Université de Rennes 1, Licence 1 Biologie Parcours Accompagné Soutien Mathématiques. Etude de Fonctions, Feuille 1

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1 Université de Rennes 1, Licence 1 Biologie Parcours Accompagné Soutien Mathématiques Etude de Fonctions, Feuille 1 Calcul de dérivées. Dériver les fonctions suivantes. f 1 () = e f () = ln() f 3 () = log 10 () = ln() ln(10) f 4 () = 3/ f 5 () = ( 3 + 1) f 6 () = (pour ]1; + [) (pour ]0; + [) (pour 3) Une nouvelle fonction usuelle : la valeur absolue. Soit f la fonction définie sur R par { si 0 f() = = si < 0 Q1. Dessiner le graphe de la fonction f dans un repère orthonormé, et donner le signe de f. Que se passe-t-il au point = 0? Q. Calculer le tau d accroissement f() f(0) avec > 0, et ensuite faire le même calcul avec < 0. Est-il possible de définir le nombre dérivé de f en 0? Une population de bactéries a la taille Ae t/τ, où A et τ sont des constantes positives. Quel est le tau de croissance instantané de la population au temps t = τ? Etude de signes. Dresser un tableau de signes pour : les dérivées des fonctions f 1, f, f 3 et f 4 du premier eercice. Dresser ensuite le tableau de variations de chaque fonction sur les intervalles donnés. la fonction g() = la fonction h() =

2 Domaines de définition. Donner les domaines de définition et de dérivabilité des fonctions suivantes : f 1 () = f () = f 3 () = ln(cos()) (pour [0, π]) f 4 () = 1 3 ln( + ) Calcul de limites. Etudier les limites suivantes : ln() Q1. lim Q3. lim Q5. lim 0 ln() 3 1 Q. lim + 5 Q4. lim + 3 e Q6. lim Une nouvelle fonction usuelle : la fonction tangente. Soit f la fonction définie par f() = tan() = sin() cos() Q1. En utilisant le cercle unité, se convaincre que cos( + π) = cos() et sin( + π) = sin(). En déduire que f est de période π. Q. On se restreint à une période, [ π; π ]. Montrer que f est définie sur I =] π; π[. Q3. Montrer que cos() + sin() = 1 pour tout R. Indication : dériver l epression de gauche. Q4. Déduire que f () = 1. Quel est le sens de variation de f sur I? cos() Q5. Déterminer les limites lim π f() et lim f() + π et dresser le tableau de variations de f. Q6. Quand a-t-on f() = 0 pour I? Dresser le tableau de signes de f sur I.

3 Université de Rennes 1, Licence 1 Biologie Parcours Accompagné Soutien Mathématiques Etude de Fonctions, Feuille Asymptotes. Soit la fonction f() = Q1. Donner le domaine de définition et de dérivabilité de f. Calculer la dérivée de f. Q. Déterminer les limites de f lorsque tend vers (limites à gauche et à droite). Q3. On note C f la courbe représentative de f. Est-il vrai que la droite d équation = est une asymptote verticale à la courbe C f? Q4. Calculer lim + f(). C f admet-elle une asymptote horizontale en +? Q5. Calculer les limites suivantes : f() lim + et lim f() + Le phénomène mis en évidence ici est que la courbe C f se rapproche de la droite d équation y = + 3 : cette droite est appelée une asymptote oblique. Branches paraboliques. Question de cours. Montrer que la fonction logarithme néperien admet une branche parabolique dans la direction (O), et que la fonction eponentielle admet une branche parabolique dans la direction (Oy).

