Département de l économie et de la formation Service de l enseignement ECCG St-Joseph, Monthey

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1 Département de l économie et de la formation Service de l enseignement ECCG St-Joseph, Monthey Departement für Volkswirtschaft und Bildung Dienststelle für Unterrichtswesen HFMS Monthey Math 1 ère ECCG ECCG Monthey «L homme est ce qu il fait», André Malraux Raphaël Nanchen, ECCG raphael.nanchen@a3.epfl.ch

2 REMERCIEMENTS Je tiens à remercier particulièrement mes deux collègues de l ECCG, M. Veuthey et M. Dorsaz, qui m ont transmis l entier de leur cours et exercices à mon arrivée en Sans leur soutien, ma tâche aurait été insurmontable. Je remercie également tous les lecteurs qui m ont signalé des coquilles, au début trop nombreuses, mais fort heureusement de plus en plus rares. AVANT-PROPOS Ce polycopié est structuré par chapitre, avec pour chacun quelques notions théoriques la plupart du temps des exercices développés et commentés et une série d exercices. Les exercices de ce polycopié sont une compilation de ceux de mes collègues, de certains puisés dans les livres référencés ci-dessous et d autres inventés à cette occasion. Le corrigé détaillé de ces exercices est à disposition sur le site internet : En complément, de nombreux fichiers de théorie sous forme de diaporama, des cartes heuristiques et des exercices interactifs sont également à disposition sur le site précité. Il est possible de télécharger en début d année l entier du matériel pédagogique, sur la page d accueil de «Math 1 ère». Cependant, d autres fichiers seront probablement ajoutés durant l année. BIBLIOGRAPHIE Je me suis inspiré notamment des livres ci-dessous. Pour des raisons de convivialité à la lecture, j ai renoncé dans le polycopié à référer les exercices à ces livres : - Algèbre Mode d emploi, Gérard Charrière, Fournitures et éditions scolaires du canton de Vaud, Algèbre I, Marc-André Pichard et Jean-Claude Pont, Département de l instruction publique du canton du Valais

3 TABLE DES MATIÈRES 1 Consolidation Ensembles de nombres Relatifs Priorité des opérations dans une chaîne d opérations Les fractions Puissances et propriétés des puissances Exercices : consolidation 9 2 Les Monômes et Polynômes Monômes Polynômes Formules ou identités remarquables Division de polynômes Exercices : les monômes et polynômes 18 3 Factorisation Mise en évidence Identité remarquable : carrés parfaits Identité remarquable : différence de deux carrés Identité remarquable : cube parfait Identité remarquable : différence de puissances avec exposants identiques Identité remarquable : somme de puissances avec exposants impairs identiques Groupements par double mise en évidence Somme et produit pour trinômes du second degré Divisibilité par x a Exercices : factorisation 29 4 Fractions polynomiales Simplification Addition et soustraction Multiplication Division Exercices : fractions littérales 34 5 Equations Définitions Principes d équivalence Equations impossibles Equations indéterminées Equations produits Equations fractionnaires Exercices : équations 41 6 Systèmes d équations Systèmes de deux équations à deux inconnues, noté 2x Systèmes de trois équations à trois inconnues, noté 3x Exercices : système d équations 47

4 6.4 Exercices : problèmes à 1 ou plusieurs inconnues 48 7 Inégalités et inéquations Inéquations du premier degré Systèmes d inéquations à une inconnue Inéquations-produit Inéquations-quotient Système d inéquations-produit ou d inéquations-quotient Exercices : inégalités et inéquations 55 8 Fonctions Fonction Fonction particulière Situations particulières de deux droites Résolution graphique d une équation à une inconnue Résolution graphique d un système d équations Résolution graphique d une inéquation Résolution graphique d un système d inéquations Exercices : fonctions 61

5 1 CONSOLIDATION 1.1 Ensembles de nombres 1. L ensemble des entiers naturels est noté N. Il s agit des nombres entiers positifs. 2. L ensemble des entiers relatifs est noté Z. Il s agit des nombres entiers (positifs ou négatifs) 3. L ensemble des nombres rationnels est noté Q. Il s agit des nombres qui peuvent être écrits sous forme de fraction, c est à dire les nombres à partie décimale finie ou les nombres périodiques. 4. L ensemble des nombres réels est noté R. Il s agit de tous les nombres, enfin presque. On trouve les nombres rationnels et aussi les nombres irrationnels (ceux qui ne s écrivent pas sous forme de fraction comme par exemple π ou 2.) 1.2 Relatifs Addition soustraction de relatifs : simplification d écriture + (+ ) + + ( ) (+ ) ( ) (+9) = = ( 9) = 5 9 = 4 5 (+9) = 5 9 = 4 5 ( 9) = = Technique d addition ou soustraction à partir d une écriture simplifiée - Deux signes identiques : on additionne les valeurs absolues et on garde le signe = 14 Même signe : 5+9 et on garde le 5 9 = 14 - Deux signes opposés : on soustrait à la plus grande valeur absolue la plus petite et on garde le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue. 9 5 et on garde le car 9>5 5 9 = et on garde le+ car 9> = Multiplication division de relatifs : signe du résultat - Avec deux facteurs : (+ ) (+ ) = (+ ) (+ ) ( ) = ( ) ( ) (+ ) = ( ) ( ) ( ) = (+ ) (+3) (+4) = (+12) = 12 (+4) ( 3) = ( 12) = 12 ( 4) (+3) = ( 12) = 12 ( 4) ( 3) = (+12) = 12 Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

6 1. Consolidation - Avec plus de deux facteurs : 1. Compter le nombre de signe moins Si ce nombre est pair, la réponse est positive - S il est impair, la réponse est négative. 2 signes : résultats : + (+2) (+4) ( 1) ( 5) = 40 3 signes : résultats : ( 2) (+4) ( 1) ( 5) = 40 Les règles pour les signes lors de divisions sont identiques à celles des multiplications Puissances de relatifs ( 3) ( 3) ( 3) 2 = 9 (3 3) 3 2 = 9 ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) 3 = 64 (4 4 4) 4 3 = 64 En résumé : si a est un nombre positif, n est pair et m impair : ( a) n = + a n = ( a) m = a m = 1.3 Priorité des opérations dans une chaîne d opérations Les opérations d une chaîne de calcul doivent s effectuer de gauche à droite dans l ordre suivant : 1. Puissance et racine 2. Multiplication et division 3. Addition et soustraction Les calculs dans les parenthèses s effectuent en premier. Attention à bien calculer de gauche à droite s il n y a que des additions et soustractions, ou que des multiplications et divisions [7 +3 ( 6) + 2 ( 3) 2 ] +18 = [ ] = [ ] 14 = = = 22 7 Attention : = 10 est tentant, mais faux de même = 10 : priorité des opérations. de gauche à droite = = = = 8 Attention : L erreur la plus commune dans ce calcul est de d abord faire 4 2 = 8, puis 8 8 = 1. La priorité des opérations veut qu on fasse la partie médiane de gauche à droite. Attention également à : 12 2 = 10 est tentant, mais faux Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

7 1. Consolidation 1.4 Les fractions Le rapport d un nombre entier a au nombre entier b est le nombre a, qu on nomme fraction ou nombre b rationnel. a numérateur b dénominateur Simplification et amplification de fractions Fractions irréductibles Simplifier une fraction consiste à diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre supérieur à 1. La fraction ne change pas de valeur. Une fraction qu on ne peut pas simplifier est une fraction irréductible. Rendre irréductible : = 3 4 Amplifier une fraction consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre supérieur à 1. La fraction ne change pas de valeur. Amplifier les deux fractions de sorte à ce que le dénominateur soit identique : = ; = ; Multiplications de fractions Pour multiplier des fractions, on multiplie les dénominateurs entre eux et les numérateurs entre eux = = Simplifier les fractions avant d effectuer les multiplications 2. On peut simplifier en diagonale uniquement pour les multiplications Divisions de fractions Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse. Pour trouver l inverse d une fraction, on échange le numérateur avec le dénominateur. inverse = = Addition soustraction de fractions 1. Recherche d un dénominateur commun : un multiple commun des dénominateurs, le ppmc est le meilleur. 2. Amplifie les fractions 3. On garde le dénominateur commun et on effectue les opérations avec les numérateurs PPMC de 12,8 et 6=72 = = = = 3 8 Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

8 1. Consolidation Puissance de fractions Pour élever une fraction à une puissance, on élève le numérateur et le dénominateur à cette puissance. ( ) = ( 7)2 3 2 = Puissances et propriétés des puissances a b est une puissance, a est la base, b l exposant. a b = a a a b facteurs, avec b facteurs a Propriétés 1. a 1 = a 2. a 0 = 1, pour a 0 3. a m = 1 a m 4. a m a n = a m+n 5. (a m ) n = a m n a m b m = (a b) m 8. Les règles précédentes s utilisent souvent en combinaison a m a n = am = am n an a m b m = am b m = (a b ) m = (a b) m exposant impair : ( ) [( = (4 5 ) ( ) 5 ) ] ( ) ( ) règle 5 règle 4 exposant pair : + 9 = (4 5 ) ( 4 5 ) 12 règle 6 = ( 4 5 ) 3 règle 3 = 1 ( 4 5 ) 3 règle 8 = = = règle 5 (3 3 ) On essaie d ' avoir la même base :3 27=3 3 et 81=3 4 règle 5 = 3 12 (3 3 ) 3 1 (3 4 ) 6 = règle 5 règle 3 = règle 4 = Notation scientifique La notation scientifique permet d écrire de façon condensée de longs nombres. Un nombre s écrit en notation scientifique sous la forme : a 10 b, où 1 a < 10 et b Z Technique pour transformer un nombre en notation scientifique : 1. Former un nombre entre 1 et 10 ou 1 et 10 en déplaçant la virgule. 2. Compter le nombre de crans qu on a déplacé la virgule à l étape 1 ; c est l exposant au signe près. 3. Choisir le signe de l exposant : Si le nombre de départ est très «grand» (positif ou négatif), l exposant est positif. Si le nombre de départ est proche de «0», c est-à-dire entre 1 et 1, l exposant est négatif. 4. Ecrire le nombre de l étape 1, écrire 10, écrire l exposant trouvé aux étapes 2 et 3. Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

9 1. Consolidation en déplaçant la virgule de 14 crans, on obtient : 2, = 2, L'exposant 14 est positif car le nombre de départ n'est pas entre 1 et Exercices : consolidation Exercice 1 A quel(s) ensemble(s) appartiennent les nombres suivants : π 5. 3, a, a, b} N, a b 2 6 Exercice 2 Calcule (sans calculatrice) : 1. ( 17) + (+32) + ( 34) + (+73) (+19) = 2. (+12) (+32) + ( 34) (+36) ( 52) = = = 5. (+0,4) ( 50) (+100) = 6. ( 60) ( 0,2) ( 0,4) = 7. ( 6) 2 ( 2) ( 3) 2 = 8. ( a) 5 ( a) 2 = Exercice 3 Calcule : 1. ( 3) 4 + ( 9) 2 = ( 5) 3 = 3. ( 6) [ 1 2 ( 4) 2 ] = 4. ( 6) = ( 3) ( 2) 3 ( 4) = 6. [( 10) ( 9) ( 3) ( 7) ( 1) 3 ] 4 = 7. 9 ( 8) ( 4) 2 = [5 + ( 45) (+5)] 2 = ( 7) ( 5) 2 = 10. [ ( 6) 2 18] [ 1 2 ( 4)] = Exercice 4 Effectue les multiplications suivantes. Réponses sous forme irréductible = = = = Exercice 5 Effectue les divisions suivantes. Réponses sous forme irréductible = = = = Exercice 6 Effectue les additions et soustractions suivantes. Réponses sous forme irréductible = = = = Exercice 7 Effectue les chaînes d opérations suivantes. Réponses sous forme irréductible ( ) = = 3. ( ) = = ( ) 2 3 = 6. ( ) = = 8. 2 ( ) = Exercice 8 Donne le résultat sous forme de puissance avec la plus petite base entière possible ou sous forme de produits de puissance = 2. (3 + 5) 2 = 3. ( ) 2 = = 5. ( 1) 12 = (4 3 ) = (3 3 ) 2 1 (27 2 ) = = 7. 9 ( ) ( ) = 8. ( 2 3 ) 2 ( 2 3 ) 3 [( 2 3 ) 4 ] 2 = Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

10 1. Consolidation Exercice 9 Effectuer les calculs suivants (a, b, c} R*, n Z) 1. ( 2a) 4 = 2. (a 3 b 4 ) 6 = 3. (a 2 b 3 ) 5 = 4. a n b 3 a n+1 b 2n = 5. ( ) 2 = = ( a) 3 7. ( a) 5 = 8. a 5 a 7 a 3 = 9. a 3 a 1 a 0 = 10. (a 3 ) 2 a 5 = 11. a 2 b(ab) 1 = a 4 a 7 = 14. a 2 bc 2 a 3 b 1 c = 15. a 9 a13 a 12 a 7 = (ab) 2 (bc) 4 (abc) 2 = Exercice 10 Complète ces égalités (7 4 ) 2 ( ) 3 = (2 3 5 ) = = ( 6) 3 ( ) 3 = = ( ) = (4 3 3 ) = ( ) ( 9 16 ) = Exercice 11 Calcule en utilisant les puissances de 10, et donne la réponse en notation scientifique. 1. 0, ,03 = , = , = , = = [( ( 10) 18) ( 10) 26] = Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

11 2 LES MONÔMES ET POLYNÔMES 2.1 Monômes Un monôme est constitué uniquement de multiplications de nombres et/ou de lettres appelées variables. 4xy 3 ( 3)x 2 z est un monôme, car les puissances sont des multiplications. 4x + 1 n est pas un monôme, car il y a une addition. Un monôme se décompose en deux parties : - le coefficient qui est le nombre qui multiplie les variables. - la partie littérale : ce sont les variables avec leur exposant. Il y a toujours un coefficient dans un monôme : si aucun nombre n est noté, c est qu il vaut 1. Le signe fait partie du coefficient. 5x 2 yz 3 a 5 pour coefficient et x 2 yz 3 pour partie littérale Un monôme est réduit lorsque chaque variable n apparaît qu une seule fois et qu il n y a qu un coefficient. n est pas réduit 4xy 3 ( 3)x 2 z est réduit = 12x 3 y 3 z Le degré d un monôme est la somme des exposants des variables. 12x 3 y 3 z a pour degré : = 7. Attention, z est à la puissance 1! Le degré relatif à une variable est l exposant de celle ci lorsque le monôme est réduit. 12x 3 y 3 z a 3 pour degré relativement à x, mais 1 relativement à z. Deux monômes sont semblables s ils ont la même partie littérale, c est à dire, même(s) variable(s) avec même(s) exposant(s) 4x 2 y et 5x 2 y sont semblables, leur partie littérale étant la même : x 2 y 4xy 2 et 5x 2 y 2 ne sont pas semblables, leur partie littérale étant différente : x et x 2 n ont pas le même exposant Valeur numérique d un monôme On peut calculer la valeur numérique d un monôme si on attribue à chaque variable une valeur. Pour ce faire, il suffit de remplacer les variables par leur valeur et d effectuer le calcul obtenu. Attention aux variables dont la valeur est négative Soit le monôme M(x; y; z) = 3x 2 yz 3. Quelle est la valeur numérique de M( 2; 5; 3)? M( 2; 5; 3) signifie que x = 2, y = 5 et z = 3. Le calcul devient : x M ( 2 y ; 5 z ; 3) = 3 ( 2) 2 5 ( 3) 3 = ( 27) = 1620 x y z Additions et soustractions de monômes On ne peut additionner/soustraire que des monômes semblables! Pour ce faire, on additionne/soustrait les coefficients et on recopie la partie littérale. 1. Sépare les termes (Barre en traitillé avant les opérations d addition ou de soustraction. Cf. ci-dessous) 2. Souligne de différente manière les différentes parties littérales 3. Selon les soulignements, additionne/soustrais les coefficients et recopie la partie littérale. 4x 2 y 9xy 2 7x 2 y + 13xy + 13xy 2 = 3x 2 y + 4 xy xy Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

