Programmation linéaire en nombres entiers

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1 Programmato léare e ombres eters

2 Itroducto Problème de programmato léare e ombres eters (P) M Suet à = = c a = b =,, m 0, eter =,, Eemple M z = Suet à, , eter F(P) = domae réalsable de P

3 Itroducto Problème de programmato léare e ombres eters (P) M Suet à = = c a = b =,, m 0, eter =,, F(P) = domae réalsable de P Eemple M z = Suet à, , eter = + 0 = 0 {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} F( P ) = 0,0,,0,,0, 0,,,,,, 0,

4 Itroducto Problème de programmato léare e ombres eters ( ) (P) P M Suet à = = c a = b =,, m 0, eter =,, F(P) = domae réalsable de P Eemple M z = Suet à, , eter = + 0 = 0 ( ) P déote le problème (P) où les cotrates d tégralté sur les varables sot rélaées.

5 Itroducto Problème de programmato léare e ombres eters ( P) M Suet à = = c a = b =,, m =,, F(P) = domae réalsable de P 0, eter Eemple M Suet à F( P) z = + 0, 5 = 0 0, eters + 0 = 0 ( ) P déote le problème (P) où les cotrates d tégralté sur les varables sot rélaées.

6 Itroducto Problème de programmato léare e ombres eters (P) M Suet à = = = b Résoluto du problème c a =,, m =,, Pourquo pas résoudre le problème relaé et arrodr la soluto? 0, eter Eemple M Suet à F( P) z = + 0, Soluto du problème relaé: (, 9/5) et z = 5 0 0, eters Soluto arrode: (, ) et z = 7 = + 0 = 0 Or (0, ) est réalsable avec z = 0

7 Méthodes de résoluto Prcpe de base Géérer u esemble de cotrates léares que ous aoutos à (P) Eemple M Suet à z = + 0, 5 = 0 0, eters F( P) + 0 = 0 + = 4

8 Méthodes de résoluto Prcpe de base Géérer u esemble de cotrates léares que ous aoutos à (P) pour egedrer u ouveau problème (PR) tel que ( ) F ( P) F PR ( ) = F ( P) F PR De plus e résolvat le problème relaé PR, la soluto optmale est etère et doc ue soluto optmale pour (P). Eemple M Suet à z = F( P) + 0 +, , eters = + 0 = 0 + = 4

9 Méthode des coupes de Gomory Prcpe des méthodes de coupes Itrodure de ouvelles cotrates léares au problème pour rédure le domae réalsable du problème relaé sas pour autat élmer de pots du domae réalsable du problème avec les cotrates de ombre eter sur les varables. La procédure cosste à résoudre ue sute de problèmes relaés usqu à ce qu ue soluto optmale e ombres eters sot obteue. U problème de la sute est obteu du précédet e lu aoutat ue cotrate léare (coupe) supplémetare.

10 Cosdéros le problème de programmato léare e ombres eters suvat: ( P) M = Suet à a = b =,, m = 0, eter, =,, c Voyos commet costrure ue coupe de Gomory. Sot B ue base optmale de ( P), et k la varable de base das la ème lge du tableau optmal preat ue valeur qu 'est pas etère.

11 Le tableau optmal est de la forme: var terme base z drote t t 0 t 0 t 0 b t t 0 t 0 t 0 b k t t m m m k 0 0 t t 0 b z c c 0 0 c 0 c z m m m m La lge correspodate du tableau optmal est de la forme: + t = b k J ( ) { } où J = : est l'dce d'ue varable hors base et b 'est pas eter.

12 La lge correspodate du tableau est de la forme: où J b = k J ( ) { } : est l'dce d'ue varable hors base et 'est pas eter. + t = b Déotos d = le plus grad eter (placher) d. Pusque 0, alors t t J et par coséquet k + t k + t = b J J J. ()

13 La lge correspodate du tableau est de la forme : où J = b J ( ) { : est l'dce d' ue varable hors base} 'est pas eter. k + t = b et S ous cosdéros la cotrate d'tégralté des varables, l découle de () que + t b. As toute soluto de ( P) satsfat (3). k J (3) Défssos Pusque d et par coséquet = le plus grad eter (placher) d. 0, alors t J k + t b. () J J t Cosdéros mateat la relato obteue e fasat le dfférece etre (3) et () : Notos que ( t t ) b J ( t t ) 0 et b ( b ) ( 4) ( b ) < 0 Pusque toute soluto de ( P) satsfat () et (3), alors elle satsfat (4), et so troducto das ( P) ' élme aucue soluto de ( P).

