APPLICATIONS LINEAIRES Exercices

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1 EXERCICE : APPLICATIONS LINEAIRES Exercices ) Motrer que l applicatio f : f : est liéaire x, y, z x z, y z ) Soit ue matrice AM et soit f l applicatio qui à toute matrice X M associe la matrice Y défiie par : Y AX XA Motrer que f est u edomorphisme de M ) Motrer que l applicatio f qui à tout polyôme P de X associe le polyôme f P défiie par : f P X P X P' est u edomorphisme de X EXERCICE : f : Soit l applicatio x, y, z x z,, x z ) Motrer que f est u edomorphisme de Détermier Ker f ) L edomorphisme f est-il u automorphisme de ) Détermier Im f EXERCICE : Soit A ue matrice de M Soit l applicatio défiie sur M par M AM pour tout M M ) Motrer que est u edomorphisme de M ) Démotrer que l applicatio est u automorphisme de M si et seulemet si A est iversible E M M / AM ) Prouver, sas calcul, que E est u espace vectoriel réel Soit EXERCICE 4 : U grad classique Soiet f LE, F, g LF, G où, Motrer queg f Im f Ker g EXERCICE 5 : Soit f LE Motrer que où E est u espace vectoriel réel Ker f Ker f et Im f? EFet G sot trois espaces vectoriels réels Im f

2 EXERCICE 6 : Soit E u espace vectoriel réel et g u edomorphisme de E vérifiat g g g i E E E E où i : et : u u u E O ote h = g - i, g i et g g g ) Motrer que h h hexprimer ) Exprimer, pour tout etier aturel, EXERCICE 7 : Soit f u edomorphisme de R : f f Id g, g e foctio de i et de h g e foctio de i et de h m (où m est u etier supérieur ou égal à ) vérifiat la relatio où Id désige l applicatio idetité de m ) Recherche de solutios particulières de (R) Détermier les réels tels que f Id vérifie la relatio ( R ) ) O suppose das cette questio que les edomorphismes f et Id sot liéairemet idépedats 4 a) Exprimer f, f comme combiaiso liéaire de Id et de f b) Etablir par récurrece que, pour tout etier aturel, il existe u couple uique de réels a, b tel que f a f b Id c) Doer les expressios de a, b e foctio de d) Prouver que l edomorphisme f est bijectif et exprimer liéaire de Id et de f EXERCICE 8 : Das l espace vectoriel E C, f comme combiaiso des foctios umériques à ue variable réelle idéfiimet dérivables, o cosidère les applicatios : E E x E E S :, avec x, g x f tdt f g et D : f f ' ) Motrer que S et D sot liéaires ) Motrer que D S IdE L applicatio D est-elle bijective? Comparer S Det D S EXERCICE 9 : Soit E u espace vectoriel réel de dimesio fiie et f u edomorphisme de E tel que f et f ) Motrer qu il existe u vecteur ) Motrer que (, ), ) Motrer que rg f f x x de E tel que x f x f x est ue base de E

3 MATRICES ET APPLICATIONS LINEAIRES Exercices EXERCICE : O cosidère l applicatio liéaire f de f x, y, z x y,x 4 z, y z das défiie par : ) Ecrire la matrice A de f relativemet à la base caoique de ) Calculer A et A, e déduire que f est pas u automorphisme de EXERCICE : Soiet les applicatios f : et g : x, y x, x y, y x, y, z x z,5x y z ) Motrer que les applicatios f et g sot liéaires ) Détermier Ker f, Im f puis Ker g, Im g ) Das les bases caoiques de et de, détermier la matrice de f 4) Das les bases caoiques de et de, détermier la matrice de g 5) Motrer que g f est u automorphisme de 6) Qu e est-il de f g? EXERCICE : Soit u etier aturel supérieur ou égal à ) Soit la famille de polyômes B X, X X,, X X, X est ue base de X X X ) Motrer que l applicatio f : est liéaire P X P ' XP ) Détermier la matrice de f das les bases B et B EXERCICE 4 : O cosidère l espace vectoriel mui de sa base caoique B e, e, e l edomorphisme u de dot la matrice das la base B est : M ) Détermier le oyau de u, préciser sa dimesio E déduire la dimesio de Imu dot o précisera ue base ) Calculer M, M O ote u l edomorphismeu u ) Détermier Imu, préciser sa dimesio 4) E déduire la dimesio du oyau de u dot o précisera ue base et

4 EXERCICE 5 : Soit f l'edomorphisme de dot la matrice das la base caoique est M = ) Détermier Ker f E déduire que f est u automorphisme de ) Trouver la matrice de f das la base caoique de EXERCICE 6 : O cosidère l espace vectoriel mui de sa base caoique B e, e, e l edomorphisme f de dot la matrice das la base B est : A ) Doer ue base du oyau de f aisi qu ue base de l image de f Soiet les vecteurs : u e e e ; v e ; w e e e ) Motrer que C u, v, w est ue base de ) Doer la matrice de f das la base C et EXERCICE 7 : EDHEC S 7 O cosidère les matrices suivates de M 4 I, J, K et L O ote E le -espace vectoriel egedré par (I, J, K, L) et Id l edomorphisme idetité de E O pose A = J + K ) Motrer que (I, J, K, L) est ue base de E et doer la dimesio de E ) a) Exprimer J K, K L et L J e foctio respectivemet de L, J et K b) Calculer J, K et L puis e déduire que K J = L, L K = J et J L = K c) E déduire que E est stable pour le produit matriciel ) Calculer A E déduire que A est iversible et exprimer A e foctio de A 4) O cosidère l applicatio A qui à toute matrice M de E associe A (M) = A M A a) Motrer que l applicatio A est u edomorphisme de E b) Motrer que A est u automorphisme de E c) Écrire la matrice de A et das la base (I, J, K, L), A 4

