Sujets des projets. Informatique de Base Université Pierre et Marie Curie

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1 1 Sujets des projets Informatque de Base Unversté Perre et Mare Cure D Bernard, F Hecht, N Segun Master I / sesson 2004/2005 Table des matères 1 Sujet : Recherche rapde d un trangle contenant un pont dans un mallage 2 11 Projet 1 (promenade) 2 12 Projet Sujet : Algorthme de Mallage de Delaunay 3 21 méthode optmsaton 4 22 Projet 3 : Algorthme 3 / Modéle M Projet 4 : Algorthme 3 / Modéle M Projet 5 : Algorthme 3/ Modéle M Projet 6 : Algorthme 4 / Modéle M Projet 7 : Algorthme 4 / Modéle M Projet 8 : Algorthme 4/ Modéle M Optmsaton de mallage 7 31 Projet Projet 10 : Optmsaton d un trajet sur une topographe quelconque 7 41 Dscrétsaton et graphe 8 42 Détermnaton du plus court chemn 8 43 But du projet 9 5 Projet 11 : Problème du voyageur de commerce 9 51 Soluton ntale 9 52 Méthodes d améloraton 9 53 Projet Algorthmes sur les grands enters projet 11 :Nombres de Fbonacc projet 12 : Algorthme de Cornaccha 11 7 Annexe : Structure des fchers mallage 11 Introducton Pour tous le projet, l faut fare un rapport sous une forme de page web au format html d une dzane de pages ou d un document Latex Ces projets sont a réalser par bnôme, les chox des projets sont fate par les ensegnants, une fos le bnôme déclarer

2 MIM Mathématques Infomatques 2 1 Sujet : Recherche rapde d un trangle contenant un pont dans un mallage Un mallage conforme formé d un ensemble de n T trangles T h telle que l ntersecton de 2 trangles dstncts sot une arête commune, un sommet commun ou ren, où les l ensemble des n S sommets de T h est noté S h Fg 1 exemple de mallage Le but est d écrre un algorthme de recherche d un trangle K dans un pour mallage est convexe T h contenant un pont (x, y) en O(log 2 (n T )) 11 Projet 1 (promenade) Algorthme 1 Partant du trangle K, Pour les 3 arêtes (a, b ), = 0, 1, 2 du trangle K, tournant dans le sens trgonométrque, calculer l are des 3 trangles (a, b, p) s le tros ares sont postves alors p K (stop), snon nous chosrons comme nouveau trangle K l un des trangles adjacent à l une des arête assocée à une are négatve (les ambguïtés sont levées aléatorement) 1 Construre une classe mallage formé d un tableau de sommets et d un tableau de trangle, qu lt le fcher mallage 2 Construre une méthode dans la classe mallage donnant le trangle K adjacent d un trangle K opposé à son sommet {0, 1, 2} La complexté de cette foncton dot être constante après ben sur une unque ntalsaton en O(n T ) ou O(n T log 2 (n T )) Pour cela vous pourrez utlser le chaptre chaîne et chaînage 3 Programmez l algorthme 1 en partant d un trangle quelconque (ajoutez une nouvelle méthode de la classe mallage) 4 Pus trouver pour chaque sommet d un autre mallage donné du même domane, le trangle le contenant Afn de brser la complexté algorthmque, l faut utlser l asserton suvante : les sommets d un trangle sont proche car les trangles sont petts 12 Projet 2 Programmaton d une méthode pour trouver, rapdement un trangle proche d un pont donné en O(log(n)) Pour cela nous utlserons, un arbre quaternare pour stocker les sommets dans mallages comme sut :

