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1 Université d Orléans - Licence Economie et Gestion Statistique Mathématique C. Hurlin. Correction du Contrôle de Décembre 00 Exercice Barème : 7 points Partie I : Test d hypothèses simples (0 points) Question ( point) On sait que, pour = 0 : L (X ; ::; X 0 ; a 0 ) = b p exp L (X ; ::; X 0 ; a ) = b p exp Il s ensuit immédiatement que : L (X ; ::; X 0 ; a 0 ) L (X ; ::; X 0 ; a ) = exp b X0 X # Xi a 0 b X # Xi a b!# 0X (X i a ) (X i a 0 ) 0.5 point () () 0:5 point (3) Question ( point) On sait que selon le lemme de eyman Pearson, la région critique du test UPP de niveau est telle que : W = X ; ::; X 0 j L (X ; ::; X 0 ; a 0 ) L (X ; ::; X 0 ; a ) < K (4) où K désigne une constante déterminée par le risque de première espèce : Or, : () exp () L (X ; ::; X 0 ; a 0 ) L (X ; ::; X 0 ; a ) < K (5) X!# X (X i a ) (X i a 0 ) < K 0:5 point (6) X Xi a X i + a Xi + a 0 X i a 0 < log (K) (7) () X (a 0 a ) X i < log (K) + a 0 a Ici, on a a 0 a = 3 < 0; dès lors on obtient au nal : (8) X X i > B (9)

2 C. Hurlin. Correction du Contrôle de Décembre 00 page avec B = log (K) + a 0 a = [ (a0 a )] ou encore X > A 0:5 point (0) où A = B=: La région critique W du test UPP au sens de eyman Pearson est de la forme W = X ; ::; X 0 j X > A () Remarque : attribuer les points même si les termes de droite des inégalités ne sont pas spéci és. Question 3 ( points) D après les hypothèses, X a; b 0:5 point () Dès lors, le seuil critique A dépend de b par dé nition du risque de première espèce : = Pr [W j H 0 ] (3) Par conséquent : X a 0 = Pr b= p > A a 0 b= p = Pr X > A a = a 0 X a 0 b= p (0; ) (4) 0:5 point (5) ce qui implique que : A = b= p où (:) désigne la fonction de répartition de loi normale centrée réduite. On en déduit donc au nal que : A = a 0 + b ( ) p 0.5 point (7) Le seuil critique dépend d un paramètre inconnu et ne peut donc pas être déterminé.(0.5 point). Il convient de construire le test à partir d une autre statistique dont la loi est connue. Question 4 ( points) Sous H 0 : a0 (6) Z = X a 0 S = p t ( ) (0:5 point) (8) où t ( ) désigne la loi de Student à degrés de liberté. Par dé nition du risque de première espèce : = Pr [W j H 0 ] (9) = Pr X > A a = a 0 (0:5 point) (0) = Pr X < A Z t ( ) ()

3 C. Hurlin. Correction du Contrôle de Décembre 00 page 3 On obtient : Dès lors, et nalement X a = Pr S = p < A a S = p A a0 = G S = p A = a 0 + G ( a = a 0 (0:5 point) () (3) ) S p (0:5 point) (4) où G (:) désigne la fonction de répartition de la loi t ( ). Question 5 ( point) A : G (0:95) = :734 pour une loi t (8) : Dès lors, A = + :734 p 9 = :795 (0:5 point) (5) Ainsi, si X = :4, au seuil de risque de 5%, on ne peut pas rejeter l hypothèse nulle a = : Question 6 ( points) Par dé nition de la puissance : Donc nallement, P uissance = Pr [W j H ] (6) P uissance = Pr X > A a = a X a P uissance = Pr S = p > A a S = p a = a 0:5 point (7) 0:5 point (8) A a P uissance = G S = p 0:5 point (9) a0 a P uissance = G S = p + G ( ) 0:5 point (30) Question 7 ( point) On véri e que la puissance croît avec l écart (positif) a a 0 et que pour a = a 0 la fonction puissance (évaluée à tort sous H0) correspond au risque de première espèce (0.5 point). 3 P uissance = G = p 9 + G (0:95) = 0:6693 (3) où G (:) désigne la fonction de répartition de la loi t (8) : Partie II : Test d hypothèse simple contre hypothèse multiple Question ( point) ous avons montré que la région critique du test UPP d hypothèse simple contre hypothèse simple H 0 : a = contre H : a = 3 ne dépendait pas de la valeur explicite de a : Par conséquent, il existe un test UPP pour H 0 : a = contre H : a > et la région critique de ce test est identique à celle du test d hypothèse simple : W = X ; ::; X 0 j X < :795 (3) 3

4 C. Hurlin. Correction du Contrôle de Décembre 00 page 4 Question ( points) La région d acceptation du test bilatéral de niveau correpond à l intersection des régions d accpetation des tests unilatéraux de niveau = (0.5 point). Donc on a : où les constantes A et B véri ent (0.5 point) : W = X ; ::; X 0 j A < X < B (33) A = a 0 + G S p (34) B = a 0 + G S p (35) où G (:) désigne la fonction de répartition de la loi t (8) : A (0.5 point) : Donc la région critique du test bilatéral est : A = :0 p 9 = :036 (36) B = + :0 p 9 = :964 (37) W = X ; ::; X 0 j X < :036 ou X > : point (38) Si on observe une moyenne empirique de.4, pour un risque de première espèce de 5%, on ne peut pas rejetter l hypothèse nulle a 0 = (0.5 point). Question 3 ( points) La puissance est dé nie par : P (a) = Pr [W j H ] = Pr :036 < X < :964 H 0:5 point (39) D où l on tire que : P (a) = :036 a Pr S = p < X < :964 a S = p H : a > 0:5 point (40) Finallement : P (a) = :964 a :036 a G S = p + G S = p où G (:) désigne la fonction de répartition de la loi t (8) : A : P (3) = :964 3 :036 3 G = p + G 9 = p 9 0:5 point (4) (4) P (3) = 0:53 0:5 point (43) On véri e que la puissance est plus faible que le dans le cas du test unilatéral correspondant. Question 4 ( points) On sait que : Z = X a S = p t ( ) 0:5 point (44) 4

5 C. Hurlin. Correction du Contrôle de Décembre 00 page 5 Dès lors, IC % = = X G ( ) S p :4 :0p 9 (0:5 point) (45) (46) = [:60; 3:9] point (47) Exercice Analyse de retour de campagne marketing. Barème : 4 points. Une entreprise souhaite analyser l impact d une campagne marketing suivant les canaux de di usion utilisés ( ing, courriers et appels téléphoniques). Pour cela, elle dispose du tableau de contingence des achats moyens en euros pour 500 clients ayant été contactés par l un des trois médias. Exemple : 0 On teste : X n Y ing Courriers Appels Total euros euros plus de 00 euros Total H 0 : X et Y sont indépendants (48) Tableau des e ectifs théoriques (.5 point avec explication de la construction) : X n Y ing Courriers Appels Total euros euros plus de 00 euros Total Tous les e ectifs théoriques sont supérieurs à 4. Statistique de test ( point) : Sous H 0 : La région critique du test s écrit : D = X i X ( i bp i ) j bp i = 447:4 (49) d=h 0 D!! (4) (50) W = Xj D > G ( ) (5) où G (:) désigne la cdf de la loi (4) : Donc pour un risque de 0% : W = fxj D > 7:77g ( point) (5) Pour un niveau de risque de 0%, on rejette l hypothèse nulle d indépendance entre les médias et le montant moyen des achats. (0.5 point) 5

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