Cinématique Newtonienne

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1 Cnématque Newtonenne 1. Chronophotographe du mouvement d un pont moble M : 1.1. nécessté de chosr un référentel : Vor l anmaton «changement de référentel» page 10 sur le ste Défnr ce qu est la trajectore d un pont moble M : Qu est-ce qu une chronophotographe? La trajectore suve par la balle (lâchée par le cclste) est-elle la même pour tous les observateurs? Pourquo? Este-t-l des objets mmobles dans l unvers? Un référentel est un objet chos arbtrarement et consdéré comme mmoble, par rapport auquel on étude le mouvement d un autre objet auquel on s ntéresse. On lu assoce un repère d espace (par eemple un repère orthonormé O,, j ) un repère de temps (une horloge) afn de pouvor repérer la poston d un pont moble M en foncton du temps dans ce référentel. Quand dt-on que le mouvement de M est rectlgne? crculare? curvlgne? 1.2. Qu est-ce qu un référentel galléen? Les los de la phsque ne sont valables que dans certans référentels appelés référentels galléens. Qu est-ce qu un référentel galléen? Tout objet mmoble par rapport à la terre (pallasse, salle de classe) est appelé «référentel terrestre». Foucault a montré que ce référentel pouvat être consdéré comme galléen pour une epérence de courte durée (quelques mnutes). Pour l étude des satelltes terrestres, l faut utlser le référentel géocentrque : C est un objet mathématque : un repère centré sur le centre de la terre et dont les aes sont drgés vers des étoles "fes". Il est anmé d un mouvement de translaton et effectue le tour du solel en un an. Pour l étude des planètes du sstème solare, l faut utlser le référentel de Copernc (ou hélocentrque) qu est centré sur le centre du solel et dont les aes sont drgés vers des étoles "fes". Vor l anmaton «référentels hélo et géocenrques» page 14 sur le ste 1

2 1.3. Vecteur vtesse d un pont moble M: S un pont M est mmoble dans le référentel chos, la valeur V de sa vtesse est Mas s ce pont se déplace au cours du temps d une dstance d pendant la durée t, on défnt sa vtesse moenne sur cet ntervalle de temps par la relaton : d V = t Remarque : La valeur V de la vtesse de M est un nombre postf, suv d une unté (m.s 1 ) Sur un document chronophotographque de pérode τ, on calcule la vtesse de M à un nstant t donné comme sa vtesse moenne entre les nstants t τ et t + τ. Mas cette vtesse a auss une drecton et un sens. On peut donc la représenter par un vecteur V. Les caractérstques du vecteur vtesse V 1 du moble M à l nstant t 1 sont : * orgne : la poston du moble à cet nstant, sot M 1. * drecton : la tangente à la trajectore en ce pont (parallèle au segment M 0 M 2 ) * sens : celu du déplacement de M, c'est-à-dre de M 0 vers M 2 M 0 M 2 V 1 = 4,2 5 * valeur : V 1 = V 1 = 2 0,5 = 21 cm.s 1 5 cm τ = 0,50s Cho d une échelle pour représenter les vecteurs vtesse : La longueur du vecteur vtesse V 1 sur le document dépend d une échelle chose arbtrarement. Il est consellé de chosr l échelle des vtesses de façon à ce que le vecteur V 1 at la même longueur sur le document que le vecteur déplacement assocé M 0 M 2. M 0 M 2 Echelle pour les vtesses : Le vecteur vtesse V 1 mesure 4,2cm sur le document. Sa valeur est de 21cm.s 1 Donc 4,2cm 21cm.s 1 sot 1cm 5cm.s 1 Remarque : S la valeur de la vtesse du pont moble M reste constante au cours du temps, on dt que le mouvement de M est unforme. Mas cela n empêche pas son vecteur vtesse de varer (en drecton). 5 cm.s Vecteurs varaton de vtesse et accélératon d un pont moble : Le vecteur varaton de vtesse d'un pont moble G, noté V 2, correspond à la varaton du vecteur vtesse de G entre les nstants t 1 et t 3 : V 2 = V 3 V 1 τ = 2, s 0,20m.s 1 Le pont d applcaton du vecteur V 2 est la poston de G à l nstant t 2, sot G 2. Attenton! La valeur de V 2 n est pas égale à V 3 V 1 car la soustracton est vectorelle. Il faut mesurer la longueur du vecteur V 2 sur le document et multpler la valeur lue par l échelle des vtesses. Sur l eemple c-contre, V 2 = 1,9 0,20 = 0,38 m.s 1 4 Remarque: s l échelle des vtesses a été chose de façon à ce que les vecteurs «vtesse» aent la même longueur sur le document que les vecteurs «déplacement» assocés, la méthode c-contre permet de détermner V 2 plus rapdement On obtent le vecteur accélératon a 2 à l nstant t 2 en dvsant V 2 par t = t 3 t 1 = 2.τ Dans cet eemple, a = ll V 2 ll 0,38 /4, ,5 m.s 2 2 = = Il est consellé de chosr l échelle des accélératons de façon à ce que le vecteur a 2 at la même longueur sur le document que le vecteur varaton de vtesse assocé V 2. Echelle pour les accélératons : 1,0cm 5,0 m.s 2 a = V 2 2 0,20m.s 1 a 2 5,0 m.s 2 2