12 2. Les monômes et polynômes Multiplication de monômes Pour multiplier deux monômes : 1. multiplie les coefficients, 2. multiplie les parties littérales. Pour chaque variable : - recopie la, - l exposant de chaque variable sera la somme de ses différents exposants. 3x 2 y 4 5xz 3 ( x 2 yz 6 ) = ( 3) 5 ( 1) x y 4+1 z 3+6 = 15x 5 y 5 z Puissance de monômes Pour élever un monôme à une puissance, on distribue l exposant à chaque facteur. Les règles des puissances étudiées au chapitre précédent restent valables. (4x 2 y 5 z) 3 = 4 3 (x 2 ) 3 (y 5 ) 3 z 3 = 64x 6 y 15 z Polynômes Un polynôme est une addition/soustraction de monômes. On utilise l écriture suivante : - P(x; y; z ; ) pour un polynôme dont les variables sont x, y, z, - P(x) pour un polynôme à une variable. - P si on désire parler d un polynôme quelconque sans donner d indication à propos des variables. 4x 2 3xy est un polynôme avec pour variable x et y, noté P(x; y) 5x 3 3x + 1 est un polynôme à une variable x, noté P(x) Le degré d un polynôme est le plus grand degré de chacun des monômes qui le composent. Quel est le degré du polynôme 4x 2 3x 3 y? Degré de 4x 2 : 2 ; Degré de 3x 3 y : = 4. On déduit que le degré du polynôme est 4. L opposé d un polynôme A est le polynôme B, tel que A + B = 0. En pratique, pour trouver l opposé d un polynôme, il suffit d inverser toutes les opérations d addition et de soustraction. L opposé du polynôme 4x 2 y 3x 3 z 1 est (4x 2 y 3x 3 z 1) = 4x 2 y + 3x 3 z + 1 Un binôme est un polynôme à deux termes. 3x 1 est un binôme 4xy 2 z est un binôme Un trinôme est un polynôme à trois termes. 6x 2 x + 5 est un trinôme Valeur numérique d un polynôme On peut calculer la valeur numérique d un polynôme si on attribue à chaque variable une valeur. Pour ce faire, il suffit de remplacer les variables par leur valeur et d effectuer le calcul obtenu. Attention aux variables dont la valeur est négative : placer la valeur entre parenthèse! Soit le polynôme P(x ; y ; z) = 3x 2 yz + 4. Quelle est la valeur numérique de P( 2 ; 4 ; 3)? x P( 2 y ; 4 z ; 3 ) = 3 ( 2) 2 ( 4) = = 28 x y z Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

13 2. Les monômes et polynômes Addition de polynômes Il suffit de supprimer le signe d addition et les parenthèses et de vérifier ensuite si on peut simplifier. Addition de monôme : voir (4xy + 5x 3y) + (2x 7xy + y) = 4xy + 5x 3y + 2x 7xy + y = 3xy + 7x 2y Soustraction de polynômes Pour soustraire un polynôme, on additionne son opposé. on remplace le, la parenthèse par l'opposé de la parenthèse Chaque opération d'addition et de soustraction a été inversée (4xy + 5x 3y) (2x 7xy + y) = 4xy + 5x 3y 2x + 7xy y = 11xy + 3x 4y Multiplication de polynômes 1. D un monôme par un polynôme. On multiplie le monôme avec chaque terme du polynôme. C est la distribution de la multiplication pour l addition. 3xy 3 (2x 4 y 2 +3x 5 ) = 3xy 3 2x 4 y 2 + ( 3xy 3 ) 3x ( 3xy 3 ) 5 = 6x 5 y 5 9x 2 y xy 3 Chaque flèche représente une multiplication. 2. De deux polynômes. On multiplie chaque terme du premier polynôme avec chaque terme du second. C est la double distributivité. ( 3y ) (3x 5 ) = ( 3y 3 ) 3x + ( 3y 3 ) ( 5) + 2 (3x) + 2 ( 5) = 9xy y 3 + 6x 10 Chaque flèche représente une multiplication. 3. De plus de deux polynômes. On effectue la multiplication des deux premiers polynômes, puis on multiplie ce produit par le troisième polynôme et ainsi de suite. On effectue d'abord ce calcul, avec la réponse entre parenthèse! (2x+1)( 3x+2) (2x + 1)( 3x + 2) (6x + 7) = ( 6x 2 +4x 3x + 2) (6x + 7) à simplifier = ( 6x 2 + x + 2)(6x + 7) = 36x 3 42x 2 + 6x 2 +7x + 12x + 14 à simplifier à simplifier = 36x 3 36x x + 14 Remarque : la multiplication est commutative, on peut donc inverser la place des polynômes. Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

14 2. Les monômes et polynômes Puissance de polynômes La méthode la plus rapide pour élever un polynôme à une puissance consiste à utiliser les formules ou identités remarquables (voir ci dessous : 2.3). Si l on ne connait pas ces formules, il faut recopier en multiplication le polynôme avec pour nombre de facteur l exposant et effectuer le produit de polynômes (voir ci-dessus : 2.2.4) (5x + 3) 3 = (5x + 3)(5x + 3)(5x + 3) = (25x x + 15x + 9)(5x + 3) = (25x x + 9)(5x + 3) Méthode trop lente (voir ci dessous : 223). = 125x x x x + 45x + 27 = 125x x x + 27 } Chaînes d opérations La priorité des opérations reste valable pour les chaînes d opérations avec monômes ou polynômes. Attention aux situations suivantes : 1. Soustraction d un produit de polynômes. Effectuer le produit, noter le résultat entre parenthèse, puis à l étape suivante, effectuer la soustraction. 2. Soustraction d une puissance d un polynôme : on résout cette situation de façon similaire à la précédente Exemple développé et commenté : Simplifier 8x 3x(5x 1) ( 2x + 3)(x + 1) (x + 1) 2 3x 2x Distribution de 3x Double distribution : réponse entre parenthèse à cause du devant. Identité remarquable: réponse entre parenthèse à cause du 3x 8x 3x(5x 1) ( 2x + 3)(x + 1) (x + 1) 2 3x 2x Soustraction de polynôme : changement de signes Distribution de 3x réponse entre parenthèse à cause du devant. = 8x 15x 2 + 3x ( 2x 2 2x + 3x + 3) (x 2 + 2x + 1) 3x 2x Soustraction de polynôme : changement de signes Pièges ne pas effectuer 8x 3x, ni 3x 2x! Pour les éviter barres avant additions et soustractions = 8x 15x 2 + 3x + 2x 2 + 2x 3x 3 (3x 3 + 6x 2 + 3x) 2x = 8x 15x 2 + 3x + 2x 2 + 2x 3x 3 3x 3 6x 2 3x 2x Attention ordonner le polynôme = 3x 3 19x 2 + 5x 3 D abord x 3, puis x 2, puis x 2.3 Formules ou identités remarquables Second degré Voici les trois formules les plus utilisées du second degré : 1. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 2. (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 3. (a b)(a + b) = a 2 b 2 a (4x 2 y a 2 = (4x 2 y) 2 b 2 3x 3 z 4 ) a b 2 (4x 2 y) (3x 3 z 4 b 2 ) + (3x 3 z 4 ) 2 1. Repérer s il s agit d une formule remarquable (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2. Identifier la valeur de a et de b 3. Remplacer dans la réponse les valeurs de a et de b. = 16x 4 y 2 24x 5 yz 4 + 9x 6 z 8 Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

15 2. Les monômes et polynômes Il existe d autres formules remarquables comme : a (2x b c (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc a 2 b 2 a b a +3xy 5y) 2 = (2x) 2 + (3xy) 2 + ( 5y) x 3xy + 2 2x = 4x 2 + 9x 2 y y x 2 y 20xy 30xy 2 On peut généraliser la formule : Troisième degré c 2 (a + b + c + ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + avec chaque terme au carré c ( 5y) b c + 2 3xy ( 5y) +2ab + 2ac + 2bc + tous les doubles produits possibles Voici les formules les plus utilisées du troisième degré : 1. (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 2. (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 3. (a + b)(a 2 ab + b 2 ) = a 3 + b 3 4. (a b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 b 3 Les formules 3 et 4 ne sont pas faciles à détecter ; une double distribution est correcte et presque aussi rapide. a (5x b 3 1. Repérer s il s agit d une formule remarquable + 3 ) (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 2. Identifier la valeur de a et de b a 3 a 2 b a = (5x) (5x) x = 125x x x + 27 b 2 b Division de polynômes 3. Remplacer dans la réponse les valeurs de a et de b. Pour introduire la division polynômiale, reprenons la division entière à l aide d un exemple : 20 3 = 6, reste 2 Au niveau du vocabulaire : 20 est le dividende, 3 le diviseur, 6 le quotient et 2 le reste qui est inférieur au diviseur. Cela signifie que : De manière générale, on a l identité suivante : 20 = Dividende = Diviseur Quotient + Reste On définit de façon analogue la division polynômiale par rapport à une variable : A Soit A et B sont deux polynômes, B non nul. La division A B est telle que : B = Q + R B Avec : ou A = B Q + R - A le dividende, - B le diviseur, - Q est un polynôme appelé quotient, - R est un polynôme appelé reste, dont le degré relatif à la variable de division est strictement inférieur à celui de B relatif à cette même variable. Soit : Degré(R) < Degré(B) Effectuer la division (4x 2 y 2xy + 2x + 2) B (2x 1) Q + R = (4x 2 y 2xy + 2x + 2) A A La technique pour y parvenir est décrite au paragraphe suivant 0 B (2x 1) consiste à trouver le quotient Q et le reste R, tel que : ; on peut montrer que Q = 2xy + 1 et R = 3 On dit que A est divisible par B ou que A est multiple de B, si le reste de la division est nul : A = B Q Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

16 2. Les monômes et polynômes Algorithme de division Division de polynômes à une variable Soit à diviser le polynôme A(x) = 17x 3 + 6x 5 x par le polynôme B(x) = 3x 2 6x On ordonne le dividende A(x) et le diviseur B(x) selon toutes les puissances décroissantes de x. à ordonner en puissance décroissante de x à rajouter 6x 5 +0x 4 à rajouter 17x 3 x 2 +0x +3 déjà ordonné 3x 2 6x On divise le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur ; on obtient alors le premier terme du quotient. 1 er terme Dividende 6x 5 1 er terme diviseur +0x 4 17x 3 x 2 +0x +3 3x 2 2x 3 6x 5 3x 2 6x On multiplie le résultat ainsi obtenu (dans l exemple : 2x 3 ) par le diviseur B(x) et on soustrait ce produit du dividende A(x). Ce calcul fournit le premier reste de la division. 4. On réitère le procédé en prenant le premier reste pour dividende. 5. Le processus s arrête lorsque le degré du reste obtenu est strictement inférieur à celui du diviseur. 6x 5 +0x 4 17x 3 x 2 +0x +3 ( 6x 5 12x 4 +4x 3 ) 3x2 6x + 2 2x 3 2x 3 3x 2 2x 3 ( 6x) 2x x 4 21x 3 x 2 +0x +3 1 er reste :"nouveau dividende" 6x 5 +0x 4 17x 3 x 2 +0x +3 (6x 5 12x 4 +4x 3 ) 12x 4 21x 3 x 2 +0x +3 (12x 4 24x 3 +8x 2 ) 3x 3 9x 2 +0x +3 (3x 3 6x 2 +2x) 3x 2 2x +3 ( 3x 2 +6x 2) 8x +5 Reste degré 1 3x2 6x + 2 2x 3 + 4x 2 + x 1 Le calcul est terminé car le degré du reste : 1 est strictement inférieur à celui du diviseur : 2 6. Noter la réponse (deux possibilités à choix) : Q = 2x 3 + 4x 2 + x 1 R = 8x + 5 à noter même si le reste est nul! Dividende ou 17x 3 + 6x 5 x Diviseur = (3x 2 6x + 2) Quotient (2x 3 + 4x 2 + x 1) + Reste 8x Divisibilité d un polynôme par x a Soit un polynôme à une variable P(x) et le binôme x a, où a est un nombre réel. Le reste de la division de P(x) par x a est égal à la valeur numérique P(a). Quel est le reste de la division de P(x) = x 5 4x 3 + 5x par x 2? a C est une division par x 2, donc a = 2. On en conclut que le reste de la division est : Reste = P(2) = = 21 En conséquence, un polynôme P(x) est divisible par x a si P(a) = 0. Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

17 Par quel binôme est divisible le polynôme P(x) = x 3 2x 2 + x 2? Il faut tester différentes valeurs pour a, jusqu à ce que P(a) = 0 : a = 0 P(0) = = 2 P(x) n'est pas divisible par x 0 a = 1 P(1) = = 2 P(x) n'est pas divisible par x 1 2. Les monômes et polynômes x ( 1) a = 1 P( 1) = ( 1) 3 2 ( 1) 2 + ( 1) 2 = 6 P(x) n'est pas divisible par x + 1 a = 2 P(2) = = 0 P(x) est divisible par x Schéma de Horner Le schéma de Horner permet d effectuer la division d un polynôme P(x) par (x a) d une façon plus rapide que par le procédé décrit précédemment. A l aide de l exemple : P(x) = 9x + 3x 4 8x 3 +5 à diviser par (x 2) Mise en place du schéma : 1. Il s agit de construire un tableau de 3 lignes, avec pour nombre de colonnes : le degré de P(x) + 2, soit ici Deg(P(x)) = 6 colonnes 2. On ordonne P(x), on rajoute les termes manquants, puis on dispose sur la première ligne les coefficients de P(x). P(x) = 3x 4 8x 3 + 0x 2 + 9x On place la valeur de a dans la case du bas à gauche On recopie le premier coefficient de P(x) sur la dernière ligne, à droite de la valeur de a. Ce sera le premier coefficient du quotient On obtient le coefficient suivant ainsi : la double flèche est une multiplication dont le produit sera sous le 8. La grande flèche indique une addition dont la somme se place à côté du = = Et les coefficients suivants de manière analogue : la double flèche part toujours depuis a! ( 4) = 4 7. Les coefficients du quotient se lisent à la suite à côté de la valeur de a. La dernière case en bas à droite est le reste de la division Coefficients du quotient Reste Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

18 2. Les monômes et polynômes 8. Attention le degré du quotient Q(x) est inférieur de 1 à celui de P(x), donc finalement : Q(x) = 3x 3 2x 2 4x + 1 et R = 7 ; P(x) = 3x 4 8x 3 + 9x + 5 = (3x 3 2x 2 4x + 1)(x 2) + 7 Remarque : Si on veut diviser P(x) = 5x 5 4x 2 + 2x 1 par (x + 3), la méthode de Horner est appropriée, mais il faut faire attention à avoir (x a) et non (x + a). Donc : a = 3! En effet (x + 3) s écrit (x ( 3)). 2.5 Exercices : les monômes et polynômes Exercice 12 Complète Partie littérale Coefficient Degré Partie littérale Coefficient Degré 2ax 2 3 n 54 4(x 2 y 3 ) 4 ( x 4 y) Exercice 13 Calcule les valeurs numériques des monômes suivants pour : 1. a = 6, b = 4, c = 9; 3a 2 bc = 2. a = 2, b = 8, c = 5; [( a) 2 c] 3 = 3. a = 1 2, b =, c = 6 ; a2 bc = Exercice 14 Réduis les expressions suivantes : 1. 5ab + 3ab 2a 2 b = 2. a + b a b + 2a b a + 2b = 3. 9a ( 3b) + ( 15a) (+3b) c = x 5x = 5. 9x 2 6x + 5x 3x 2 = 6. 7x y = 7. a + 2a 3a + 4a 2 = 8. 2mn 2m 2 n 5m 2 n + 3mn = Exercice 15 Réduis les expressions suivantes : 1. a [ b (c d) (c + d)] = 2. (a b) c [ b (d 1) + 4]} = 3. a + 3b [4b (2a + b) (a b)]} 5b = 4. ab[a(b c) + 1] bc(b a)} ( ab 2 c) = 5. 2a b + (a b) [c (a b)] ( c + a)} b = Exercice 16 Réduis les expressions suivantes : 1. 6b 5ab 2 = 2. z 2 5y z 2 = 3. 5xy ( 2xz) = 4. 4x 0 120x = 5. (4x) 3 (2x 3 y) 2 = 6. 3x x3 = Exercice 17 Réduis les expressions suivantes : 1. y 4x 2 3x 7xy + 1 = 2. (2x) 2 5x 2 = 3. a 2 ( 5b) a 3 b 4 = 4. 3x 2 y 5xy 2 8xy 2 + 2x 2 y = 5. 5mn [ 2mn 2 ] 3 = 6. 3ab + 6abc 7bac 3ab = ax ax = 8. 7x 2 + 3x 3 11x 3 + 2x 2 = 9. 64a 4 b 8 (3ab 2 ) a 4 b 8 = abx 2 + ( 21abx 2 ) ( 6abx 2 ) = 11. ( 2a 3 b 2 ) 6 = 12. 6a 2 b 3 c abc 6 = Exercice 18 Effectue et réduis les termes semblables. 1. 2a 2 (a 3 5c) = 2. 4b 3 (2ab 4b 2 + 1) = 3. (3 x)( 7 + 4x) = 4. (5b 3b 3 )(4 2b 2 + b) = 5. 2x 3 (4x3 3 3x 4 + 6) 6. 2a 3 bc 5 ( a2 b abc3 ) 7. ( x ) (3 2 9x 4 ) 8. ( 3x x3 140x ) ( ) Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