14 Cosdéros mateat la relato obteue e fasat le dfférece etre (3) et () : Notos que t t ( t ) b J ( t ) 0 et b ( b ) ( 4) ( b ) Pusque toute soluto de ( P) satsfat () et (3), alors elle satsfat (4), et so troducto das ( P) 'élme aucue soluto de ( P). < 0 Par cotre, la soluto actuelle du problème relaé ( P) où = 0 J e satsfat pas (4) et so troducto rédut le domae réalsable du problème relaé ( P).

15 Pour poursuvre la résoluto, l sufft d'trodure la cotrate J ( t ) ( ) ( ) ( ) t b b t t + τ = b b où est ue varable d'écart avec coût ul, au derer tableau du τ smplee pour géérer ue soluto de base au ouveau problème e J cosdérat comme la varable de base das la ouvelle lge du tableau. τ ( ) Cette soluto de base 'est pas réalsable pusque τ = b b < 0. Il sufft de poursuvre la résoluto avec l'algorthme dual du smplee.

16 var terme base z drote t t 0 t 0 t 0 0 b t t 0 t 0 t 0 0 b k m t k m m m m m t 0 0 t t 0 0 b τ t t t t 0 0 t t 0 t t 0 b b z c c 0 0 c 0 c 0 z m τ

17 Pour poursuvre la résoluto, l sufft d'trodure la cotrate J ( t ) ( ) ( ) ( ) t b b t t + τ = b b où est ue varable d'écart avec coût ul, au derer tableau du τ smplee pour géérer ue soluto de base au ouveau problème e J cosdérat comme la varable de base das la ouvelle lge du tableau. τ ( ) Cette soluto de base 'est pas réalsable pusque τ = b b < 0. Il sufft de poursuvre la résoluto avec l'algorthme dual du smplee. Notes: ) S (.e., est eter), et s t = t t J b 'est pas eter, alors + t = b k J dque que ( P) 'est pas réalsable pusque le terme de gauche pred ue valeur etère pour toute soluto réalsable de ( P) alors que le terme de drote 'est pas eter. ) Ue dérvato smlare s'applque à toutes les tératos. ( )

18 Cosdéros le problème suvat M Suet à = 3,, 0, eters 3

19 J Itérato : Soluto de base optmal de ( P) = valeur opt. = 39 Nouvelle cotrate: = ( t t ) ( b b ) ( ) ( ) t t + τ = b b J M Suet à = 3,, 0, eters 3 Iterprétato géométrque : 4 7 Or = As

20 eters 0,,,, Suet à M Résoudre le problème relaé de Itérato : = + = valeur opt Nous obteos = = + = +

21 7 3 Nouvelle cotrate à partr de la ème lge = : = J վ = τ J 4 4 M Iterprétato géométrque Substtuos la valeur de 4 trée de la 3 4 derère cotrate aoutée = pour obter Substtuos mateat la valeur de 3 3 = pour obter ( t t ) ( b b ) ( t t ) + = ( b b ) Suet à = = 7 7 7,,, 0, eters

22 33 optmale Valeur 3, 0, etère : Doc soluto optmale 3 Nous obteos = = = = = + = + + = + eters 0,,,,, Suet à M problème le Résoudre Itérato 3: = + = + = +

23 Covergece de la méthode de coupes de Gomory Référece: A. Schrver, Theory of Lear ad Iteger Programmg, Wley & Sos, 986, E fasat certaes hypothèses sur le cho de la lge du tableau pour spécfer la prochae coupe, l'auteur demotre: "... the cuttg plae method termates"

24 M = ( P) Suet à a = b =,, m = 0, eter =,, c Méthode de Brach & Boud Das cette méthode ous résolvos égalemet ue sute de problèmes relaés. ( ) Nous résolvos d abord P. S la soluto optmale est etère, alors cette soluto est optmale pour le problème orgal (P). So, ous utlsos ue varable est pas dot la valeur etère. Nous cosdéros deu ouvelles cotrates ou (placher de ) (plafod de ) M = ( P) Suet à a = b =,, m = 0, =,, c

