HYPOTHESES. OFFRE ENSEIGNANTS -40%* sur la TI-92. Sommaire. Mathématiques 2 La TI-83 et ses plus : exemples.

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2 HYPOTHESES Mars 1996 Numéro 9 Bulletin Scientifique du Secondaire de Texas Instruments OFFRE ENSEIGNANTS -40%* sur la TI-92 Sommaire Mathématiques 2 La TI-83 et ses plus : exemples. Physique 5 Modélisation des oscillations d un ressort. Mathématiques 7 Avertissement concernant l utilisation de la TI-92. Offre de lancement 8 Nouvelle TI-92

3 MATHÉMATIQUES 3/96 LA TI-83 ET SES PLUS : EXEMPLES La TI-83 est la grande soeur de la TI-82; elle en conserve toutes les qualités, toutes les fonctionnalités. S'y ajoutent quelques innovations de taille, qui vont élargir encore le champ d applications des machines graphiques : un module de mathématiques financières élaboré qui devrait intéresser nos collègues enseignant l'économie, la gestion, la comptabilité; un module de statistique inférentielle qui devrait passionner tous nos collègues enseignant en classes de STS ainsi que ceux qui enseignent les probabilités; un module de calcul avec les nombres complexes qui devrait inciter tous nos collègues enseignant les nombres complexes à réfléchir à l'intégration d'un tel outil dans leurs pratiques pédagogiques quotidiennes; Les quelques exemples suivants n ont qu un seul objectif : Inciter chacun à se plonger dans la découverte de cet outil pour y trouver de nouvelles possibilités d'être toujours plus au service des élèves et des mathématiques. CALCULS COMPLEXES La TI-83 permet de calculer avec des nombres complexes comme avec des nombres réels et ceci même en étant dans le mode REAL : Toutes les opérations licites avec les complexes sont utilisables directement au clavier et le menu CPLX contient en plus des opérations spécifiques aux nombres complexes. Illustrons ceci en traitant l'exercice suivant : Soit le complexe j : j = i 3 2 A B Calculer : j 3, j, j 2, 1 + j + j 2, 1. j Ecrire j sous forme trigonométrique et vérifier tous les calculs précédents. AVEC LA TI-83 1 Sélection des modes utiles : 2 La rubrique CPLX du menu MATH : 3 Mémorisation de j et calculs demandés : Ces deux derniers écrans permettent de répondre à la question A et de constater que l'inverse de j est égal à son conjugué, que j et son conjugué sont des racines cubiques de 1 4 L'écran suivant permet la transition avec la question B : Il est possible, même dans le mode réel, d'obtenir la forme trigonométrique d un nombre complexe : 5 Changement de mode : mode trigonométrique pour les complexes et résolution de la question B. Noter la différence entre la première ligne de cet écran et la première ligne du même écran de 3 : les complexes sont automatiquement affichés sous forme trigonométrique. Voilà un tout petit aperçu des possibilités de la TI-83 concernant les calculs sur les nombres complexes. MATHEMATIQUES FINANCIERES A B Premiers exemples : CAPITALISATION Calculez la valeur acquise au moment du versement de la dernière annuité par une suite de 10 annuités de 5000 F chacune, le taux du placement étant de 4,5%. On veut constituer un capital de F à l'aide de versements mensuels constants. Sachant que la période d'épargne est de 5 ans et que le taux est de 5,25%, quel doit être le montant du versement mensuel? AVEC LA TI-83 1 Le menu FINANCE : 2 Entrée des données : Commentaires : N = 10 indique le nombre d'échéances; PV = 0 indique qu'il n'y a aucun apport initial (avant le premier versement); PMT = indique le montant du versement (noter le signe - qui indique une sortie d'argent); 2