19 2. Les monômes et polynômes Exercice 19 Effectue et réduis les termes semblables. 1. (a + 2b c) ( 7a + 3c b) = 2. (a + b) ( 2a) + 2a ( b) = 3. 3a(x y) 2x(a y) + y( a + x) = 4. 4x ( 2y) ( 2x) y = 5. 3x [ 2x + ( 3x + 1) (1 x)] = 6. (1 2 3m) + [2 3m (1 m)] = 7. 1 x 2 (2 x)(x + 3) = y ( 2y2 ) = Exercice 20 Effectue et réduis les termes semblables. 1. 2x 3x( 5x + 4) = 2. ( 5ab 3 x 2 )(2ab 3 y 3a 2 xy + 2abxy) = 3. (3a 2b)(4a + 5b) = 4. (4x 1) ( 2x + 3) = 5. 2x + (5x 1)( 3x) = 6. ( 3y 2 + 5y)( 4y 3 + 5y 7) = Exercice 21 Effectue et réduis, sachant que A = 3ax + 5bx 3x + 1 ; B = 2ax 2x + 5 et C = 5ax 3bx 3 1. A + B C = 2. A (B + C) = 3. BC = Exercice 22 Effectue et réduis les termes semblables. 1. 7x 2x(5x 2 x + 4) = 2. (3x 1)(7x + 2) = 3. 7ab 4ab(2x 1) = 4. (2x + 4) (5x 1) = 5. 5x (2x 1) ( 3x) = 6. 3a 2 b(ab + b) (2ab + b)(ab 4a 2 b) = Exercice 23 Effectue et réduis les termes semblables. 1. y 2 ( 4y) 3 = 2. (3xy 2 ) 3 [9x 2 xy 3 + 2x x 2 ( y) y 5 ] = 3. [ 2x + (3x 1) (1 x)] = 4. a 3 ( a) 2 = 5. (a + b 5) 2 (a b 5) 2 = 6. ( 2a 3 b 2 ) 6 = 7. (a 5x)( 5x + a) a 3a (4x a 3 )(2x a 3 ) = 8. (2x 4)(3x 1) + (x 3)(2x 1) = Exercice 24 Effectue à l aide des formules remarquables. 1. (3x + 4)(3x 4) = 2. (x 5)(x 5) = 3. (2ab 3) 2 = 4. (3ab + 6c 2 ) 2 = 5. (y + x 3 y 2 )(y x 3 y 2 ) = 6. (4x 2 0,5x 2 y 3 ) 2 = 7. (2x 2 y + 3xy 3 + xy 4 ) 2 = 8. ( x 5 3y 10 ) (x 5 + 3y ) = (x 5)(5 x) = 10. ( x 4y) = Exercice 25 Complète ces égalités : 1. (x + ) 2 = (2x )(2x + ) = 9y 4 3. ( 1) 2 = 8x + 4. ( + ) 2 = 4x ( ) 2 = 25x 2 20x + 6. ( x 2 ) 2 = x + 7. ( + ) 2 = 2x ( 2x) 2 = 9x 2 y x 2 y 3 + = xy( 3x) Exercice 26 Effectue les calculs suivants : 1. a 2 2. b ab 4. 3a 2 b 5. 3ab 2 lorsque : 1. a = 7m et b = 3n 2. a = 2xy et b = 5xz 3. a = 3x 2 y et b = 4x 3 y 5 4. a = 4x 2 yz 3 et b = 9x 5 z 8 Exercice 27 Utilise les identités remarquables pour effectuer les opérations suivantes. 1. (2 x) 3 = 2. (2x 1) 3 = 3. (2x 3y) 3 = 4. (x 2 y 3 ) 3 = 5. (x 2 + y 2 )(x 4 x 2 y 2 + y 4 ) = 6. (x 3)(x 2 + 3x + 9) = 7. (x + 2)(x 2 2x + 4) = 8. (x 3 y)(x 6 + x 3 y + y 2 ) = Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

20 2. Les monômes et polynômes Exercice 28 Effectue les calculs suivants : 1. (3x 2y) 3 2. (4xz + 3yz) 3 3. ( 2a 2 + b) 3 4. (m 6 n 4 ) 3 5. (2a 3 b 4 + 3a 4 b 3 ) 3 6. ( 2a3 3 3b7 3 4 ) 7. ( 2a2 b 3 + 5a 5 3 b 8. ) 3 ( ( 3a)2 + 4a ) Exercice 29 Effectue et réduis les termes semblables. 1. a (5a 2 4) 2 = 2. (a 3)(a + 3) (a 2 5) = 3. ( 1 2 x 2y) 2 = 4. 1 (8a 2x)(8a 2x 2 ) = 5. (xy 1 2 ) 2 = 6. 2y(x + 3) 2(x 3) = 7. 5x 2 (4x + 5x 2 y) 2 = 8. (7a 2 ab)(ab + 7a 2 ) = 9. (a 2) 2 (a + 2) 2 = 10. ( x2 + 3x) = x 2 (x + y)(x y) = ,5 (2a + b) 2 = x 2 (2 x) 2 = 14. 2y (x + y) 2 = (2 + 4x)(2 4x)(2 + 4x) = 16. (7z 3b)4x + (4x + z)2b = 17. 3x 3 (x 1) 3 = 18. 9x 2 (4x + 2)(4x + 2) = 19. (12x + 21x)(4x 7) 33x(7 4x) = 20. 9z (3a b) 3 = Exercice 30 Effectue 1. 4x 2 y 3 ( 2xy 3 ) 2 (2xy 2 + 3x 2 y) 3 ( 16x 5 y x 4 y 5 ) 2. 5x 2 [ 3x(2x + 1) 2 (2x 5) 3 ] 3. 3xy4x(y 1) [2x + 1]( 2y)} 2 4. (2x 3y) 2 (5x y)(2x + 3y) [ 3 ( 2x y)] 2 Exercice 31 Effectue 1. (2xy + 4x 3xy) 2 [ 4x 2 y 3xy(2 4xy)] 2. [(5m 2 4n 2 )( 3mn) 2m 5m(2mn)(n 2 6m 2 )] a2a [ 4a (5 3a) (a 3) 2 ] ( 2 + a) 2 } 4. 12x 10x5x 2 3x 2 [(2x 5) 2 (4 3x) 2 ] 4x 3 } 5. 3(x y) 3 (x + 2y)(x 3y) 2 (x + y) 3 } Exercice 32 Lorsque je divise le polynôme A(x) par (3x 2 + 4x 1), j obtiens B(x) et le reste R(x). Que vaut A(x) si : 1. B(x) = 2x + 1 et R(x) = 8 2. B(x) = 3x 2 1 et R(x) = 2x B(x) = 2ax 2 bx et R(x) = (b a)x ab 4. B(x) = 7x 4 3x + 5 et R(x) = 0 Exercice 33 Complète le tableau, sachant qu en effectuant A(x) B(x) on obtient Q(x) avec R(x) pour reste et Degré(B) Degré(A) (Dans certains cas, tu peux utiliser les symboles < ou >) Degré(A) Degré(B) Degré(Q) Degré(R) n <Degré(R)<4 Exercice 34 Effectue les divisions de polynômes à variable x suivantes. Indique le degré du quotient et celui du reste. 1. (14x 7) 7 = 2. (5x 3 15x 2 ) ( 5x) = 3. (27x 4 + 6x 3 9x 2 ) (3x 2 ) = 4. (2ax bx) x = 5. (24a 3 x 5 18a 2 x 4 + 6ax 2 ) (3ax) = 6. ( 6x 2 5x 8) (2x + 1) = 7. (2x 3 5x 2 4x + 8) (x 3) = 8. (x 3 5x 2 2x + 24) (x 4) = 9. (2x 3 + 3x 2 23x 12) (2x + 1) = 10. ( 6x x + 5) ( 2x + 5) = 11. (9x 4 18x 3 + 5x 2 17x + 20) (3x 4) = 12. (6x 4 + 7x 3 9x 2 + 5x 1) (3x 1) = 13. (2x 5 x 4 2x 3 + 2x 2 + x) (x 2 1) = 14. ( x 5 + 2x 4 7x 2 + 9x + 3) (x 2 3) = 15. (x 7 2x 4 x 3 + x 2 + x + 1) (x 4 1) = 16. (x 5 5x 3 5x 2 + 4x + 3) (x 2 5x 1) = 17. [x 2 + (a + b)x + ab] (x + a) = 18. [x 4 ax 3 + (b 1)x 2 + ax b] (x 2 1) = 19. (8x 6 6x 5 12x 4 + 9x 3 + 8x 2 26x + 15) (4x 3) = 20. [x 3 (a + b + c)x 2 + (ab + bc + ca)x abc] (x a) = Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

21 2. Les monômes et polynômes Exercice 35 Détermine le nombre réel a de sorte que : 1. le trinôme ax 2 + x 2 soit divisible par x le trinôme x 2 + ax 2 soit divisible par x le trinôme ax 2 + 2x 4a soit divisible par x 2 Exercice 36 Quel est le reste de ces divisions? 1. (x 2 x + 1) (x 1) 2. ( 2x 2 + x 5) (x + 1) 3. (x 3 + 3x 2 11x + 2) (x 2) 4. (6x x 2 4) (x + 2) 5. (x 7 + x 6 + x ) (x + 1) 6. (2x 3 + 9x 2 + 7x 6) (x + 3) 7. (x 4 + 1) (x 1) 8. (x 5 1) (x 1) 9. (x 6 + 1) (x + 1) 10. (x 8 1) (x + 1) 11. (x 12 1) (x 1) 12. (x ) (x 1) 13. (x 6 + 2x 5 x 4 + 4x 3 7x 2 2x + 3) (x 1) Exercice 37 Dans quelles conditions x n a n est divisible par x a? Exercice 38 Dans quelles conditions x n + a n est divisible par x a? Exercice 39 Dans quelles conditions x n a n est divisible par x + a? Exercice 40 Dans quelles conditions x n + a n est divisible par x + a? Exercice 41 A l aide du schéma de Horner, effectue les divisions de l «Exercice 36» Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

22 3 FACTORISATION Factoriser un polynôme, c est le décomposer en un produit de facteurs. Il n existe aucune méthode générale qui permettrait de factoriser n importe quel polynôme. De plus, certains polynômes ne sont pas «factorisables». La factorisation sert entre autres à résoudre des équations, à simplifier des fractions polynomiales. Ci-dessous seront présentées plusieurs méthodes de factorisation. Lors d une factorisation, il faudra tester ces méthodes les unes après les autres, jusqu à trouver celle(s) qui fonctionne(nt). Attention, lorsqu on a appliqué une méthode à un polynôme, cela ne signifie pas qu il soit factorisé au mieux. On peut peut-être appliquer la même méthode ou une autre une seconde fois. 3.1 Mise en évidence Méthode : La mise en évidence consiste à utiliser la distributivité de la multiplication pour l addition. Pour mettre en évidence, il faut : 1. écrire le pgdc des coefficients 2. prendre les lettres communes à chaque terme avec le plus petit exposant 3. ouvrir une parenthèse 4. compléter les termes dans la parenthèse (en distribuant, on doit retrouver le polynôme de départ) PGDC(6 ;15 ;3) 6x 2 y 4 z 3 15x 5 y 2 z + 3xy 2 = 3xy 2 (2xy2 z 3 5x 4 z +1 ) 3xy 2 2xy 2 z 3 3xy 2 ( 5x 4 z) = 6x 2 y 4 z 3 = 15x 5 y 2 z 3xy 2 1 = 3xy Principales difficultés 1. On peut mettre en évidence une parenthèse qui se trouverait à chaque terme : 2a(b c) 3ab(b c) = a(b c)(2 3b) 2. Si on trouve des parenthèses opposées (chaque addition ou soustraction est inversée) dans chaque terme, on peut factoriser en changeant le signe devant la parenthèse et tous les signes à l intérieur, puis on applique la mise en évidence. b a est l'opposé de a b 4x(a b) + 2y (b a) = 4x(a b) 2y (a b) 5(a b) = (a b)(4x 2y 5) 5(a b) On repère les deux parenthèses identiques et la 3 e opposée! 3. Il faut parfois rajouter des parenthèses de sorte à faire apparaître une parenthèse commune. On repère cette situation en remarquant qu il y a une ou plusieurs parenthèses identiques et on retrouve les termes de cette parenthèse souvent en fin de calcul. =2a b a(2a b) + b(b 2a) b + 2a = a(2a b) b(2a b) + (2a b) = (2a b)(a b + 1) Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

23 3. Factorisation 3.2 Identité remarquable : carrés parfaits La factorisation à l aide des identités remarquables consiste à utiliser les identités remarquables dans le sens contraire de la simplification (chapitre précédent) Méthode Les carrés parfaits seront principalement de la forme suivante : 1. a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 2. a 2 2ab + b 2 = (a b) 2 Pour utiliser ces formules, il faudra vérifier qu il y a : - 3 termes - deux carrés : les exposants des lettres doivent être pairs pour être des carrés. - le dernier terme doit être le double produit de a et b : 2ab 16x 6 24x 3 y + 9y 2 est bien une identité remarquable car - il y a trois termes a b - deux carrés : 16x 6 = (4x 3 ) 2 et 9y 2 = (3y ) 2 a - le dernier terme est le double produit : 2 4x 3 Donc finalement on peut écrire : 16x 6 24x 3 y + 9y 2 = (4 x 3 3y) 2 b 3y 2ab = 24x 3 y On peut également rencontrer des carrés parfaits à trois termes ou plus : 3. a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c) 2 4. a 2 + b 2 + c ab + 2ac + 2bc + = (a + b + c + ) 2 avec chaque terme au carré tous les doubles produits possibles La méthode pour utiliser ces formules est similaire à celle décrite précédemment, mais il y aura plus de termes, de carrés et de doubles produits à vérifier Principales difficultés 1. Les termes ne sont pas forcément dans l ordre habituel, avec les carrés en début et fin de calcul. 2. Un carré parfait peut-être caché : il faut parfois commencer par une mise en évidence. 16x 3 + 4xy x 2 y 2 Première observation : on peut mettre 4x en évidence! = 4x(4x 2 + y 4 + 4xy 2 ) Deuxième observation : la parenthèse contient 3 termes, les deux premiers sont des carrés (2x) 2 et (y 2 ) 2. Le dernier terme est-il le double produit? Oui car 2 2x y 2 = 4xy 2. = 4x(2x + y 2 ) Identité remarquable : différence de deux carrés Méthode La différence de deux carrés sera de la forme suivante : a 2 b 2 = (a b)(a + b) Pour utiliser cette formule, il faudra vérifier qu il y a : - 1 soustraction - deux carrés (les lettres ont des exposants pairs.) Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

24 3. Factorisation 16x 2 25y 6 Il y a bien deux carrés qui se soustraient : = (4x) 2 (5y 3 ) 2 = (4x 5y 3 )(4x + 5y 3 ) Principales difficultés 1. Les termes a ou b peuvent être constitués de parenthèse(s) élevée(s) à une puissance paire. (x 1) 2 25 = ((x 1) 5)((x 1) + 5) = (x 6)(x + 4) 2. On doit souvent appliquer plusieurs fois d affilée cette méthode : x 4 1 = (x 2 1)(x 2 + 1) La première parenthèse est de nouveau une différence de deux carrés = (x 1)(x + 1)(x 2 + 1) 3. Une différence de carré peut être cachée : il faut parfois commencer par une mise en évidence. x 3 x = x(x 2 1) = x(x 1)(x + 1) 3.4 Identité remarquable : cube parfait Méthode Les cubes parfaits seront de la forme suivante : 1. a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 2. a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 = (a b) 3 Pour utiliser ces formules, il faudra vérifier qu il y a : - 4 termes - deux cubes : les exposants des lettres doivent être des multiples de 3 pour être des cubes. - les deux autres termes doivent être de la forme : 3a 2 b et 3ab 2 125x 6 150x x 2 8 est bien une identité remarquable car - il y a quatre termes a b - deux cubes : 125x 6 = (5x 2 ) 3 et 8 = (2 ) 3 a 2 - les autres termes correspondent : 3 (5x 2 ) 2 Donc finalement on peut écrire : 125x 6 150x x 2 8 = (5x 2 2) 3 b 3a 2 b a 2 = 3 25x 4 2 = 150x 4 et 3 5x ab 2 b 2 = 60x Principales difficultés 1. Les termes ne sont pas forcément dans l ordre habituel, avec les cubes en début et fin de calcul. 2. Un cube parfait peut-être caché : il faut parfois commencer par une mise en évidence. 27x 4 y + 36x 2 y x 3 y 2 + 8xy 4 Première observation : on peut mettre xy en évidence! Seconde observation : a (3x b (2y = xy(27x xy x 2 y + 8y ) 3 = xy(3x + 2y) 3 ) 3 ) a 2 3 (3x) 2 a 3 3x b 2y 3a 2 b = 3 9x 2 2y = 54x 2 y et 3ab 2 b 2 (2y) 2 = 3 3x 4y 2 = 36xy 2 Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

