Probabilités Cours Terminale S Rappels Généralités Vocabulaire

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1 Page d accueil Terminale S Cours Calculatrices ROC ROC Probabilités Probabilités Cours Terminale S Rappels Généralités Vocabulaire Sommaire 1 Vocabulaire 11 Expérience aléatoire 3eme 12 Evénement 13 Exercices d applications : Reconnaître une expérience aléatoire 2 Probabilité 21 Approche intuitive 22 Probabilité et fréquence : des statistiques aux probabilités 23 Calculer une probabilité 24 Evénement contraire 25 Exercices d applications : Calculer une probabilité 26 Exercices d entrainement et approfondissement 1 Vocabulaire 11 Expérience aléatoire Définition Une expérience est dite aléatoire si elle vérifie trois conditions : l expérience conduit à des résultats possibles qu on est parfaitement capable de nommer on ne sait pas lequel de ces résultats va se produire quand on réalise l expérience l expérience doit être reproductible dans les mêmes conditions Exemples : Expérience A : «On lance une pièce de monnaie et on regarde sur quelle face elle tombe» Cette expérience est bien une expérience aléatoire car : il y a deux résultats possibles : «pile» ou «face», Quand on lance la pièce, on ne sait pas sur quelle face elle va tomber, On peut reproduire cette expérience dans les mêmes conditions Expérience B : «On dispose d un dipôle dont on connaît la résistance et dans lequel on fait passe un courant d intensité connue On mesure la tension aux bornes de ce dipôle» Cette expérience n est pas aléatoire, car si on connaît la résistance d un dipôle et l intensité du courant, la loi d Ohm permet de calculer la tension aux bornes du dipôle A l a i n B r i a n d T é l c o n t a c c o u r s b r i a n d f r Page 1

2 12 Evénement Définition A partir d une expérience aléatoire on peut définir ce qu on appelle des événements qui sont des ensembles de résultats Exemple : Expérience aléatoire : «Lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6» «Obtenir un nombre pair» est un événement car c est l ensemble de résultats suivants : «obtenir 2» ou «obtenir 4» ou «obtenir 6» 13 Applications : Reconnaître une expérience aléatoire : Exercice 1 Voici une expérience : «On dispose d un sac qui contient trois boules rouges et deux boules blanches On tire une boule au hasard et on regarde sa couleur» Est-ce une expérience aléatoire? Si oui, quels sont les résultats possibles de cette expérience? Exercice 2 Voici une expérience : «On dispose de boules identiques dont on connaît le poids On tire trois boules au hasard et on les pèse» Est-ce une expérience aléatoire? Exercice 3 On lance deux dés cubiques numérotés de 1 à 6 et on calcule la somme des points obtenus a Justifier qu il s agit d une expérience aléatoire b Quels sont les résultats possibles de cette expérience? c «Obtenir un nombre pair» : est-ce un événement? d «Obtenir une somme inférieure à 6» : est-ce un événement? Exercice 3 On dispose d un sac qui contient trois boules noires, deux boules blanches et une boule rouge On tire une boule au hasard et on regarde sa couleur a Justifier qu il s agit d une expérience aléatoire b Inventer quatre événements associés à cette expérience 2 Probabilité 21 Approche intuitive Définition intuitive Pour certaines expériences aléatoires on peut déterminer «la chance» qu un événement a de se produire Ce quotient est appelé probabilité de l événement Exemples : Si on tire au hasard une boule dans un sac contenant huit boules dont trois sont rouges et cinq sont vertes, la A l a i n B r i a n d T é l c o n t a c c o u r s b r i a n d f r Page 2

