Applications différentiables

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1 Chapitre 8 Applications différentiables Soit f : I E, où I est une intervalle de R, et E est un espace vectoriel normé réel. On rappelle la définition du vecteur dérivé en a : f (a) = lim (f(a + h) f(a)). h h 0 1 La dérivabilité en a, c est à dire l existence de la limite précédente équivaut à l existence d un développement limité d ordre 1 : f(a + h) = f(a) + hv + o(h). C est ce point de vue qui se généralise. L application linéaire continue : R h E hv est l application linéaire tangente. On va la noter df a : df a (h) = hv E, df a L(R, E). Et lorsque f est dérivable sur I, df est une application de I dans L(R, E). 8.1 Différentiabilité Définition Soient E et F des espaces vectoriels normés (sur R ou C), U un ouvert de E et a U. f est différentiable en a si et seulement s il existe une application linéaire continue L telle que : f(a + h) = f(a) + L(h) + o( h ) 34

2 Proposition Lorsque f est différentiable en a, l application L est unique. On note df a l application linéaire continue L de la définition précédente. On l appelle la différentielle de f en a. Définition On dit que f est différentiable sur U lorsque f est différentiable en tout point a de U ; df note alors l application de U dans L(E,F) qui à a associe df a. f est de classe C 1 sur U si et seulement si df : U L(E,F) est continue. Proposition Si f est différentiable en a alors elle est continue en a. Remarque La différentiabilité est locale : on ne modifie ni la différentiabilité en a, ni la différentielle en a, si on restreint à un voisinage de a. Exemple Soit f : E F, une application linéaire continue. L application f est différentiable de classe C 1 sur E ; pour tout a E, df a = f ; df est constante. Exemple Soit f : E F G, une application bilinéaire continue. L application f est différentiable sur E. Pour (a, b) E F, df a,b (h, k) = f(h, b) + f(a, k). Exercice Démontrer que dans l exemple 8.1.7, l application f est de classe C Différentiation des fonctions composées Théorème Soient E, F, G des espaces vectoriels normés, U un ouvert de E, V un ouvert de F, f : U V, g : V G, a U, b = f(a) V. a) Si f est différentiable en a et g différentiable en b, alors g f est différentiable en a, et d(g f) a = dg b df a. b) Si f est de classe C 1 sur U et g de classe C 1 sur V, alors g f est de classe C 1 sur U. Exercice Soit E un espace vectoriel réel préhilbertien, de produit scalaire noté,. 1. Déterminer la différentielle en a E de q : E R définie par q(x) = x, x. 2. Déterminer la différentielle en a E de l application norme : n définie par n(x) = q(x) Dérivée suivant un vecteur Définition Soient E et F des espaces vectoriels normés (sur R ou C), U un ouvert de E, a U et v E. L application f est différentiable suivant le vecteur v si et seulement si f γ v est 35

3 différentiable en 0, où γ v (t) = a + tv (pour t K, dans un voisinage de zéro). Dans ce cas, on note d v f a la différentielle, et f v(a) le vecteur dérivé : d v f a (h) = hf v(a). Remarque Lorsque f est différentiable en a, alors elle admet des différentielles suivant tout vecteur en a, obtenues avec le théorème des applications composées. La réciproque est fausse. 8.4 Différentiation et espaces produits Application à valeur dans un produit Proposition Une application à valeur dans un produit est différentiable (resp. de classe C 1 ) si et seulement si ses composantes le sont Différentielles partielles Soit U un ouvert de E 1 E n, et f : U F. (les E j, 1 j n, et F sont des espaces vectoriels normés). Pour a = (a 1,...,a n ) U et 1 j n, on considère les applications i j,a : x j (a 1,...,a j 1, x j, a j+1,...a n ). Définition On appelle différentielles partielles de f en a, les différentielles des composées f i j,a. On les note d j f a. Proposition Avec les notations précédentes, si f est différentiable en a, alors les différentielles partielles existent, et : df a (h 1,...,h n ) = d 1 f a (h 1 ) + + d n f a (h n ) La réciproque est fausse en général, sauf avec une hypothèse de continuité des différentielles partielles. Proposition Avec les notations précédentes, f est de classes C 1 sur U si et seulement si les différentielles partielles existent et sont continues. 36

4 8.4.3 Matrice jacobienne On s intéresse ici au cas où E = K n et F = K m (K note R ou C). Une application f : U K m, avec U ouvert de K n est déterminée par ses composantes f 1,...,f m. Lorsqu elles existent, les différentielles partielles des composantes sont les applications linéaires de K dans K : d j f i : h j f i x j h j. Définition La matrice jacobienne de f en a est la matrice des dérivées partielles : Ç å fi J(f) a =. x j 1 i m 1 j n Proposition Si f est différentiable en a, alors la matyrice de df a dans les bases canoniques est la matrice jacobienne J(f) a. Remarque f est de classe C 1 sur U si et seulement si la matrice jacobienne existe et est continue sur U. 8.5 Accroissements finis On rappelle : Théorème (Rolle). Si f : [a, b] R est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il existe c ]a, b[ tel que f(b) f(a) = (b a)f (c). Théorème (Accroissement finis). Soient f une application d un intervalle [a, b] dans un espace vectoriel normé réel F, et k une application de [a, b] dans R. Si f et g sont continues sur [a, b], dérivables sur ]a, b[ et si : x ]a, b[, f (x) k (x), alors : f(b) f(a) k(b) k(a). Définition Une partie U d un espace vectoriel est convexe si et seulement si : a U, b U, t [0, 1], (1 t)a + tb U. Corollaire Soient E et F deux espaces vectoriel normés, U un ouvert convexe de E, f : U F différentiable sur U. Si x U, N(df x ) M, alors : a U, b U, f(b) f(a) M b a. 37

5 Corollaire Soient E et F deux espaces vectoriel normés, U un ouvert convexe de E, f : U F différentiable sur U, L une application linéaire continue de E dans F. Si x U, N(df x L) M, alors : a U, b U, f(b) f(a) L(b a) M b a. Remarque On peut en particulier appliquer le corollaire précédent à L = df a. C est un point clef de la preuve du théorème sur les différentielles partielles continues. 38

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