3 MIM Mathématques Infomatques 3 Algorthme 2 Sot B 0 une bote carre contenant tous les ponts du mallage On applque la procédure récursve suvante à B 0 Sot B α la bote ndcée par α qu est une chaîne de 0,1,2 ou 3 (exemple α = ) la longueur de la chaîne est note l(α) procedure applqué à la bote B α : la bote B α content mons de 5 ponts, on les stockes dans la bote et on a fn, snon on découpe la bote B α en 4 sous botes égale noté B α0, B α1, B α2, B α3 (on stocke les 4 ponteurs vers ces botes dans la bote), et on applque la procédure au 4 nouvelles botes Remarque : pour smplfer la programmaton de l arbre quaternare, on peut construre une applcaton qu transforme le pont de IR 2 en ponts à coordonnées entères en construsant une applcaton affne qu transforme par exemple B 0 en [0, 2 31 [ 2 Dans ce cas, les coordonnées entères permettent de lmter la profondeur de l arbre à 32 nveaux, et d utlser les opérateurs enters en nombre bnare du C comme &,, ^ 1 Construre une classe mallage formé d un tableau de sommets et d un tableau de trangle, qu lt le fcher mallage 2 Construre l arbre quaternare contenant les sommets du mallage 3 Trouver la bote non vde la plus pett B α(p) de l arbre contenant un pont p 4 Par constructon, chaque sommet s appartent à au mons un trangle K s Nous chosrons comme trangle de départ K s, l un des trangles assocées l un des sommets la bote B α(p) 5 Construre une méthode dans la classe mallage donnant le trangle K adjacent d un trangle K opposé à son sommet {0, 1, 2} La complexté de cette foncton dot être constante après ben sur une unque ntalsaton en O(n T ) ou O(n T log 2 (n T )) Pour cela vous pourrez utlser le chaptre chaîne et chaînage 6 Programmez l algorthme 1 en partant du trangle K s 2 Sujet : Algorthme de Mallage de Delaunay But : générer la trangulaton de Delaunay, d un ensemble de, N p ponts de [0, 1] 2 crées aléatorement Volà deux algorthmes Algorthme 3 1 Prendre pour orgne le pont de coordonné mnmal O = ( mn =1,N p x k ) k=1,2 où les (x k ) k=1,2 sont les coordonnées des ponts x 2 Trer les x avec l ordre σ lexcographque par rapport à la norme de x O et l ordonné x Cette ordre est telle que le pont courant sot a l extéreur du convexfé des ponts précédents 3 Ajouter les ponts x σ() un à un suvant l ordre σ pré-défn par l étape 2 Les ponts ajoutes sont toujours à l extéreur du mallage courant Donc on peut créer un nouveau mallage du convexfé Pour cela, l sufft de ajouter à chaque arêtes (x a, x b ) frontères orenté (le convexe est à gauche de l arête) le trangle (x a, x σ(), x b ) s (det(x b x σ(), x a x σ() > 0 (la arête (x a, x b ) est vsble du pont x k () 4 Pour rendre le mallage de Delaunay, l sufft d applquer la méthode optmsaton du mallage autour du ponts x σ () en rendant toutes les motfs forment de 2 trangles contenant le pont x σ () de Delaunay, et cela pour tous les ponts x k () du mallage juste après son nserton

4 MIM Mathématques Infomatques 4 Fg 2 Répresentaton graphque de l algorthme 3 Algorthme 4 1 Generer un mallage formé d un trangle, qu contendra tous les ponts du mallage future 2 Ajouter les ponts N p un à un suvant un ordre aléatore Les ponts ajoutés sont toujours dans un ou deux trangles Trouvez ces trangles en utlsant l algorthme 1 et pus découpez le trangle en 3 trangle ou le quadrangle en 4 trangles 3 Pour rendre le mallage de Delaunay, l sufft d applquer la méthode optmsaton du mallage autour du ponts x k en rendant toutes les motfs forment de 2 trangles contenant le pont x k de Delaunay, et cela pour tous les ponts x k du mallage juste après son nserton Fg 3 Répresentaton graphque de l algorthme 4 21 méthode optmsaton Nous ferons un d échange de dagonale [s a, s b ] dans un quadrlatère convexe de coordonnées s 1, s a, s 2, s b (tournant dans le sens trgonométrque) s le crtère de la boule vde n est pas vérfé comme dans la fgure 4 Le Crtère de la boule vde dans un quadrlatère convexe s 1, s a, s 2, s b en [s 1, s 2 ] est équvalent à l négalté angulare (proprété des angles nscrts dans un cercle) : ŝ 1 s a s b < ŝ1 s 2 s b

