* très facile facile * difficulté moyenne difficile * très difficile I : Incontournable. 1 (t 2 +x 2 ) n.

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1 Eo7 Intégrales dépendant d n paramètre Eercices de Jean-Lois Roget. Retrover assi cette fiche sr * très facile ** facile *** difficlté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontornable Eercice ** Por n N et ],[, on pose I n ( = (t n.. Calcler la dérivée de la fonction I n sr ],[. 2. En dédire la valer de (t dt. [5765] Eercice 2 *** I (très long Intégrale de POISSON Por R, on pose F( = π π ln( 2cosθ + 2 dθ.. (a Montrer qe F est paire, définie et contine sr R, dérivable sr R\{,}. Préciser ne epression de F ( sos forme intégrale. (b Calcler F (. (c Déterminer lim (F( 4π ln. (d En dédire F( por tot réel. 2. (a Qand ],[, retrover ce résltat en écrivant d abord ln( 2 2cosθ + comme somme d ne série (commencer par dériver la fonction de θ. (b Déterminer ne relation entre F( et F ( et en dédire F( por tot réel. [5766] Eercice 3 ** I Un calcl de l intégrale de GAUSS I = e t2 dt Por R, on pose F( = e 2 (+t2 ( dt et G( = 2. +t 2 dt e t2. Montrer qe F est de classe C sr R et préciser F. 2. Montrer qe G est de classe C sr R et préciser G. 3. Montrer qe la fonction F + G est constante sr R. 4. Déterminer lim F(. 5. En dédire I. [5767] Eercice 4 *** Eistence et calcl de e t2 ch(t dt (on admettra qe e t2 dt = π 2. [5768]

2 Eercice 5 *** Eistence et calcl de t lnt t dt. [5769] Eercice 6 **** I (très long Montrer qe por tot réel strictement positif, e t dt = sint +t 2 +t dt et en dédire trover ne éqation différentielle d second ordre vérifiée par ces de fonctions. sint t dt (indication : [577] Eercice 7 ** I (Prodit de convoltion. Soient f et g de fonctions définies sr R, contines et T -périodiqes (T réel strictement positif. Por R, on pose f g( = T f ( tg(t dt. Montrer qe la fonction f g est définie sr R, contine et T -périodiqe. 2. est donc ne loi interne sr E, l espace vectoriel des fonctions définies et contines sr R et T - périodiqes. Montrer qe cette loi est commtative. [577] Retrover cette fiche et d atres eercices de maths sr eo7.emath.fr 2

3 Correction de l eercice. Soit n N. Soient a et A de réels tels qe < a < A. On considère F n : [a,a] R R. (, t (t n Por chaqe de [a,a], la fonction t F n (,t est contine par morcea et intégrable sr [,[ car F n (,t > avec 2n >. t 2n t La fonction F n est admet sr [a,a] [,[ ne dérivée partielle par rapport à sa première variable définie par : (,t [a,a] [,[, F n (,t = 2n (t n+. De pls, - por chaqe [a,a], la fonction t F n (,t est contine par morcea sr [,[, -por chaqe t [,[, la fonction F n (,t est contine sr [a,a], -por chaqe (,t [a,a] [,[, F n (,t = 2n 2nA = ϕ(t, (t n+ (t 2 +a 2 n+ où la fonction ϕ est contine par morcea et intégrable sr [,[ car négligeable devant qand t t 2 tend vers. D après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres (théorème de LEIBNIZ, la fonction I n est de classe C sr [a,a] et sa dérivée s obtient par dérivation sos le signe somme. Ceci étant vrai por tos réels a et A tels qe < a < A, on a montré qe la fonction I n est de classe C sr ],[ et qe >, I n( = 2n 2. Por >, on a I ( = [ arctan( t 3π et donc I ( = 3π 6. (t n+ dt = 2nI n+ (. n N, I n( = 2nI n+ (. ] = π 2. Ensite, I 2( = 2 I ( = π 4 3 pis I 3 ( = 4 I 2 ( = (t dt = 3π 6. Correction de l eercice 2. (a Parité de F. Soit n réel d domaine de définition de F. En posant t = θ + π, on obtient π F( = = = π π π π π 2π ln( 2 2cosθ + dθ = ln( 2 + 2cost + dt ln( 2 + 2cost + dt (par 2π-périodicité ln(( 2 2( cost + dt = F(. Ainsi, por tot réel, F( eiste si et selement si F( eiste et de pls F( = F(. F est paire. Définition de F. Soit [,[. Por tot réel θ [ π,π], 2 2cosθ + = ( cosθ 2 + (sinθ 2 = e iθ 2. 3

