INTRODUCTION A L ANALYSE COMBINATOIRE.

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1 INTRODUCTION A L ANALYSE COMBINATOIRE. I- ENSEMBLES FINIS ET CARDINAL D UN ENSEMBLE FINI. ) Produit cartésie d esembles fiis. Défiitio. Soit E et F deux esembles fiis et o vides. O aelle roduit cartésie de E ar F, oté E F, l esemble des coules ( x; y) formés d u élémet x E suivi d u élémet y F. E F x; y ; x E, y F. Aisi, {( ) } Exemles. E { a; b; c; } et F { ;}. O a : E F a;, a;, b, ; b, ; c, ; c, {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} et F E {( ; a),( ; b),(, c) ;(, a) ;(, b) ;(, c) }. Remarques. Das u coule l ordre est imortat ; lorsque x y alors ( x ; y) ( y; x) (alors que les esembles { x; y} et{ y; x} sot égaux. O a doc e gééral, E F F E. Si E ou si F, comme l esemble vide e cotiet aucu élémet, o a alors E F. Si E est u esemble fii et que F E, le roduit cartésie E F E E est oté E. Cet esemble est celui des coules ( x; y) où x E suivi d u élémet y E. O comred doc que le roduit cartésie «x» a rie à voir avec la multilicatio, et que la otatio E a rie à voir avec la uissace. De faço lus géérale, our tout etier aturel o ul, o ote E l esemble dot les élémets sot des suites ordoées de élémets de E. Ces élémets s aellet des -ulets ou listes de élémets. O coviet que lorsque, E E ) Ijectios et surjectios de [ ;] das [ ;q]. 3 ) Cardial d u esemble fii. II- LISTES D ELEMENTS D UN ENSEMBLE FINI. ) Notio de listes ou de -ulets et arragemets. Ituitivemet, ue liste est ue éumératio qui suit u ordre. Exemles. La liste d ael das l ordre alhabétique des élèves d ue classe ; La liste des mots du dictioaire. Les résultats das l ordre d aaritio des faces d ue ièce lors de lusieurs lacers successifs.

2 Défiitio. Soit E u esemble fii de cardial avec IN et IN. O aelle liste de -élémets de E, ou -ulet de E, ue suite ordoée de élémets E o écessairemet disticts. Exemle. Si E { a; b; c; d}, les trilets ( a ; b; b), ( a ; b; d ), ( a ; d; b), ( a a; a) ; sot des exemles de trilets que l o eut former avec trois élémets de E o écessairemet disticts. Remarques. ) La défiitio doée est celle d arragemet avec réétitio. Le modèle est celui du tirage avec remise et e teat comte de l ordre. ) Si l o imose à ue liste de élémets de E de e coteir que des élémets de E deux à deux disticts, la liste aura mois de élémets ce qui sigifie que. O arle alors d arragemets sas réétitio. Le modèle est celui du tirage sas remise et e teat comte de l ordre. Théorème. Soit E u esemble fii de cardial avec IN. i- Pour tout etier aturel o ul, le ombre d arragemets avec réétitio de élémets ris armi les élémets de E (ou de listes à élémets de E) est. ii- Pour tout etier aturel o ul tel que, le ombre d arragemets sas réétitio de élémets ris armi les élémets de E (ou de listes à +. élémets de E deux à deux disticts) est ( ) ( ) ( ) Preuve. Celle-ci, résulte du ricie multilicatif. Soit E u esemble fii de cardial avec IN et u etier aturel o ul i) Il y a choix ossible our le remier élémet du -ulet. Comme les élémets du -ulet e sot as écessairemet disticts, il y a à ouveau choix ossibles our le deuxième élémet et aisi de suite. Il y a doc our chacu des élémets du -ulet choix ossibles, ce qui doe. ii) Si, les élémets état deux à deux disticts, il y a choix ossibles our le remier élémet. Cet élémet ayat été choisi, il reste élémets disticts du remier our occuer la secode lace du -ulet d où choix ossibles. Il reste alors ( ) choix ossibles our choisir le ème élémet du -ulet, ce qui doe ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ). ( ( remier élémet deuxième élémet troisième élémet ème élémet Remarque. Le ombre d arragemets sas réétitio de élémets ris armi élémet, avec se ote A. Aisi, A ( ) ( ) ( + ). Exemle. Ue ure cotiet 0 boules idiscerables au toucher umérotées de à 0. Combie y a-t-il de tirages ossibles de 3 boules : a- Avec remise (la boule tirée est relacée das l ure avat chaque ouveau tirage)? b- Sas remise? fois