5 MIM Mathématques Infomatques 5 b b a a Fg 4 Échange de dagonale d un quadrlatère convexe selon le crtère de la boule vde Comme la cotangente est un foncton strctement décrossant entre ]0, π[, l sufft de vérfer : cotg(ŝ1 s a s b ) = (s1 s a, s b s a ) det(s 1 s a, s b s a ) > (s 1 s 2, s b s 2 ) det(s 1 s 2, s b s 2 ) = cotg(ŝ1 s 2 s b ) où (, ) est le produt scalare de IR 2, où det(, ) est le détermnant de la matrce formé avec les 2 vecteurs de IR 2 Ou encore, s l on ne veut pas dvser et s l on utlse les ares des trangles are 1ab et are 1ab, comme nous avons det(s 1 s a, s b s a ) = 2 are 1ab et det(s 1 s 2, s b s 2 ) = 2 are 12b, le crtère d échange de dagonale optmsé est are 12b (s 1 s a, s b s a ) > are 1ab (s 1 s 2, s b s 2 ) (1) Pour programmer ces algorthmes l faut modélser sot : M-1) un trangle et connatre ses vosns, de plus, l est nécessare d avor la lste des arêtes frontères dans l algorthme 3, pour cela nous ntroduront un trangle fctf qu a un sommet à l nfn pour chaque arête frontère ; M-2) une arêtes du mallages et les arêtes tournant autour d un sommet ;

6 MIM Mathématques Infomatques 6 M-3) une arêtes du mallages et les 4 arêtes vosnes Avec l une de c est donné, l est possble de contrure une fcher mallage Dans ces 6 projets suvant, une étude de la complexté des algorthmes est demandée et une vérfcaton numérque est souhaté Une opton de vsualsaton pas à pas pour comprendre de déroulement du programme est mpératve Pour fnr, l faut écrre un fcher mallage du type decrt dans l annexe 7 22 Projet 3 : Algorthme 3 / Modéle M-1 Défnr des classe trangle, Sommet, Trangulaton qu permettent de retrouver les 3 trangles adjacent a un trangles en O(1) opératon 23 Projet 4 : Algorthme 3 / Modéle M-2 Défnr des classe Sommet, Arete, Trangulaton tel que pour chaque sommet, l sot possble de trouver l arête suvante ou précédant en tournant autour de sommet en O(1) opératon Remarque, les trangles ne seront connus que «vrtuellement» (construt au vol) à partr d un angle et d un sommet Pour évter les doublons de trangles, l sufft de remarquer qu un trangle à toujours un sommet de plus pett numéro et donc de construt le trangle que s le numéro du sommet est plus pett que les autres Pus a la fn reconstrure les trangles pour un fcher mallage msh 24 Projet 5 : Algorthme 3/ Modéle M-3 Défnr des classes Arete, Sommet, Trangulaton tel que pour chaque arête, l on connaîtra les 4 arêtes vosnes Remarque, les trangles ne seront connus que «vrtuellement» (construt au vol) à partr d une arête et d une orentaton Pour évter les doublons de trangles, l sufft de remarquer est formé de 3 arêtes et comme précédemment, l sufft de construt le trangle que s le numéro d arête est plus pett que les autres pour évter les doublons Pus a la fn reconstrure les trangles pour un fcher mallage msh 25 Projet 6 : Algorthme 4 / Modéle M-1 Défnr des classe