4 De pls, e iθ = e iθ = = et θ =. Par site, si, la fonction θ 2 2cosθ + est contine sr le segment [,π] et donc intégrable sr ce segment. si =, por tot réel θ [ π,π] on a 2 2cosθ + = 2 2cosθ = 4sin 2 θ 2. La fonction θ ln ( 4sin 2 θ 2 est contine sr [ π,[ ],π] et qand θ tend vers ln ( 4sin 2 θ 2 = 2ln2 + 2ln sin θ 2 2ln ( θ 2 2ln θ = o. θ On en dédit qe la fonction θ ln ( 4sin 2 θ 2 est intégrable sr [ π,π] et donc qe F( eiste. Finalement, F est définie sr [,[ et par parité F est définie sr R. Remarqe. Par parité de la fonction θ ln( 2 2cosθ +, por tot réel, on a encore F( = 2 π ln(2 2cosθ + dθ. Continité de F. Soit A >. Soit Φ : [,A] ],π] R. (,θ ln( 2 2cosθ + Por chaqe [,A], la fonction θ Φ(,θ est contine par morcea sr ],π]. Por chaqe θ ],π], la fonction Φ(,θ est contine par morcea sr [,A]. Por chaqe (,θ R + ],π], pisqe 2 2cosθ + = ( cosθ 2 + (sinθ 2, Φ(,θ Ma{ ln( 2 cosθ +, ln(cos 2 θ 2cosθ cosθ +, ln(a 2 2Acosθ + } = Ma{2 ln( sinθ, ln(a 2 2Acosθ + } = ϕ(θ. On a v qe la fonction f : θ 2 ln( sinθ est intégrable sr ],π] et d atre part, la fonction f 2 : θ ln(a 2 2Acosθ + est intégrable sr [,π] et donc sr ],π] car contine sr [,π]. Pisqe ϕ = 2 ( f + f 2 + f f 2, on en dédit qe la fonction ϕ est contine par morcea et intégrable sr ],π]. D après le théorème de continité des intégrales à paramètres, la fonction F est contine sr [, A] et ceci por tot A >. Par site, la fonction F est contine sr R + pis par parité, la fonction F est contine sr R. Dérivabilité de F. Soient A ], [ pis Φ : [ A, A] [, π] R. (,θ ln( 2 2cosθ + Por chaqe [ A,A], la fonction θ Φ(,θ est contine sr le segment [,π] et donc intégrable sr ce segment. La fonction Φ admet sr [ A,A] [,π] ne dérivée partielle par rapport à sa première variable définie par (,θ [ A,A] [,π], Φ (,θ = 2 2cosθ 2 2cosθ+. De pls, - por chaqe [ A,A], la fonction θ Φ (,θ est contine par morcea sr [,π], - por chaqe θ [,π], la fonction Φ (,θ est contine sr [ A,A], - por chaqe (,θ [ A,A] [,π], Φ (,θ = 2 cosθ = ϕ(θ. A 2 e iθ 2 4 4

5 La dernière inégalité écrite est claire géométriqement : [ ] A A e iθ Ä ÔÐÙ ÓÙÖØ Ø Ò ³ÙÒ ÔÓ ÒØ Ù Ñ ÒØ [ A, A] Ù ÖÐ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÕÙ Ø Ð Ø Ò A º De pls, la fonction constante ϕ est intégrable sr le segment [,π]. D après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres, la fonction F est de classe C sr [ A,A] et sa dérivée s obtient par dérivation sos le signe somme. Ceci étant vrai por tot A ],[, F est de classe C sr ],[ et ],[, F ( = 4 π cosθ 2 2cosθ+ sr ], [ et sr ],[ et finalement F est de classe C sr R \ {,} et R \ {,}, F ( = 4 π cosθ 2 2cosθ+ dθ. dθ. La démarche est analoge (b Calcl de F (. Soit R \ {,}. On pose t = tan ( θ 2. On a donc cosθ = t 2 et dθ = 2dt. +t 2 +t 2 On obtient π F ( = 4 = 8 = 8 cosθ 2 2cosθ + dθ = 8 t2 +t t2 dt + +t 2 +t 2 ( +t 2 ( t 2 (( +t 2 2 2( t 2 + ( +t 2 ( +t 2 dt ( + t 2 + ( (( + 2 t 2 + ( 2 ( +t 2 dt Por tot réel t, ( t 2 + ( 2 + (t 2 + = ( t i ( + t + i + (t i(t + i. De pls, ± + = ± + = =. F ( = 4 π ( cosθ dθ =. (+t 2 +( ((+ 2 t 2 +( 2 (+t 2 Si, les pôles de la fraction rationnelle décomposition en éléments simples de cette fraction s écrit sont simples et par parité, la avec (+t 2 +( ((+ 2 t 2 +( 2 (+t 2 = a t i + a + b t+i t i b t+i, + a = ( + ( ( ( + ( 2 2i ( + ( 2 = ( + ( 2 + ( ( + 2 2i( + ( (( + 2 ( 2 + = 2(2 2i( 2 (4 = 4i, et 5