25 3. Factorisation 3.5 Identité remarquable : différence de puissances avec exposants identiques Méthode La différence de deux puissances avec exposants identiques sera de la forme suivante : a m b m = (a b)(a m 1 + a m 2 b + a m 3 b ab m 2 + b m 1 ) Pour utiliser cette formule, il faudra vérifier qu il y a : - 1 soustraction - deux puissances avec même exposant. m m a 3 b 3 (a m 3 1 b m 3 3 +a m 3 2 b m 3 2 +a m 3 3 b m 3 1 ) On a bien une soustraction et l exposant est identique : m=3. = (a b) (a 2 + ab + b 2 ) Cette formule correspond à une identité remarquable étudiée au chapitre précédent. x 5 32 m m = x les exposants de x vont de 4 à 0 ceux du 2 vont de 0 à 4 = (x 2) (x 4 + x x x ) = (x 2)(x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 8x + 16) Remarque : ne pas utiliser cette méthode pour des exposants pairs! Dans ce cas, on utilise en préférence la différence de deux carrés (méthode 3.3.) Principales difficultés 1. Les termes peuvent être constitués de parenthèse(s). (x 1) 3 1 Ne pas oublier 1 = 1 3 = (x 1) = [(x 1) 1][(x 1) 2 + (x 1) ] = (x 2)(x 2 2x x 1 + 1) = (x 2)(x 2 x + 1) 2. Les exposants identiques sont parfois cachés. Il faut regarder s il y a un diviseur commun entre les exposants : x 5 y 10 32z 15 Les différents exposants sont 5, 10 et 15 : le pgdc de ces trois nombres est 5. Je transforme donc : x 5 y 10 32z 15 = (xy 2 ) 5 (2z 3 ) 5 Je peux ensuite appliquer la formule : a x 5 y 10 32z 15 = (xy 2 b ) 5 (2z 3 ) 5 = (xy 2 2z 3 )(xy 2 ) 4 + (xy 2 ) 3 2z 3 + (xy 2 ) 2 (2z 3 ) 2 + xy 2 (2z 3 ) 3 + (2z 3 ) 4 } = (xy 2 2z 3 )x 4 y 8 + x 3 y 6 2z 3 + x 2 y 4 4z 6 + xy 2 8z z 12 } = (xy 2 2z 3 )(x 4 y 8 + 2x 3 y 6 z 3 + 4x 2 y 4 z 6 + 8xy 2 z z 12 ) Ne pas oublier : il faut parfois commencer par une mise en évidence. Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

26 3. Factorisation 3.6 Identité remarquable : somme de puissances avec exposants impairs identiques Méthode La somme de deux puissances avec exposants impairs identiques sera de la forme suivante : a m + b m = (a + b)(a m 1 a m 2 b + a m 3 b 2 a m 4 b 3 + ab m 2 + b m 1 ) Pour utiliser cette formule, il faudra vérifier qu il y a : - 1 addition - deux puissances avec même exposant impair. m m a 3 + b 3 (a m 3 1 b m 3 3 a m 3 2 b m 3 2 +a m 3 3 b m 3 1 ) On a bien une addition et l exposant est identique : m=3. = (a + b) (a 2 ab + b 2 ) Cette formule correspond à une identité remarquable étudiée au chapitre précédent. x m m = x les exposants de x vont de 4 à 0 ceux du 2 vont de 0 à 4 = (x + 2) (x 4 x x x ) = (x + 2)(x 4 2x 3 + 4x 2 8x + 16) Principales difficultés 1. Les termes peuvent être constitués de parenthèse(s). (x 2) C est bien la somme de deux puissances 3, car 1 = 1 3. On peut donc factoriser : (x 2) = [(x 2) + 1][(x 2) 2 (x 2) ] = (x 1)(x 2 4x + 4 x ) = (x 1)(x 2 5x + 7) 2. Les exposants identiques sont parfois cachés. Il faut regarder s il y a un diviseur commun entre les exposants : x 5 y z 15 Les différents exposants sont 5, 10 et 15 : le pgdc de ces trois nombres est 5. Je transforme donc : x 5 y z 15 = (xy 2 ) 5 + (2z 3 ) 5 Je peux ensuite appliquer la formule : a x 5 y z 15 = (xy 2 b ) 5 + (2z 3 ) 5 = (xy 2 + 2z 3 )(xy 2 ) 4 (xy 2 ) 3 2z 3 + (xy 2 ) 2 (2z 3 ) 2 xy 2 (2z 3 ) 3 + (2z 3 ) 4 } = (xy 2 + 2z 3 )x 4 y 8 x 3 y 6 2z 3 + x 2 y 4 4z 6 xy 2 8z z 12 } = (xy 2 + 2z 3 )(x 4 y 8 2x 3 y 6 z 3 + 4x 2 y 4 z 6 8xy 2 z z 12 ) 3. Ne pas oublier : il faut parfois commencer par une mise en évidence. Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

27 3. Factorisation 3.7 Groupements par double mise en évidence Cette méthode consiste à : 1. Séparer judicieusement le calcul en plusieurs groupes de façon à pouvoir factoriser chaque groupe par une mise en évidence. On doit faire apparaître un facteur commun dans les différents groupes. 2. Mettre ce facteur commun en évidence 3. Poursuivre la factorisation si possible 8x 4 16x 3 + x 2 = (8x 4 16x 3 ) + (x 2) Mise en évidence possible de 8x 3 = 8x 3 (x 2) + (x 2) Mise en évidence possible de (x 2) = (x 2) (8x 3 + 1) Ne pas oublier : identité remarquable = = (x 2)(2x + 1)(4x 2 2x + 1) Constatations : - pas de mise en évidence possible, ni de factorisation par identité remarquable. - si je groupe les deux premiers termes ensemble : les coefficients sont dans un rapport 1 pour 2 (16 est le double de 8), ce qui est le même rapport que pour les deux derniers termes ; entre x 4 et x 3, on a baissé de 1 l exposant, tout comme x et x 0 dans les deux derniers termes. Ces observations incitent à utiliser la méthode des groupements 3.8 Somme et produit pour trinômes du second degré Trinôme de la forme x 2 + bx + c Il «suffit» de trouver deux nombres m et n tels que : m + n = b (somme) et m n = c (produit) La factorisation s écrit alors : x 2 + bx + c = (x + m)(x + n) Vérification : (x + m)(x + n) = x 2 + nx + mx + mn = x 2 + (m + n) x + mn b c (somme) (produit) Astuce : Pour trouver les valeurs de m et n, il faut tâtonner en cherchant parmi les diviseurs de c. b c x 2 5 x +6 Il faut résoudre par tâtons le système suivant : c m n = 6 m + n = 5 b Commençons par chercher les couples de nombres qui, multipliés, donnent 6, pour compléter les deux premières colonnes, puis calculons la 3 e : m n m + n = b Seule la 4 e ligne satisfait ce qu on cherche m n = 6 = 2 m m + n = 5 n = 3 x2 5x + 6 = (x 2)(x 3) m n Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

28 3. Factorisation Remarque : Le polynôme x 4 2x 2 y 3 8y 6 se factorise en utilisant cette méthode! Une condition nécessaire pour utiliser cette méthode : x 4 est le carré de x 2 et y 6 est le carré de y 3! b c x 4 2 x 2 y 3 8 Il faut résoudre par tâtons le système suivant : c m n = 8 m + n = 2 y 6 b Commençons par chercher les couples de nombres qui, multipliés, donnent 8, pour compléter les deux premières colonnes, puis calculons la 3 e : m n m + n = b Seule la 3 e ligne satisfait ce qu on cherche m n = 8 m + n = 2 m = 2 m n = 4 x4 2x 2 y 3 8y 6 = (x 2 +2 n y 3 )(x 2 4 y 3 ) Trinôme de la forme ax 2 + bx + c Dans ce cas, la méthode ne permet plus de factoriser directement le polynôme, mais elle prépare la méthode du groupement. On commence par la recherche des deux nombres m et n tels que : A partir de m et n, il faut : m + n = b (somme) et m n = a c (produit) 1. Remplacer le terme bx par mx + nx ; le polynôme devient : ax 2 + mx + nx + c 2. Utiliser la méthode des groupements. a 2 x 2 b= 1 c x 6 Il faut résoudre par tâtons le système suivant : a c m n = 12 m + n = 1 b Commençons par chercher les couples de nombres qui, multipliés, donnent 12, pour compléter les deux premières colonnes, puis calculons la 3 e : m n m + n = b Seule l avant-dernière ligne satisfait ce qu on cherche m n = 12 m + n = 1 m = 3 n = 4 Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

29 3. Factorisation 2x 2 x 6 = 2x 2 4x à grouper + 3x 6 à grouper = 2x(x 2) + 3(x 2) mettre x 2 en évidence = (x 2)(2x + 3) n On a remplacé x par 4 m x +3 x 3.9 Divisibilité par (x a) On utilise généralement cette méthode pour des polynômes de degré supérieur ou égal à 3, non assimilables à des trinômes du second degré, ni à des identités remarquables. Comme étudié au chapitre précédent, un polynôme P(x) est divisible par (x a) si P(a) = 0. Pour factoriser le polynôme P(x), il «suffit» alors 1. de trouver le nombre a tel que P(a) = 0 2. d effectuer la division P(x) (x a) = Q(x). 3. d écrire finalement P(x) = (x a) Q(x) 6x x x 15 Constations : on peut exclure les méthodes précédentes. Je teste des valeurs pour x jusqu à obtenir un résultat nul. Attention : ne tester que les diviseurs du terme constant (sans partie littérale), 10 dans cet exemple x = = 56 0, donc pas divisible par x 1, x = 1 6 ( 1) ( 1) ( 1) 15 = 24 0, donc pas divisible par x ( 1) Ne pas tester x = 2, ni x = 2 car ce ne sont pas de diviseurs du terme constant 15. x = = 528 0, donc pas divisible par x 1, x = 3 6 ( 3) ( 3) ( 3) 15 = 0, donc divisible par x ( 3) Schéma de Horner (le schéma classique de division est également possible) : Finalement : D 6x x x d = (x + 3) Q (6x x 5) = = (x + 3)(3x 1)(2x + 5) factorisable par somme et produit cas général Cette méthode est très souvent associée à la méthode «somme et produit»! 3.10 Exercices : factorisation Exercice 42 Factorise par mise en évidence 1. 4xz 12yz + 8z 2. 10xy 20x 2 y + 30xy x 2 y 28xy 2 + 7xy 4. 3y(x + z) 8z(x + z) 5. 4ab(b 1) + 3c( b + 1) 6. 2ab(2b c) + b 2 (c 2b) 7. a(a + b) + 2b(b + a) + a + b 8. 3x 2 (x y) + 2xy(y x) xy + x 2 Exercice 43 Factorise ces carrés parfaits : 1. 4x 2 12x x 6 40x 3 y y z x xz x 3 y 6x 2 y 2 + xy (x 1)y 2 4(1 x)y + x 1 6. (x + 1) 2 + 2(x + 1) + 1 Exercice 44 Factorise ces différences de carrés 1. x x (3x 5) 2 (2x 7) 2 4. x 21 y 3 x 5 y x 5 18x 6. 3x 2 75 Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

30 3. Factorisation Exercice 45 Factorise ces cubes parfaits 1. x 3 + 9x x a 3 6a 2 b + 12ab 2 8b x 3 60x 2 y + 150xy 2 125y a 6 x 3 108a 4 b x a 2 b 2 x 64b x x x x 6 y x 4 y 7 z x 2 y 5 z 4 + 2y 3 z 6 Exercice 46 Factorise à l aide de différences de puissances aux exposants identiques x y x x 9 125y '125x y a 8 b ab x 4 y 2 256xy 8 Exercice 47 Factorise à l aide de sommes de puissances aux exposants identiques x y x x y x y a 8 b + ab x 4 y xy 8 Exercice 48 Factorise par identités remarquables 1. 16x x x 6 28x z x x 2 + 6x x 4 6x x 2 8x 6. 9x 2 + 6xy + 6xz + y 2 + 2yz + z x y x 6 y 4 162x 2 9. x y x 6 3x 4 + 3x x 4 8x x 18 y 12 Exercice 49 Factorise à l aide des groupements 1. xy + xz + 2y + 2z 2. x 2 + xy + 0,2x + 0,2y 3. 3x 2 + 2xy + 6x + 4y 4. xy + xz 3y 3z 5. 15y 2 5yz 6y + 2z 6. x 3 x 2 x x 3 + 3y 3 + 3x 2 y + xy x + x 2 + x 3 + x 4 + x x + x 2 x 3 + x 4 x xz + 3z 2 3zy 4xy 11. 6x 3 6xy 2 + 2x 2 y 2y x 3 20y 2 z + 5z + 12x 3 y x 6 x 4 16x x x + 12x 2 y 27y 15. xz 2 x 4 + yz 3 y 6 Exercice 50 Factorise les trinômes suivants 1. x 2 + 5x x 2 5x x 2 + 7x x 2 7x y 2 + 3y y 2 3y y 2 y 2 8. y 2 + y 2 9. z 2 + 7z z 2 + 8z z z z 4 + z 2 20 Exercice 51 Factorise les trinômes suivants 1. 6x x x 2 + 3x x 2 + 2x x 2 120x x 2 5xy 24y m 2 n 4 30m 3 n m 4 n x 8 5x x 4 37x x 6 y 2 20x 5 y 2 84x 4 y x x 3 14 Exercice 52 Factorise en utilisant la division par (x a) 1. x 3 + 2x 2 7x x 3 15x x 3 20x 2 19x x 3 12x x x x 2 + 2x x 3 123x x + 12 Exercice 53 Factorise en utilisant la division par (x a) 1. 21x x 3 212x 2 44x x x 3 33x x 4 22x 3 41x 2 + x x 4 25x x x x x 3 73x 2 100x x 4 72x 3 47x x x 6 36x 5 115x 4 15x 3 52x 2 + 6x + 20 Exercice 54 Récapitulation : factorise (x 1) 4 2. x 4 25x x 2 24xy 3 + 9y x 5 18x 4 16x x 2 32x x 5 y x x x x 12 + y x 2 + 4x (x 7)(2x 2 3x 2) (7 2x + 2x 2 )(x 7) (7 x)(x 2 3) Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

31 3. Factorisation Exercice 55 Récapitulation : factorise 1. 64x x x x x 4 28x 3 + 8x x 4 8x 5. 3y 3 3y 2 18y 6. x 2 + 2x x 5 60x x 3 125x 2 8. (z 2)(z 2 z 1) (1 z)(2 z) + z x x 2 6x (x 2 1) 2 (2x + 1) 2 Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