25 + 0 = 45 M Suet à z = +, , eters Sol. opt. prob. relaé : = 3.75, = 4.5 z = = 66 Nouvelles cotrates cosdérées: ou 3.75 = = 4 Avec ces deu ouvelles cotrates - pots réalsables de ( P) sot coservés - ue trache du domae réalsable du problème relaé est élmée

26 + 0 = 45 M Suet à z = +, , eters Sol. opt. prob. relaé : = 3.75, = 4.5 z = ( ) Trache de F P élmée + 6 = 66 Nouvelles cotrates cosdérées: ou 3.75 = = 4

27 + 0 = 45 M Suet à z = +, , eters F( P3 ) F( P ) Sol. opt. prob. relaé : = 3.75, = 4.5 z = ( ) Trache de F P élmée ( ) ( ) ( ) F P3 + 6 = Par cotre, ce qu reste de F P 'est plus coee pusqu'l comporte deu sous-esembles F P et. 66 Nouvelles cotrates : 3.75 = 3 ou 3.75 = 4

28 + 0 = 45 F( P3 ) F( P ) M Suet à z = +, , eters Nouvelles cotrates cosdérées: ou ( P ) ( P ) La melleure des deu solutos optmales de et est la soluto optmale de. ( P) 3.75 = = 4 3 ( P ) M z = 5 ( P3 ) ( PSuet ) ( ) 3 àf P , , eters + 6 = Poursuvre la résoluto e assocat des problèmes à et à. M Suet à 66 ( P ) ( ) F P z =, , eters

29 Prochae térato Chosr u des deu problèmes (P ) ou (P 3 ) Le trater comme ous avos fat pour P. Das otre eemple, ous chosssos le problème (P 3 )

30 + 0 = 45 ( P ) 3 M Suet à z =, , eters F( P3 ) F( P ) ( P3 ) Sol. opt. prob. relaé : = 3, = 4. z = = 66 ( ) Trache de F P élmée Nouvelles cotrates cosdérées: ou 4. = 4 4. = 5

31 + 0 = 45 ( P ) 3 M Suet à z =, , eters F ( P5 ) F( P ) Nouvelles cotrates cosdérées: ou 4. = 4 4. = 5 ( ) P4 M z = 5 Suet à , 0, eters + 6 ( P ) 5 = 66 M z = 5 Suet à , 0, eters

32 Prochae térato { } Chosr u des problèmes P5, P4, P qu a pas ecore été traté. Le trater comme ous avos fat pour P. Das otre eemple, ous chosssos le problème (P 5 )

33 + 0 = 45 ( P ) 5 M z = 5 Suet à , 0, eters F( P 5 ) F( P ) ( P5 ) Sol. opt. prob. relaé : = 3, = 4 z = = 66 Pusque la soluto du sous-problème relaé est etère, elle est ue soluto réalsable de (P). Nous e gééros pas de ouveau sous-problème pusque ous avos detfé la melleure soluto de cette régo du domae réalsable de (P). Au cours du processus, ous coservos la melleure soluto etère recotrée dot la valeur costtue ue bore supéreure BS sur la valeur optmale de (P).

34 Prochae térato { } Chosr u des problèmes P, P qu a pas ecore été traté. 4 Le trater comme ous avos fat pour (P). Das otre eemple, ous chosssos le problème (P 4 )

35 + 0 = 45 ( P ) 4 M z = 5 Suet à , 0, eters F( P ) ( P ) 4 Problème o réalsable ( ) 4 F P = Φ + 6 = 66 Il y a doc pas leu de poursuvre la foulle das cette parte du domae réalsable de (P)qu est vde.

36 Prochae térato { } Chosr u des problèmes qu a pas ecore été traté. P Le trater comme ous avos fat pour (P). Das otre eemple, l e reste que le problème (P )

37 + 0 = 45 ( P ) M Suet à z =, , eters F( P ) ( P ) Sol. opt. prob. relaé : = 4, = z = = 66 La soluto optmale du problème relaé est pas etère mas sa valeur z =.333 > BS = 3 Il y a doc pas leu de poursuvre la foulle das cette parte du domae réalsable de (P) car l est mpossble d y trouver ue soluto etère de valeur féreure à 3.

38 La procédure s arrête quad tous les problèmes relaés géérés ot été résolus La soluto etère dot la valeur est égale à BS est ue soluto optmale de (P).