6 Donc b = (++( 2i( (+ 2 +( 2 = 4i. ( ( + t 2 + ( 8 (( + 2 t 2 + ( 2 ( +t 2 = 2 i t i + ( 2i + = 2 i Ensite, en notant ε le signe de + t 2 + ( + t + i i t t i t + i = 4 ( F ( = 4 ( 2 ( + 2 t 2 + ( 2 + t 2 dt + [ ( ] = 4 2 t ( + 2 arctan = 4 (ε + π Par site, si ],[, F ( = et si ], [ ],[, F ( = 4π. (c Soit >. { si ],[ R \ {,}, F ( = 4π si ], [ ],[. 2 ( + 2 t 2 + ( 2 + t 2 + F( 4π ln( = π π ln(2 2cosθ + dθ π π ln(2 dθ = π π ln( 2 cosθ + 2 dθ = F (. Par site, lim (F( 4π ln( = lim F ( = limy F(y = F( = par continité de F en. lim (F( 4π ln( =. (d F est contine sr [,], dérivable sr ],[ de dérivée nlle sr ],[. Donc la fonction F est constante sr l intervalle [,]. Par site, por tot réel [,], F( = F( =. F est dérivable sr ],[ et >, F ( = 4π. Donc il eiste C R tel qe >, F( = 4π ln +C avec C = lim (F( 4π ln =. Donc >, F( = 4π ln. Si <, F( = F( = 4π ln( = 4π ln. R, { π si [,] π ln(2 2cosθ + dθ = 4π ln( si ], [ ],[. 2. (a Soit ],[. Por θ [ π,π], on pose f (θ = ln( 2 2cosθ +. Pisqe θ [ π,π], 2 2cosθ + > (voir, f est dérivable sr [ π,π] et por θ [ π,π], f 2sinθ (θ = 2 2cosθ + = ( e iθ i e iθ e iθ e iθ = ( i e iθ + e ( iθ = i n e inθ n e inθ (car e iθ = e iθ = < n= n= = 2 n= sin(nθ n. 6

7 Soit θ [ π,π]. I désigne l intervalle [,θ] o [θ,] sivant qe θ soit positif o négatif. Por n N et t I, posons g n (t = 2sin(nt n. Por tot n N et tot t I, on a f n (t n. Comme n est le terme général d ne série nmériqe convergente, la série de fonctions de terme général f n, n N, converge normalement et donc niformément sr le segment I. D après le théorème d intégration terme à terme sr n segment, on pet écrire θ f (θ = f ( + = 2 ( n n= f (t dt = 2ln( + n= n + ( cos(nθ n n n= θ 2 n sin(nt dt = 2 n= cos(nθ n. n ],[, θ [ π,π], ln( 2 2cosθ + = 2 cos(nθ n= n n. Soit ],[. Por n N et θ [ π,π], intégrer terme à terme et on obtient F( = 2 n= n n cos(nθ n n n. Comme précédemment, on pet π π cos(nθ dθ =. ],[, π π ln(2 2cosθ + dθ =. (b Soit R. F ( π = ln ( 2 cosθ + π π 2 dθ = (ln( 2cosθ + 2 ln( 2 dθ = 4π ln + F(. π R, F ( = 4π ln + F(. Soit >. Pisqe ],[, F( = 4π ln + F ( = 4π ln. On retrove alors les résltats d. Correction de l eercice 3. Soit A >. Soit Φ : [ A,A] [,] R. (,t e 2 (+t 2 +t 2 Por chaqe de [ A,A], la fonction t F(,t est contine sr le segment [,] et donc intégrable sr ce segment. La fonction Φ admet sr [ A,A] [,] ne dérivée partielle par rapport à sa première variable définie par : (,t [ A,A] [,], Φ (,t = 2e 2 (+t 2. De pls, - por chaqe [ A,A], la fonction t Φ (,t est contine par morcea sr le segment [,], - por chaqe t [,], la fonction Φ (,t est contine par morcea sr R, - por chaqe (,t [ A,A] [,], Φ (,t 2A = ϕ(t, la fonction ϕ étant contine et donc intégrable sr le segment [,]. D après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres (théorème de LEIBNIZ, la fonction F est de classe C sr [ A,A] et sa dérivée s obtient en dérivant sos le signe somme. Ceci étant vrai por tot A >, F est de classe C sr R et 7