5 EXERCICE 8 : (HEC 987) O désige par E l espace vectoriel des polyômes réels de degré iférieur ou égal à 4 O f P défii cosidère l applicatio f qui à tout élémet P de E associe le polyôme par : f P X P' P ) Motrer que f est u edomorphisme de E ) Ecrire la matrice de f relativemet à la base caoique B de E ) Détermier le oyau de f e déduire le rag de f ; préciser l image de f O cosidère l applicatio f f f 4) Pour tout élémet P de E, exprimer f P à l aide de P, P', P '' 5) Ecrire la matrice de f das la base B 6) Détermier le oyau de f et e déduire le rag de f EXERCICE 9 : Soit u réel met soit g, id, fm les edomorphismes de de matrices respectives A, I, M m ma J das la base caoique de : A, I, J C u, v, w u,,, v,,, w,, Soit avec ) Doer ue base de l image et du oyau de l edomorphisme f f est-il u automorphisme de? ) Détermier f e e e E déduire que f est pas u automorphisme de ) Motrer que, pour m,, m 4) Motrer que C u, v, w est ue base de f est u automorphisme de Exprimer ; ; f u f v f w e m m m foctio des vecteurs u, v, w E déduire la matrice de f m das la base C EXERCICE : (EMLYON 986) O ote f l edomorphisme de dot la matrice das la base caoique B e, e, e A D autre part, o cosidère les trois élémets v, v, v de v e e e ; v e e ; v e ) Calculer e, e, e e foctio de v, v, v B' v, v, v est ue base de ) Motrer que est défiis par : O ote P la matrice de passage de la base B à la base B ; calculer PP, ) Détermier la matrice A' de l edomorphisme f relativemet à la base B 4) Calculer ', ', ' A A A puis A pour tout etier aturel o ul 5

6 EXERCICE : (EMLYON 984) Soit E espace vectoriel sur de dimesio O cosidère l applicatio f de E das E dot la matrice das ue base B v, v, v est A= O défiit pour tout l applicatio f par f f f et f I E où I E désige l applicatio idetique de E ) Démotrer que f est u isomorphisme ) Motrer que f f I ; e déduire qu il existe deux suites réelles a, b E telles que, f a f b I E O cosidère les trois élémets de E défiis par : w v v ; w v v ; w v v v B' w, w, w est ue base de E Détermier la matrice A ' de f das ) Démotrer que la base B ' E déduire celle de f das cette même base ) E utilisat la questio ), calculer a, b e foctio de ; e déduire la matrice A EXERCICE : (ESCP 99) Das l espace vectoriel 4 mui de sa base caoique B e, e, e, e4 quatre vecteurs : f,,, ; f,,, ; f4,,, ; f4,,, ) Motrer que f, f, f, f est ue base de 4 ) O cosidère l edomorphisme u de 4 défii par les u e f ; u e f ; u e f ; u e f relatios : 4 4 o cosidère les 4 O otera désormais cette base C a) Motrer que u est u automorphisme de 4 Expliciter sa matrice associée das la base caoique B b) Détermier la matrice associée à l edomorphisme u et la matrice associée à l edomorphisme réciproque de u das la base B c) Détermier la matrice associée à l edomorphisme u das la base C x, y, z, t de ombres réels défiies par ) O cosidère les suites les valeurs iitiales x, y, z, t et, pour tout ombre etier aturel, par les relatios x x y z t 4 y x y z t de récurrece : 4 z x y z t 4 t x y z t 4 A l aide de l edomorphisme u doer ue iterprétatio matricielle de ces relatios E déduire que les 4 suites cosidérées ot pour limite 6

7 EXERCICE : (ESCP 987) ) O cosidère la matrice A a) Trouver toutes les matrices carrées réelles B d ordre telles que AB= Détermier la dimesio de l espace vectoriel formé par ces matrices b) Trouver toutes les matrices carrées réelles B d ordre telles que AB=BA= Détermier la dimesio de l espace vectoriel formé par ces matrices * ) Plus gééralemet, soit E u espace vectoriel sur de dimesio cosidère les edomorphismes u et v de E a) O suppose queu v v u Motrer que Im u Ker v et Imv Ker u Motrer que dim Ker u dim Ker v b) O suppose que Im u Ker v et Imv Ker u Motrer queu v v u ) La propriété u v implique-t-elle v u? Doer évetuellemet u cotre exemple EXERCICE 4 : EDHEC 7 O ote E l espace vectoriel des foctios polyomiales de degré iférieur ou égal à et o rappelle que la famille (e, e, e ) est ue base de E, les foctios e, e, e état défiies par : t, e (t) =, e (t) = t et e (t) = t O cosidère l applicatio qui, à toute foctio P de E, associe la foctio, otée φp, défiie par : x, φpx P( x t) dt ) Motrer que est liéaire ) Détermier φe x, φe x et φe x e foctio de x, puis écrire φe, φe et φe comme combiaisos liéaires de e, e, e Déduire des questios précédetes que φ est u edomorphisme de E ) Écrire la matrice A de das la base (e, e, e ) O vérifiera que la première lige de A est : 4) Justifier que est u automorphisme de E A 5) Compléter les commades Scilab suivates pour que soit affichée la matrice A pour ue valeur de etrée par l utilisateur : =iput( etrez ue valeur pour : ) A=[------] disp(------) 6) a) Motrer par récurrece que, pour tout etier aturel, il existe u réel u tel que l o ait : / u Doer u et établir que :, u u 6 b) E déduire, par sommatio, l expressio de u pour tout etier aturel c) Écrire A sous forme de tableau matriciel 7 O

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