32 4 FRACTIONS POLYNOMIALES Une fraction polynomiale est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. Les propriétés étudiées dans le cadre de fractions numériques restent valables. 4.1 Simplification Pour simplifier une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par un même diviseur : 1. Factoriser le numérateur et le dénominateur 2. Simplifier ensuite par tous les facteurs communs (c'est-à-dire par le PGDC). 6x 2 3x = 2x 3x 3x mise en évidence 5x 3 5x 15x x mise en évidence = 2x, on fait apparaître le même facteur au numérateur et au dénominateur. identité remarquable = 5x (x2 1) 15x(x + 1) simplifier par 5x(x+1) 5x(x 1)(x + 1) = 15x(x + 1) = x Addition et soustraction Pour additionner ou soustraire des fractions, on doit : 1. mettre les fractions au même dénominateur : recherche du PPMC (chapitre précédent.) 2. garder le dénominateur et additionner/soustraire les numérateurs Dénominateurs numériques amplifier pour mettre au même dénominateur 4x 3 + 5x 6 x 3 12 PPMC(3;6;12) =12 Dénominateurs littéraux amplifier pour mettre au même dénominateur 3 x 3 3 x x 3 x 2 = 9 PPMC=(x 3)(x+3) additionner les numérateurs = 16x x 12 x 3 = 12 garder le dénominateur 16x + 10x (x 3) 12 = 25x effectuer les numérateurs 3(x + 3) (x 3)(x + 3) 3(x 3) (x 3)(x + 3) + 5x 3 (x 3)(x + 3) additionner soustraire les numérateurs Attention aux signes avec les soustractions! 3x + 9 = (x 3)(x + 3) 3x 9 (x 3)(x + 3) + 5x 3 (x 3)(x + 3) = garder le dénominateur effectuer au numérateur 3x + 9 (3x 9) + 5x 3 (x 3)(x + 3) ne pas effectuer simplification possible? mise en évidence pour simplification simplifier par (x+3) 5x + 15 = (x 3)(x + 3) = 5(x + 3) (x 3)(x + 3) = 5 (x 3) Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

33 4. Fractions polynomiales 4.3 Multiplication Multiplication d une fraction par un nombre/monôme/polynôme Pour multiplier une fraction par un nombre/monôme/polynôme, on multiplie le numérateur par ce nombre/monôme/polynôme. multiplier le numérateur par 3x+1 ne pas effectuer simplification possible? 2x 1 (3x + 1)(2x 1) (3x + 1) 6x 2 = + 5x + 1 6x 2 + 5x + 1 factoriser en vue de simplifier Simplification par 3x+1 (3x + 1)(2x 1) = (3x + 1)(2x + 1) = 2x 1 2x Multiplication de deux fractions Pour multiplier une fraction par une autre fraction, il faut : 1. factoriser si possible les numérateurs et dénominateurs 2. multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. 3. simplifier les facteurs communs entre le numérateur et le dénominateur. factoriser les numérateurs 4x x + 24 x 2 + 4x 5 x2 1 4(x + 2)(x + 3) = 2x + 4 (x 1)(x + 5) factoriser les dénominateurs = = multiplier les numérateurs entre eux,mais ne pas effectuer simplification possible? (x 1)(x + 1) 2(x + 2) multiplier les dénominateurs entre eux,mais ne pas effectuer simplification possible? 4(x + 2)(x + 3)(x 1)(x + 1) 2(x 1)(x + 5)(x + 2) simplifier par 2(x 1)(x+2) 2(x + 3)(x + 1) (x + 5) 4.4 Division Division d une fraction par un nombre/monôme/polynôme Pour diviser une fraction par un nombre/monôme/polynôme, on multiplie la fraction par l inverse de ce nombre/monôme/polynôme. multiplier par l'inverse 4x 2 40x + 64 (x 2x 16 2 x 2) factoriser le tout en vue de simplifier = 4x2 40x x 16 = = 4(x 8)(x 2) 2(x 8) 1 x 2 x 2 1 (x 2)(x + 1) 4(x 8)(x 2) 2(x 8)(x 2)(x + 1) = 2 x + 1 Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

34 4. Fractions polynomiales Division par une fraction Pour diviser par une fraction, il faut multiplier par l inverse de la fraction diviseur. multiplier par l'inverse a + b 4b a2 b 2 2a = = = = factoriser le tout en vue de simplifier a + b 4b 2a a 2 b 2 a + b 4b 2a (a b)(a + b) 2a(a + b) 4b(a b)(a + b) a 2b(a b) a = 2ab 2b Exercices : fractions littérales Exercice 56 Simplifie les fractions suivantes 1. 16x 2 20xy 5. 5x x x x xyz 15xy 6. 14y y 18z 14. xy xz 2x + xz 3. 9z 2 12yz 7. xy yz xy x z 3 z 2 4. x 4 y 3 z 5 2x 3 yz 2 8. x 2 + xy xy 12. z z 2 + z 16. 2xyz 3xyu z 3 + z 2 2xz 3xu Exercice 57 Simplifie les fractions suivantes 1. 3x x x x (x 2 7x + 12)(x 2 + 2x 35) 12(x 2 + 3x 28)(x 2 8x + 15) 2. x x x x + 6 6x x 2 + 6x 27 x a 2 x 2 16a 2 ax + 2a 10. 3(x 2 x 20)(x 2 2x 8) 6(x 2 3x 10)(x 2 16) 4. x 2 2x 8 x a 2 x 2 27x 2 x(a + 3) Exercice 58 Simplifie les fractions suivantes 1. 6x x 3 13x 6 2x 3 + 5x 2 x x x x 6 3x 3 x 2 12x x 3 5x 15x x 7. 36x x x x 9. 6x 2 15x x 2 6x x x x 21 3x x x 3 x 2 47x x x 6. 2x 3 + 7x 2 + x 10 2x 3 + 3x 2 17x x x 15 3x x x 2 96 Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

35 4. Fractions polynomiales Exercice 59 Simplifie les fractions suivantes 1. x + 4 2x x 2 15xy 5y 9. 2x 2 + 9x 5 x x 2 6x + 9 x x 2 11x x 2 17x x 3 1 x x 2 9x + 9 (3 2x)(3 x) 10. (2x 2 11x + 12)(x 2 + 4x 21) ( x 2 3x + 28)(2x 2 9x + 9) 4. x 2 2xy + y 2 x 2 y x 2 + x 6 3x x Exercice 60 Effectue les additions/soustractions et simplifie le résultat 1. x 2 x 3 + 5x 6 5. x y + y z 2. 3x 5 2x 15 5x x + 1 y + 1 z 3. 10x x x x 5y z 3y 9. 1 x + 1 x x 2 x 3 2x 3 + x ax 675 bx 45 cx 9 8. x y 2 z y Exercice 61 Effectue les additions/soustractions et simplifie le résultat 1. 2x 5 3x 1 + 4x x y 1 x + y 5. 1 x x x 1 4 x x x x x x x x x x x y x + y x + y x y 8. 2 x x x x x 48 Exercice 62 Effectue les additions/soustractions et simplifie le résultat 1. 3 x 3 x x x 3. 2 x x 2x 3 4x x 20 4 x 3 2 x x x 1 x x x 3 9 x x 2. 2 x 4 x x x 4. 3 x 3 3 x x x x 3 3x + 2x2 + 3x + 1 4x x 4 6x 6x2 + 2x + 2 9x x x 2 + x x 2 4 Exercice 63 Effectue les additions/soustractions et simplifie le résultat 1. x + y 2xy + 2y x y x 2 y 2 3 x 4 x x 2 3x x 2 + 3x x x + 11 x 2 + 2x 3 x + 5 x 2 + x 2 + x + 1 x 2 + 5x x + 2 4x 8 x2 + 2x 1 6x x 9. 2x 2 + x + 3y x 4 2x 2 y 2 + y 4 + x + 1 x 3 + x 2 y xy 2 y 3 + x 1 x 3 x 2 y xy 2 + y x + y z 2 (x + y)z + xy + x + z y 2 xy yz + xz + (y + z) x 2 xz xy + yz x 2 + 2x x 2 + x 6 2 x 2 3x x 18 x 2 x 12 x + 9 x + 14 x x + 15 x 2 + x x 1 x 3 + 2x 2 + 2x x 1 x2 + 5 x Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

36 4. Fractions polynomiales Exercice 64 Effectue et simplifie les résultats 1. 4x 2 7y 21y2 2x 5. x + 5y (x 2 25y 2 ) x 5y 9. x + xy y 2xy + x 2 y x2 2x + 1 x x 3 4y x x x4 3. x 2 3y x 3 x x 2 + x + 1 x 2 x + 1 x 1 x x 2 9x 54 x 2 + 2x 3 x2 1 3x 9 4. x 2 8. y 3 2x5 y 2 y 5 2x 7 (1 x 2 ) (1 x 2 x 1 ) Exercice 65 Effectue et simplifie les résultats 1. 4x + 4y 3x 2 3y 2 5x2 5y 2 7x + 7y 3. 6x 2 x y x 2 y2 2xy 2. 3(a 2 b 2 ) 5bc 10c 9a + 9b 4. 6x 2 19x x 2 12x 9 5x2 + 13x + 6 6x x 16 x2 + x 12 2x 2 x x 2 + x 12 x 2 2x 15 2x 2 8x 10 10x x + 6 5x2 + 17x a 2 x 2 3x 2 x 4 a + b a2 b 2 ax + x 2 (a + ax a x ) 7. 6x x + 5 (x + 2) (1 + x 2 ) (1 x 6 x 2 + 3x + 2 ) 8. a b (1 a + b ) (2 + 2b a b ) 9. ( 1 + x 1 x 1 x 1 + x ) ( 3 4x + x 4 x) 10. (1 x 2 x2 1 + x ) (1 x2 ) Exercice 66 Effectue et simplifie les résultats x 3 8x 5. 2x y 2 xy x x y x 2 27 x x 2 39x 39 x 2 xy x y ( x2 y 2 + y x ) (x y y x ) x ( 1 x 2 1 y 2) (1 y 1 x ) 8. (x 2 5x + 6) ( 9 x 2 1) 4. 2x 2 5y 6xz 3 y ( x2 4 4 x 2) (2 x + x 2 ) Exercice 67 Effectue et simplifie les résultats 1. a 2 + ab ab(a + b)2 2. a 2 4x 2 a 2 + b2 a 4 b 4 a 2 + 4ax a2 2ax ax + 4x x x x2 + 8x (2x 2 50) (x + 5)2 (x + 40) 3 4x + 2 x 2 + 4x x 2 + 4x 6 x 2 + 7x + 12 x 1 x x x 1 1 x x y + y (1 + ) (x x + y x y 1) ( ) x + y x y x y x + y 1 x2 + y 2 (x + y) 2 Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

37 5 EQUATIONS 5.1 Définitions Une équation est une égalité entre deux expressions algébriques. Les deux expressions sont respectivement les membres de gauche et de droite de l équation. Membre de gauche 5x + 2 Membre de droite = 3x 1 On remarque que l égalité de cet exemple n est pas vraie! Résoudre une équation consiste à chercher la(les) valeur(s) des lettres, appelées inconnues, qui rend(ent) vraie l égalité. Ces valeurs sont les solutions ou racines de l équation. Dans l exemple précédent : 1. x = 2 n est pas une solution, car si je remplace dans l équation, j obtiens : x = 1,5 est une solution, car si je remplace dans l équation, j obtiens : 5 ( 1,5) + 2 = 3 ( 1,5) 1 = 5,5 Toutes les solutions d une équation représentent un ensemble, appelé l ensemble des solutions, noté S : on indique de cette façon les solutions : 1. on utilise des accolades pour énumérer les solutions par ordre croissant, 2. on sépare les différentes solutions par des points-virgules. Une équation peut admettre : 1. aucune solution x + 1 = x 1 S = (sans accolade) 2. 1 solution unique 3x = 6 S = 2} 3. Plusieurs solutions x 2 = 4 S = 2; 2} 4. Une infinité de solution 2(3x 1) = 2 + 6x S = R (sans accolade) 5.2 Principes d équivalence Pour résoudre les équations, nous allons faire subir à nos équations des transformations qui ne changent pas ses solutions jusqu'à ce qu'on obtienne des équations dont les solutions sont évidentes. Pour faire ces transformations, on se base sur les principes d équivalence Premier principe d équivalence Lorsqu'on ajoute (retranche) une même expression aux deux membres d'une équation, on obtient une équation équivalente à la première. 5x + 2 = 3x 1 3x 2 : j ajoute 3x 2 à chaque membre 5x ( 3x 2) = 3x 1 + ( 3x 2) S : j obtiens par simplification 2x = Deuxième principe d équivalence Lorsqu'on multiplie (divise) les deux membres d'une équation par une même expression différente de zéro, on obtient une équation équivalente à la première. 5x + 2 = 3x 1 3x 2 : 1 er principe 2x = 3 2 : 2 e principe x = 1,5 S = 1,5} Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

38 5. Equations Méthode de résolution pour des équations du 1 er degré à 1 inconnue Une équation est dite du 1 er degré à 1 inconnue si elle n a qu une seule inconnue et si cette inconnue est toujours à la puissance 1 : 5x + 2 = 3x 1 : 1 er degré à 1 inconnue 5x + 2 = 3x 2 1 : 2 e degré à 1 inconnue Pour résoudre des équations du 1 er degré à 1 inconnue, il faut : 1. Simplifier les membres aussi souvent que possible 2. Déplacer les termes avec inconnue d un côté de l équation (1 er principe d équivalence) 3. Déplacer les termes sans inconnue de l autre côté de l équation (1 er principe d équivalence) 4. Trouver la valeur de l inconnue (2 e principe d équivalence) Remarque : Certaines équations qui semblent être du 2 e degré ne le sont pas car les termes en x 2 s annulent (x + 3)(x + 4) = x 2 3x + 4 S (Etape 1) x 2 + 7x + 12 = x 2 3x + 4 x 2 + 3x 12 (Etapes 2 et 3) 10x = 8 10 (Etape 4) x = 8 10 x = 4 5 S = 4 5 } 5.3 Equations impossibles S Lorsqu en utilisant les principes d équivalence, on aboutit à une équation qui n a pas de sens, elle est dite impossible, et n a pas de solution. (x + 3)(x + 4) = x 2 + 7x + 4 S (Etape 1) x 2 + 7x + 12 = x 2 + 7x + 4 x 2 7x 12 (Etapes 2 et 3) 0 = 8 ce qui n a aucun sens, donc il n y a pas de solution S = Attention : x = 0 est tout à fait possible! 8x + 5 = 5 5 8x = 0 8 x = 0 S = 0} Vérification : = 5 correct! 5.4 Equations indéterminées Lorsqu en utilisant les principes d équivalence, on aboutit à une équation qui est toujours vraie, quelle que soit la valeur de x, elle est dite indéterminée, et admet pour solution n importe quel nombre. (x + 3)(x + 4) = x 2 + 7x + 12 S (Etape 1) x 2 + 7x + 12 = x 2 + 7x + 12 x 2 7x 12 (Etapes 2 et 3) 0 = 0 ce qui est toujours vrai, donc tous les nombres sont solutions S = R Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

39 5. Equations 5.5 Equations produits Nous appellerons équation produit une équation dont le premier membre est un produit de polynômes de l inconnue x et dont le second membre est nul, c est-à-dire une équation de la forme A(x) B(x) C(x) = 0 où A(x), B(x), C(x), sont des polynômes. x(2x + 3)(x + 4) = 0 Pour résoudre ce genre d équation, il faut se souvenir qu une multiplication donne 0 si un des facteurs au moins est égal à zéro. On va donc poser les équations : A(x) = 0, B(x) = 0, C(x) = 0, et les résoudre séparément. Chaque solution trouvée fera partie de la solution globale de l équation. x (2x + 3) (x + 4) =0 =0 =0 = 0 On obtient : x = 0 ou 2x + 3 = 0 3 2x = 3 2 ou x + 4 = 0 4 x = 4 x = 3 2 S = 4; 3 2 ; 0} On utilise les équations-produits pour résoudre des équations du 2 e degré ou plus. Pour ce faire : 1. Simplifier les membres aussi souvent que possible 2. A l aide du 1 er principe d équivalence : déplacer tous les termes d un côté de l équation 3. Factoriser le membre non-nul, pour obtenir l équation-produit. x 3 4x 2 + 8x = 4x + 3x 2 + 4x 3x 2 : étape 1 et 2 x 3 7x x = 0 Factorisation : mise en évidence x(x 2 7x + 12) = 0 Factorisation : somme et produit x (x 3) (x 4) = 0 Chaque facteur = 0 =0 =0 =0 On obtient : x = 0 ou x 3 = x = 3 S = 0; 3; 4} ou x 4 = x = Equations fractionnaires Dénominateurs numériques 3x x = 2x 12 Pour résoudre de telles équations, il faut : 1. Simplifier les membres aussi souvent que possible 2. Mettre tout au même dénominateur, y compris les expressions sans fraction. 3. A l aide du 2 e principe d équivalence : éliminer le dénominateur en multipliant l équation par celui-ci 4. On se retrouve alors dans une situation sans fraction. Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