4 Eercice. Soit la fonction f() = Q1. Donner le domaine de définition et de dérivabilité de f. Q. Calculer la dérivée de f. Q3. La fonction f étant paire (f( ) = f()), on restreint le domaine d étude à R + \{}. Dresser le tableau de variations de f sur ce domaine. Q4. Déterminer lim + f() et lim f(). En déduire l équation d une asymptote verticale à la courbe représentative de f, notée C f. f() Q5. Calculer lim + f(), puis lim +. Dans quelle direction la courbe C f admet-elle une branche parabolique? Dessiner l allure de la courbe C f sur R +. Un second DM. Les deu parties ne sont pas indépendantes. Partie A. Soit la fonction f suivante, de courbe représentative C f : f() = Q1. Donner le domaine de définition et de dérivabilité de f. Q. Montrer que la droite d équation = 1 est une asymptote verticale à la courbe C f. Q3. On donne la factorisation : 3 +1 = ( 1)( + 1). Montrer que la droite d équation = 1 n est pas une asymptote verticale de C f. Partie B. Dorénavant, on considère la fonction g, de courbe représentative C g, définie et dérivable sur R\{ 1} par g() = Pour / { 1, 1}, on a g() = f(), et g(1) = 1/ : on dit que g prolonge f. Q4. Dresser le tableau de variations complet de g. Q5. Résoudre + 1 = 0, et en déduire le tableau de signes de g. Q6. Faire une étude lorsque tend vers ± pour déterminer si la courbe C g admet une asymptote horizontale, oblique ou branche parabolique. On précisera le cas échéant l équation de la droite asymptote, ou la direction de la branche parabolique. Q7. Tracer l allure de la courbe C g dans un repère orthonormé. On y fera apparaître les droites asymptotes trouvées précédemment (n hésitez pas à utiliser de la couleur!), et les points où g s annule devront être bien placés, en prenant l arrondi 5,.

5 Université de Rennes 1, Licence 1 Biologie Parcours Accompagné Soutien Mathématiques, Contrôle Continu 1 Lundi 1 février Durée : 30 minutes Documents et calculatrice non autorisés Les réponses sans justification ou détail de calcul ne rapporteront pas la totalité des points. Le barème est donné à titre indicatif. Eercice 1 (3 points) : Q1. Donner le domaine de définition de la fonction f() = 1 Q. Déterminer les limites de f() lorsque tend vers + et quand tend vers (par valeurs supérieures). Eercice ( points) : calculer la dérivée de la fonction f ci-après, définie sur ]0, 1[ ]1, + [ : f() = ln() Eercice 3 (5 points) : on considère la fonction suivante avec son graphe : Attention : en aucun cas la courbe ne peut servir pour justifier une réponse. Q1. Déterminer le domaine de définition et de dérivabilité de f. Q. Dériver f. Q3. Calculer lim + f() et lim f(). Q4. Déterminer les limites de f() lorsque tend vers 1 et dresser le tableau de variations de f.

6 Université de Rennes 1, Licence 1 Biologie Parcours Accompagné Soutien Mathématiques, Contrôle Continu 1 Mardi février Durée : 30 minutes Documents et calculatrice non autorisés Les réponses sans justification ou détail de calcul ne rapporteront pas la totalité des points. Le barème est donné à titre indicatif. Eercice 1 (3 points) : Q1. Donner le domaine de définition de la fonction f() = 1 1 Q. Déterminer les limites de f() lorsque tend vers + et quand tend vers 1 (par valeurs supérieures). Eercice ( points) : calculer la dérivée de la fonction f ci-après, définie sur ]0, + [ : ln () f() = Eercice 3 (5 points) : on considère la fonction suivante avec son graphe : Attention : en aucun cas la courbe ne peut servir pour justifier une réponse. Q1. Déterminer le domaine de définition et de dérivabilité de f. Q. Dériver f. Q3. Calculer lim + f() et lim f(). Q4. Déterminer les limites de f() lorsque tend vers 1 et dresser le tableau de variations de f.

7 Université de Rennes 1, Licence 1 Biologie Parcours Accompagné Soutien Mathématiques, Contrôle Continu Mercredi 6 avril Durée : 60 minutes Documents et calculatrice non autorisés Les réponses sans justification ou détail de calcul ne rapporteront pas la totalité des points. Le barème est donné à titre indicatif. Eercice 1 répondre par vrai ou fau et justifier. Q1. Soit f() = 1, alors Df = Df. ( points) Q. La courbe représentative de la fonction f() = ln () admet une branche parabolique dans la direction de (Oy). ( points) Eercice (4 points) soit f() = (e + ). Q1. Donner le domaine de définition et de dérivabilté de f. ( points) Q. Calculer la dérivée de la fonction f (on donnera sous forme développée). ( points) Eercice 3 (1 points) on considère la fonction suivante : f() = Q1. Montrer que f() = 1 +. (1 point) + 1 Q. Déterminer le domaine de définition et de dérivabilité de f. (1 point) Q3. Dériver f. ( points) Q4. Montrer que = 0 si et seulement si = 1 ou bien = 1+. En déduire le signe de f. ( points) Q5. Dresser le tableau de variations de f. (1 point) Q6. Calculer lim f(). En déduire l équation d une asymptote verticale à 1 la courbe C f. ( points)

8 Q7. Déterminer la limite de f() lorsque tend vers +. La courbe C f admet-elle une asymptote horizontale? (1 point) f() Q8. Calculer lim et lim (f() ). En déduire l équation de l asymptote oblique à la coube C f en +. ( points) Bonus : remarquons que la droite de la question 8 est également asymptote à C f en. Dessiner alors l allure de la courbe C f dans un repère orthonormé.