4 MATHÉMATIQUES 3/96 P/Y= 1 indique qu'il n'y a qu'un seul versement par an; C/Y= 1 indique que le calcul des intérêts se fait une fois par an (au moment du versement); PMT : END indique que le versement a lieu en fin de période. Placer le curseur sur FV (valeur finale) et SOLVE donne alors la valeur manquante : ici FV (valeur finale) qui est le montant de la valeur acquise par ces versements. On dispose alors d'une somme de F. 3 Résolution de la question B : Les commentaires de l'écran suivant sont analogues au précédent. Conclusion : le versement mensuel de 1 461,10 F permet d'atteindre l'objectif fixé ( noter le signe - qui indique une sortie d argent). Deuxième exemple : AMORTISSEMENT D UN PRET IMMOBILIER Pour financer un achat immobilier on emprunte une somme de F au taux annuel de 7,5 %. Il est remboursable en 180 mensualités constantes. Dresser le tableau d'amortissement de ce prêt. AVEC LA TI-83 1 Calcul de la mensualité : Choisir l'option TVM Solver du menu FINANCE, procéder comme précédemment : entrer les données connues et placer le curseur sur PMT avant d utiliser SOLVE : Il faudra rembourser chaque mois la somme de 3244,54 F. 2 Calcul de la partie du capital restant à rembourser et décomposition de l'échéance entre capital et intérêts : La rubrique CALC du menu FINANCE : La commande bal permet de déterminer la part de capital restant à rembourser après chaque versement : Par exemple bal(2) donne ,31 ce qui signifie qu'après le deuxième versement il reste encore ,31 F de capital à rembourser après le cent-vingtième il reste encore ,55 F de capital à rembourser et après cent-quatre-vingt mensualités il ne plus rien à rembourser! La rubrique A (ΣInt du menu précédent) permet le calcul des intérêts et la rubrique 0 (ΣPrn du menu précédent) la part de capital remboursé; l'écran suivant donne des résultats : 4 Bilan final : Au total il aura fallu payer F d'intérêts et F de capital; c est ce que montre l'écran suivant : Remarque : Il est bien entendu possible d'obtenir le montant des intérêts payés pendant une période; par exemple ΣInt(13,24) donne le montant des intérêts payés au cours de la deuxième année (on obtient 24785,46 F il peut être utile de le savoir pour faire des économies d'impôts ). PROBABILITE ET STATISTIQUE Premier exemple : JEU DE DÉ Je lance 500 fois un dé non truqué et je compte le nombre de fois où j'obtiens 6. Ce nombre est la réalisation d'une variable aléatoire X dont on demande la distribution, l'espérance et la variance. Calculer les probabilités p 1 et p 2 suivantes : p 1 = p(x<83) et p 2 = p(78<x<89). AVEC LA TI-83 1 Ecran DISTR : 2- Entrée des données : VALK représente la liste des valeurs possibles pour X et PK la liste des probabilités associées. (Noter le nom des listes). 3- Visualisation des résultats : Graphique : Définir les paramètres graphiques (dans STAT PLOT ) permettant de tracer la courbe (k, p(x=k)). Avec la fenêtre de visualisation correspondant à (60<X<110 et -0,01<Y< 0,05) on obtient le graphique suivant : Remarquer que la probabilité de faire 75 fois un 6 est environ de 0,03. Tableau des résultats : Dans l'éditeur de données STAT,il suffit d éditer les deux listes et les faire défiler pour obtenir l'écran suivant : 3