40 5. Equations 3x 2 2 x = 2x Mise au même dénominateur x 8 60 x x = 12 pour éliminer le dénominateur x 68 = 25x x x = x = 2 S = 2} Dénominateur «littéral» (avec l inconnue) x x x 2 = 3 x 2 5x + 6 Il est interdit de diviser par 0! Si une fraction contient une lettre dont on peut choisir la valeur, il faut faire attention à ce que le dénominateur ne donne pas 0! C est pourquoi, avant de commencer à résoudre une équation rationnelle, il faut déterminer le domaine de définition de l équation, noté D, qui est l ensemble de valeur autorisée pour l inconnue. Pour ce faire, on cherche quand les dénominateurs donnent 0, et on interdit ces valeurs. En résumé pour résoudre ce genre d équation : 1. Déterminer le domaine de définition 2. Résoudre l équation : a. Simplifier les membres aussi souvent que possible b. Mettre tout au même dénominateur, y compris les expressions sans fraction c. Eliminer le dénominateur en multipliant l équation par celui-ci et poursuivre sans fraction 3. Vérifier que les solutions trouvées appartiennent au domaine de définition. x x x 2 = 3 x 2 5x Domaine de définition : x 3 = x = 3 x x 2 = x + 6 = 0 Factorisation (x 2) x = 2 (x 3) = 0 x = 2 ou x = 3 D = R 2; 3} (cela signifie qu on peut prendre toutes les valeurs de R sauf 2 et 3. =0 2. Résolution x x x 2 = 3 x 2 5x + 6 Mise au même dénominateur x(x 2) + 2(x 3) 3 = (x 2)(x 3) (x 2)(x 3) (x 2)(x 3) pour éliminer le dénominateur x(x 2) + 2(x 3) = 3 S (x 3) =0 x 2 6 = 3 3 x 2 9 = 0 Factorisation (x + 3) =0 = 0 x 3 = x = 3 D à rejeter selon D S = 3} =0 ou x + 3 = 0 3 x = 3 D Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

41 5. Equations 5.7 Exercices : équations Exercice 68 Résous les équations suivantes 1. 3(5x 8) = 4(5x 7) (x + 3) 4 = 5(3 x) ,4(3x + 1) = 0,5(2,5x + 0,5) 4. 2(0,3x + 1) = 0,7(x + 26) 5. 0,4(5x 1) = 0,6(2,5x + 2) 6. (7 x)(4 x) = (1 x)(8 x) 7. (x 3)(x 4) = (x + 4)(x 7) 8. (5 x)(x + 4) = 5 x 2 9. (x 1)(5x + 2) = 5(x 2 + 2) 10. (x + 5) 2 (x 3) 2 = 32 Exercice 69 Résous les équations suivantes 1. x = (x + 1) (x + 2)(x + 3) = x (x + 5) 2 (x 5) 2 = x 2 (50 x) 2 = [3x 4(x 2)] = x x(x 2) + 1 = (2x 1) (x + 1) 2 = [6 2(2 x)]x x [4x (x + 108)] = [x 2(x 3)] = 2[x 2(x 2,5)] x 2[x 5(x 1) + 3] 5} = x Exercice 70 Résous les équations suivantes 1. 3x (1 x) = 2x 5( x + 1) 2. 5x(x 3) 4(x 2 x 1) = x(x + 1) (x 3) 2 = 5x (1 + x 2 ) 4. (3x 1) 2 4x = 1 (2 7x 2 ) + 2(x 2 + 1) 5. x (1 + 3x) 4x + 5 = ,9x (1,1 0,2x) = 1,3(x 3) 7. (5x 7) 4 + x 2 = (1 x) x + 3 = 4x x 1 = 1 8x 10. (7x + 3)(3x 1) 5x(4x 1) = (x 1) 2 Exercice 71 Résous les équations suivantes 1. 3x = x 3 + x x 1 2 (4 x) = x x 172 ( x 3x + 6) = x 11 x = 11x 1 12 x x = 4 3x x (5x 27 4) = x x 2 3 5x x = 2 9x 7 5 5x x 5 = x 7 ( x 5 x 5 4 ) = x ( x x ,5 ) = Exercice 72 Résous les équations suivantes x x x + 5 = x x + 3 = 37 x 2 + 5x + 6 x + 8 x x x + 1 = 12x x (x 1)(x 2) (x 3)(x 4) = (2x + 7)(x + 4) x 1 + 2x 5 + 2x 7 + 2x = 1 4x x + 4x 2 4x + 5 2x 2 9x + 7 3x x 1 = 5 3(x 2) 2x 7 x x + 2x 3 2x 2 x + 3 = 2 (2x 3)(3x 2) (4x 5)(5x 4) = (3 + 2x)(12 7x) 2x 2(x 5) x + 10 x + 20 = 160 x x ( 9 x 5 5 3(6x + 5) ) x + 5 x 2 25 = 25 x + 5 Exercice 73 Résous les équations suivantes 1. x 2 9 = x 2 1 = 0 3. x 2 3x = 0 4. x 2 x 6 = 0 5. x x + 21 = x 2 + x 15 = x 2 13x + 6 = 0 8. x 3 2x 2 3x = 0 9. x 4 5x = x 3 7x 6 = 0 Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

42 5. Equations Exercice 74 Résous les équations suivantes 1. 5x 2 18x = 630 9x + 4x 2 2. x 2 5 = 8(2x + 6) (x 5) 2 3. (4x 2)(5x + 3) (2x 1)(6x 5) = 29x + 4 (2x + 3) 2 4. (3x 5) 2 (2x 1) 2 = (x + 1) 2 31x (3x 2) 2 (2x + 3) 2 = (x 3) 2 + x (x + 5) 2 = 2(x + 3) (x 4) 2 1 = (x 1) 2 + x 2(1 x) 2 = (5x 2)(4x 3) (7x + 1)(3x 2) = 2x 2 30x + 30 (4x + 3)(x 2) 10. (4x 3)(2x 1) (3x 2)(x + 7) = 13x 2 1 (4x 3)(2x 5) Exercice 75 Résous les équations suivantes 1. 2x 2x 9 = 1 9 (16x 3 2 ) 2. 5x x 3 8 = 9 2x 9 3x 2 2x 3 = 5 (x 6 + 1) x x 1 = 10 x 2 1 2x 3 + x 3(3x 2) = x 1 = x (x + 2) + x 1 x x + x x + 1 = x2 x 2 + x 8. (x 4)(x 3) = 7 2x (3 x)(x 2) 9. (x 3)(x 2) = 4x + 12 (5 x)(x 4) 10. 3x 3x + [3x (3x + 3)] + 3} = 3x 3(x 3) 9 Exercice 76 Résous les équations suivantes 1. x x + 24 x + 30 = x + 5 9x x x x + 3 x 4 32x + 8 4x 2 17x + 4 = 3x + 8 x 4 5. x x x 2 = 3 x 2 5x x 4 = x x + 4 x x + 3 x x 3x 2 10x + 3 = 2x + 9 x x(x 3) = ( x 2 3) 4x Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

43 6 SYSTÈMES D ÉQUATIONS On considère l équation : x + y = 5 Cette équation admet une infinité de solution, par exemple : (x = 0 ; y = 5) ou (x = 5 ; y = 10) ou (x = 1000 ; y = 995). Par contre, on ne peut pas choisir au hasard les valeurs de x et y : si on isole x, on obtient x = 5 y. On peut alors choisir n importe quelle valeur de y, puis la valeur de x sera imposée par la relation trouvée : x = 5 y. On constate à travers cet exemple qu une équation à deux inconnues admet en général une infinité de solution, mais pas n importe lesquelles. Si à cette première équation x + y = 5, on ajoute une deuxième équation x y = 3, on obtient un système de deux équations à deux inconnues, que l on note comme suit : x + y = 5 x y = 3 Ce système admet une solution unique : (x ; y) = (4 ; 1), qu on note S = (4 ; 1)} : chaque solution est un couple de nombre, noté entre parenthèse, avec les inconnues qui apparaissent par ordre alphabétique. Pour vérifier cette solution, il faut remplacer x et y par leur valeur dans chaque équation : x + y = = 5 x y = 4 1 = 3 résultats corrects. En général, pour obtenir une solution unique, il faut le même nombre d équations que d inconnues. 6.1 Systèmes de deux équations à deux inconnues, noté 2x2 Un système d équations est la conjonction de deux ou plusieurs équations. On signale un système d équations par une accolade placée à gauche des équations Méthode de comparaison Voici à travers un exemple le principe de cette méthode : x + 3y = 8 3y 2y x = 7 + x 7 1. x = 3y + 8 2y 7 = x J isole une inconnue, x par ex., dans chaque équation 2. 2y 7 = 3y y + 7 5y = 15 5 y = 3 3. x = 3y + 8 remplace y par 3 = = 1 On a deux expressions différentes pour x, on peut poser et résoudre une équation avec y pour inconnue. On trouve la valeur de x à partir d une des équations de l étape précédente. 4. S = ( 1; 3)} On note l ensemble de solution Cette méthode est efficace lorsqu une inconnue apparaît avec les coefficients 1 ou 1 dans les deux équations! Ce qui n est pas très fréquent ; elle est donc peu utilisée. Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

44 6. Systèmes d équations Méthode de substitution Voici à travers un exemple le principe de cette méthode : 4x 3y = 17 2y x = 7 + x x 3y = 17 2y 7 = x On isole une inconnue, x par ex., dans une des équations, la 2 e dans cet exemple. 2. 4x 3y = 17 Substitution x 4 (2y 7) 3y = 17 S 5y 28 = y = 45 5 y = 9 3. x = 2y 7 remplace y par 9 = = 11 On prend alors l autre équation, la 1 ère dans l exemple, et on substitue x par la valeur trouvée précédemment. Il n y alors qu une équation à 1 inconnue, que l on résout. On trouve la valeur de x à partir de l équation de l étape S = (11; 9)} On note l ensemble de solution Cette méthode est efficace lorsque 1. une inconnue apparaît avec les coefficients 1 ou 1 dans une des équations! 2. les inconnues se multiplient dans une des équations. 3. les inconnues sont élevées à des exposants 2 ou plus Méthode des combinaisons linéaires ou méthode de réduction Pour utiliser cette méthode, il faut avoir simplifié l équation et obtenu une équation de la forme : a 1x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Voici à travers un exemple le principe de cette méthode : 1. x y 4x + 3y = x + 2y = 11 4 ( 3) On multiplie chaque équation par un coefficient, de sorte à ce qu une inconnue (x ou y) ait des coefficients opposés dans les deux équations. 2. a. Pour faire disparaître x 12x + 9y = 24 12x + 8y = 44 17y = y = 4 b. Pour faire disparaître y ou 8x + 6y = 16 9x 6y = 33 17x = x = 1 On additionne membre à membre les deux équations, si bien qu une inconnue disparaît. On peut ensuite soit faire disparaître de la même manière la 2 e inconnue, y dans l exemple (ci-dessous à gauche), soit remplacer dans une des équations de départ par la valeur trouvée, y = 4 (ci-dessous) En remplaçant y dans la 1 ère équation : 4x + 3y = 8 Substitution 4x = x = 4 4 x = 1 3. S = ( 1; 4)} On note l ensemble de solution Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

45 6. Systèmes d équations Deux exemples résolus x + y = 13 x 2 y 2 = 13 On constate la présence de carré. On cherche la substitution, on obtient l équation 1 et 2 1. x = 13 y 1 Résolution de l équation 2 (1 seule (13 y) y 2 = 13 2 inconnue) x 2. (13 y) 2 y 2 = 13 S y + y 2 y 2 = 13 S et y 156 = 26y 26 6 = y = x = 13 y = S = (7 ; 6)} = 7 On substitue y par sa valeur pour trouver x 1 x + 20 xy = 4 y x x 5 + y 10 y = 30 (x 5)(10 y) On constate la présence de fractions. On note les valeurs interdites : x 0, x 5, y 0 et y 10 On met tout au même dénominateur, équation par équation y xy + 20 xy = 4x xy x(10 y) (x 5)(10 y) + y(x 5) (x 5)(10 y) = 30 (x 5)(10 y) y + 20 = 4x x(10 y) + y(x 5) = 30 On multiplie chaque équation par son dénominateur commun. Simplifications et mise en forme habituelle y + 20 = 4x 4x 20 10x xy + xy 5y = 30 S et 5 4x + y = x y = x + y = 20 4x 2y = 12 y = 8 y = 8 A ce point, toutes les méthodes sont possibles. Je choisis la méthode des combinaisons linéaires. 4x + y = 20 2x y = 6 2x = 14 x = 7 3. S = (7 ; 8)} Cette solution est cohérente par rapport aux valeurs interdites observées au début. Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

46 6. Systèmes d équations 6.2 Systèmes de trois équations à trois inconnues, noté 3x Cas particulier : système 3x3 avec un sous-système 2x2 ou 1x1 Un sous-système est un système dont on a supprimé une ou plusieurs équations. Si un système 3x3 possède un sous-système 2x2 ou 1x1, on peut résoudre d abord ce sous-système puis introduire les valeurs des inconnues dans les systèmes restants. x + y = 4 x + 2y z = 5 5x y = Il s agit d un système 3x3, mais les équations 1 et 3 forment un système 2x2. 1. x + y = x y = 2 ( 1) 1 3 Résolvons ce système par une méthode des combinaisons linéaires 5x + 5y = x + y = 2 3 6y = 18 y = 3 et x + y = 4 1 5x y = 2 3 6x = 6 x = 1 2. x + 2y z = 5 Substitution z = 5 + z 5 et S 2 = z Reprenons l équation 2 et substituons x et y par les valeurs trouvées : x = 1 et y = 3 3. S = (1 ; 3 ; 2)} Cas général Le principe général pour résoudre un système consiste à éliminer une inconnue, x, y ou z, et se ramener à un système 2x2. Méthode 1 : la substitution x + 3y z = 6 3x + 2y + 4z = 7 x 2y + 5z = (15 + 2y 5z) + 3y z = 6 S 3(15 + 2y 5z) + 2y + 4z = 7 S x = y 5z y 10z + 3y z = 6 S et y 15z + 2y + 4z = 7 S et 45 7y 11z = 36 ( 1) 4 8y 11z = y + 11z = 36 8y 11z = 38 y = 2 y 7 ( 2) 11z = z = 11z 2 = z On remarque qu il est facile d isoler l inconnue x dans l équation 3 ou l inconnue z dans l équation 1 Isolons l inconnue x dans l équation 3 et substituons x par sa valeur dans les deux autres équations On constate alors que les deux premières équations forment un système 2x2 qu on résoudra par une des méthodes étudiées précédemment. Méthode des combinaisons linéaires pour éliminer z Méthode de substitution dans l équation 4 Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

47 6. Systèmes d équations x = y 5z Substitution = ( 2) 5 2 S = 1 On substitue ensuite y et z dans l équation 3 3. S = (1 ; 2 ; 2)} Méthode 2 : les combinaisons linéaires 2x + 3y z = x + 2y + 4z = x 2y + 5z = Attention le système doit être de la forme : a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 En option : 1. 3x + 2y + 4z = 7 x 2y + 5z = 15 4x + 9z = 22 4 Eliminons l inconnue y par des combinaisons linéaires à l aide des équations 2 et 3 4x + 6y 2z = 12 3x 6y + 15z = 45 7x + 13z = 33 5 Eliminons ensuite la même inconnue y à l aide de deux autres équations : la 1 et la 3. 4x + 9z = x + 13z = 33 ( 4) 28x + 63z = y 52z = z = 22 z = 2 Les équations 4et 5 forment un système 2x2 qu on résout par la méthode de combinaison linéaire par ex. z 4x = x = 4 4 x = 1 Méthode de substitution dans l équation 6 x 2y + 5z = 15 Substitution et + 2y = 2y 2 et S 2 = y On substitue ensuite x et z dans une des équations 1, 2 ou 3 3. S = (1 ; 2 ; 2)} 6.3 Exercices : système d équations Exercice 77 Utilise la méthode de comparaison pour résoudre les systèmes d équations : x y = 32 3x + y = 16 (x y) (3x 2y) = 14 3(x + y) 2(y x) = x + 6y = 17 3y x = 1 x 2 y 3 = x x 5 y 2 = x x = y y = 1 2x 9x y = 7 4x + y = 12 Exercice 78 Utilise la méthode de substitution pour résoudre les systèmes d équations : x + 4y = 24 5y = 15 2x + 5y = 69 y 4(x 7) = 67 3x x + 3y = 11 5y 3(x 1) = 68 xy + 16 = 12 x + 3y + 11 = x + y = 19 2x y = 2 x2 y 2 = 8 x + 2y = 1 Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