9 Université de Rennes 1, Licence 1 Biologie Parcours Accompagné Soutien Mathématiques, Contrôle Continu 1 Lundi 4 avril Durée : 60 minutes Documents et calculatrice non autorisés Les réponses sans justification ou détail de calcul ne rapporteront pas la totalité des points. Le barème est donné à titre indicatif. Eercice 4 (4 points) répondre par vrai ou fau et justifier. Q1. Soit f() =, alors Df = Df. ( points) Q. La courbe représentative de la fonction f() = e admet une branche parabolique dans la direction de (Oy). ( points) Eercice 5 (4 points) soit f() = (e ). Q1. Donner le domaine de définition et de dérivabilté de f. ( points) Q. Calculer la dérivée de la fonction f (on donnera sous forme développée). ( points) Eercice 6 (1 points) on considère la fonction suivante : f() = Q1. Montrer que f() = (1 point) 1 Q. Déterminer le domaine de définition et de dérivabilité de f. (1 point) Q3. Dériver f. ( points) Q4. Montrer que = 0 si et seulement si = 1 ou bien = 1+. En déduire le signe de f. ( points) Q5. Dresser le tableau de variations de f. (1 point) Q6. Calculer lim f(). En déduire l équation d une asymptote verticale à la 1 courbe C f. ( points)

10 Q7. Déterminer la limite de f() lorsque tend vers +. La courbe C f admet-elle une asymptote horizontale? (1 point) f() Q8. Calculer lim et lim (f() ). En déduire l équation de l asymptote oblique à la coube C f en +. ( points) Bonus : remarquons que la droite de la question 8 est également asymptote à C f en. Dessiner alors l allure de la courbe C f dans un repère orthonormé. 4

11 Université de Rennes 1, Licence 1 Biologie Parcours Accompagné Soutien Mathématiques, Corrigé du Contrôle Continu Eercice 1 : Q1. Vrai. Pour que f soit définie, il faut que 0 (pour que soit définie), et que 0 0 (pour que le quotient soit défini), d où Df =]0, + [. Or, est dérivable sur ce même intervalle, donc f l est aussi. Q. Fau. On a lim + ln() = +, et, par le théorème des croissances ln() comparées, lim + = 0, ce qui indique que la courbe représentative de f() = ln() admet une branche parabolique de direction (O). Eercice : Q1. f() est le carré d une somme de deu termes; le premier terme, e, est défini et dérivable sur R, et le second,, est défini sur [0, + [ et dérivable sur ]0, + [. Ainsi Df = R + et Df = R +. Q. Soit u() = e + ; on a u () = e + 1. On pouvait alors soit utiliser la formule du produit, (u u) = uu + u u, soit la formule de composition (u ) = u u pour trouver ( f () = e + 1 ) (e + ) = e + e + e + 1 Problème : Q1. On réduit au même dénominateur : ( )( + 1) + = = = f() Q. Pour que f soit définie, il faut que le dénominateur ne s annule pas, à savoir + 1 0, ce qui équivaut à 1/. Donc Df = R\{ 1/}. De plus, on a Df = Df (f ne comportant pas de racine). Q3. Soient u() = 3 1 et v() = + 1 ; on a u () = 4 3 et v () =. Comme f = u, on a, par la formule du quotient : v f () = u ()v() v ()u() = (4 3)( + 1) ( 3 1) v() ( + 1) = ( + 1) Q4. Résolvons = 0 : on commence par calculer le discriminant, = ( 1) = 3. L équation admet donc deu solutions qui sont 1 = 4 4 = = = 1 < 1