5 MATHÉMATIQUES 3/96 4 Calcul de l'espérance et de la variance de X : Il suffit d'utiliser la rubrique CALC du menu STAT pour obtenir : 5 Calcul des probabilités p 1 et p 2 : p 1 = 0,513 et p 2 = 0, Le graphique précédent suggère une approximation normale; l'écran suivant confirme cette impression : 2 Entrée des données : Noter qu'il faut donner l'effectif et non la fréquence. 3 Ecran des résultats : Conclusion : Au seuil de confiance de 95 % le pourcentage de voix obtenu par A est compris entre 45 % et 59 %; il n est donc pas possible d affirmer qu il sera élu. Il est facile de vérifier par un calcul analogue qu avec un échantillon de 2500 personnes l'intervalle de confiance au risque de 5 % est [0.50,0.54] ce qui permet d'affirmer, au risque de 5 % que A sera élu. On teste l'hypothèse H0, p 1 = p 2 (les 2 traitements ont la même efficacité) contre l'hypothèse alternative (ici on a le choix) p 1 >p 2 ( x est plus efficace que y). Sous H0 la statistique T suit une loi normale centrée réduite. 2 Sélectionner DRAW pour obtenir : La statistique observée est égale à 1,543 et P(T>1,543) = 0,0614 qui est supérieure à 0,05 (5 %) : Au seuil de 5%, il n est donc pas possible de rejeter l'hypothèse H0, par contre au seuil de 10% on peut rejeter H0. Il est possible d obtenir simplement les chiffres en sélectionnant CALCULATE pour obtenir : Conclusion : Au risque de 5 % il n'est pas possible de déclarer que x est plus efficace que y mais au risque de 10 % on peut le déclarer. On vérifie bien que p 2 = 0,49 Deuxième exemple : LE SONDAGE POLITIQUE Dans un échantillon de 200 électeurs 52 % ont voté pour A. Donner un intervalle de confiance à 95 % pour la fréquence des votes de toute la population en faveur du candidat A. AVEC LA TI-83 1 L'écran TEST : Troisième exemple : COMPARAISON D EFFICACITÉ DE DEUX MÉDICAMENTS Deux groupes A et B sont formés de 100 malades chacun. Un médicament x ( respectivement y) est administré au groupe A (respectivement B). A la fin du traitement, 75 personnes de A et 65 personnes de B sont guéries. Peut-on affirmer au risque de 5 % que le médicament x est plus efficcace que y? Au risque de 10 %? 1 Entrée des données : A partir du menu TESTS (exemple précédent) choisir l'option 2-PropZTest : Voilà quelques exemples illustrant les possibilités nouvelles de la TI-83. La place manque pour donner d'autres exemples et en particulier pour illustrer un certain nombre d'évolution positive de la TI-83 par rapport à ses petites soeurs que sont la TI-80 ou la TI-82. On notera en particulier : partage d'écrans diversifié, solver d'équations, nouvelles possibilités de manipuler des suites définies par récurrence mais je vous laisse le soin de découvrir tout cela... Daniel Vagost Professeur de mathématiques Département STID IUT de METZ 4

6 PHYSIQUE 3/96 MODELISATION DES OSCILLATIONS D UN RESSORT La TI-83, dans ce type d'exercice ou d'expérience permet : De stocker dans des listes : - les couples (t,y) d'un tableau de données fourni dans l'énoncé de l'exercice, - les mesures des couples(t,y) saisies à l'aide de l'interface CBL couplée à la calculatrice. De modéliser les oscillations en utilisant la nouvelle fonction SinReg (régression sinusoïdale) de l'option Calc du menu STAT. Ce type de modélisation est en accord avec le nouveau programme de TS. La partie expérimentale sera volontairement traitée rapidement pour insister sur l'aspect modélisation. 1) RÉALISATION DE L'EXPÉRIENCE Les mesures sont effectuées à l'aide de l'expérience schématisée ci-dessous. Une masse (m = 200 g) accrochée à un ressort (k = 13.6 N/m) oscille selon un axe vertical. Le capteur SONIC relié à l'interface CBL couplée à la TI-83 permet de détecter la position de la masse par rapport au détecteur de mouvement. Un programme adéquat permet une communication entre CBL et la TI-83, les valeurs du temps t et de l'élongation y (repérée par rapport à la position d'équilibre), sont stockées dans deux des listes L 2 et L 4. Le temps global de mesure est de 4 secondes, l'intervalle entre deux mesures est 0,04 s. Nous effectuons ainsi 99 mesures mais ce nombre n'est pas limité à 99, comme pour la TI-82. Il est important de noter que tous les programmes réalisés sur la TI-82 sont transférables, sans aucune modification à la TI-83. C'est ce que nous avons fait ici. Le traitement statistique proposé sera réalisé sur 99 mesures, pour vous permettre de trouver le modèle et ainsi de vérifier les nouvelles performances de la TI-83, sans la partie mesure, nous vous proposons de le faire sur les 30 valeurs ci-dessous. Pour le temps t, dans L 2 et dans l'ordre : Pour le temps y, dans L 4 et dans l'ordre : Si vous n'avez pas la possibilité de pratiquer l'acquisition, les valeurs ci-dessus sont entrées au clavier dans les listes L 2 et L 4 (option EDIT du menu STAT ). Le traitement statistique ultérieur, visualisation et modélisation est le même pour les mesures à l'aide de CBL ou pour les données entrées au clavier. 2) VISUALISATION DES COUPLES (t,y) ET MODÉLISATION VISUALISATION DES COUPLES (t,y) Désactiver toutes les fonctions (dans Y = ). Définir la statistique (menu STAT PLOT ) pour avoir l'écran ci-dessous. Frapper les touches ZOOM puis 9 pour visualiser les couples (t,y). Vous obtenez l'écran ci-dessous, pour les 99 couples, avec 30 vous avez moins de périodes. La courbe observée semble de type sinusoïdale, nous allons chercher son modèle mathématique. 5