3 a) U tirage de trois boules de l ure avec remise, est ue liste de trois élémets ou u trilet de trois élémets choisis armi 0 élémets, ce qui doe tirages ossibles avec remise. b) U tirage de trois boules de l ure sas remise, est ue liste de trois élémets deux à deux disticts ou u trilet de trois élémets deux à deux disticts choisis armi 0 élémets, ce qui doe tirages ossibles sas remise. Exemle 3. Combie y a-t-il de faços de rager ciq aires de chaussettes das trois tiroirs? Comme rie est récisé, il eut y avoir lusieurs aires de chaussettes das le même tiroir. Il s agit doc de déombrer le ombre de 5-ulets que l o eut former avec u esemble à trois élémets. Pour la remière aire, il y a trois tiroirs ossibles, uis, our la secode aire à ouveau trois choix ossibles, etc et efi our la ciquième aire, trois choix ossibles ce qui doe faços de rager ciq aires de chaussettes das trois tiroirs. Corollaire. Pour tout etier aturel o ul et tout etier aturel tel que, A!. ( )! Démostratio. Soit u etier aturel o ul et u etier aturel tel que. D arès le thérème récédet, o a : A ( ) ( ) ( + ) c'est-à-dire ecore, A ( ) ( ) ( ( ) ). E multiliat umérateur et + + o a : déomiateur ar ( ) ( ( )) ( ( )) ( )! ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( + ) ) ( ( + ) ) A ( ) ( ( + ) ) ( ( + ) ) A!. ( )! ) Permutatios. a- Permutatios sas réétitios d élémets disticts. Défiitio. Soit E u esemble fii de cardial avec IN. O aelle ermutatios de E, toute liste de élémets de E deux à deux disticts ou ecore, tout -ulet de E formés d élémets de E deux à deux disticts. Exemle 4. Si E { a; b} Si E { a; b; c}, les ermutatios de E sot les trilets : a ; b; c b ; c; a c ; a; b a c; b, les ermutatios de E sot les coules : σ ( a;b) et ( b;a) σ. σ ( ), σ ( ), σ ( ), σ ( ), σ ( c ; b; a) et ( b ; a; c) σ. 6

4 Théorème. Le ombre de ermutatios d u esemble fii à élémets, avec IN, est!. Preuve. Ue démostratio rore se ferait ar récurrece sur. Soit E u esemble fii de cardial avec IN. Comter le ombre de ermutatios d u esemble à élémets, reviet à déombrer les -ulets que l o eut former avec les élémets de E deux à deux disticts. Il y a choix ossibles our le remier élémets du -ulet, celui état choisi, il reste choix ossibles our le deuxième élémet et aisi de suite ; il reste alors u élémet das E our occuer la ème lace, ce qui doe ( ) ( )! ermutatios. Remarque. Cela sigifie qu il y a! faços de rager élémets disticts das tous les ordres ossibles. Exemle 5 (Le classique : celui des aagrammes d u mot sas lettre réétée). Quelles sot les aagrammes du mot PARIS. Cosidéros l esemble E formé des ciq lettres (distictes) du mot PARIS ; aisi E { P; A; R; I; S}. Comter les aagrammes de ce mot, reviet à déombrer le ombre de ermutatios de l esemble E, c'est-à-dire, reviet à comter le ombre de 5-ulets que l o eut former avec les ciq élémets disticts de l esemble E. Ce ombre de ermutatios est 5! 0 ce qui doe 0 aagrammes du mot PARIS. Attetio, o e rocèderait as de même our les aagrammes du mot MISSISSIPPI suivat que l o distigue ou o les lettres qui se réètet. b- Permutatios avec réétitios d élémets discerables. (Mal fait, à refaire). Il arrive que, armi les objets dot o cherche le ombre de ermutatios, certais d'etre eux, au ombre de k (avec k ) soiet tous semblables. Auquel cas, rie e distigue les ermutatios de ces k objets etre eux. Défiitio. Soit E u esemble fii de cardial avec IN tel que. Soit u etier aturel avec et cosidéros etiers aturels o uls k, k,,k tels que k + k + + k. Ue ermutatio avec réétitios de élémets de E est u -ulet où figure k fois u élémet de E, k fois u autre élémet de E (distict du remier),, k fois u autre élémet de E (distict des autres élémets). Exemle. Cosidéros le mot «été». Ce mot de trois lettres est costitué de deux lettres distictes «é» et «t» dot deux «é» se réètet. Les ermutatios avec réétitio de ce mot sot ( é ; t;, ( t ; é;, ( é ; é; t), ( é ; é; t), ( é ; t;, t ; é; é. Or, o remarque que certais trilets sot «idetiques». ( )

5 Théorème. Le ombre de ermutatios avec réétitios de élémets d u esemble E de cardial ris armi E { e, e,, e } où figuret k, k,, k, avec k + k + + k! est k! k! k! 3! Exemle. Le ombre d aagrammes du mot «été» est 3.!!! Le ombre d aagrammes du mot MISSISSIPPI est! 4!4!! M I S P 3 3 ) Arragemets. Défiitio. Soit E u esemble fii de cardial avec IN et. O aelle arragemet de E, toute liste à élémets de E deux à deux disticts (ou tout -ulet costitué d élémets de E disticts deux à deux). OUI, cela a déjà été défii c est le II, la remarque du ). III- IV- Combiaisos.