12 et = 4 + = 1 + > 1 4 Comme le dénominateur de f est toujours positif, f a le signe du trinôme Le coefficient dominant de celui-ci étant positif, on a le tableau de signes suivant et f a le même signe (avec une valeur interdite en 1/). Q5. On déduit du signe de f le tableau de variations de f : 1 1/ + f () f ր ց ց ր Q6. On regarde séparément le numérateur et le dénominateur : lim 1/ 3 1 = = 1 0 et lim + 1 = 0 1/ Ainsi, lim 1/ f() =. On peut déduire les signes des limites à gauche et à droite du tableau de variations précédent : on a lim f() = et lim ( 1/) f() = + ( 1/) + Comme la limite de f en 1/ est infinie, on déduit que la droite d équation = 1/ est asymptote verticale à la courbe C f. Q7. On utilise l epression de f de Q1. On a lim + = +, et comme lim = +, on a lim = 0 On déduit que f() tend vers + lorsque tend vers +, donc la courbe C f n admet pas d asymptote horizontale. Q8. On a f() = 1 ( + 1) + Le premier terme tend vers 0 lorsque tend vers l infini, et le second terme tend vers 1 en utilisant qu à l infini, ( )/ se comporte comme le quotient des termes de plus haut degré. De plus, f() = 1, qui tend vers +1 lorsque tend vers +. Ainsi la droite d équation y = est asymptote à la courbe C f en +.

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14 Université de Rennes 1, Licence 1 Biologie Parcours Accompagné Soutien Mathématiques, Corrigé du Contrôle Continu Eercice 1 : Q1. Vrai. Pour que f soit définie, il faut que 0 (pour que soit définie), et que 0 0 (pour que le quotient soit défini), d où Df =]0, + [. Or, est dérivable sur ce même intervalle, donc f l est aussi. Q. Vrai. On a lim + e = +, et, par le théorème des croissances e comparées, lim + = +, ce qui indique que la courbe représentative de f() = e admet une branche parabolique de direction (O). Eercice : Q1. f() est le carré d une somme de deu termes; le premier terme, e, est défini et dérivable sur R, et le second,, est défini sur [0, + [ et dérivable sur ]0, + [. Ainsi Df = R + et Df = R +. Q. Soit u() = e ; on a u () = e = e 1. On pouvait alors soit utiliser la formule du produit, (u u) = uu + u u, soit la formule de composition (u ) = u u pour trouver f () = ( e 1 ) (e ) = e e 4e + 4 Problème : Q1. On réduit f au même dénominateur : f() = ( )( 1) + = 1 1 = Q. Pour que f soit définie, il faut que le dénominateur ne s annule pas, à savoir 1 0, ce qui équivaut à 1/. Donc Df = R\{1/}. De plus, on a Df = Df (f ne comportant pas de racine). Q3. Soient u() = et v() = 1 ; on a u () = 4 5 et v () =. Comme f = u, on a, par la formule du quotient : v f () = u ()v() v ()u() = (4 5)( 1) ( 5 + 3) v() ( 1) = ( 1) Q4. Résolvons = 0 : on commence par calculer le discriminant, = ( 4) 4 4 ( 1) = 3. L équation admet donc deu solutions qui sont 1 = 4 4 = 4 3 = 4 4 = 1 < 1 8 4

15 et = = 1 + > 1 Comme le dénominateur de f est toujours positif, f a le signe du trinôme Le coefficient dominant de celui-ci étant positif, on a le tableau de signes suivant et f a le même signe (avec une valeur interdite en 1/). Q5. On déduit du signe de f le tableau de variations de f : 1 1/ + f () f ր ց ց ր Q6. On regarde séparément le numérateur et le dénominateur : lim 1/ = = 1 0 et lim 1 = 0 1/ Ainsi, lim 1/ f() =. On peut déduire les signes des limites à gauche et à droite du tableau de variations précédent : on a lim f() = et lim (1/) f() = + (1/) + Comme la limite de f en 1/ est infinie, on déduit que la droite d équation = 1/ est asymptote verticale à la courbe C f. Q7. On utilise l epression de f de Q1. On a lim + = +, et comme lim + 1 = +, on a lim = 0 On déduit que f() tend vers + lorsque tend vers +, donc la courbe C f n admet pas d asymptote horizontale. Q8. On a f() = 1 ( 1) + Le premier terme tend vers 0 lorsque tend vers l infini, et le second terme tend vers 1 en utilisant qu à l infini, ( )/ se comporte comme le quotient des termes de plus haut degré. De plus, f() = 1, qui tend vers 1 lorsque tend vers +. Ainsi la droite d équation y = est asymptote à la courbe C f en +.

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