8 R, F ( = 2 e 2 (+t 2 dt. 2. La fonction e 2 est contine sr R. On en dédit qe la fonction e t2 dt est de classe C sr R. Il en est de même de la fonction G et por tot réel, G ( = 2e 2 e t2 dt. 3. Soit R. En posant = t, on obtient F ( = 2 e 2 (+t 2 dt = 2e 2 e (t2 dt = e 2 e 2 d = G (, cette égalité restant vraie qand = par continité des fonctions F et G sr R. Ainsi, F + G = et donc R, F( + G( = F( + G( = dt = π +t 2 4. R, F( + G( = π Por R, et pisqe lim π 4e 2 F( = e 2 (+t2 +t 2 dt e 2 =, on a montré qe lim F( =. dt = π, +t 2 4e 2 5. Por >, on a e t2 dt et donc d après la qestion 3, e t2 dt = G( = π 2 F(. La qestion 4 permet alors d affirmer qe lim G( = π 2 et donc qe e t2 dt = π 2. Correction de l eercice 4 Soit R. La fonction t e t2 ch(t est contine sr [,[. Qand t tend vers, e t2 ch(t = 2 (e t2 +t + e t2 t = o ( t d après n théorème de croissances comparées et donc la fonction t e t 2 ch(t est intégrable 2 sr [,[. Por R, on pet poser f ( = e t2 ch(t dt. Calcl de f (. Soit A >. On pose Φ : [ A,A] [,[ R. (,t e t2 ch(t Por chaqe [ A,A], la fonction t e t2 ch(t est contine par morcea et intégrable sr [,[. La fonction Φ admet sr [ A,A] [,[ ne dérivée partielle par rapport à sa première variable définie par : (,t [ A,A] [,[, Φ (,t = te t2 sh(t. De pls, - por chaqe [ A,A], la fonction t Φ (,t est contine par morcea sr [,[, -por chaqe t [,[, la fonction Φ (,t est contine sr [ A,A], - por chaqe (,t [ A,A] [,[, Φ (,t = te t 2 sh(t te t2 sh(t A = ϕ(t. 8

9 La fonction ϕ est contine par morcea sr [,[ et intégrable sr [,[ car négligeable devant qand t 2 t tend vers. D après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres (théorème de LEIBNIZ, la fonction f est de classe C sr [ A,A] et sa dérivée s obtient par dérivation sos le signe somme. Ceci étant vrai por tot réel A >, la fonction f est de classe C sr R et R, f ( = te t2 sh(t dt. Soit R. On effecte maintenant ne intégration par parties. Soit A >. Les de fonctions t te t2 et t sh(t sont de classe C sr le segment [,A]. On pet donc effecter ne intégration par parties et on obtient [ ] A A te t2 sh(t dt = 2 e t2 sh(t + A 2 e t2 ch(t dt = 2 e A2 sh(ta + A 2 e t2 ch(t dt. Qand A tend vers, on obtient f ( = te t2 sh(t dt = 2 e t2 ch(t dt = 2 f (. Ensite, por tot réel, e 2 /4 f ( 2 e 2 /4 f ( = o encore (e 2 /4 f ( =. On en dédit qe R, e 2 /4 f ( = e f ( = e t2 dt = π 2 et donc qe R, f ( = π 2 e2 /4. R, e t2 ch(t dt = π 2 e2 /4. Correction de l eercice 5 Soit R. La fonction t t lnt t est contine sr ],[. Etde en. t lnt t = et donc la fonction t t t lnt t se prolonge par continité en. On en dédit qe la fonction t t lnt t est intégrable sr n voisinage de à gache. Etde en. t lnt t lnt >. t t -si >, t lnt = o(t et pisqe >, la fonction t t t lnt t est intégrable sr n voisinage de à droite. - si, la fonction t t lnt domine la fonction t t lnt qand t tend vers par valers spérieres. Pisqe la fonction t lnt est positive et qe /2 t lnt dt = ln ln( ln ln(/2, la fonction t t lnt n est pas intégrable sr n voisinage de. Il en est de même de la fonction t t lnt t. Finalement, la fonction t t lnt t est intégrable sr ],[ si et selement si >. Por >, on pet poser f ( = t lnt t dt. Calcl de f (. Soit a >. On pose Φ : [a, [ ], [ R. (,t t lnt t Por chaqe [a,[, la fonction t t lnt t est contine par morcea et intégrable sr ],[. La fonction Φ admet sr [a,[ ],[ ne dérivée partielle par rapport à sa première variable définie par : (,t [a,[ ],[, Φ (,t = (t t = t + t. De pls, - por chaqe [a,[, la fonction t Φ (,t est contine par morcea sr ],[, -por chaqe t ],[, la fonction Φ (,t est contine sr [a,[, - por chaqe (, t [a, [ ], [, Φ (,t = ( tt a = ϕ(t. La fonction ϕ est contine par morcea sr ],[ et intégrable sr ],[ car a >. D après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres (théorème de LEIBNIZ, la fonction f est de classe C sr [a,[ et sa dérivée s obtient par dérivation sos le signe somme. Ceci étant vrai por tot réel a >, la fonction f est de classe C sr ],[ et 9

