissante d une modalité est la somme des fréquences de chaque modalité supérieure ou égale à cette modalité.

3 II / Classement des données statistiques 1) Série statistique brute La série statistique précédente «Notes des élèves» est une série brute. Elle n est pas ordonnée. 2) Série ordonnée : La série brute est souvent ordonnée suivant l ordre croissant. Voici la série ordonnée (ordre croissant): On présente les données dans un tableau où figurent les effectifs de chaque modalité, les fréquences, les pourcentages, les effectifs cumulés croissants et les effectifs cumulés décroissants. Modalités Total Effectifs Effectifs cumulés croissants (ECC) Effectifs cumulés décroissants (ECD) Fréquences 0,05 0,05 0,1 0,1 0,1 0,15 0,1 0,05 0,1 0,05 0,1 0,05 1 Fréquences (en %) Fréquences cumulées croissants (FCC) Fréquences cumulées décroissants (FCD) Remarque : - L effectif cumulé croissant de la note 9 est 8. Cela signifie qu il y a 8 élèves qui ont une note inférieure ou égale à 9. - L effectif cumulé décroissant de note 10 est 12. Cela signifie qu il y a 12 élèves qui ont une note supérieure ou égale à 10. Méthode de remplissage du tableau : La ligne des effectifs : - L effectif partiel de la note 5 est 1 : la note 5 apparait une seule fois dans la série. - L effectif partiel de la note 7 est 2 : la note 7 apparait deux fois dans la série. - L effectif partiel de la note 10 est 3 : la note 10 apparait trois fois dans la série. La ligne des effectifs cumulés croissants (la série est ordonnée suivant l ordre croissant) : - L effectif cumulé croissant de la 1 ère modalité est toujours égal à l effectif partiel de la 1 ère modalité. - L effectif cumulé croissant d une modalité est la somme l effectif partiel de cette modalité et de l effectif cumulé croissant de la modalité précédente. - L effectif cumulé croisant de la dernière modalité est toujours égal à l effectif total.

4 Modalités Effectifs ECC La ligne des effectifs cumulés décroissants : - L effectif cumulé décroissant de la 1 ère modalité est toujours égal à l effectif total. - L effectif cumulé décroissant d une modalité est la différence de l effectif cumulé de la modalité précédente et de l effectif partiel de cette modalité. - L effectif cumulé décroisant de la dernière modalité est toujours égal à l effectif partiel de la dernière modalité. Modalités Effectifs ECD Remarque : On peut aussi remplir la ligne des effectifs cumulés décroissants de la droite vers la gauche en procédant de la manière suivante :

5 La ligne des fréquences : Fréquence d une modalité = effectif de cette modalité effectif total Fréquence de la modalité 5 = 1 0,5 20 = Fréquence (en %) = Fréquence 100 Fréquence (en %) de la modalité 5 = 0,5 100 = 5 La ligne des fréquences cumulées croissantes Même procédé de remplissage que la ligne des effectifs cumulés croissants. La ligne des fréquences cumulées décroissantes Même procédé de remplissage que la ligne des effectifs cumulés décroissants. 3) Mode d une série Le mode d une série est la modalité qui a le plus grand effectif. Le mode de la série précédente est la modalité 10. (La modalité 10 a le plus grand effectif 3) Remarque : Une série peut avoir plusieurs modes. On parle alors de série multimodale. 4) Moyenne (Série ordonnée) On calcule la somme des produits (modalité effectif partiel correspondant) puis on divise le résultat obtenu par l effectif total. Calculons la moyenne de série précédente. Soit M cette moyenne. M = (5 1) + (6 1) + (7 2) + (8 2) + (9 2) + (10 3) + (11 2) + (12 1) + (13 2) + (14 1) + (16 2) + (17 1) 20 M = = 10,6 M = 10,6 La moyenne de la série est : 10,6 Remarque : Moyenne arithmétique Pour une série non classée, on calcule la moyenne arithmétique de la série en additionnant toutes les modalités et en divisant le résultat obtenu par l effectif total.

