MAT 1200: Introduction à l algèbre linéaire

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1 MAT 1200: Introduction à l algèbre linéaire Saïd EL MORCHID Département de Mathématiques et de Statistique Chapitre 6: Les transformations linéaires (partie 2)

2 Références Définitions-Exemples Définitions Remarque Exemple Matrices et applications linéaires Exemples Les espaces associés à une transformation linéaire Le noyau et l image Les transformations linéaires et le changement de bases Notations La matrice d une transformation linéaire dans des nouvelles bases Matrices semblables Définition Exemple

3 Références: Notes de cours chapitre 6 page 112. Livre: sections, pages 68-86, sect 4.2. pages , section 5.4. pages

4 Les transformations linéaires Définition Une application T de R n vers R m est une transformation linéaire si les deux conditions suivantes sont vérifiées: a) pour tous vecteurs u, v R n, b) pour tout u R n, c R, Remarque Si T est une transormation linéaire, alors a) T ( 0) = 0. T ( u + v) = T ( u) + T ( v). T (c u) = ct ( u). b) pour tous vecteurs v 1, v 2,, v n R n et pour tous scalaires c 1, c 2,, c n R, on a T (c 1 v 1 + c 2 v c n v n) = c 1T ( v 1) + c 2T ( v 2) + + c nt ( v n).

5 Exemple Exemple: On considère l application T : R 2 R 3 (x, y) (2x 3y, x 4y, y) a) Montrer que T est une transformation linéaire. b) Donner T ( i) et T ( j).

6 Matrices et applications linéaires Définition Soit A une matrice de type m n, on appelle transformation linéaire (ou matricielle) associée à A, notée T A, la fonction de définie par T A : R n R m v T A ( v) = A v Définition Soient B 1 = { u 1, u 2,, u n} une base de R n, B 2 = { e 1, e 2,, e m} une base de R m et T une transformation linéaire de R n dans R m. La matrice A de T par rapport aux bases B 1 et B 2 est la matrice dont les colonnes sont les composantes des images des vecteurs de B 1 exprimées dans B 2. A = ( T ( u 1) T ( u 2) T ( u n) ).

7 Exemples Exemple: On suppose que T est une transformation linéaire de R 2 dans R 3 telle que 5 3 T ( i) = 7 et T ( j) = Trouver l expression de T ( v) si v = x i + y j de R 2. Exemple: On munit l espace R 2 de sa base canonique. Construisez la matrice A qui correspond à la dilatation T ( v) = 3 v pour tout vecteur v de R 2. Exemple: On munit l espace R 2 de sa base canonique. On considère la transformation linéaire T qui consiste d abord en un cisaillement horizontal tel que i i, j j 1 2 i, puis en une symétrie orthogonale d axe OY.

8 Le noyau et l image Définition Soient T : R n R m une transformation linéaire et A une matrice associée à T. a) Le noyau de T, noté KerT, est le sous-ensemble de R n défini par KerT = { v R n T ( v) = 0} = KerA = Nul(A). b) L image de T, noté ImT, est le sous-ensemble de R m défini par ImT = {T ( v) R m v R n } = ImA = Col(A).

9 Proposition Soient T : R n R m une transformation linéaire et A une matrice associée à T. Alors a) KerT c est l espace des solutions du système homogène A x = 0. b) KerT est un sous espace vectoriel de R n. c) la dimension de KerT est égale au nombre des variables libres dans la résolution du système A x = 0. d) ImT c est l espace colonnes de la matrice A. e) ImT est un sous espace vectoriel de R m. f) la dimension de ImT est égale au nombre des lignes non nulles dans une forme échelon de A t et dim ImT = rang(a). g) les lignes non nulles dans une forme échelon de A t forment une base de ImT. h) Théorème du rang: dim ImT + dim KerT = dim R n = n.

10 Exemple: On considère la transformation linéaire T : R 4 R 3 x y z t x y + z + t x + 2z t x + y + 3z 3t a) Donner la matrice de T relativement aux bases canoniques. b) Donner une base de ImT. Quelle est sa dimension? c) Donner une base de KerT. Quelle est sa dimension? d) Vérifier que dim ImT + dim KerT = 4.

11 Les transformations linéaires et le changement de bases Notations Soit C n = { e 1, e 2,, e n} la base canonique de R n. Soit B = { v 1, v 2,, v n} une autre base de R n. B la matrice de passage de la base B à la base C n, B 1 la matrice de passage de la base C n à la base B. Pour tout x R n, on a Soit C m = { u 1, u 2,, u m} la base canonique de R m. Soit D = { w 1, w 2,, w m} une autre base de R m. D la matrice de passage de la base D à la base C m, D 1 la matrice de passage de la base C m à la base D. Pour tout y R m. Proposition On a a) b) [ x] B = B 1 [ x] Cn, [ x] Cn = B[ x] B. [ y] D = D 1 [ y] Cm, [ y] Cm = D[ y] D.

12 L effet du changement de bases Soit T : R n R m une transformation linéaire et A la matrice de T dans les bases canoniques. Pour tout vecteur z R n, on a [T ( z)] Cm = [A z] Cm. Alors. [T ( z)] D = D 1 [A z] Cm = D 1 A[ z] Cn = D 1 AB[ z] B Proposition a) La matrice de T par rapport aux bases B et D est [T ] D,B = D 1 AB. b) Dans le cas où n = m et D = B, on a [T ] D,D = D 1 AD.

13 Matrices semblables Définition On dira que deux matrices carrées, du même type, A 1 et A 2 sont semblables, si on peut trouver une matrice inversible D pour laquelle A 2 = D 1 A 1D. Ce qui signifie, que ces deux matrices représentent la même transformation linéaire dans deux bases différentes.

14 Exemple: On considère la transformation linéaire T : R 4 R 4 x y z t On considère une autre base de R 4 1 D = 0 1, , x 2y + 3z t 2x + y 2z + t x + 3y z t y 4t , Donner la matrice A de T dans la base canonique et la matrice de T dans la base D. Or, on a [T ] D,D = D 1 AD. A = , D =

15 Exemple (suite): On calcule D 1 puis on effectue le produit D 1 AD, on obtient [T ] D,D = Cette dernière matrice est semblable à la matrice A.