10 >, f ( = [ ] (t t dt = t t+ + = Par site, il eiste C R tel qe >, f ( = ln ( C (. Por déterminer la constante C, on pet tiliser le résltat de l eercice?? : t lnt dt = ln2. On pet assi obtenir directement la constante C sans acn calcl d intégrale. Por cela, déterminons lim f (. La fonction g : t t lnt est contine sr le segment ],[, prolongeable par continité en et en en posant g( = et g( =. On en dédit qe cette fonction est bornée sr l intervalle ],[ (car son prolongement est ne fonction contine sr n segment. Soit M n majorant de la fonction g sr ],[. Por >, on a g( M t dt = M +. Ceci montre qe lim f ( = et en passant à la limite qand tend vers dans l égalité (, on obtient C =. On a donc montré qe >, t lnt t dt = ln ( On retrove en particlier t lnt dt = ln2. Correction de l eercice 6 e t +t 2 dt. Soit. La fonction t e t +t 2 est contine sr [,[ et est dominée par Eistence de t tend vers. Cette fonction est donc intégrable sr [,[. Donc et on pose, f ( = e t dt. +t 2 Continité de f sr [, [. Soit Φ : [, [ [, [ R. (,t e t +t 2 Por chaqe [,[, la fonction t Φ(,t est contine par morcea sr [,[. Por chaqe t [,[, la fonction Φ(,t est contine sr [,[. Por chaqe (, t [, [ [, [, Φ(,t = e t +t 2 dt +t 2 = ϕ (t. qand t 2 e t dt eiste por tot réel positif +t 2 De pls, la fonction ϕ est contine et intégrable sr [,[ car éqivalente à qand t tend vers. t 2 D après le théorème de continité des intégrales à paramètres, f est contine sr [,[. Dérivée seconde de f. Soit a >. On pose Φ : [, [ [a, [ R. (,t e t +t 2 En pls de ce qi précède, Φ admet sr [a,[ [,[ des dérivées partielles d ordre et 2 définies par (,t [a,[ [,[, Φ te t (,t = et 2 Φ(,t = t2 e t. +t 2 2 +t 2 Por chaqe [a,[, les fonctions t Φ (,t et t 2 Φ(,t sont contines par morcea sr [,[. 2 Por chaqe t [,[, les fonctions Φ (,t et 2 Φ(,t sont contines sr [a,[. 2 Por chaqe (, t [a, [ [, [, Φ (,t = te t te at = ϕ +t 2 +t 2 (t et 2 Φ (,t = t 2 e t t2 e at = ϕ +t 2 +t 2 2 (t. De pls, les fonctions ϕ et ϕ 2 sont contines par morcea et intégrables sr [,[ car négligeables devant t 2 qand t tend vers. D après ne généralisation d théorème de dérivation des intégrales à paramètres, f est de classe C 2 sr [a,[ et ses dérivées premières et secondes s obtiennent par dérivation sos le signe somme. Ceci étant vrai por tot a >, f est de classe C 2 sr ],[ et