trangle, Sommet, Trangulaton qu permettent de retrouver les 3 trangles adjacent a un trangles en O(1) opératon 26 Projet 7 : Algorthme 4 / Modéle M-2 Défnr des classe Sommet, Arete, Trangulaton tel que pour chaque sommet, l sot possble de trouver l arête suvante ou précédant en tournant autour de sommet en O(1) opératon Remarque, les trangles ne seront connus que «vrtuellement» (construt au vol) à partr d un angle et d un sommet Pour évter les doublons de trangles, l sufft de remarquer qu un trangle à toujours un sommet de plus pett numéro et donc de construt le trangle que s le numéro du sommet est plus pett que les autres

7 MIM Mathématques Infomatques 7 remarque : l faut quelque peut changer l algorthme de promenade 1 car non avons pas de trangles mas des sommets Algorthme 5 Partant d un sommet s, trouver les 2 arêtes concécutve (s, a) et (s, b) du sommet s (où a et b sont les 2 autres sommets des arêtes), tournant dans le sens trgonométrque, tel que les ares sgnées des 2 trangles A = are(a, p, s) et B = are(b, s, p) sot postve Sot l are du trangle C = are(a, b, s) s C est négatf ou nul alors le pont est à l extereur, s C A B est postf alors on a trouver le trangle snon chosr aléatorement le nouveau pont s entre les ponts a et b et contnuer Pus a la fn reconstrure les trangles pour un fcher mallage msh 27 Projet 8 : Algorthme 4/ Modéle M-3 Défnr des classes trangle, Arete, Trangulaton tel que pour chaque arête, l on connaîtra les 4 arêtes vosne Remarque, les trangles ne seront connus que «vrtuellement» (construt au vol) à partr d une arête et d une orentaton Pour évter les doublons de trangles, l sufft de remarquer est formé de 3 arêtes et comme précédemment, l sufft de construt le trangle que s le numéro d arête est plus pett que les autres pour évter les doublons remarque : l faut quelque peut changer l algorthme de promenade 1 car non avons pas de trangles mas seulement des arêtes : Algorthme 6 Partant d une arête e de sommet (a, b) On peut supposer que p est a gauche de (a, b) pour cela échangé a et b s l are sgnée du trangle (a, b, p) est négatve Sot (a, c1) et (b, c1) les deux arêtes du coté de p S c1 c1 alors le pont p est extereur, snon c1 = c2 que l on notera c alors l arête est nterne, l faut chosr l arête suvante dans le trangle (a, b, c) s nécessare avec le même méthode que dans l algorthme 1 Pus a la fn reconstrure les trangles pour un fcher mallage msh 3 Optmsaton de mallage Le but de ce projet de vsualser une foncton f du carré ]0, 1[ 2 à valeur de IR avec une précson de ε donné Pour cela, l faut construre un mallage telle que l erreur sur chaque arête du mallage sot plus pett que ε L erreur e(a, B) sur une arête A, B sera approché par e(a, B) (f(a)+f(b))/2 f((a+b)/2) L algorthme de raffnement de mallage est très smples : coupez les arêtes avec une erreur trop grande en deux parte égale, ans que les trangles adjacents S l on utlse cette technque bêtement alors la qualté des trangles devent très médocre Pour évter ce problème, l sufft de découper les arêtes en allant de la plus grandes à la plus pettes 31 Projet 9 Programmer l algorthme precédent pour vsualser la foncton f(x, y) = x 2 + y 3 + tanh(5 sn(2 (y + x)), avec la bblothèque GLUT où le paramètre ε peut être changer ntéractvement, et ben sur l dot être possble affcher ou non le mallage 4 Projet 10 : Optmsaton d un trajet sur une topographe quelconque Le prncpe est d optmser le trajet d un véhcule se déplaçant d un pont à un autre sur un terran ayant une topographe quelconque Cette optmsaton devra être réalsée en mnmsant