3 probabilité de tirer une boule rouge est de, car on a 3 «chances» sur 8 de tirer une boule rouge Histoire des Probabilités Les probabilités sont nées en France au XVIe siècle à partir de problèmes de jeu C est Pierre de Fermat et Blaise Pascal deux célèbres mathématiciens qui, en 1665, posèrent les bases des probabilités Le mathématicien suisse Jacques Bernoulli établit par la suite, le lien entre la fréquence donc les statistiques et les probabilités 22 Probabilité et fréquence : des statistiques aux probabilités Propriété Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de n importe quel événement de cette expérience finit par se stabiliser autour d un nombre qui est la probabilité de cet événement Exemples : Expérience : «On dispose d une urne qui contient 2 boules jaunes et 3 boules rouges On tire une boule au hasard et on s intéresse à la couleur de la boule tirée» Si on renouvelle un très grand nombre de fois cette expérience en remettant chaque fois la boule tirée dans l urne, la fréquence du résultat «la boule tirée est jaune» se stabilise autour de qui est la probabilité de l événement «obtenir une boule jaune» 23 Calculer une probabilité Propriété Quand les résultats d une expérience aléatoire ont tous la même probabilité alors la probabilité d un événement est égale au quotient : Exemple : Expérience : On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6 On s intéresse à l événement «obtenir un nombre inférieur à 5» Calculons la probabilité de l événement «obtenir un nombre inférieur à 5» On appelle A l événement «obtenir un nombre inférieur à 5» et on écrit : La probabilité de l événement A est Les résultats possibles de cette expérience, obtenir 1, obtenir 2, obtenir 6, ont la même probabilité la même chance de se produire Il y a donc 6 résultats possibles et donc Tél contact@coursbriandfr Page 3

4 Calculons le nombre de résultats favorables à l événement A Obtenir un nombre inférieur à 5 c est obtenir 1 ou 2 ou 3 ou 4 Donc le nombre de cas favorables à A est 4 En effet, obtenir un nombre inférieur à 5 c est obtenir c'est obtenir un nombre de l ensemble des résultats { } On dit que l événement A est réalisé par l ensemble { On peut écrire { } } L ensemble A contient 4 éléments D où la probabilité de l événement A est La probabilité d obtenir un nombre inférieur à 5 est Conséquence : Propriété La probabilité d un événement est toujours comprise entre 0 et 1 La somme des probabilités de tous les résultats d une expérience aléatoire est égale à 1 24 Evénement contraire Propriété Si est la probabilté d un événement alors est la probabilité de l événement contraire Exemple : Si un sac contient des boules blanches et des boules noires et si la probabilité d obtenir une boule noire est alors la probabilité de ne pas obtenir une boule noire ici c est obtenir une boule blanche est 25 Applications : Calculer une probabilité exercices 13 à 19 p Exercices d entrainement et approfondissement Tél contact@coursbriandfr Page 4

5 ROC 1501 ROC 1502 ROC 1503 ROC 1504 ROC 1505 ROC : Probabilités La loi équirépartie : propriété Probabilité d un événement dans le cas d une loi équirépartie Probabilité d un événement dans le cas d une loi équirépartie Probabilité de la réunion : Propriété Probabilité de l événement contraire : propriété A l a i n B r i a n d T é l c o n t a c c o u r s b r i a n d f r Page 5

6 ROC 1501 ROC Loi équirépartie Télécharger ROC 1501 La loi équirépartie : PDF WORD WEB calculatrice 0PEN 0 Prérequis : 1 E est l ensemble des n issues d une expérience aléatoire Propriété : La somme des probabilités de toutes les issues d une expérience aléatoire est égale à 1 2 Définir une loi de probabilité sur E, c est associer à chaque issue un nombre, positif ou nul de façon que Ce nombre est appelé probabilité de l issue Enoncé : 1 Enoncer et démontrer la loi équirépartie sur un ensemble E d une expérience aléatoire comprenant n issues Démonstration 1 loi équirépartie : Définition - propriété Dans le cas où l on associe à chacune des n issues d une expérience aléatoire la même probabilité, on parle de loi équirépartie On a alors 2 Démontrons que En effet la somme des probabilités de toutes les issues étant 1, prérequis 2, on a Comme il s agit d une loi équirépartie, la probabilité de chaque issu est On en déduit donc que la somme des probabilités de toutes les issues de E est = 1, Soit D où Tél contact@coursbriandfr Page 6

7 ROC 1502 ROC Probabilité d un événement dans le cas d une loi équirépartie Télécharger ROC 1502 Probabilité d un événement dans le cas d une loi équirépartie : calculatrice PDF WORD WEB 0PEN 0 Prérequis : 1 Définition de la probabilité d un événement : Une loi de probabilité est définie sur un ensemble E La probabilité d un événement A est la somme des probabilités des issues qui le réalisent On la note 2 Définition-propriété d'une loi de probabilité : Dans le cas où l on associe à chacune des issues d une expérience aléatoire la même probabilité, on parle de loi équirépartie On a alors Enoncé : Soit une loi d équiprobabilité définie sur un ensemble E à issues par la probabilité de chaque issue On considère un événement A dans E et soit le nombre d issues qui réalisent A Démontrer la propriété suivante : Dans le cas d une loi équirépartie, la probabilité d un événement A est donnée par : Démonstration Soit la loi d équiprobabilité définie sur E et A un événement dans E Soit le nombre d issues de l expérience dans E ; et soit le nombre d issues qui réalisent l événement A Démontrons que En effet, la loi définie sur E est une loi d équiprobabilité, la probabilité de chaque issue est donc d après le prérequis 2 : Si est le nombre d issues de l expérience et le nombre d issues qui réalisent A, alors d après le prérequis 1, la probabilité de A est la somme des probabilités de chaque issue qui réalise A ; la probabilité de l événement A est donc : Soit C est à dire Tél contact@coursbriandfr Page 7

