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1 Exercice : réponse harmonique de circuits passifs d'ordre Déterminer la fonction de transfert H(j) U 2 /U et tracer les asymptotes des diagrammes de Bode des circuits ci-dessous.! 60 nf 0 kω 50 nf U U 2 U 2 kω 2 U 0 kω U kω 2 a)! b)! circuit a) : H(j) U 2 U avec : K 0 20 Η db # ( 2 + Z ) + ( 2 + Z ) 20 log K 0 db 2 + j j 606 rad /s ( + 2 ) f 96 Hz 00 Hz + j 2 + j( + 2 ) K + j 2 + j rad /s 2 f Hz 000 Hz k 2k 3k 5k 0k 20k 30k 50k 00k 200k 300k 500k M circuit b) : H(j) avec : K 0 H(j) U 2 2 U 2 + ( //Z ) j + j 2 (+ j ) j log K 20 db Η db # + j + j rad /s f 99 Hz 00 Hz K + j + j rad /s 2 f Hz 000 Hz k 2k 3k 5k 0k 20k 30k 50k 00k 200k 300k 500k M φ# k 2k 3k 5k 0k 20k 30k 50k 00k 200k 300k 500k M φ# k 2k 3k 5k 0k 20k 30k 50k 00k 200k 300k 500k M

2 Exercice 2: réponse harmonique d'un circuit passif d'ordre 2 Déterminer la fonction de transfert H(j) U 2 /U et tracer les asymptotes des diagrammes de Bode du circuit ci-dessous.! U 6.8 nf 2 kω 2 kω 6.8 nf U 2 H(j) U 2 ( //Z ) U + Z + ( //Z ) + j + j + + j + j + j + + j j j H(j) + 3j + (j) j ( j)( 3+ 5 K 0 + j) (+ j )(+ j ) 2 2 avec : K 20 log K 0 db 0 2'254 rad / s f Hz 2 khz 2 / (3 5) '680 rad / s f 745 Hz 750 Hz 2 2 / (3+ 5) '090 rad / s f 2 5'00 Hz 5 khz rappel : + 3x + x 2 (x x )(x x 2 ) (x x 2 )(+ x )(+ x ) (+ x )(+ x ) x x 2 x x 2 où x,2 3± ± et donc x x Η db # φ# k 2k 3k 5k 0k 20k 30k 50k 00k 200k 300k 500k M k 2k 3k 5k 0k 20k 30k 50k 00k 200k 300k 500k M 45 # 90 # H(j 0 ) db courbe réelle! <> 9.5 db et φ 0

