Introduction à la théorie du choix social

Transcription

1 Ecole Centrale Paris, December 29, 2014

2 Qu est ce que la théorie du choix social? Théorie du choix social Objectif : étude des problèmes de décision dans lesquels un groupe doit choisir entre plusieurs alternatives. Théorie abstraite nature de la décision taille du groupe nature du groupe De nombreux résultats Economie, Science politique, Mathématiques appliquées, RO Deux prix Nobel : Kenneth J. Arrow, Amartya Sen

3 Applications du choix social Domaines d application Elections politiques, Autres types d élections, moins de votants et de candidats (e.g. élection d un recteur d université) Décision multicritère Intelligence artificielle Systèmes d agents (agents multiples, partage de ressources)

4 Problèmes traités Vocabulaire : élections politiques le groupe la société les membres du groupe le corps électoral (les votants) les alternatives les votants Problème Etude des situations d élection dans lesquelles une société doit prendre une décision concernant plusieurs candidats.

5 Election d un candidat Bon sens Le choix d un candidat impacte toute la société Ce choix doit prendre en compte l oppinion de chaque membre de la société Intuition Démocracie Elections Majorité.

6 Election Problèmes philisophiques Volonté générale et élections Majorité et protection des minorités Liberté formelle vs réelle Problèmes politiques Démocracie directe ou indirecte? Rôle des partis? Qui vote? (âge, sexe, nationalité, payant des impôts) Qui peut être candidat? Quel type de mandat? Comment est organisée la campagne électorale? Rôle des sondages?

7 Problèmes techniques Majorité Quand il n y a que deux candidats Elire le candidat ayant obtenu le plus de voix Majorité Lorsqu il y a plus de deux candidats De nombreuses manières d étendre cette idée Ces extensions ne sont pas équivanlentes Conduisent parfois à des effets non souhaités

8 Typologie d élections Deux critères 1 Types de bulletins admis uninomminal classement de tous les candidats autres (gradation des candidats, candidats approuvés/acceptables) 2 Méthode pour organiser l élection et pour dépouiller les votes Conséquences De nombreux types d élection possibles beaucoup on été proposés beaucoup on été utilisés en pratique

9 Plurality voting : UK Règle Un seul tour de vote scrutin uninomminal est élu celui qui recoit le plus de votes Remarque Les ex-aequos sont négligés Un électeur a un pouvoir spécial (la Reine choisit en cas d ex-aequos) Un candidat a un traitement spécial(le plus vieux est élu) tirage au sort

10 Plurality voting Exemple 3 candidats {a, b, c} 21 votants (ou , ou ) 10 votants : a b c 6 votants : b c a 5 votants : c b a Résultats a est élu... a : 10 b : 6 c : 5 mais une majorité de votants (11/21) préfère tous les candidats perdants à celui élu! a : Tory b : Labour c : LibDem

11 Plurality voting Exemple Des problèmes interviennent dès lors qu il y a plus de 2 candidats, Un systme fondé sur l idée de majorité peut violer la volonté d une majorité de votants!

12 Scrutin à deux tours Règles électorales scrutin uninomminal, Premier tour Le candidat recevant le plus de vote est élu s il reçoit plus de 50% des votes sinon faire un second tour Second tour Conserver les deux candidats ayant reçu le plus de votes au premier tour Appliquer Plurality voting Variante Les règles sont légèrement différente pour les élections législatives

13 Scrutin à deux tours Exemple précédent 3 candidats {a, b, c} 21 votants 10 votants : a b c 6 votants : b c a 5 votants : c b a Résultats a : 10 b : 6 c : 5 Majorité absolue : 21/2 = 11 votes a et b vont au second tour a : 10 b : 11 b est élu aucun candidat n est préféré à b par une majorité de votants

14 Scrutin à deux tours Exemple à 4 candidats 4 candidats {a, b, c, d} 21 votants 10 votants : b a c d 6 votants : c a d b 5 votants : a d b c Résultats 1er tour a : 5 b : 10 c : 6 d : 0 Majorité absolue : 11 votes b et c vont au second tour. Résultats second tour b : 15 c : 6 b est élu (15/21) une majorité (11/21) préfère a à b et d