48 6. Systèmes d équations Exercice 79 Utilise la méthode de combinaison linéaire pour résoudre les systèmes d équations : x 4y = 3 3x + 8y = 33 3x 7 + 7y 3 = 0 7x 3 + 3y 7 = x 3y = 5 3x 5y = 21 x 77 + y 11 = 1 91 x y 13 = x 4y = 72 8x + 6y = 58 x + y 8 x + y 4 x y + = 5 6 x y = 10 3 Exercice 80 Résous les systèmes d équations par la méthode de ton choix : x 4y = 3 3x + 8y = 33 3(x y) 2(x + 2y) = 56 (x + y) + 16 = x 3y = 5 3x 5y = 21 0,4x + 0,3y = 1,2 0,3x + 0,4y = 1, x 4y = 72 8x + 6y = 58 x 2 y 3 = 24 3x y x 8 12 = 14 Exercice 81 Résous les systèmes d équations par la méthode de ton choix : x + 3y 7 = 17 y 5x 8 = 16 3x 5 + 4y x y = (2x + 3) 11 x y 2 = 2 5 2x + 2y 5 = 21 3 x + 5 x + 1 = y 9 y (x + 1)(y + 7) 2x + 10 = 3y (y 3x 5 ) = x 3 + y 4 = 9 x 4 + y 5 = 7 x + y x y + = x + y x y = x + 2y x 5y = 0 6x 5y + 4 3x + 2y + 1 = x 5 2y 3 = 3 3x + 5 y + 1 = x y 5 = x 3 5 2y + 3x y = y 4 5 x + 7 2x y = 3y y 7 + 4x 3 = 18 5x 2 6 x 4 3 3y + 4 = x y 10 2x 5 2y 4 = x x y y (x ) = x 5y 5 + x + 2 = x 4 2 Exercice 82 Résous les systèmes d équations x + 3y + 6z = 41 8x + 5y = 31 7y = 21 2x 4y z = 18 3x + 7y + 4z = 10 5x + 6y 3z = 5 3x + 4y 5z = 30 2x 7y + 3z = 47 5x + 3y 2z = x 5y 3z = 2 2x + 3y + z = 8 5x + 2y + 2z = 14 4x + 5y 2z = 17 3x + 4y + 3z = 23 5x 2y 5z = 15 3x 6y + 5z = 33 x + 4y 7z = 23 2x 5y + 3z = x 8y + 3z = 12 2x 15y + 30z = 220 5x 4y 2z = 19 3x + 2y + z = 23 5x + 2y + 4z = 46 10x + 5y + 4z = 75 4x 5y + 2z = 6 2x + 3y z = 20 7x 4y + 3z = Exercices : problèmes à 1 ou plusieurs inconnues Exercice 83 Exercice 84 Dans un panier, il y a trois fois plus de carambars que de sugus. Si l'on mange 12 bonbons de chaque sorte, il y a alors 5 fois moins de sugus que de carambars. Combien y a-t-il de carambars après la dégustation? Lors d'un voyage en bateau, 146 personnes ont payé en tout CHF Les adultes paient CHF 12.- par personne et les enfants CHF 7.- Combien d'enfants participaient-ils à l'excursion? Exercice 85 Un père a 28 ans le jour de la naissance de sa fille. Quel âge aura-t-il lorsqu'il sera trois fois plus âgé qu'elle? Exercice 86 Exercice 87 Exercice 88 Exercice 89 On a partagé CHF 1'665.- entre trois personnes. La première a obtenu CHF de plus que la deuxième, et la troisième CHF 25.- de moins que la première. Quelle est la part de chacun? Dans une basse-cour, il y a 36 animaux. Un chien survient et fait fuir trois cinquièmes des poules et la moitié des dindons, si bien qu'il reste autant de poules que de dindons. Combien y avait-il de poules avant l'arrivée du chien? Une personne dépense le tiers d'une somme d'argent, puis le cinquième du reste. Son porte-monnaie contient alors CHF 103,20. Combien avait-elle au départ? Avec un billet de CHF 50.-, on achète 5 kg de sucre et 3 bouteilles d'huile et on nous rend CHF Si on avait acheté 8 kg de sucre et 4 bouteilles d'huile, on nous aurait rendu CHF Quel est le prix d'un kg de sucre? Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

49 6. Systèmes d équations Exercice 90 Exercice 91 Exercice 92 Exercice 93 Exercice 94 Il y a 15 ans, une maman était 9 fois plus âgée que sa fille. Dans 20 ans, la fille aura la moitié de l'âge de sa mère. Quel est l'âge de la fille aujourd'hui? Arthur, Bertrand et Quentin constituent la première ligne d'une équipe de hockey sur glace. Au cours d'une saison, Arthur et Bertrand ont marqué ensemble 27 buts, Arthur et Quentin 31 buts et Bertrand et Quentin 28 buts. Combien chaque joueur a-t-il marqué de buts? Un homme de 63 ans a une fille de 25 ans. Détermine les âges respectifs de ces personnes lorsque l âge du père est le triple de celui de sa fille? Tu t acquittes d une facture de Fr. 1'090.- avec 29 billets, les uns de CHF 20.- et les autres de CHF Combien faut-il de billets de chaque sorte? Un producteur a une exploitation de 100 hectares sur laquelle poussent des laitues et des choux. Chaque hectare de choux nécessite 600 heures de travail et chaque hectare de laitues nécessite 400 heures de travail. Si l on dispose de 45'000 heures et que tout le terrain et toute la main d œuvre doivent être utilisés, trouver le nombre d hectares de chaque légume qu il faudrait planter. Exercice 95 A, B et C doivent se partager CHF de manière que B ait CHF 10.- de plus que C, et A CHF 15.- de plus que B. Cherche la part de chacun. Exercice 96 Exercice 97 Exercice 98 Exercice 99 Partage CHF 1'600.- entre trois personnes de manière que la 1ère ait CHF de plus que la 2ème, et celle-ci CHF de plus que la 3ème. Partage CHF 3'123.- entre deux personnes de manière que la part de la 2ème surpasse de CHF le triple de celle de la 1ère. On a donné 60 bonbons à deux enfants ; si le premier en donnait 18 au second, ce dernier en aurait cinq fois plus que le premier. Combien chaque enfant a-t-il reçu de bonbons? On a partagé CHF 1'650.- entre 125 personnes ; chaque homme a reçu CHF 15.- et chaque femme CHF Combien y avait-il d hommes et de femmes? Exercice 100 En vendant un objet CHF 5,70 on gagne quatre fois plus qu on aurait perdu en le vendant CHF 4,20. Quel est le prix de cet objet? Exercice 101 Il y avait dans une corbeille trois fois plus de poires que de pommes ; on ôte huit fruits de chaque sorte et le nombre de poires est maintenant cinq fois celui des pommes. Combien y avait-il de poires et de pommes? Exercice 102 Deux bergers ont ensemble 332 moutons. Le nombre de moutons du 1er berger surpasse de huit le triple du nombre de moutons du second. Combien de moutons ont-ils chacun? Exercice 103 Un père a 25 ans de plus que son fils. Dans 20 ans, l âge du père sera le double de celui de son fils. Quels sont les deux âges? Exercice 104 Un père a 70 ans et son fils en a 40. Quand l âge du père était-il le triple de celui de son fils? Exercice 105 Un père a 38 ans ; ses enfants sont âgés de 12 et de 8 ans. Dans combien d années l âge du père égalera-t-il la somme des âges de ses enfants? Exercice 106 L âge d une personne est double de celui d une autre. Il y a 7 ans, la somme des âges des deux personnes était égale à l âge actuel de la première. Quels sont aujourd hui les âges des deux personnes? Exercice 107 Comment peux-tu payer la somme de CHF avec 30 pièces, les unes de CHF 5.- et les autres de CHF 20.-? Exercice 108 Il y a 4 ans, l âge d un père était le quadruple de celui de son fils ; dans 10 ans, il n en sera plus que le double. Quels sont leurs âges actuels? Exercice 109 Dans un échange, on donne 15 chaises et CHF et l'on reçoit 6 fauteuils. Dans un autre échange, on donne 37 chaises et l'on reçoit 14 fauteuils et CHF Quel est le prix d'un fauteuil et celui d'une chaise? Exercice 110 On demande à quelqu un son âge ainsi que celui de son père et de son grand-père. Cette personne répond : mon âge et celui de mon père font ensemble 56 ans ; mon père et mon grand-père ont ensemble 100 ans ; enfin mon âge et celui de mon grand-père font ensemble 80 ans. Détermine l âge de chacun. Exercice 111 Louis, Pierre et André ont des billes. Si André en donnait une à Louis, il en aurait alors deux fois plus que Louis. Si Louis en donnait trois à André, André en aurait 4 fois plus que Louis. Pierre possède les 2/7 du nombre total de billes. Combien de billes possède chaque personne? Exercice 112 Dans une famille de quatre personnes, la somme des âges du père et de la mère est égale au triple de la somme des âges de leurs deux enfants. L âge du père est égal à la somme des âges de la mère et de la fille. Une année auparavant, l âge du père était le triple de l âge qu avait son fils. La mère avait 24 ans au moment de la naissance de sa fille. Détermine l âge de chaque personne. Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

50 6. Systèmes d équations Exercice 113 Un père avait 24 ans à la naissance de son fils. Si on maintenant on multiplie leurs âges, on trouve le triple du carré de l âge du fils. Quels sont leurs âges actuels? Exercice 114 L aire d un champ rectangulaire est 31'280 m2. Si l on augmentait chacune de ses dimensions de 1 m, l aire serait augmentée de 472 m2. Quelles sont les dimensions? Exercice 115 Deux voyageurs partent au même instant du même point et vont, l un au sud, l autre à l est du point de départ, l un parcourant 30 km par jour, l autre 40 km par jour. Au bout de combien de jours seront-ils à 250 km l un de l autre à vol d oiseau? Exercice 116 Une personne dépense le tiers d une somme d argent, puis la moitié du reste, puis le cinquième du nouveau reste, et enfin CHF Son porte-monnaie contient alors CHF Combien avait-elle au départ? Exercice 117 Deux trains partent en même temps, l un de A et l autre de B, pour aller à la rencontre l un de l autre. Le 1 er parcourt 54 km/h et le second 36 km/h. La distance AB étant de 144 km, calcule à quelle distance de A se fera la rencontre des deux trains? Exercice 118 Deux amis, éloignés de 78 km, conviennent de se rencontrer dans une localité intermédiaire et partent au même moment, l un de A à une vitesse de 60 km/h, l autre de B à une vitesse de 80 km/h. Où se rencontreront-ils? Exercice 119 Deux cyclistes quittent au même instant deux localités distantes de 146 km et vont à la rencontre l un de l autre. Après combien de temps la distance les séparant sera-t-elle de 70 km, sachant que leurs vitesses respectives sont de 17 km/h et 21 km/h? Exercice 120 Deux voyageurs sont éloignés de 45 km ; le 1er fait 5 km/h et le second 6 km/h. Le 1er part à 05h00, le 2ème part à 05h45 pour aller à la rencontre du 1er. Quand et où se rencontreront-ils? Exercice 121 Une voiture part à 6 h 45' et roule à 50 km/h. Une autre voiture part du même endroit à 8 h 15' et roule dans la même direction à 70 km/h. A quelle distance du lieu de départ et à quelle heure a lieu le dépassement? Exercice 122 Deux marcheurs, partis du même lieu, parcourent le même itinéraire. Le premier marche 9 h par jour à la vitesse de 5,5 km/h et est parti un jour avant l autre. Le second marche 12 h par jour à la vitesse de 4,5 km/h. A quelle distance du lieu de départ se rencontreront-ils? Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

51 7 INÉGALITÉS ET INÉQUATIONS Inégalité signifie «n est pas égal à». En math, pour exprimer une inégalité, on utilise les symboles suivants : 1. < : strictement plus petit que 2. : plus petit ou égal à (soit plus petit, soit égal) 3. > : strictement plus grand que 4. : plus grand ou égal à (soit plus grand, soit égal) 2 < 3 est une inégalité vraie, par contre 7 < 1 est une inégalité fausse. 7.1 Inéquations du premier degré On appelle inéquation une inégalité qui n est vérifiée que pour certaines valeurs des inconnues qu elle comporte. 2x > 10 est une inéquation. Comme dans une équation, on distingue le membre de gauche (ici : 2x) et celui de droite (ici : 10). Résoudre une inéquation, c est chercher les valeurs des inconnues pour que l inéquation soit vérifiée. De manière générale, il y a une infinité de solution : L inéquation 2x > 10 admet pour solution n importe quels nombres strictement plus grands que Notations On introduit alors les symboles suivants : 1. + qui signifie «plus l infini», «aussi grand qu on veut» : ce n est pas un nombre. 2. qui signifie «moins l infini», «aussi petit qu on veut» : ce n est pas un nombre. et les notations d intervalles (a < b dans les définitions ci-dessous) : 1. ]a; b[ intervalle ouvert qui représente tous les nombres entre a et b, sauf a et b ]2; 3[ : les nombres 2,3 ou 2,00001 appartiennent à cet intervalle, mais pas 2, ni 3, ni 1 par exemple. 2 ]2; 3[ et 3 ]2; 3[ 2. [a; b] intervalle fermé qui représente tous les nombres entre a et b, y compris a et b [2; 3] : les nombres 2,3 ou 2,00001 appartiennent à cet intervalle, ainsi que 2 et 3, par contre 1 ou 5 ne font pas partie de l intervalle. 2 [2; 3] et 3 [2; 3] 3. ]a; b] intervalle ouvert à gauche et fermé à droite qui représente tous les nombres entre a et b, b compris, mais a non compris. ]2; 3] : les nombres 2,3 ou 2,00001 appartiennent à cet intervalle, ainsi que 3, par contre 1 ou 2 ou 5 ne font pas partie de l intervalle. 2 ]2; 3] et 3 ]2; 3] 4. [a; b[ intervalle fermé à gauche et ouvert à droite qui représente tous les nombres entre a et b, a compris, mais b non compris. [2; 3[ : les nombres 2,3 ou 2,00001 appartiennent à cet intervalle, ainsi que 2, par contre 1 ou 3 ou 5 ne font pas partie de l intervalle. 2 [2; 3[ et 3 [2; 3[ Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

52 7. Inégalités et inéquations Reprenons l exemple précédent et utilisons les nouvelles notations pour écrire l ensemble de solutions. L inéquation 2x > 10 admet pour solution n importe quel nombre strictement plus grand que 5 : il y en a une infinité. S =]5; + [ : signifie qu on peut prendre toutes les valeurs strictement supérieures à 5. Remarque : + ou ne sont pas des nombres, on aura donc toujours des intervalles ouverts avec ces symboles Règles d équivalence 1. Si on ajoute (ou si on retranche) une même expression aux deux membres d une inéquation, on obtient une inéquation équivalente. 5 x < 7 + x 7 2 < x S = ] 2; + [ 2. Si on multiplie (ou si on divise) les deux membres d une inéquation par un NOMBRE POSITIF, on obtient une inéquation équivalente. 4x 1 x + 8 x + 1 3x 9 3 x 3 S = ] ; 3] 3. Si on multiplie (ou si on divise) les deux membres d une inéquation par un NOMBRE NÉGATIF, on obtient une inéquation équivalente, À CONDITION DE CHANGER LE SENS DE L INÉQUATION. 2 < 5 ( 1) 2?? 5 4x x 8 ( 4) x 2 S = [ 2; + [ Remarque : on peut en général éviter les multiplications et divisions par un nombre négatif. Il suffit de passer dans l autre membre le terme négatif, qui devient alors positif. Reprenons l exemple précédent : 4x x 7 8 4x 4 2 x S = [ 2; + [ De façon générale, pour éviter des erreurs, il faut : S arranger pour que le coefficient de l inconnue soit positif! Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