8 MIM Mathématques Infomatques 8 deux quanttés : la dstance entre le pont de départ et le pont d arrvée et la pente (postve et négatve) du trajet Il faudra donc trouver le chemn optmal pour que le véhcule at le mons de dstance à parcourr et qu l at le mons à monter et descendre possble 41 Dscrétsaton et graphe Sot Ω = [a, b] [c, d] R 2 le domane dans lequel le véhcule pourra évoluer Sot la foncton f : Ω R assocant à un pont X = (x, y) son alttude f(x) La premère étape est la dscrétsaton de Ω On se donne deux enters N x et N y et on défnt les ponts X j = (x, y j ) avec = 1,, N x et j = 1,, N y S on note x = (b a)/(n x 1) et y = (d c)/(n y 1), on chosra N x et N y tels que x y Les ponts (X j ),j sont les sommets du graphe assocé à Ω (on notera X l ensemble des sommets (X j ),j du graphe) On défnt ensute l ensemble A des arêtes du graphe Pour cela, on se donne un réel δ > max( x, y) Les arêtes du graphe sont défnes par les segments σ XnX m = (X n, X m ) 1 n,m NxN y vérfant 0 < X n X m δ Voc deux exemples de graphes obtenus suvant dfférentes valeurs de δ y δ y δ x max( x, y) < δ < x 2 + y 2 x x 2 + y 2 δ < 2 mn( x, y) La dernère étape pour la constructon du graphe est d affecter une valeur à chacune des arêtes Sot l arête σ XnXm relant les ponts X n et X m La valeur c XnXm (ou le coût) assocée à cette arête sera une foncton qu dépendra à la fos de la dstance X n X m ans que la valeur absolue de la pente f(x m ) f(x n ) / X n X m Le coût c XnXm pour aller de X m à X n (ou ben de manère équvalente de X n à X m ) par l arête σ XnXm sera d autant plus grand que la dstance entre X m et X n sera mportante et que la valeur absolue de la pente sera grande Par exemple, on pourrat défnr le coût ans : c XnXm = α X n X m max( x, y) + (1 α) f(x m) f(x n ), 0 α 1 X n X m 42 Détermnaton du plus court chemn Sot A X le pont de départ du véhcule et B X son pont d arrvée On défnt un chemn C allant de A à B comme une sute de sommets de X C = {A = X 0, X 1, X 2,, X p 1, X p = B} tels que pour tout n = 0,, p 1 on at σ XnXn+1 A, c est-à-dre que tout segment (X n, X n+1 ) corresponde à une arête du graphe On assoce au chemn C son coût : c C = p n=0 c X nx n+1 Le problème d optmsaton du trajet du véhcule revent donc à trouver le chemn allant de A à B dont le coût est le plus fable Ce chemn est appelé le plus court chemn Pour le détermner, on utlsera l algorthme de Djkstra Sot R l ensemble des sommets restant à vster et P l ensemble des sommets déjà parcourus On défnt auss d(x) comme le coût du plus court chemn relant X à A et p(x) le prédécesseur de X dans le plus court chemn le relant à A L algorthme de Djkstra : Intalsaton : R = X \ {A}, P = {A}, d(a) = 0, d(x) = c AX s σ AX A et d(x) = + snon