6 5) Médiane La population étant ordonnée, on appelle médiane de la série la modalité qui sépare la population en deux parties de même effectif. Médiane d un caractère discret - L effectif total est impair Exemple : Notes Effectifs On ordonne les modalités : 7 ; 7 ; 8 ; 9 ; 9 ; 9 ; 10 ; 10 ; 12 ;13 ; 14 ; 14 ; 15 ; 15 ; 17 ; 17 ; 18 8 notes la médiane 8 notes La médiane de cette série est la modalité 12 Les 8 notes du 1 er groupe ont des valeurs inférieures ou égales à 12 et les 8 notes du 2 ème groupe ont des valeurs supérieures ou égales à L effectif total est pair Exemple : Notes Effectifs On ordonne les modalités : 8 ; 8 ; 9 ; 9 ; 10 ; 10 ; 10 ; 11 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 16 ; 17 7 notes 7 notes La médiane = = = 10,5 2 2 La médiane de cette série est 10, III / Représentations graphiques Les séries statistiques sont représentées graphiquement par des diagrammes. a) Diagramme en bâtons Exemple : Notes Effectifs Construis le diagramme en bâtons des effectifs et le polygone des effectifs de cette série ; - Les modalités sont en abscisses et les effectifs sont ordonnés.

7 Effectifs 3 Polygone des effectifs Notes Diagramme en bâtons b) Diagramme à bandes Exemple : Le tableau suivant représente le nombre de paires de chaussures vendues en une semaine par un magasin de chaussures en fonction de la pointure. Pointures Effectifs Représente ces données statistiques par un diagramme à bandes. Diagramme à bandes

8 c) Diagramme circulaire Exemple : La répartition des groupes ethniques dans une classe de 30 élèves donne le tableau suivant : Groupes ethniques Poular Wolof Sérère Diola Bambara Effectifs Représente cette série statistique par un diagramme circulaire. - Chaque modalité est représentée par un secteur circulaire dont l angle au centre est proportionnel à l effectif de cette modalité. - A l effectif total correspond un angle de 360. Effectif partiel de la modalit é - L angle au centre de chaque secteur représentant une modalité est égal à : 360 Effectif total de la population - Calcul de l angle au centre de chaque secteur représentant une modalité de la série : Poular : Diola : = 72 Wolof : = 60 Bambara : = 36 Groupes ethniques Poular Wolof Sérère Diola Bambara Total Effectifs Angles (en degrés) = 108 Sérère : = 84

9 d) Diagramme semi-circulaire Exemple : La répartition des groupes ethniques dans une classe de 30 élèves donne le tableau suivant : Groupes ethniques Poular Wolof Sérère Diola Bambara Effectifs Représente cette série statistique par un diagramme semi-circulaire. - Chaque modalité est représentée par un secteur circulaire dont l angle au centre est proportionnel à l effectif de cette modalité. - A l effectif total correspond un angle de 180. Effectif partiel de la modalit é - L angle au centre de chaque secteur représentant une modalité est égal à: 180 Effectif total de la population - Calcul de l angle au centre de chaque secteur représentant une modalité de la série : Poular : = 36 Wolof : Diola : = 30 Bambara : = 18 Groupes ethniques Poular Wolof Sérère Diola Bambara Total Effectifs Angles (en degrés) = 54 Sérère : = 42 Wolof Sérère Diola Poular Bambara Diagramme semi-circulaire

10 IV / Etude d un caractère quantitatif continu Activité : Voici les tailles (en cm) des 25 élèves d une classe de 3 ème : ) Regroupe les tailles en classes d amplitude (ou largeur) 5 cm à partir de 145 cm (tailles en intervalles) et représente les résultats dans un tableau. 2) Complète le tableau par les effectifs, les centres de classes, les effectifs cumulés croissants et les effectifs cumulés décroissants. 3) Quelle est la classe modale de cette série? 4) Calcule la taille moyenne. (Moyenne de la série). 5) Représente l histogramme des effectifs et le polygone des effectifs. 6) Construit le polygone des effectifs cumulés croissants (ou diagramme cumulatif croissant). 7) Détermine, graphiquement et par le calcul, la taille médiane (médiane de la série). 8) Détermine, graphiquement et par le calcul, les quartiles de cette série. 1) - 2) Tailles (en cm) [145 ; 150[ [150 ; 155[ [155 ; 160[ [160 ; 165[ [165 ; 170[ Centres de classes 147,5 152,5 157,5 162,5 167,5 Effectifs Effectifs cumulés croissants (ECC) Effectifs cumulés décroissants (ECD) Amplitude d une classe (ou largeur) = borne supérieure de la classe borne inférieure de la classe L amplitude de la classe [145 ; 150[est : = 5 Toutes les classes de cette série sont de même amplitude 5. borne inférieure de la classe + borne supérieure de la classe Centre d une classe = Centre de la classe [145 ; 150[ : = 147,5 2 3) La classe modale est la classe qui a le plus grand effectif. La classe modale de cette série est : [160 ; 165[. Remarque : Une série peut avoir plusieurs classes modales. 4) Pour calculer la moyenne, on utilise les centres de classes. Moyenne = ( centre dela classe effectif ) + ( centre dela classe effectif ) ( centre dela classe effectif ) effectif total (147,5 1) + (152,5 5) + (157,5 5) + (162,5 8) + (167,5 6) Moyenne = = 160,1 25 La taille moyenne est : 160,1 cm.