53 - Si - 7. Inégalités et inéquations 7.2 Systèmes d inéquations à une inconnue Résoudre un système d inéquations, c est chercher les solutions qui sont communes à toutes les inéquations. Pour cela, on les résout séparément ; puis on se sert d une représentation graphique afin de déterminer l intersection des ensembles solutions des inéquations. 3x 5 > 7 + 2x 4x x < x 12 1 x 18 2 Le disque creux signifie que la valeur n est pas comprise (crochet ouvert) et le disque plein signifie que la valeur est comprise (crochet fermé). L ensemble de solution est donné par les parties communes délimitées par les pointillés dans le graphique : S =]12; 18] 12 < x x x 7.3 Inéquations-produit Les inéquations du 2 e degré ou plus se résolvent en suivant le schéma ci-dessous : 1. Simplifier et obtenir 0 6x x < x + 5 6x x 5 < 0 2. Factoriser 6x 2 + 2x + 15x 5 < 0 2x(3x 1) + 5(3x 1) < 0 (3x 1)( 2x + 5) < 0 3. Etablir un tableau de signes x > b, ax + b est du signe a de a. signe de a b a signe de a - Faire le tableau : Une ligne pour les valeurs de x (classer les valeurs trouvées par ordre croissant) Une ligne par facteur Une ligne pour le produit Si x > ( 1), 3x 1est 3 positif Produit Si x > 5, 2x + 5 est négatif 2 x (3x 1) ( 2x + 5) Produit Remarque : pour un facteur du 1 er degré, d un côté du 0, il y a des signes + et de l autre des signes. Sous +, on place le signe du coefficient de x! 4. Déduire la solution (3x 1)( 2x + 5) < 0 signifie que le produit doit être négatif. Le tableau indique que les valeurs négatives du produit (grisées) sont obtenues pour des valeurs de x inférieures à 1/3 ou supérieures à 5/2 On note l ensemble de solutions : S = ] ; 1 3 [ ]5 2 ; + [ Le symbole, nommé «union», signifie qu on peut choisir pour x les nombres dans l un ou l autre des intervalles. Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

54 7. Inégalités et inéquations 7.4 Inéquations-quotient Les inéquations rationnelles contenant des fractions de polynômes P(x) ci-dessous : Q(x) se résolvent en suivant le schéma 1. Simplifier et obtenir 0 x + 3 x x 1 2. Mettre au même dénominateur et n obtenir qu une seule fraction NE PAS ÉLIMINER LE DÉNOMINATEUR 3. Factoriser les numérateurs et les dénominateurs NE PAS SIMPLIFIEUR LA FRACTION 10 x 2 1 x + 3 x x x (x + 3)(x 1) + 5(x + 1) + 10 (x 1)(x + 1) x 2 x + 3x 3 + 5x (x 1)(x + 1) x 2 + 7x + 12 (x 1)(x + 1) 0 (x + 3)(x + 4) (x 1)(x + 1) Etablir un tableau de signes - Poser chaque facteur = 0 x + 3 = 0 x = 3 Sous +, x car le coefficient de x est +1 x 1 = 0 x = 1 Sous +, x 1 + Car le coefficient de x est +1 x + 4 = 0 x = 4 Sous +, x car le coefficient de x est +1 x + 1 = 0 x = 1 Sous +, x Car le coefficient de x est +1 - Faire le tableau : Une ligne pour les valeurs de x (classer les valeurs trouvées par ordre croissant) Une ligne par facteur Une ligne pour le quotient x x x x x Quotient Attention : une division par 0 n existe pas : les doubles barres cidessus indiquent les valeurs interdites de x. 5. Déduire la solution (x+3)(x+4) 0 signifie que le quotient doit être négatif ou 0. Le tableau (x 1)(x+1) indique que les valeurs négatives ou nulles du quotient (grisées) sont obtenues pour des valeurs de x entre 4 et 3 (compris) ou entre 1 et 1 (non compris). On note l ensemble de solutions : S = [ 4; 3] ] 1; 1[ Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

55 7. Inégalités et inéquations 7.5 Système d inéquations-produit ou d inéquations-quotient Le principe consiste à résoudre séparément chaque inéquation, puis de rassembler les solutions des différentes inéquations à l aide d un schéma comme étudié au point 7.2. Si plusieurs inéquations nécessitent un tableau, il faut les faire séparément! 9x (x 3)(1 2x) < x (3x 1)(3x + 1) 0 x x x Produit S 1 = ] ; 1 3 ] [1 3 ; + [ 2 (x 3)(1 2x) < 0 x x x + 0 Produit S 2 = ] ; 1 [ ]3; + [ 2 Inéquation 2 Inéquation 1 1/3 1/3 1/2 3 + S = ] ; 1 3 ] [1 3 ; 1 [ ]3; + [ Exercices : inégalités et inéquations Exercice 123 Indique si les inégalités sont vraies ou fausses < < > > ( 3) > ( 6) 2 Exercice 124 Donne le résumé de ce système d inéquations et sa solution : x 5 ou x < 4 x > 3 et x < 9 x > 12 ou x 1 Exercice 125 Résous les inéquations suivantes : 1. 4x (3x 1) > 2( 5x + 1) + x 2. (x 3)(x + 5) x (x 5)(x + 7) + x 2 2x 2 7(3x 2) 4. 3x 5 7x (x 3) 2 (x 5)2 + > 45 ( x ) 6. 4x < 5x 5(3x 2) x x 6 5x (x 2) 2 (x 7) > 21 ( x ) Exercice 126 Résous les systèmes d inéquations suivants : 1. x 2 3 (x + 2)(x 7) x x < 3x x > 4x + 3 2x x Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

56 7. Inégalités et inéquations 3. 5x + 3 7x x + 7 > x x + 4 5x 8 x 10 < 5x x 3 5 > 4x + 3 4(3x + 1) 4 (2x 7 3 ) x 25 x 5x + 10 > 3x x 3 2x 3 > 2x (2x + 3) > 2(2x + 3) (2x 3) 2 > (2x 2) x x 6 5x x + 5 5x (3x 2 ) 5 (4x 3) 2 < (4x + 5) 2 9. x 4 3 2x 3 2x x 2 3 (4x 3 ) 3x + 7 7x < 2x x 3 2 3x x + 7 > 7x x x 1 8 3x 2 3 (3x 4 ) 7 Exercice 127 Résous les inéquations-produits/quotients suivantes : 1. 8x 2 + 2x x 2 + 9x 9 < 0 3. (7x 28)( 3x 12)( x + 3) < 0 4. (x 2 + 1)(1 4x) 2 (2 x) 0 5. x 3 3x 2 25x (x + 2)(x 7) x x 3 3x x x 2 10x 8 0 Exercice 128 Résous les systèmes d inéquations suivants : 1. 7x(3x + 1) 0 4x + 8 > 3x 1 ( x + 4)(5 2x)(7x + 20) < x(2x + 1) < 0 2x 2 5x 3 x 2 + x x 3 34x x x 4x 7 5x < 4x x 2 5x + 6 Exercice 129 A partir du tableau x Quotient Résous l inéquation : Quotient > 0 2. Complète le tableau et retrouve un dénominateur possible, qui ne contienne aucune fraction, ni code à virgule Exercice Retrouve un système d inéquations dont le résumé est donné par : Quelle est la solution du système d inéquations? Exercice 131 Trouve une inéquation pour que sa solution soit S =] 7; 3] ]5; + [ Exercice 132 On considère un système de deux inéquations dont les solutions de chaque inéquation sont : 1. S 1 = ] ; a] ]b; + [ 2. S 2 = [a; b] [c; + [ d} Sachant que a < b < c < d, quelle est la solution du système d inéquations? Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

57 8 FONCTIONS 8.1 Fonction Au cinéma, le prix payé dépend du nombre de billets achetés. Il y a une relation entre ce nombre de billets et le prix ; on dit que le prix est fonction du nombre de billets Définitions Une fonction f est une relation qui associe les éléments x d un ensemble A à au plus un élément y d un ensemble B. L ensemble A est appelé «ensemble de départ» et B «ensemble d arrivée». On note : x est une pré-image de y et y est l image de x. f : A B x y = f(x) Le domaine de définition est un sous-ensemble de l ensemble de départ A, tel que chaque élément ait exactement une image dans l ensemble d arrivée B. On abrège souvent l écriture de la fonction : f(x) = Remarque : Les ensembles A et B ne sont pas forcément des ensembles de nombres : imaginons la fonction «nationalité de» : ce serait la fonction qui associe à une personne sa nationalité (on la suppose unique) : A est alors l ensemble des personnes et B l ensemble des nationalités. x est une personne particulière et y sa nationalité. Nous travaillerons essentiellement avec des fonctions réelles, c est-à-dire des fonctions dont les ensembles de départ et d arrivée sont R. f : R R x y = f(x) f : R R 2 est la fonction qui associe à un nombre le triple du carré de ce nombre. x y = f(x) = 3x Que signifie f(2)? f(2) est le nombre associé à 2. Pour le trouver, il suffit de remplacer x par 2 dans la formule f(x) = 3x 2 : x x 2 f(2 ) = = Tableau de valeurs et représentation graphique Pour avoir une meilleure vision d une fonction, on établit souvent un tableau de valeurs, sous forme de tableaux en lignes ou en colonnes ou une représentation graphique dans un système de deux axes. L axe horizontal correspond aux pré-images x, c est pourquoi il est souvent appelé axe des x. On l appelle également axe des abscisses. L axe vertical correspond aux images y, c est pourquoi il est souvent appelé axe des y. On l appelle également axe des ordonnées. f : R R x y = f(x) = 3x 2 : x y = f(x) Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

58 8. Fonctions Chaque couple de point (x; y) correspond à un point sur le graphique. Par exemple ( 3; 27) est un point du graphique. De manière générale, les représentations graphiques des fonctions ne sont pas des droites, il ne faut donc pas relier les points du graphique par des segments, mais de manière arrondie. Seules les fonctions affines font exception. Il n est pas nécessaire d utiliser la même graduation pour les deux axes! 8.2 Fonction particulière Fonction affine Les fonctions affines sont les fonctions dont la représentation graphique est une droite. Une fonction affine s écrit en abrégé : f(x) = ax + b ou y = ax + b où a et b sont des nombres réels. On appelle l écriture y = ax + b l équation de la droite. a f(x) = 2 b x 5 est une fonction affine avec a = 2 et b = 5. Interprétation géométrique : 1. a est la pente de f : c est la distance verticale sur la distance horizontale entre deux points quelconques de la fonction. Lorsque la pente est positive, la droite «monte» de gauche à droite. On dit alors que la fonction est croissante. La droite «descend» de gauche à droite si la pente est négative, la fonction est décroissante. 2. b est l ordonnée à l origine : on lit la valeur de b à l intersection de la fonction et de l axe vertical : (0 ; b) Recherche de la fonction affine passant par deux points quelconques A(x a ; y a ) et B(x b ; y b ) : 1. On calcule la pente : a = y b y a x b x a ou a = y a y b x a x b 2. On choisit un de deux points (n importe lequel) et on résout l équation : y a = ax a + b ax a b = y a ax a ou y b = ax b + b ax b b = y b ax b Quelle est l équation de la droite passant par les points A( 5; 4) et B(4; 2)? x a y a x b y b A( 5 ; 4 ) et B( 4 ; 2 ) a = y b y a = 2 4 x b x a 4 ( 5) = 2 9 b = y b ax b = = 26 9 y = 2 9 a x b 1. Calcul de la pente. 2. Calcul de l ordonnée à l origine 3. Equation de la droite Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

59 8. Fonctions Résumé : Cas particulier : fonction linéaire Les fonctions affines dont la valeur de b vaut 0 sont appelées fonctions linéaires. En abrégé : f(x) = ax ou y = ax b étant l ordonnée à l origine, les fonctions linéaires coupent l axe y en 0, elles passent donc par l origine Cas particulier : fonction constante Les fonctions affines dont la valeur de a vaut 0 sont appelées fonctions constantes. En abrégé : f(x) = b ou y = b a étant la pente, les fonctions constantes sont horizontales Fonction quadratique On appelle «fonction quadratique» les fonctions qui s écrivent : f(x) = ax 2 + bx + c où a, b et c sont des nombres réels La représentation graphique d une quadratique est une parabole. 8.3 Situations particulières de deux droites La représentation graphique de deux droites donne lieu à 3 situations : 1. Les deux droites se coupent en un point : on dit alors que ces deux droites sont sécantes. Dans ce cas, les pentes des deux droites sont différentes. y = 4x + 3 et y = 2x + 1 sont les équations de deux droites sécantes car leurs pentes 4 et 2 sont différentes. Deux droites sécantes sont perpendiculaires si le produit de leurs pentes vaut 1. Donne l équation de la droite perpendiculaire à y = 4x + 3, qui coupe l axe des ordonnées en La droite cherchée s écrit y = ax + b, il faut déterminer a et b. 2. Comme la droite cherchée est perpendiculaire à y = 4x + 3, on a : 4 a = 1 d'où a = Comme la droite cherchée coupe l axe des ordonnée en 5, on a : b = 5 4. Finalement y = 1 4 x + 5 Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

60 8. Fonctions 2. Les deux droites n ont pas de points communs : on dit alors que ces deux droites sont strictement parallèles. Dans ce cas, les pentes des deux droites sont égales et les ordonnées à l origine sont différentes. Donne l équation de la droite parallèle à y = 4x + 3, qui coupe l axe des ordonnées en La droite cherchée s écrit y = ax + b, il faut déterminer a et b. 2. Comme la droite cherchée est parallèle à y = 4x + 3, on a : a = 4 3. Comme la droite cherchée coupe l axe des ordonnée en 5, on a : b = 5 4. Finalement y = 4x Les deux droites ont tous leurs points communs : on dit alors que ces deux droites sont confondues. Dans ce cas, les pentes des deux droites et les ordonnées à l origine sont égales. y = 4 5 a x 15 5 b et y = 0,8 a x 3 b sont des droites confondues car 4 5 = 0,8 et 15 5 = Résolution graphique d une équation à une inconnue Lorsqu on ne sait pas résoudre algébriquement une équation, on peut recourir à une représentation graphique. La méthode pour résoudre graphiquement une équation à une inconnue consiste : 1. Représenter sur un même graphique les membres de gauche et de droite de l équation x ,5x2 3 f(x) = x + 10 g(x) 2. Les solutions sont données par la coordonnée x des points d intersections de f et g. S 8,9; 3; 1,9} 8.5 Résolution graphique d un système d équations La méthode pour résoudre graphiquement un système d équations à deux inconnues consiste à : 1. Isoler y dans chaque équation : 4x 7y = 29 x + 2y = 4 f(x) 4x 29 y = 7 y = x 4 2 g(x) 2. Représenter graphiquement les fonctions f et g. 3. Les solutions sont données par les coordonnées des points d intersections de f et g : (x ; y) S (2 ; 3)} Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

61 8. Fonctions 8.6 Résolution graphique d une inéquation La méthode pour résoudre graphiquement une inéquation à une inconnue consiste à : 1. Représenter sur un même graphique les membres de gauche et de droite de l inéquation x ,5x2 3 f(x) > x + 10 g(x) 2. Comme f(x) > g(x), on doit choisir les valeurs de x pour lesquelles f est au-dessus de g. S ] 8,9; 3[ ]1,9; 3] On se contente des portions visibles du graphique : le 2 e intervalle va jusqu à 3 et non +. Remarque : on utilise la convention «disque plein creux» pour les valeurs comprises ou non. 8.7 Résolution graphique d un système d inéquations La méthode pour résoudre graphiquement un système d inéquations à deux inconnues consiste à : 1. Isoler y dans chaque inéquation : y < 3 3x y 5 x y < 4 y < f(x) 3 g(x) y 3x 5 h(x) y > x 4 2. Représenter graphiquement les fonctions, dans l exemple : f, g et h 3. Pour trouver la solution graphique, on hachure les parties interdites de chaque inéquation : 1. y < 3 signifie qu on ne doit pas avoir un point au-dessus de f, on hachure la partie audessus de f. Le «bord» y = 3 est interdit, on le met en évidence en trait tillé. 2. y 3x 5 signifie qu on ne doit pas avoir un point au-dessus de g, on hachure la partie au-dessus de g. Le «bord» y = 3x 5 est autorisé, on le met en évidence en trait plein. 3. y > x 4 signifie qu on ne doit pas avoir un point au-dessous de f, on hachure la partie au-dessous de f. Le «bord» y = x 4 est interdit, on le met en évidence en trait tillé. La solution est les couples des coordonnées des points se situant dans la partie non-hachurée. Par exemple (x ; y) = (3 ; 2) est une des solutions. On ne notera pas l ensemble de solution S. 8.8 Exercices : fonctions Exercice 133 Détermine la fonction (forme complète) qui : 1. définit l aire d un carré en fonction de son côté 2. définit l aire d un carré en fonction de son périmètre 3. définit, en fonction d un côté, l aire d un rectangle dont le périmètre vaut 10 cm 4. définit fonction du temps la distance parcourue en m par un piéton se déplaçant à 2 m/s 5. ne donne que des nombres impairs. Exercice 134 Soit la fonction f(x) = 3x 2 + 4x 2, calcule : 1. f( 1) 2. f(2) 3. f( 7) 4. f(0) 5. f ( 3 4 ) 6. f ( 2 3 ) Math 1 ère ECCG NR, ECCG Monthey

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