39 Représetato comme u arbre d éumérato Problèmes caddats P (( ) P 5 ( P 43 ) ( P ) ( P) = ( P ) ( P3 ) ( ) P ( P M z = 5 ( ) M z = 5 ) Suet Suet à à P3 M z = , 0, 4 3,, 0, 0, 54, 0, = 4. Sol. o etère z =.333 > BS 5 4 ( P 4 ) ( P5 ) Soluto No-réalsable Sol. etère BS = 3 Soluto optmale

40 Approche du Brach & Boud Approche tératve. À chaque térato, - l y a ue lste de problèmes caddats à être aalysés. Au départ, la lste cotet uquemet le problème orgal (P). - ous chosssos u problème caddat et ous résolvos le problème relaé correspodat - la soluto optmale du problème relaé ous permet de mettre à our la lste de problèmes caddats ou la bore supéreure de même que la melleure soluto recotrée

41 Procédure du Brach & Boud Italsato Lste de problème caddat cotet uquemet (P) BS = Aller à l étape. Étape S la lste est vde, termer. La soluto optmale est celle assocée à BS, a mos que BS = das lequel cas le problème P as pas de soluto. Étape Chosr le premer problème caddat (PC) e tête de lste.

42 Étape S la lste est vde, termer. La soluto optmale est celle assocée à BS, a mos que BS = das lequel cas le problème 'as pas de soluto. Étape ( PC) Chosr le premer problème caddat e tête de lst e. Étape 3 ( PC) ( PC) Aalyser e solutoat. ( ) S F PC = Φ, aller à l'étape. ( ) S v PC BS, aller à l'étape. ( PC) S la soluto optmale de est etère, alors ( ) < = ( ) s v PC BS, alors BS : v PC, aller à l'étape.

43 Étape 3 ( PC ) ( PC) Aalyser e solutoat. ( ) S F PC = Φ, aller à l'étape. ( ) S v PC BS, aller à l'étape. ( PC) S la soluto optmale de est etère, alors Étape 4 ( ) < = ( ) s v PC BS, alors BS : v PC, aller à l'étape. Chosr ue varable qu 'est pas etère. Géérer u premer ouveau problème e aoutat la cotrate ( ) au problème PC et le placer e tête de la lste Géérer u deuème ouveau problème e aoutat la cotrate ( ) au problème PC et le placer e tête de la lste Aller à l'étape.

44 Étape S la lste est vde, termer. La soluto optmale est celle assocée à BS, a mos que BS = das lequel cas le problème 'as pas de soluto. Étape ( PC) Chosr le premer problème caddat e tête de lst e. Étape 3 ( PC) ( PC) Aalyser e solutoat. ( ) S F PC = Φ, aller à l'étape. ( ) S v PC BS, aller à l'étape. ( PC) S la soluto optmale de est etère, alors ( ) < = ( ) s v PC BS, alors BS : v PC, aller à l'étape.

45 Prcpe de foulle das l'arbre

46 Représetato comme u arbre d éumérato Problèmes caddats P (( ) P 5 ( P 43 ) ( P ) ( P) = ( P ) ( P3 ) ( ) P ( P M z = 5 ( ) M z = 5 ) Suet Suet à à P3 M z = , 0, 4 3,, 0, 0, 54, 0, = 4. Sol. o etère z =.333 > BS 5 4 ( P 4 ) ( P5 ) Soluto No-réalsable Sol. etère BS = 3 Soluto optmale

47 Prcpe de foulle das l'arbre a) Foulle e profodeur: descedre rapdemet das l'arbre pour aller chercher le plus rapdemet possble ue premère soluto etère réalsable b) Foulle au melleur oeud potetel: fare quelques tératos à chaque oeud de la lste pour teter d'detfer celu qu a le plus de potetel de fare décrotre la bore supéreure c) Foulle e largeur: compléter u étage de l'arbre avat de descedre das celu-c

48 ( ) Cho de la varable de séparato, La varable telle que a) le plus grad b) le plus pett c) le plus proche de 0.5

49 Utlser l'algorthme dual pour résoudre le problème relaé chos das la lste Soluto optmale pour le problème courat (au pot courat de l'arbre) 'est pas réalsable pour le problème obteu e aoutat ue cotrate du type ou. O peut doc utlser l'algorthme dual pour résoudre ce ouveau problème e partat de la soluto optmale du problème précédet.

50 Référece. A. Atamturk, M.W.P. Savelsbergh, "Iteger-Programmg Software Systems", Aals of Operatos Research 40, 67-4, 005.

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