9 MIM Mathématques Infomatques 9 Tant que B / P, Fare : Trouver X le sommet réalsant le mnmum de d() sur R Ajouter X à l ensemble P Enlever X à l ensemble R Pour tout Y R tel que σ XY A, Fare : S d(x) + c XY < d(y ) Alors d(y ) = d(x) + c XY, p(y ) = X ; Fn S Pour obtenr le plus court chemn relant A et B, l sufft alors de chemner à l envers : on regarde B, pus on sauvegarde son prédécesseur p(b), pus le prédécesseur de son prédécesseur p(p(b)), jusqu à arrver à A 43 But du projet Le but de ce projet est donc de réalser un programme utlsant GLUT (vor le TP 3) permettant d affcher dans une fenêtre graphque où les sommets du graphe correspondront aux pxels de la fenêtre, dont la couleur sera donnée par la valeur de la topographe en chacuns de ces ponts On devra pouvor vsualser en outre le plus court chemn entre deux ponts de la fenêtre obtenu par l algorthme de Djkstra Enfn, les ponts de départ et d arrvée et dfférents paramètres de la constructon du graphe devront pouvor être modfés Par exemple, dfférentes topographes pourront être utlsées (collnes, vallées, labyrnthes, ), la valeur de δ pourra changer et le calcul du coût par arête pourra être chos de manère à prvléger la dstance, la pente, ou les deux, en prenant par exemple une combnason convexe de ces quanttés dont la pondératon pourra être modfée par l utlsateur Attenton, la geston de la mémore devra être partculèrement sognée, pour ne pas avor à stocker des nformatons nutles (matrces creuses ) 5 Projet 11 : Problème du voyageur de commerce Données : n vlles numérotées 1, 2,, n Sot d j le coût (c ce sera la dstance) entre les vlles et j On cherche le tour de coût mnmum qu passe une fos et une seule par toutes les vlles (cycle hamltonen) Pour les tests, on trera aléatorement suvant une lo unforme les postons des vlles dans un carré S (x, y j ) sont les coordonnées de et j d j = (x x j ) 2 + (y y j ) 2 (dstance eucldenne) Algorthme à tester 51 Soluton ntale A1 Prendre les vlles dans l ordre 1, 2,, n A2 Partr d une vlle et chosr la plus proche pus la plus proche etc S (1) et (k) sont les premères et dernères vlles, refermer le chemn en ajoutant l arc (k, 1) A3 Partr de 3 vlles ( {1,2,3} par exemple) Supposons à une tératon qu on at les vlles ( 1, 2,, k ) formant un cycle Chosr une vlle j non encore étudée et la placer entre 2 vlles r, r + 1 successves du crcut actuel (1 r < k) ou ( k, 1 ) de la manère la mons coûteuse A4 Construre l arbre de pods mnmum et parcourr 2 fos cet arbre pus enlever les vlles parcourues 2 fos ce qu donne en fat [ ] 52 Méthodes d améloraton B1 Echange de 2 arcs sur la soluton actuelle (vor schma) Soent 2 arcs e = (, + 1), f = (j, j + 1) non consécutfs utlsés par la soluton courante H (cad) les 4 ndces, j, + 1, j + 1 sont dstncts)

10 MIM Mathématques Infomatques 10 La nouvelle soluton H 1 consste à prendre j comme sommet suvant de, de parcourr les sommets (j 1, j 2, + 1) pus d aller en j + 1 et de compléter la tournée comme dans la soluton H Le coût C(H 1 ) de H 1 se dédut de celu de C(H) de H en ajoutant le coût des arcs (, j)( + 1, j + 1) et en retrant le coût des arcs (, + 1)(j, j + 1) On dra que H 1 amélore H s C(H 1 ) < C(H) S H 1 amélore H, remplacer H par H 1 et rechercher une nouvelle améloraton S aucune améloraton n est possble à partr de H 1 pour tous les chox possbles de 2 arcs e et f de H, fournr H comme soluton de l algorthme B2 Enlever une vlle d une soluton actuelle et la replacer par un endrot plus ntéressant Soent deux arcs (, + 1), (j, j + 1) non consécutfs ( c est à dre que les 4 ndces, + 1, j, j + 1 sont dstncts) utlsés par la soluton actuelle H l l l+2 j 8 Fg 5 fgure A3 +1 j-1 j fgure A4 j-1 j-1 j -1 j+1 j +1 Fg 6 fgure B1 fgure B2 53 Projet 1 programmer les quatre ntalsatons et le deux méthodes d améloraton, fate une analyse smple de la complexté des algorthmes 