3 1.4. Vecteur quantté de mouvement p d'un pont matérel G Il est égal au produt de la masse m du pont matérel par son vecteur vtesse V G. Le vecteur quantté de mouvement d un sstème solé ou pseudo-solé reste constant au cours du temps. Quelle est l'unté de sa valeur dans le sstème nternatonal d'unté? Qu est-ce qu un sstème solé? et pseudo-solé? G V G p p = m.v G Calculer un ordre de grandeur de la valeur de la quantté de mouvement du TGV Eurostar de m = 752t pouvant transporter 766 personnes. Applcaton: propulson par réacton d'une fusée. Une fusée de masse totale 200 tonnes est ntalement mmoble dans le référentel de Copernc lon de tout astre attracteur. Elle éjecte une masse m =10 tonnes de gaz avec une vtesse moenne V g de valeur 5000m.s 1. Calculer la quantté de mouvement totale de la fusée avant éjecton du gaz. M V f De quo est consttué le sstème dont la quantté de mouvement se conserve pendant l epulson du gaz? Justfer. m V g En dédure la valeur V f de la vtesse de la fusée à la fn de l éjecton de cette quantté de gaz. S la fusée éjecte à nouveau la même masse de gaz avec la même vtesse relatve, peut-on affrmer que sa vtesse va doubler? Justfer. Comment détermner les composantes d'un vecteur V dans une base {, j } V = V + V j pour cet eemple : V = V.snα et V = +V.cosα Chaque composante s eprme comme un sgne (+ ou ), suv de la valeur V de la force, multplé par snα (s la composante correspond au côté opposé pour l angle α) ou cosα (s la composante correspond au côté adjacent pour l angle α). V V α V j Détermner les composantes du vecteur U c-contre s α = 40 et U = 20m.s 1 : j U α 3

4 2. Etude mathématque : On s ntéresse au mouvement d un pont moble G dans un référentel. On peut repérer la poston de ce pont G au cours du temps grâce à ses coordonnées j cartésennes et dans un repère d espace ( O,, j ) lé à ce référentel. O Le vecteur OG est le vecteur poston du pont moble G à l nstant t : OG = + j ' et sont 2 fonctons du temps appelées équatons horares du mouvement de G, notées : (t) et (t). Le vecteur vtesse VG du pont moble G est la dérvée de son vecteur poston par rapport à la varable temps VG = dog... = + j avec = d/dt... dt Dérver un vecteur revent à dérver chacune de ses composantes Eemple : Les équatons horares d un pont matérel G de masse m=200g sont : (t) = 2t + 1 et (t) = t 2 1 untés : m et s Comment est défne la trajectore du pont G? G Détermner l équaton de la trajectore suve par G en élmnant le temps entre les équatons horares. On obtent ans l équaton d une courbe dans le plan. Représenter, dans un repère ( O,, j ), les postons occupées par G au nstants t0 = 0s et t2 = 2s. Calculer les coordonnées des vecteurs vtesse de G à ces deu nstants et représenter les vecteurs correspondants. Calculer les valeurs de ces vecteurs. Représenter les vecteurs quantté de mouvement du pont matérel G au nstants t0 = 0s et t2 = 2s. Le vecteur accélératon a G du pont moble G est la dérvée de son vecteur vtesse (par rapport à la varable temps) : a G = dvg/dt = + j avec = dérvée de. Quelle est l'unté de l'accélératon? Que peut-on dre du vecteur accélératon du pont moble G étudé précédemment? 4

5 3. Quelques mouvements smples: 3.1. le mouvement rectlgne unforme: * Quelles sont les caractérstques de ce mouvement? * Quelles sont les proprétés du vecteur vtesse et du vecteur accélératon? * Représenter en les justfant les courbes correspondant au varatons de, de V et de a en foncton de t le mouvement rectlgne unformément accéléré (c'est-à-dre à accélératon constante): * Quelles sont les caractérstques de ce mouvement? * Quelles sont les proprétés du vecteur vtesse et du vecteur accélératon? * Représenter en les justfant les courbes correspondant au varatons de, de V et de a en foncton de t le mouvement crculare unforme: * Quelles sont les caractérstques de ce mouvement? * Quelles sont les proprétés du vecteur vtesse et du vecteur accélératon? Les représenter sur le document c-contre. C 5

6 Eercce : chute lbre dans le champ de pesanteur unforme j Cette chronophotographe représente les postons occupées par un boulet B lancé à partr d un pont O avec une vtesse ntale V 0 fasant un angle α par rapport à l horzontale, à ntervalles de temps régulers τ = 8, s. A Toutes les réponses dovent être justfées. 1. Représenter les projectons sur les aes O et O (pour la montée) ou O (pour la descente) des postons occupées par le centre de gravté G du boulet au cours du temps, toutes les 0,16s. B 2. Utlser ces projectons pour décrre comment varent les coordonnées et du centre de gravté du boulet, ans que les composantes V et V de son vecteur vtesse, au cours du temps. Justfer les réponses. 3. Indquer pour chacune des courbes A, B, C et D c-contre comment vare la grandeur représentée en ordonnée en foncton du temps. On utlsera les mots suvants : augmente, dmnue, passe par un mamum, par un mnmum, constante, postve, négatve, change de sgne, s annule C 4. Identfer les grandeurs représentées en ordonnée pour chaque courbe. 5. A quel nstant le projectle repasse-t-l à la même hauteur que son pont de lancement? 6. Quelles sont les composantes du vecteur vtesse du boulet à l nstant t=0? En dédure les valeurs de V 0 et de l angle α. D 7. A quel nstant le boulet attent-l le pont le plus élevé de sa trajectore? Justfer la réponse de tros façons dfférentes. 8. Quelles sont les composantes du vecteur vtesse du boulet au sommet de sa trajectore?