11 5) Histogramme des effectifs et Polygone des effectifs 6) Polygone des effectifs cumulés croissants : Les coordonnées des points du polygone des effectifs cumulés croissants sont : Premier point : (borne inférieure de la 1 ère classe ; 0) ; Pour les autres points (borne supérieure de la classe ; effectif cumulé croissant correspondant) Voici les coordonnées des points du polygone des effectifs cumulés croissants : (145 ; 0), (150 ; 1), (155 ; 6), (160 ; 11), (165 ; 19), (170 ; 25). Trace le polygone des effectifs cumulés croissants dans un repère orthogonal. L échelle est : Axe des abscisses 1,5 cm par classe ; Axe des ordonnées 2 cm pour 5. Les coordonnées des points sont : (145 ; 0), (150 ; 1), (155 ; 6), (160 ; 11), (165 ; 19), (170 ; 25).

12 Soit Me la médiane. Détermination graphique : On mesure avec la règle graduée. On trouve : Me = 160,9 cm. Détermination par le calcul : On utilise le théorème de Thalès. (IJ) // (BC), I (AB) et J (AC) donc les triangles AIJ et ABC sont en position de Thalès. AJ AI IJ D après le théorème de Thalès, on a : = =. AC AB BC AI IJ = donc : AI BC = IJ AB AB BC AI = IJ AB (12,5 11) = = 0,9 BC (19 11) Me = AI = 160+0,9 = 160,9 La taille médiane est : 160,9 cm. La médiane est l abscisse du point qui a pour ordonnée la moitié de l effectif total. La classe médiane est la classe qui partage la population en deux parties de même effectif. La classe médiane de cette série est : [160 ; 165[. (La médiane appartient à la classe médiane) Remarque : Histogramme des effectifs cumulés croissants ECC Polygone des effectifs cumulés croissants Histogramme des effectifs cumulés croissants Tailles (en cm) Remarque : Polygone des effectifs cumulés décroissants - Les coordonnées des points du polygone des effectifs cumulés décroissants sont : Pour tous les points sauf le dernier point : (borne inférieure de la classe ; effectif cumulé décroissant correspondant) Dernier point : (borne supérieure de la dernière classe ; 0) ; Voici les coordonnées des points du polygone des effectifs cumulés décroissants : (145 ; 25), (150 ; 24), (155 ; 19), (160 ; 14), (165 ; 6), (170 ; 0).

13 ECD Polygone des effectifs cumulés décroissants Tailles (en cm) Histogramme des effectifs cumulés décroissants ECD Polygone des effectifs cumulés décroissants Histogramme des effectifs cumulés décroissants Tailles (en cm) - L abscisse du point d intersection du polygone des effectifs cumulés croissants et du polygone des effectifs cumulés décroissants est la médiane.

14 7) Les quartiles Même procédé que pour la détermination de la médiane. La médiane est le 2 ème quartile. Soit N l effectif total. Le 1 er quartile est l abscisse du point qui a pour ordonnée 4 N. Le 2 ème quartile est l abscisse du point qui a pour ordonnée 2 N : c est la médiane. Le 3 ème quartile est l abscisse du point qui a pour ordonnée 3 N. 4 "Imprimez gratuitement ce document depuis le site

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