7 PHYSIQUE 3/96 Choisir : STAT CALC C : Sin Reg ENTER MODÉLISATION DE L'OSCILLATION (SinReg apparaît à l'écran). Taper L 2, L 4 (fonction 2nd des touches 1 et 4 ). À l'écran vous voyez SinReg L 2, L 4. Frapper ENTER (pour effectuer la régression sinusoïdale). Vous obtenez l'écran ci-dessous : SUPERPOSITION DU MODELE AUX MESURES En premier lieu, nous allons limiter le nombre de chiffres significatifs en choisissant dans le menu MODE, trois chiffres après la virgule (valider le 3 sur la même ligne que Float). Cette machine possède la remarquable propriété d'effectuer le calcul de la régression et d'enregistrer simultanément l'équation de cette régression dans une fonction de Y=. Nous allons mettre l'équation en Y 2 (effacer la fonction présente si nécessaire) Choisir : STAT CALC C : Sin Reg Désactiver Y 1. Appuyer sur TRACE, vous obtenez l'écran ci-dessous. ENTER (SinReg apparaît à l'écran) La superposition nuage de points modèle est excellente. a représente l'amplitude : a = Ym = m b représente la pulsation propre : b = wo = 8.1 rad/s c représente la phase à l'origine : c = = 3.1 rad d nous indique que la sinusoïde est légèrement décalée vers les y négatif : d = m 0 m Le modèle mathématique de ce nuage de mesures est : y = Ym sin(wot+ ) = sin(8.1t+3.11) Dans le cas présent nous pouvons comparer la pulsation propre expérimentale (8.1 rad/s) à la pulsation propre théorique : wo = (k/m) = (13.6/0.2) = 8.2 rad/s Ces deux valeurs sont très proches, ce qui indique un bon accord entre la théorie et l'expérience. Taper L 2, L 4 (fonction 2nd des touches 1 et 4 ). Puis Choisir VARS Y-VARS 1 : Function ENTER 2 : Y 2 ENTER À l'écran vous voyez SinReg L 2, L 4,Y 2. Frapper ENTER (pour effectuer la régression sinusoïdale). Vous obtenez l'écran ci-dessous : Vérifier que l'équation de la régression est dans Y=, taper sur la touche Y=, vous visualisez l'écran ci-dessous. Pour aller plus loin : Grâce à SinReg nous pouvez modéliser des phénomènes oscillants dans différents domaines (mécanique, électricité, ). La TI-83 permet aussi de nommer les listes par exemple EL (élongation) au lieu de L 2. Avec l'option nderiv (du menu MATH ) vous pouvez tracer la dérivée de l'élongation donc la vitesse Gilles BAUDRANT Professeur de physique Éditeur : TEXAS INSTRUMENTS S.A. au capital de F - Siège social : Centre de recherche et de production Direction Générale Européenne BP Villeneuve Loubet Cedex Tél. : I.S.S.N. en cours. Directeur de la publication : M. Christian TORDO. Responsables de la rédaction : Philippe FORTIN, Gilles BAUDRANT, Daniel VAGOST. Réalisation : DIAGONAL Communication, RC PARIS B Imprimeur : TYPOFILM, 31 av. Léon Gambetta Montrouge. 6