3 Exercice 3: bande passante d'une mesure à l'oscilloscope Soit un circuit électronique sur lequel on veut observer à l'oscilloscope un signal réel. Pour simplifier, on suppose que ce signal est produit par un circuit linéaire dont l'impédance interne est purement résistive. On modélise ce signal par une source équivalente de Thévenin en série avec une résistance de source 0.!! L'oscilloscope est un instrument qui affiche une image y(t) de la tension appliquée à son entrée : u m (t). ette entrée présente une résistance inosc MΩ en parallèle avec une capacité 20 pf. Les circuits internes présentent un gain constant jusqu'à une fréquence maximum caractéristique de l'oscilloscope, appelée bande passante de l'oscilloscope, puis décroissant brusquement au delà de cette limite.!! Le signal auquel on a accès et que l'on peut observer à l'oscilloscope est situé après la résistance 0. On veut estimer jusqu'à quelle fréquence le rapport / peut être considéré comme unitaire (à 30% près) c'est à dire 20 log / de 0 db à -3 db. 'est ce qu'on appelle la "bande passante" de la mesure.! Sonde passive x! Dans le cas le plus simple, le signal à observer est amené à l'entrée de l'oscilloscope par une sonde passive x, qui n'est en fait qu'un simple câble blindé, le corps de la sonde n'étant qu'une pièce plastique permettant une bonne tenue en main, avec éventuellement une pointe munie d'un petit crochet à ressort. e câble présente une capacité parasite câble 00 pf pour une longueur de.20 m. Un câble blindé est nécessaire pour éviter que le signal à mesurer ne soit perturbé par des champs électriques ambiants ou qu'inversement ce signal ne génère un champ perturbateur pour des circuits sensibles proches.! 0 Sonde passive x! câble coaxial! inosc Déterminer la fonction de transfert H'(j) (j)/ (j).! Déterminer la fonction de transfert H(j) (j)/ (j) et esquisser son diagramme de Bode en amplitude. En déduire la bande passante utile de la mesure si 0 0 kω.! Sonde passive 0x! Pour limiter l'effet négatif de la capacité du câble blindé de liaison, la pointe de la sonde contient un réseau s 9 MΩ // s 5 pf en série avec la connexion centrale du câble (voir schéma). Une capacité ajustable aj est placée dans le connecteur de façon à être en parallèle sur in de l'oscilloscope.! 0 s // s câble coaxial! Sonde active 0x! Pour supprimer l'effet négatif de la capacité du câble blindé de liaison, il faut recourir à une sonde active dont la pointe contient un amplificateur à gain constant sur une large bande passante indépendamment de la longueur du câble (ligne de transmission adaptée 50 Ω). L'entrée présente une impédance ins MΩ // ins pf. et amplificateur nécessite deux tensions continues d'alimentation acheminées par des fils supplémentaires dans le câble (non représentés).! Sonde passive 0x! aj inosc 0 ins // ins câble coaxial 50Ω! 0.2 Ut! 50Ω! 50Ω! Déterminer la fonction de transfert H'(j) (j)/ (j) et déterminer la valeur de aj pour avoir une réponse parfaitement plate (H'(j) K). En déduire le facteur d'atténuation /K.!! Dans le cas où aj est à sa valeur optimum pour une réponse plate, calculer l'impédance d'entrée sur la pointe de la sonde : ins // ins. En déduire la fonction de transfert H(j) (j)/ (j) et la bande passante utile de la mesure si 0 0 kω.! Sonde active 0x! Déterminer la fonction de transfert H'(j) (j)/ (j).! Déterminer la fonction de transfert H(j) (j)/ (j) et en déduire la bande passante utile de la mesure si 0 0 kω.!

4 Introduction:! Un câble coaxial se présente ainsi:! Sonde passive x! Schéma équivalent:! 0 câble inosc onducteur central de rayon r i! câble! r e! isolant! L! Gaine isolante! onducteur extérieur tressé! Blindage! H' (j) d'où le nom sonde x.! H(j) ( inosc //Z inosc //Z câble ) 0 + ( inosc //Z inosc //Z câble ) inosc + j( + câble ) 0 + inosc + j( + câble ) inosc + j H(j) inosc ( + câble ) inosc 0 + inosc 0 + inosc + j 0 inosc ( + câble ) + j inosc ( + câble ) câble ε 0 ε r 2πL ln(r e r i ) H( j) inosc 0 + inosc + j inosc ( + câble ) + j 0 + inosc 'est un filtre passe-bas avec une bande passante à -3 db de /2π 30 khz.! Sonde passive 0x! Schéma équivalent:! H' (j) 0 câble ( inosc //Z inosc // Z aj // Z câble ) ( s //Z s ) + ( inosc //Z inosc // Z aj // Z câble ) inosc + j( + aj + câble ) H' (j) + s + j s inosc + j( + aj + câble ) s s aj inosc Sonde passive 0x (suite )! H' (j) inosc (+ j s s ) s + inosc + j inosc s ( s + p ) s + inosc H' (j) inosc 0. cst pour tout, d'où le nom de sonde 0x, si :! s + inosc s s inosc s ( s + p ) <> p s 9 s + inosc s inosc p 9 s 35 pf > aj 5 pf! aj est nécessaire car peut varier un peu d'un oscilloscope à l'autre et d'un canal à l'autre. Pour faire cet ajustage, les oscilloscopes ont une source de test qui fournit un signal carré. Si l'on observe ce signal au travers de la sonde 0x, on voit ceci :! inosc + j inosc p H' (j) inosc (+ j s s ) s + inosc s + inosc + j inosc s ( s + p ) + j s s + j inosc p avec: p + aj + câble! aj trop petite! aj correcte! aj trop grande!