8 ROC 1503 ROC Probabilité d un événement dans le cas d une loi équirépartie Télécharger ROC 1503 Probabilité d un événement dans le cas d une loi équirépartie : calculatrice PDF WORD WEB 0PEN 0 Prérequis : 1 E est l ensemble des issues d une expérience aléatoire Un événement A est une partie de E 2 Définir une loi de probabilité sur E, c est associer à chaque issue un nombre, positif ou nul de façon que Ce nombre est appelé probabilité de l issue 3 Une loi de probabilité est définie sur un ensemble E La probabilité d un événement A est la somme des probabilités des issues qui réalisent cet événement On la note pa Enoncé : 1 Dans le cas où l on associe à chacune des issues d une expérience aléatoire la même probabilité, on parle de loi équirépartie Démontrer que 2 Enoncer et démontrer la loi équirépartie d un évènement A Démonstration 1 Démontrons que En effet la sommes des probabilités de toutes les issues étant 1, prérequis 2, on a Comme il s agit d une loi équirépartie, la probabilité de chaque issu est On en déduit donc que la somme des probabilités de toutes les issues de E est =1, Soit D où 2 Loi équirépartie : propriété Dans le cas d une loi équirépartie, la probabilité d un événement A est donnée par : On dit souvent dans ce cas Démontrons que Tél contact@coursbriandfr Page 8

9 Soit E un ensemble de issues d une expérience aléatoire Soit A un événement de dans E et soit nombre d issues qui réalisent A le La loi associée à cette expérience est une loi équirépartie, donc d après la question précédente, la probabilité de chaque issue de A est Or d après le prérequis 3, la probabilité d un événement A est la somme des probabilités des issues qui le réalisent Donc la probabilité de l événement A est soit Tél contact@coursbriandfr Page 9

10 ROC 1504 ROC ROC Probabilité de la réunion : Propriété Télécharger ROC 1504 Probabilité de la réunion : Propriété calculatrice PDF WORD WEB 0PEN 0 Prérequis : Définition de la probabilité d un événement : Une loi de probabilité est définie sur un ensemble E La probabilité d un événement A est la somme des probabilités des issues qui le réalisent On la note Enoncé : Une loi de probabilité est définie sur un ensemble E Démontrer la propriété suivante : Pour tous les événements A et B, Dans le cas où A et B sont deux événements incompatibles alors Démonstration Cas où La probabilité d un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalisent, Donc E B A A B= Cas où En posant avec E A1 On a B A et A B Comme la probabilité d un événement est égale à la somme des probabilités des issues qui le réalisent, d après 2 on déduit que de même d après 1 on déduit que Tél contact@coursbriandfr Page 10

11 et En substituant en remplaçant dans 3 on obtient ou encore Tél contact@coursbriandfr Page 11

12 ROC 1505 ROC Probabilité de l événement contraire : propriété Télécharger ROC 1505 Probabilité de l événement contraire : propriété: calculatrice PDF WORD WEB 0PEN 0 Prérequis : 1 Définition de la probabilité de la réunion : Une loi de probabilité est définie sur un ensemble E Pour tous les événements A et B, Dans le cas où A et B sont deux événements incompatibles alors 2 Définition-propriété : E est l événement certain de probabilité 1 L événement impossible est l événement qui n est pas réalisé dans E, sa probabilité est nulle Enoncé : Une loi de probabilité est définie sur un ensemble E Soit A un événement de E Démontrer que la probabilité de l événement contraire de A est donnée par Démonstration Soit A, un événement de E et soit l événement contraire de A Donc et Or d après la propriété de la probabilité de la réunion Donc Comme alors donc Or d après 1 donc Des égalités 2 et 3 on déduit Comme E est l événement certain de probabilité Donc D où Tél contact@coursbriandfr Page 12