8 MATHÉMATIQUES 3/96 A VERTISSEMENT CONCERNANT L UTILISATION DE LA TI-92 Vous trouverez ici deux informations importantes concernant l'étude d'une composition de fonction et la résolution d'une équation faisant intervenir une inconnue complexe et son conjugué sur la TI-92. Si vous êtes utilisateur de la TI-92, il est particulièrement important d'en prendre connaissance pour éviter toute erreur de manipulation. Nous vous remercions également de bien vouloir diffuser cette information auprès de vos élèves utilisateurs de la TI-92. COMPOSITION DE FONCTIONS Lors d'une composition symbolique de fonctions, il ne faut pas utiliser la même variable que celle qui apparaît dans la définition de ces fonctions. Soit par exemple f la fonction définie par l'instruction ln(x + (x)) f(x) et g définie par x+1 g(x) Nous voulons calculer l'expression symbolique de f og. La variable x ayant été utilisée lors de la définition de f et g, le calcul de f(g(x)) risque de donner un résultat incorrect ou de provoquer l'apparition d'un message d'erreur. Il est possible d'utiliser toute autre variable. Nous pouvons par exemple calculer f(g(t)) : Cette situation est liée à la manipulation de variables purement symboliques. Un exemple simple permet de mieux comprendre les implications de ce type de calcul : quel serait l'effet d'une instruction du type x +1 x, suivie d'une demande d'affichage de la valeur de x? 1 Le contenu de x est x+1. 2 Avant d'afficher ce résultat, la TI-92 remplace x par son contenu, on obtient donc ici (x + 1) +1 = x La variable x apparaît encore dans cette expression. On obtient cette fois (x + 1) + 2 = x +3 On entrerait en fait dans un processus sans fin! Pour l'éviter, la TI-92 affiche un message d'erreur lorsque l'on écrit x +1 x : Naturellement, si on a placé au préalable une valeur numérique dans la variable x, tout se passe comme sur une calculatrice numérique. La TI-92 utilise la valeur déjà contenue dans x, ajoute 1, et place le résultat dans x. Pour cette raison, il est tout à fait possible de construire la représentation graphique de fonctions associées (par exemple y 1 = cos(x) et y 2 = y 1 (x-1)) car cette construction graphique n'utilise que des valeurs numériques. EQUATIONS COMPLEXES Comme indiqué à la page 20-7 du manuel, la TI-92 considère que les variables symboliques sont toutes des variables réelles. Il peut arriver que cela soit à l'origine de résultats inattendus comme dans le cas de la résolution d'une équation utilisant le conjugué de l'inconnue. En effet, lors de la simplification préalable de cette équation, conj(z) sera remplacé par z, ce qui aura naturellement des conséquences sur la résolution de cette équation. Pour résoudre une équation de ce type, on doit placer dans z l'expression x + iy, puis prendre la partie réelle et la partie imaginaire de l'équation. On obtient ainsi un système de deux équations permettant de déterminer les valeurs de x et y. Voici un exemple de résolution : Plus généralement, si on calcule l'image par une fonction d'une expression contenant une variable symbolique de même nom que celui utilisé lors de la définition de la fonction, on risque d'obtenir un résultat erroné, ou un message d'erreur. Avec la fonction précédente, on pourra donc calculer f(2t + 1) ou f(t 2 ), mais pas f(2x + 1) ou f(x 2 ). De même, si on calcule f(x + 1) alors que x possède une valeur, il n'y a aucun problème particulier. Par exemple si x = 8, la TI-92 remplace x + 1 par 9, puis calcule f(9). Ce dernier est égal à ln(9+ (9)), c'est à dire à ln(12), que la TI-92 va pouvoir simplifier : On peut ensuite procéder par substitution, ou utiliser directement la fonction SIMULT : Nous obtenons ici z=-(1+i)/2. Philippe FORTIN Professeur de mathématiques 7

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10 HYPOTHESES Mars 1996 Numéro 9 Bulletin Scientifique du Secondaire de Texas Instruments OFFRE ENSEIGNANTS -40%* sur la TI-92 Sommaire Mathématiques 2 La TI-83 et ses plus : exemples. Physique 5 Modélisation des oscillations d un ressort. Mathématiques 7 Avertissement concernant l utilisation de la TI-92. Offre de lancement 8 Nouvelle TI-92

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