5 Sonde passive 0x (suite 2)! Z ( s //Z s ) + ( inosc //Z p ) + + j s + j p s inosc Z s + inosc + j s s + j inosc p Si aj est ajustée pour une réponse plate H'(j) 0.! alors: s 9 inosc et p 9 s > s s inosc p τ! Z s + jτ + inosc + jτ 0 inosc + j inosc p + j 0 inosc 0 p Sonde passive 0x (suite 3)! H'' (j) ( //Z ) 0 + ( //Z ) + j j + j H'' (j) j 0 + j H'' (j) j j Z 0 inosc //0. p > 0 MΩ 3.5 pf 'est un filtre passe-bas avec une bande passante à -3 db de /2π.2 MHz.! On a alors la situation suivante:! 0 H(j) H' (j) H'' (j) j 'est un atténuateur de facteur 0 et un filtre passe-bas avec une bande passante à -3 db de /2π.2 MHz.! Sonde active 0x! Schéma équivalent:! Ω H' (j) 50Ω Ω + 50Ω 0. d'où le nom sonde 0x.! H'' (j) ( //Z ) 0 + ( //Z ) + j j + j H'' (j) j 0 + j H'' (j) j j Ω 'est un filtre passe-bas avec une bande passante à -3 db de 0 8 /2π 6 MHz.! Sonde active 0x (suite)! H(j) H' (j) H'' (j) j 0 8 'est un atténuateur de facteur 0 et un filtre passe-bas avec une bande passante à -3 db de 0 8 /2π 6 MHz.! Grâce à leur faible capacité d'entrée, les sondes actives ont une bande passante plus élevée que les sondes passives. Mais, à cause de leur électronique interne, elles sont 5 à 20 fois plus coûteuses et leur dynamique d'entrée est limitée à environ ± 0 V.!

6 omplément! onnexion directe par ligne adaptée :! Lorsque la fréquence f du signal à transmettre croît ou que la longueur L des connections augmente et approche le quart de la longueur d'onde λ/4 c/4f, le potentiel et le courant ne sont plus constants tout le long de la connexion (un fil n'est plus un court-circuit mais une ligne de transmission) et l'on doit alors appliquer la théorie de propagation des ondes électromagnétiques.! Dans une ligne de transmission idéale sans perte parfaitement adaptée, c-à-d avec! s Z caractéristique L, le signal subit un simple retard de propagation sans atténuation quelle que soit sa fréquence.! U s s L! Ligne de transmission sans perte L Impédance caractéristique Z c si : s L Z c u m (t) u t (t t p ) 2 u réel (t t p ) avec : t p L omplément (suite)! Les câbles coaxiaux de laboratoire sont conçus pour se comporter comme une ligne de transmission d'impédance caractéristique 50 Ω avec des pertes aussi faibles que possible. L'instrument de mesure doit impérativement avoir une résistance d'entrée de 50 Ω. Le signal à mesurer doit impérativement provenir d'un dispositif avec une résistance de source de 50 Ω, ce qui est le cas des instruments de laboratoire.! 50Ω! L! câble coaxial 50Ω! 50Ω! u m (t) k u t (t t p ) k 2 u réel (t t p ) Si le signal vient d'un dispositif avec une impédance de source autre que 50 Ω, il faut utiliser un dispositif permettant de prélever une partie sans le déformer, p. ex. une sonde active, un circuit d'adaptation d'impédance, un coupleur ou un "power splitter".! délai de propagation : t p L 5 ns /m al / 20 k 0 où a est l'atténuation (pertes), donnée en db/m! k tant que L < quelques mètres!

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