15 Scrutin à deux tours Scrutin à un vs deux tours Le système français fait juste un peu mieux que le système anglais Les préférences utilisées dans l exemple ne sont pas particulièrement bizarre. Essayez en remplaçant a, b, c, d par MoDem, UMP, PS, FN, Front de Gauche etc. Question de la sincérité des votes

16 Scrutin à deux tours : Manipulabilité Exemple à 4 candidats 4 candidats {a, b, c, d} 21 votants 10 votants : b a c d 6 votants : c a d b 5 votants : a d b c Votes non sincères Les 6 votants pour qui c a d b votent comme si leur préférences étaient a c d b Résultats a est élu au premier tour (11/21) profitable pour les 6 votants manipulateurs pour qui a b

17 Règles de vote Manipulable Définition Une règle de vote est manipulable s il est possible que certains votants aient intérêt à voter de façon non sincère. Problèmes Les élections ne sont plus un moyen de révéler les préférences Manipulation et contre-manipulation équilibre Bonus aux votants astucieux

18 Scrutin à deux tours : Monotonicité Exemple : avant la campagne 3 candidats {a, b, c} 17 votants 6 votants : a b c 5 votants : c a b 4 votants : b c a 2 votants : b a c Problèmes Majorité absolue = 17/2 = 9 votants a est élu! a : 6 b : 6 c : 5 a : 11 b : 6 a obtient plus d argent pour faire campagne contre b.

19 Scrutin à deux tours : Monotonicité Deux votants b a c changent d avis en faveur de a. Leur novelle préférence est a b c. 6 votants : a b c 8 votants : a b c 5 votants : c a b 5 votants : c a b 4 votants : b c a 4 votants : b c a 2 votants : b a c. c est élu! a : 8 b : 4 c : 5 a : 8 c : 9 La bonne campagne de a lui a été fatale. Mode de scrutin non-monotone : plus de possibilités de manipulation

20 Scrutin à deux tours : Participation Exemple 3 candidats {a, b, c} 11 votants 4 votants : a b c 4 votants : c b a 3 votants : b c a Problèmes Majorité absolue = 11/2 = 6 votants c est élu! a : 4 b : 3 c : 4 a : 4 c : 7 Le résultat n est pas satisfaisant pour les 4 premiers votants. Deux d entre eux vont à la pêche et s abstiennent (aux deux tours).

21 Scrutin à deux tours : Participation Avanṭ 4 votants : a b c 4 votants : c b a 3 votants : b c a c est élu Résultats Aprèṣ Majorité absolue = 11/2 = 6 votants a : 2 b : 3 c : 4 b : 5 c : 4 b est élu! l 2 votants : a b c 4 votants : c b a 3 votants : b c a L abstention des 2 votants pour qui b c a bien été rationnelle.

22 Scrutin à deux tours : Séparabilité Résultats 3 candidats {a, b, c} 26 votants dans 2 districts District 1. 4 votants : a b c 4 votants : b a c 4 votants : c a b 3 votants : c b a a : 4 b : 3 c : 6 a : 7 c : 6 a est élu (7/13) District 2. 4 votants : a b c 3 votants : c a b 3 votants : b c a 3 votants : b a c a : 4 b : 6 c : 3 a : 7 b : 6 a est élu (7/13)

23 Scrutin à deux tours : Séparabilité Au niveau nationnal District 1 District 2 4 votants : a b c 4 votants : a b c 3 votants : b a c 3 votants : c a b 3 votants : c a b 3 votants : b c a 3 votants : c b a 3 cotants : b a c. a : 8 b : 9 c : 9 a perd au premier tour La méthode n est pas séparable. Décentralisation des décisions?

24 Résumé Système français vs anglais Le scrutin à deux tours fait un peu meiux que le scrutin à un tour d un point de vue démocratique Il a de nombreux autres problèmes : Manipulable Non-monotone Pas d incitation à la participation non-séparable Existe-t-il des systèmes meilleurs? Sagesse conventionnelle au premier tour on choisit, au deuxième tour on élimine?