6 Algorthmes sur les grands enters Le but de ce projet est de se famlarser avec l nstallaton, l apprentssage et l usage d une bblothèque externe Ic, nous utlserons la bblothèque NTL (A Lbrary for dong Number Theory) de Vctor Shoup Nous n utlserons qu une toute pette parte de cette bblothèque C++, celle consacrée aux grands enters Toutes les fonctons dont vous aurez beson se trouvent dans le module ZZ 61 projet 11 :Nombres de Fbonacc Ils sont défns par la récurrence : F 0 = 0, F 1 = 1 et n 2, F n = F n 1 + F n 2 ûcrre un programme qu demande à l utlsateur un nombre n, calcule F n et l mprme

11 MIM Mathématques Infomatques 11 On consdère la matrce M = ( ), et on défnt M n = M n Montrer que l on a pour tout n ( Fn 1 F M n = n F n F n+1 et que l on peut applquer la stratége dvser pour conquérr pour calculer M n par la formule { (Mn/2 ) M n = 2 s n est par, M(M (n 1)/2 ) 2 snon En dédure une autre méthode de calcul de F n et l mplémenter Comparer sa vtesse d exécuton à la précédente Montrer que l on peut ans calculer F n modulo m Implémenter la foncton obtenue et calculer le reste de la dvson par de F ), 62 projet 12 : Algorthme de Cornaccha Théorème 1 S p est un nombre premer congru à 1 modulo 4 Il exste deux enters x et y tels que p = x 2 + y 2 ûcrre une foncton qu prend en entrée un enter n et renvoe le plus pett nombre premer p congru à 1 modulo 4 qu sot plus grand ou égal à n On utlsera entre autres NextPrme Il exste un enter a tel que 1 < a < p et a 2 est congru à 1 modulo p ûcrre une foncton qu prend en entrée un nombre premer p congru à 1 modulo 4 et renvoe un enter a tel que 1 < a < p et a 2 est congru à 1 modulo p Attenton, s p est grand, l n est pas queston d essayer toutes les valeurs de a possbles Cherchez dans la bblothèque Dans l algorthme qu sut, x MODULO m désgne l unque enter congru à x modulo m qu est comprs entre m/2 et m/2 x = a; y = 1; whle x^2 + y^2 > p do begn m = (x^2 + y^2) / p; x1 = x MODULO m; y1 = y MODULO m; x2 = (xx1 + yy1) / m y2 = (xy1 - yx1) / m x = x2; y = y2; end whle Montrer que tous les nombres ntervenant dans l algorthme sont des enters, que l algorthme s arrête et qu à la fn, on a x 2 + y 2 = p Implémenter l algorthme précédent, en permettant à l utlsateur de donner p, ou de donner n et de lasser le programme trouver p Le résultat est le couple (x, y) qu est unque à l ordre près 7 Annexe : Structure des fchers mallage We can read from Fg 7 and mesh samplemsh as n Table 1 where n v s the number of vertces, n t number of trangles and n s the number of edges on boundary For each vertex q, = 1,, n v, we denote by (qx, qy) the x-coordnate and y-coordnate Each trangle T k, k = 1,, 10 have three vertces q k 1, q k 2, q k 3 that are orented n counterclockwse The boundary conssts of 10 lnes L, = 1,, 10 whose tps are q 1, q 2

12 MIM Mathématques Infomatques 12 In the left fgure, we have the followng n v = 14, n t = 16, n s = 10 q 1 = ( , ) q 14 = ( , ) The vertces of T 1 are q 9, q 12, q 10 The vertces of T 16 are q 9, q 10, q 6 The edge of 1st sde L 1 are q 6, q 5 The edge of 10th sde L 10 are q 10, q 6 Fg 7 mesh by buldmesh(c(10)) Contents of fle Explanaton n v n t n e qx 1 qy 1 boundary label= qx 2 qy 2 boundary label= qx 14 qy 14 boundary label= regon label= regon label= regon label= boundary label= boundary label= boundary label=1 Tab 1 The structure of mesh samplemsh