11 >, f ( = te t dt et f ( = t 2 e t +t 2 dt. +t 2 Eqation différentielle vérifiée par f. Por >, f ( + f ( = t 2 e t dt + e t +t 2 dt = [ +t 2 e t dt = >, f ( + f ( =. e t ] =. Eistence de sint +t dt. Si =, l eercice??, montre qe Si >, ne intégration par parties fornit por A > sint t dt est ne intégrale convergente. A sint cosa t+ dt = A+ + A La fonction t cost (t+ 2 est contine sr [,[ et est dominée par t 2 donc intégrable sr [,[. On en dédit qe la fonction A A cost (t+ 2 dt. qand t tend vers. Cette fonction est cost (t+ 2 dt a ne limite réelle qand A tend vers et il en est de même de la fonction A A sint t+ dt. Ainsi, por chaqe [,[, intégrale convergente. Por, on pet donc poser g( = sint t+ dt. Eqation différentielle vérifiée par g. Por >, on pose = +t. on obtient g( = sint t+ dt = sin( d = cos sin d sin cos d. sint t+ dt est ne (car totes les intégrales considérées sont convergentes. Maintenant, les fonctions c : cos et s : sin sont contines sr ],[ et admettent donc des primitives sr ],[. On note C (respectivement S ne primitive de la fonction c (respectivement s sr ],[. Por tot réel >, cos d = lim t C(t C(. On en dédit qe la fonction cos d est de classe C sr ],[, de dérivée c. De même, la fonction sin d est de classe C sr ],[, de dérivée s. Mais alors la fonction g est de classe C sr ],[ et por tot réel >, g ( = sin = cos sin cos sincos d d sin cos sin La fonction g est encore de classe C sr ],[ et por tot réel >, d. cos d + cossin g cos ( = sin d + cos2 sin cos d + sin2 = g(. >, g ( + g( =. Egalité de f et g sr ],[. Por tot réel >, ( f g ( + ( f g( =. Donc il eiste de réels λ et µ tels qe >, ( f g( = λ cos + µ sin = Acos( + ϕ por A = λ 2 + µ 2 et por n certain ϕ. Maintenant, por >, f ( = e t dt +t 2 e t dt = et on en dédit qe lim =. Ensite, g( sin d + cos d. Pisqe les intégrales sin d et cos d sont des intégrales convergentes, on a lim sin d = lim cos d = et donc assi lim g( =. Finalement, lim ( f ( g( = ce qi impose A = et donc >, f ( = g(.

12 >, e t dt = sint +t 2 t+ dt. Continité de g en et valer de g( = cos = cos sint t dt. Por >, sin d sin cos d sin d sin cos cos d + sin d sinln. Qand tend vers, sinln ln et donc lim sinln =. Ensite, la fonction cos est intégrable d = sr ],] car contine sr ],] et prolongeable par continité en. On en dédit qe lim sin cos cos d =. Il reste lim > sint g( = dt = g(. t La fonction g est donc contine en. Pisqe la fonction f est également contine en, on en dédit qe g( = lim, > g( = lim f ( = f ( = > +t 2 dt = π 2. e t dt = sint +t 2 t+ dt et en particlier, sint t dt = π 2. Correction de l eercice 7. Soit R. La fonction t f ( tg(t est contine sr le segment [,T ] et donc intégrable sr ce segment. Par site, f g( eiste. Soit R. f g( + T = T f ( + T tg(t dt = T f ( tg(t dt = f g(. Donc la fonction f g est T -périodiqe. Les fonction f et g sont contines sr R et T -périodiqes. Ces fonctions sont en particlier bornées sr R. On note M et M 2 des majorants sr R des fonctions f et g respectivement. Soit Φ : R [,T ] R. (,t f ( tg(t - Por chaqe R, la fonction t Φ(,t est contine par morcea sr [,T ]. - Por chaqe t [,T ], la fonction Φ(,t est contine sr R. - Por chaqe (,t R [,T ], Φ(,t M M 2 = ϕ(t. De pls, la fonction ϕ est contine et donc intégrable sr le segment [,T ]. D après le théorème de continité des intégrales à paramètres, la fonction f g est contine sr R. 2. Soient f et g de éléments de E. Soit R. En posant = t, on obtient T f g( = = T = g f (. T f ( tg(t dt = f (g( t ( d = g( t f ( d T g( t f ( d (car la fonction g( t f ( est T -périodiqe 2