25 Condorcet Principes Comparer tous les candidats par paire a est préféré socialement à b s il y a (strictement) plus de votants préférant a à b (indifférence en cas d égalité) Principe de Condorcet : Si un candidat est préféré à tous les autres, il doit être élu Le gagnant de Condorcet (GC) doit être unique Remarques Les scrutins à un et deux tours violent le principe de Condorcet Le scrutin à un tour peut élire un perdant de Condorcet Le principe de Condorcet ne résoud pas le problème de la dictature de la majorité Le GC n est pas nécessairement bien classé par les votants

26 Condorcet et scrutin à un tour Exemple 3 candidats {a, b, c} 21 votants 10 votants : a b c 6 votants : b c a 5 votants : c b a a est gagnant du scrutin à un tour a est perdant de Condorcet b est gagnant de Condorcet b bat a (11/21) b bat c (16/21)

27 Condorcet et scrutin à deux tours Exemple 4 candidats {a, b, c, d} 21 votants 10 votants : b a c d 6 votants : c a d b 5 votants : a d b c b est gagnant du scrutin à deux tours (contre c au second tour) a gagnant de Condorcet a bat b (11/21) a bat c (15/21) a bat d (21/21)

28 Condorcet et rangs Exemple 5 candidats {a, b, c, d, e} 50 votants 10 votants : a b c d e 10 votants : b c e d a 10 votants : e a b c d 10 votants : a b d e c 10 votants : b d c a e a est gagnant de Condorcet ; bat tous les candidats (30/20) Exemple a b

29 Condorcet et rangs Exemple 26 candidats {a, b, c,..., z} 100 votants 51 votants : a b c... y z 49 votants : z b c... y a a est gagnant de Condorcet b pourrait être un choix raisonable

30 Condorcet et rangs Exemple 26 candidats {a, b, c,..., z} 100 votants 51 votants : a b c... y z 49 votants : z b c... y a a est gagnant de Condorcet b pourrait être un choix raisonable

31 Le paradoxe de Condorcet Déterminer le gagnant de Condorcet Attrayant mais pas toujours efficace! Paradoxe de Condorcet 3 candidats {a, b, c} 3 votants 1 votant : a b c 1 votant : c a b 1 votant : b c a

32 Condorcet Le paradoxe de Condorcet La relation de préférence sociale peut contenir des circuits probabilité de 40% avec 7 candidats et un grand nombre de votants Prendre en compte le Paradoxe de Condorcet Affaiblir le principe de sorte d élire des candidats n étant pas strictement battus (gagnant de Condorcet faible) il peut ne pas en exister il peut en exister plusieurs comment faire lorsqu il n existe pas de gagnant de Condorcet faible

33 Schwartz Principe Construire la relation de préférence social à la Condorcet La relation de préférence résultante peut ne pas être transitive Construire la fermeture transitive préordre prendre les éléments maximaux du préordre résultant

34 Schwartz Exemple 4 candidats {a, b, c, d} 3 votants 1 votant : a b c d 1 votant : d a b c 1 votant : c d a b Principe La fermeture transitive correspond à une clique Tous les candidats sont déclarés socialement indifférents mais 100% des votants préfèrent a à b!

35 Règle de Copeland Principe Construire la relation de préférence social à la Condorcet Compter le nombre de candidats battus par un candidat moins le nombre de candidats qui le battent (score de Copeland) Elire le candidat obtenant le plus grand score Compétition sportive +2 pour une victoire, +1 pour un match nul, 0 pour une défaite équivalent au score de Copeland

36 Règle de Copeland Exemple 5 candidats {a, b, c, d, x} 40 votants 10 votant : x a d c b 10 votant : x a b c d 10 votant : a d c b x 10 votant : b c d x a. a b c d x a est élu x est le seul gagnant faible de Condorcet

37 Règle de Borda Principe Chaque bulletin est une liste ordonnée des candidats (on exclue le cas des ex-aequos) Pour chaque bulletin, calculer le rang des candidats dans la liste Classer les candidats par somme des rangs décroissants Remarques Simple Efficace : on obtient toujours un résultat Séparable, Monotone, incite à la participation

38 Borda et le principe de Condorcet Exemple 4 candidats {a, b, c, d} 3 votants 1 votant : a c d b 2 votant : b a c d Scores de Borda.. a b c d Résultats a est élu b est le gagnant de Condorcet

39 Borda et désistements Exemple Exemple 4 candidats {a, b, c, d} 3 votants 1 votant : a c d b 2 votant : b a c d b et c se retirent 2 candidats {a, b} 3 votants 1 votant : a b 2 votant : b a. Scores de Borda. a est élu Scores de Borda. b est élu a b c d a b 5 6 porte ouverte aux manipulations candidats factices